1.1 三角形中的线段和角 专题训练～2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形基本元素（边、角、特殊线段），通过8+8题型体系实现从概念辨析到综合应用的递进训练，突出逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的边和角|8题型（28题）|涵盖三边关系判断、参数范围、化简、最值、证明等|以三边关系定理为核心，结合大边对大角，形成“性质应用—推理证明—实际建模”逻辑链| |三角形的中线、角平分线、高|8题型（32题）|包含概念辨析、长度/面积计算、分类讨论、等积法等|从三线概念出发，通过折叠、动态问题深化性质理解，构建“概念—性质—应用”认知体系|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 第一章三角形专题训练1.1三角形中的线段和角 第一课时三角形的边和角 【题型1利用三边关系判断能否组成三角形】 1,如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根 小棒能组成三角形，则剪断的小棒是 (填“甲”或“乙”)， 2.五条线段的长度分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线段为边长共可以组 成一个三角形 3.用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余.重叠和折断，能摆出不 同的三角形的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 4.有四根细木棒，长度分别为3cm,5cm,7cm,9cm,用这些木棒为边摆三角形，可 以摆成三角形的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型2利用三边关系求参数范围】 5.三角形中两条边长分别是m,n且m>n,那么这个三角形的周长I的取值范围是() A.3n<1<3m B 2n+m<l<2m+n C.2n+m<1<3m-n D.2m<1<2m+2n 6.一个三角形的三边长分别为2,5，x (1)求x的取值范围； (②)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长。 7.等腰三角形周长是20cm,腰长为cm,则x的取值范围为 8.一个三角形的三边长分别是m、(x+)cm、(x+2)cm,它的周长不超过0cm,则x 试卷第1页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危先乡笔 的取值范围是() 太写 B.1Kx≤写 13 C.x D.I<xs13 【题型3利用三边关系化简】 9.已知a,b,C是△ABC的三边长. 若a-2+b-3=0, 则a+b= a+b-c= 化简： b-c-a= ②若0，力，C满是口-6+b-d0,试划断△18C的形状，并说明理白。 10若一个三角形的三边长分别为2，x,7,化简r-2r-12 的结果是() A.3x-29 B.-3x+29 C.-x+19 D.x-19 11.已知等腰三角形的三边长分别为m-2,2m+1,8,求等腰三角形的周长. 12.已知a,b,c是一个三角形的三边长， (1)填入“>、<或=”号：a-b-c0,b-a-c0,c+b-a0 (2)化简：1a-b-c|+|b-a-c-|c+b-a 【题型4：利用三边关系求最值】 13.如图，加油站A和商店B在马路MN的同一侧，点A到MN的距离大于点B到N的 距离，AB=1500米.一个行人P在马路MN上行走，若点P到点A的距离与点P到点B的 距离之差最大，这个差一（填“大于”“小于”或“等于”）1500米. B 14.如图，在△ABC中，BC=3,将△ABC平移5个单位到△AB'C,则BC'的最大值等于 试卷第2页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 B B 15.如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中OA=OB,以A为支撑点铅笔芯端点B 绕点A旋转做出圆.若OA=6cm,则该圆的半径可能是一·（写出一个即可） 图1 图2 16.如图，AC=6,BC=8,AB=10,点D是平面内一点，且满足AD=2CD,则 2BD+AD的最小值是 B 【题型5利用三边关系取舍值】 17.用一条长44cm的细绳围成一个三角形，己知第一条边长为xcm,第二条边长比第一条 边长的3倍少6cm」 (1)用含x的式子表示第三条边长： (2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长， 18等服三角形销两边a、满足a-3旷+h-8=0,则该等腰三角形的周长是（) 试卷第3页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒 里充先乡笔 A.9 B.14 C.19 D.14或19 19.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (I)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长. (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明 理由。 20.用一条长为l5cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长： (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为6Cm,求等腰三角 形的底边长. 【题型6利用三边关系证明线段的不等关系】 21.如图，在△ABC中，点D在AC上，连接BD,点P在BD上，连接CP,求证： AB+AC>BP+CP B 22.如图，D为△ABC的边BC上一点，试判断2AD与△ABC的周长之间的大小关系，并 加以证明， 23.如图1，点P是△ABC内部一点，连接BP,并延长交AC于点D. DE 图1 图2 试卷第4页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 (I)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系： (2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系； (3)如图2，点D,E是△ABC内部两点，试探究AB+AC与BD+DE+CE的大小关系. 24.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线，且AC,BD相交于点O.求证： AB+CD<AC+BD: 【题型7 三边关系的应用】 25.如图，为了估计池塘两岸A,B间的距离，在池塘的一侧选取点P,测得PA=18米， PB=12米，那么A,B间的距离不可能是() A.12米 B.30.5米 C.26米 D.15.8米 26.如图，A,B为池塘岸边的两点，小明在池塘的一侧取一点O,测得A0=32米， B0=18米，则A,B两点间的距离可能是() A.50米 B.58米 C.62米 D.46米 27.王老师有长度分别为，b的两根小棒（如图），如果要把其中的一根剪成两段，那么 下面剪法中，3根小棒一定能围成三角形的是() 试卷第5页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 a 6 A.将长为a的小棒正中间剪一刀 B.将长为b的小棒正中间剪一刀 C.将长为a的小棒任意剪一刀 D.将长为b的小棒任意剪一刀 28.如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪 断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 处剪断.（多选， 填写序号) Q ② ③ ④ 【题型8大边对大角，大角对大边】 29.如图，在△ABC中，AB>BC>AC,则∠A、∠B、∠C的大小关系为 (用“>”号连接) B 30.如图，己知∠ADB>∠B>∠C,下列说法正确的是() A,AC>AB>AD B.AC>AD>AB C.AB>AD>AC D.AB>AC>AD 31.已知三角形ABC中，∠C>90°，AC=5,BC=3,AB=x则x的取值范围是 () A.2<x<8 B.3<x<8 C.2<x≤8 D.5<x<8 32.锐角三角形ABC中，AB>BC>AC,且最大内角比最小内角大24°，则∠A的取值范 围是(). 试卷第6页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 A.52°<∠A<66 B.54°<∠A<68° C.44°<∠A<529 D.52°<∠A<68 第二课时三角形的中线、角平分线、高 【题型1中线、角平分线、高概念辨析】 1.如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是() B E A.线段AD是BC边上的高 B.线段BE是AB边上的高 C.线段CF是AC边上的高 D.线段CF是BC边上的高 2.下列结论正确的是() A.直角三角形的高只有一条 B.三角形的高至少有一条在三角形内部 C.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 D.钝角三角形的三条高都在三角形外部 3.如图，根据图形折叠后的情况，可以判定AD是△ABC的中线的是() C. D. 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD,AE,BF分别是△ABC的高线、中线和角平分 线，下列结论错误的是() E D A.∠ABF=∠CBF B.∠ABC=∠CAD C S.AME=S.ACE D.AF=CF 试卷第7页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 【题型2利用三角形的中线求长度】 5.等腰三角形一腰上的中线把周长分成12和15两部分，则腰长为() A.8 B.10 C.8或10 D.12 6.在△ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm的两部 分，则BC的长为()cm A.14 B.16或22 C.22 D.14或22 7.如图①是一张三角形纸片ABC,将BC对折使点C与点B重合，如图②所示，折痕与 BC的交点记为D. D B(C) D 图① 图② (1)请在图②中画出△ABC边BC上的中线： (2)若AB=10cm,AC=15cm,求△ACD与△ABD的周长差. 8.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若CE=9Cm,则BC= B E D 【题型3利用三角形的中线求面积] 9.如图，在△1BC中，已知点D,B,F分别为边BC,D,CE的中点， S△MBc=8 则 阴影部分的面积为() 试卷第8页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 A.2 B.3 C.4 D.6 10.如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F,若△ABC的面积等于12，则△BEF的面积等 于() A.2 B.3 C.4 D.5 11.如图点D、E、F分别是BC、AD、AC边上的中点.若阴影部分的面积为9，则△ABC 的面积是() A.18 B.24 C.27 D.32 12.如图，△A C的面积为8、作△48C的中线1C,取B的中点4，连按 C得到第一 个△8C作M8C的中线4G,取4的中点4，连接C得到第一个4BG.重 复这样的操作，则第2024个 △A,o24BC2024 的面积为 试卷第9页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 【题型4依据高的位置分类讨论求角度】 13.题目：“如图，在长方形纸片ABCD中，点E,F,G分别在边AD,AB,CD上，将 ∠A,∠D分别沿EF,EG进行折叠并压平，AE与DE分别折叠到AE和D'E的位置，若 ∠AED'=10°，求∠FEG的度数.”对于其答案，甲答：∠FEG=95°，乙答： ∠FEG=90°，丙答：∠FEG=85°，则正确的是() A--- A.只有甲答得对 B.甲、丙答案合在一起才完整 C.乙、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 14.已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为() A.90° B.50 C.90°或50 D.90°或30° 15.在△ABC中，∠B=35°，AD是BC边上的高且∠CAD=∠B,则∠BCA的度数是 16.己知：BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则 ∠BAC的度数为， 【题型5 等积法求值】 17.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=4,BC=3,点D是边AB 上一动点，作直线MN经过点C.点D,分别过点A,B作AF与MN垂直，BE与MN垂 直。垂足分别为F,B,设线段B6,的长度分别为4,4，则4+4 的最大值为 试卷第10页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 M 18.如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC,垂足为C,AC3,点P是直线BC上的动点， 则线段AP长不可能是() A B P A.2 B.3 C.4 D.5 19.等面积法是一种常用的、重要的数学解决问题的方法.请尝试利用这种数学方法解决 下面问题：在Rt△ABC中，∠ACB=90,BC=3,AC=4,AB=5 D 图① 图② 图③ (I)如图①，CD⊥AB,求△ABC的面积及CD的长： (2)如图②、点D、点P分别在边AB、AC上，将△APD沿着DP折叠(DP为折痕)，使点 1和点B重合，AP=25 8,求。ABP的面积： (3)在(2)的条件下，作DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分别为点E、点F,则DE=DF,求 DE(或DF)的长： (4)如图③，点P在边AC上，且AP=BP,点O是边AB上一点（不与点A、点B重合） QE⊥BP,QF⊥AP OE+OF ,垂足分别为点E、点F.直接写出 的值 20.(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB于 试卷第11页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 巴充光兮笑 点D,求CD的长： (2)如图2，在△ABC中，AB=4,BC=2,求△ABC的高CD与AE的比： (3)如图3，在△ABC中，∠C=90°，点D,P分别在边AB,AC上，且BP=AP, DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分别为点E,F.若BC=10,求DE+DF的值. B D 图1 图2 图3 【题型6与角平分线有关的求值】 21.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D.∠ABD的角平分线BF所在 直线与射线AE相交于点G,若∠ABC=2∠C,且∠G=25°，则∠DFB的度数是() A B A.60° B.65° C.70° D.50 22.如图，在△ABC中，点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点，连接OC,点P是 ∠BOC、∠OCB平分线的交点，若∠P=100°，则∠ABC的度数为°. B 23.如图，在△ABC中，己知∠A=60°，点0为△ABC内一点，且∠B0C=140°，其中 B0平分∠AB0.C0平分4C0,B0平分10，C0平分∠C0,,B0平分 ∠ABO1C0.平分 ∠ACOn-1,… ∠BOC= ∠B02025C= …,以此类推，则 试卷第12页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 A 24.如图，在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，连接OA,OB,OC,作 △AOB的一条角平分线AD.若∠BAC=,则∠I+∠2的度数为() D 2 B A.90+3 R12o+号a C.160° D.180°-1 【题型7与角平分线有关的证明】 25.如图，△ABC中，AD是角平分线，BE⊥AD,垂足为E. (①)已知∠ABC=70°，∠C=30°，求∠ADB的度数： (2)若∠ABC=3LC,求证：∠DBE=∠C. 26.完成下面的证明： 己知：如图，AC⊥BD,EF⊥BD,∠A=∠I.求证：EF平分∠BED B 证明：：AC⊥BD,EF⊥BD, 试卷第13页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 .∠ACB=90°，∠EFB=90°（①）. ∴.∠ACB=∠EFB ∴②‖③（④）. ∠3=∠1（⑤）. ∠A=∠2， 又×∠A=∠1， ∴∠⑥=⑦ ∴EF平分∠BED(角平分线定义)· 27.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC.试画出边BC上的中线和高以及∠A的平分线. 从中你发现了什么？ 28.己知：如图，AB‖CD,直线EF分别交AB,CD于点G,H,点P为直线EF上的点， 连接AP,CP E E G B G B G B H D D F 图1 图2 图3 (I)如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出∠BAP,∠DCP,∠APC的数量关系； (2)如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q,连接H0,AC,若 ∠ACP+∠PHQ=∠CQH ACI‖EF ,求证： (3)在(2)的条件下，如图3，CK平分∠ACP,GK平分∠AGP,GK与CK交点K,连接 试卷第14页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里充先乡笔 AK ∠PQH=4∠PCK+2∠PHQ,∠CKG=∠CHQ∠AKC+∠KAC=159° ∠BAC ,若 ，求 的大小 【题型8 探究三角形的边、角、线】 29.如图1，ACII BD,AH平分∠BAC交BD于点H,且∠ABD=m∠AEB. H R 图1 图2 备用图 (1)若∠AEB=15°，且m=4,求∠AOB的度数， (2)过点B作∠EBF的角平分线，角平分线所在的直线与AH所在直线交于点G. ①如图2，若m=2,探究∠BGH与∠AEB的数量关系，并说明理由. ②若E为直线AC上的一个动点(E不与A重合)，探究∠BGH与∠AEB的数量关系（请 直接写出答案)· 30.如图，在△ABC中，AE是△ABC的高， D E 图1 图2 (1)如图1，AD是∠BAC的平分线，若∠B=38,∠C=62°，求∠DAE的度数. (2)如图2，延长AC到点F,∠CAE和∠BCF的平分线交于点G,求∠G的度数. 31.如图①，凹四边形ABCD形似圆规，这样的四边形称为“规形”， 试卷第15页，共57页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 图① 图② 图③ (1)如图①，在规形ABCD中，若∠A=80°，∠BDC=130°，∠ACD=30°，则∠ABD= ； (2)如图②，将△ABC沿DE,EF翻折，使其顶点A,B均落在点O处，若 ∠CD0+∠CF0=72°，则∠C=_: (3)如图③，在规形ABCD中，∠BAC、∠BDC的角平分线AE、DE交于点E,且 ∠B>∠C,试探究∠B,∠C,∠E之间的数量关系，并说明理由. 32.人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”， 部分原文如下： 如图1，在△ABC中，如果AB>AC,那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上， 点C落在AB上的D点，折线交BC于点E,则∠C=∠ADE ,∠ADE>∠B(想一想为什么)， .∠C>∠B D(C) E B G 图1 图2 (1)请证明上文中的∠ADE>∠B (2)如图2，在△ABC中，如果∠ACB>∠B,能否证明AB>AC?小敏同学提供了一种方法： 将△ABC折叠，使点B落在点C上，折痕交AB于点F,交BC于点G,再运用三角形三边 关系即可证明，请你按照小敏的方法完成证明. 试卷第16页，共57页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 · 第一章三角形专题训练~1.1三角形中的线段和角 · 第一课时三角形的边和角 【题型1 利用三边关系判断能否组成三角形】 1．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键 通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为， ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即， ∴， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒剪成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是乙． 故答案为：乙 ． 2．五条线段的长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，以其中三条线段为边长共可以组成_____个三角形. 【答案】3 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断三条线段能否构成三角形． 【详解】根据三角形的三边关系可知,以其中三条线段为边长，可以组成三角形的是： 2cm、3cm、4cm；3cm、4cm、5cm；2cm、4cm、5cm. 共3个三角形． 故答案为3 【点睛】本题考查三角形的三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；三条线段能否构成三角形，熟记三角形的三边关系是解题关键. 3．用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余．重叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是　（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．在组合三角形的时候，注意较小的2边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于12． 【详解】解：设摆出的三角形的三边有两边是根，根，则第三边是根， 根据三角形的三边关系定理得到： 得到：，，， 又因为，是整数，因而同时满足以上三式的，的分别值是（不计顺序）：，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5． 则第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2． 因而三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，则能摆出不同的三角形的个数是3． 故选：C． 4．有四根细木棒，长度分别为，，，，用这些木棒为边摆三角形，可以摆成三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】首先每三条组合得到所有的情况，再进一步根据三角形的三边关系进行分析． 【详解】解：任意三根细木棒为边可组成①，，；②，， ；③，，；④， ，； ， ∴不能摆成三角形的是②， ∴能摆成三角形的个数为3个， 故选：C． 【点睛】此题考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【题型2 利用三边关系求参数范围】 5．三角形中两条边长分别是，且，那么这个三角形的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握是解题的关键．先根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出第三边的取值范围，即可得三角形的周长范围． 【详解】解：设三角形的第三边为，则有： ， ， 即． 故选：D． 6．一个三角形的三边长分别为2，5，x． (1)求x的取值范围； (2)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)这个三角形的周长为12 【知识点】等腰三角形的定义、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义． （1）根据三角形三边关系作答即可； （2）根据等腰三角形的定义分情况结合三角形三边关系作答即可． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系，可得， ∴； （2）解：当时，由，所以周长为； 当时，由，故不能构成三角形； 综上所述，这个三角形的周长为12． 7．等腰三角形周长是，腰长为，则x的取值范围为________． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义、求不等式组的解集 【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的三边关系，求不等式组的解集，由题意可得等腰三角形的底边长为，然后根据三角形的三边关系可得关于的不等式组，解不等式组即可求出答案． 【详解】解：等腰三角形的周长为，腰长为，则底边长为， 根据三边关系可得，，解得，； ，解得，， 的取值范围是． 故答案为：． 8．一个三角形的三边长分别是、、，它的周长不超过，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，三角形三边关系定理，解一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据题意得出两个不等式，难度适中． 根据三角形的三边关系得出，根据三角形的周长得出求出两不等式解集的公共部分即可． 【详解】 解：三角形的三边长分别是、、，它的周长不超过， ，， 解得：，， 所以的取值范围是， 故选：B． 【题型3 利用三边关系化简】 9．已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5，，． (2)为等边三角形，理由见解析 【知识点】绝对值非负性、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和等边三角形的判定，结合“三角形三边关系”，判断绝对值内表达式的正负是解题关键． （1）根据非负数的性质和三角形三边关系去绝对值后计算即可； （2）根据非负数的性质可判断出，进而确定的形状． 【详解】（1）解：， ，， 则； 根据三角形三边关系，，， 则； 且， ， ． 答：5，，． （2）解：，且，， 可得， 解得， ，为等边三角形． 答：为等边三角形． 10．若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、确定第三边的取值范围、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了三角形的三边的关系，化简绝对值和整式的加减运算，先利用三角形三边关系确定x的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后进行整式的加减运算即可求解． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为2，x，7， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 11．已知等腰三角形的三边长分别为，，8，求等腰三角形的周长． 【答案】等腰三角形的周长为17.5 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分三种情况： 当时， 解得：， （舍去）； 当时， 解得：， ， 三边长分别为：8，21，8， ， 不能组成三角形； 当时， 解得：， ， 三边长分别为：1.5，8，8， 等腰三角形的周长， 综上所述：等腰三角形的周长为17.5． 故答案为：17.5． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元一次方程，分三种情况讨论是解题的关键． 12．已知a，b，c是一个三角形的三边长， (1)填入“＞、＜或＝”号：______0，_______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)＜，＜，＞ (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（1）根据三角形三边关系即可作答； （2）根据（1）的判断去掉绝对值符号后合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵a，b，c是一个三角形的三边长， ∴，， （2）解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，解题关键是掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【题型4 利用三边关系求最值】 13．如图，加油站A和商店B在马路的同一侧，点A到的距离大于点B到MN的距离，米．一个行人P在马路上行走，若点P到点A的距离与点P到点B的距离之差最大，这个差____（填“大于”“小于”或“等于”）1500米． 【答案】等于 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题．解题关键是弄清楚当三点共线时距离之差最大．当、 、 构成三角形时，与的差小于第三边，所以、、在同一直线上时，与的差最大，算出这个最大值即可． 【详解】解：当、、三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形， ∵两边与的差小于第三边， 、、在同一直线上，到的距离与到的距离之差最大， ∵此时， ， ∴当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于1500米， 故答案为：等于． 14．如图，在中，，将平移5个单位到，则的最大值等于______． 【答案】8． 【知识点】确定第三边的取值范围、利用平移的性质求解 【分析】根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图示：连接， ∵将平移5个单位到， ∴， 又， ∴， ∴在中， 即： ∴ ∴的最大值等于8， 故答案是：8． 【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 15．如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】三角形三边关系的应用 【详解】解：根据三角形的三边关系可知， 又∵，， ∴ 则该圆的半径可能是（答案不唯一）． 16．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是_______． 【答案】16 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为，， ∴的最小值为， 故答案为：16． 【题型5 利用三边关系取舍值】 17．用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的倍少． (1)用含的式子表示第三条边长； (2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】三角形三边关系的应用、列代数式、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系进行判断； （1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长； （2）依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，得到关于x的方程，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形； 【详解】（1）解：第二条边长为， 第三条边长为； （2）解：当时，，故三角形的三条边长为，，， 由，得，，不能组成三角形； 当时，，故三角形的三条边长为， 由，得不能组成三角形； 当时，，故三角形的三条边长为，由，得可组成等腰三角形， 等腰三角形的三边长为． 18．等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形的三边关系，由非负数的性质得，，进而根据三角形的三边关系得是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：． 19．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长． (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 三角形三边的长为cm、cm、cm;(2) 能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】（1）可设出底边xcm，则可表示出腰长，由条件列出方程，求解即可； （2）分腰长为4cm和底边长为4cm两种情况讨论即可． 【详解】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，, 依题意，得， 解得， ∴， ∴三角形三边的长为cm、cm、cm； （2）若腰长为4cm，则底边长为18-4-4=10cm， 而4+4＜10，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形， 若底边长为4cm，则腰长为=7cm， 此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证． 20．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长． 【答案】(1)腰长为； (2)底边长为或． 【知识点】等腰三角形的定义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． （1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长； （2）设腰长为，分①当时，②当时，两种情况讨论，然后得出底边长度． 【详解】（1）解：设底边为，则腰为， 由题意得， 解得， 腰长为； （2）解：设腰长为， ①当时，得， 腰长， 底边长为， 能构成三角形； ②当时，得， 腰长， 底边长为， 能构成三角形； 综上所述：底边长为或． 【题型6 利用三边关系证明线段的不等关系】 21．如图，在中，点在上，连接，点在上，连接，求证： ． 【答案】证明见详解 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解． 【详解】证明：在中，， 在中，，     ∴， ． 【点睛】本题主要考查三角形三边的关系，不等式的性质，掌握三角形三边的关系是解题的关键． 22．如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【答案】，见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】证明：∵在中，， 在中，， ∴， 即， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键． 23．如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点． (1)试探究与的大小关系； (2)试探究与的大小关系； (3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可； （2）在和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可； （3）延长交的延长线于G，交于点F，在、和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可． 【详解】（1）解：，理由为： ， ∴ 即： （2），理由为： 在中，， 在中，， 两式相加得：+ 即： （3），理由为： 如图，延长交的延长线于G，交于点F， 在中，，① 在中，，② 中，，③ 得： 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键． 24． 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 【答案】证明见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．在和中，利用三角形三边关系即可求证结论． 【详解】证明：在和中， ， ，即， ． 【题型7 三边关系的应用】 25．如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么，间的距离不可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：依题意，，即 ∴，间的距离不可能是米 故选：B． 26．如图，A，B为池塘岸边的两点，小明在池塘的一侧取一点O，测得米，米，则A，B两点间的距离可能是（    ） A．50米 B．58米 C．62米 D．46米 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵米，米， ∴， 即， ∴， ∴、间的距离可能是46米， 故选：D． 27．王老师有长度分别为的两根小棒（如图）．如果要把其中的一根剪成两段，那么下面剪法中，3根小棒一定能围成三角形的是（   ） A．将长为的小棒正中间剪一刀 B．将长为的小棒正中间剪一刀 C．将长为的小棒任意剪一刀 D．将长为的小棒任意剪一刀 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． “任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边”，据此注意分析各选项即可． 【详解】解：由图可知， A、将长为的小棒正中间剪一刀，则此时三根小棒长度分别为． 因为，且， 所以不满足三角形三边关系中“任意两边之和大于第三边”， 故这三根小棒不能围成三角形，A选项错误． B、将长为的小棒正中间剪一刀，则此时三根小棒长度分别为． 因为，且，满足三角形三边关系中“任意两边之和大于第三边”， 所以这三根小棒一定能围成三角形，B选项正确． C、将长为的小棒任意剪一刀，设剪成的两段长度分别为和，此时三根小棒长度分别为．那么，而， 不满足三角形三边关系中“任意两边之和大于第三边”， 所以这三根小棒不一定能围成三角形，C选项错误． D、将长为的小棒任意剪一刀，设剪成的两段长度分别为和，此时三根小棒长度分别为． 当非常大时，比如趋近于，那么可能小于， 不满足三角形三边关系中“任意两边之和大于第三边”， 所以这三根小棒不一定能围成三角形，D选项错误． 故选：B 28．如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在_______处剪断．（多选，填写序号） 【答案】②或③ 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4为腰时，则底为，此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处剪断， 当4为底时，则腰为，此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处剪断， 在①处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形， 在④处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形， 综上，第二次可以在②或③处剪断， 故答案为：②或③． 【题型8 大边对大角，大角对大边】 29．如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 30．如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 31．已知三角形中，，，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据钝角三角形的性质和三角形三边关系求解． 【详解】解：在中，， ∴为最大边， ∴，即． 由三角形的三边关系得：， ∴， ∴的取值范围是． 故选：D． 32．锐角三角形中，，且最大内角比最小内角大，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了求不等式组的解集，三角形边角关系及三角形内角和定理．根据三角形边角关系及内角和定理，结合锐角条件得到不等式组，解之即可确定各角的范围． 【详解】解：∵， ∴， 设最小角为，则最大角， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D． · 第二课时三角形的中线、角平分线、高 【题型1 中线、角平分线、高概念辨析】 1．如图，在中，关于高的说法正确的是（    ）    A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】A 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义．根据“三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高”对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：观察图形知，，， ∴线段是边上的高，线段是边上的高，线段是边上的高， 观察四个选项，A选项符合题意． 故选：A． 2．下列结论正确的是（    ） A．直角三角形的高只有一条 B．三角形的高至少有一条在三角形内部 C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 D．钝角三角形的三条高都在三角形外部 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义、画三角形的高 【分析】本题考查三角形的高，中线，角平分线的概念．根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：A.直角三角形的高有3条，不是只有1条，此项错误； B.三角形的高至少有一条在三角形内部，此项正确； C.三角形的角平分线，中线在三角形内部，但三角形的高可能在三角形的外部，此项错误； D.钝角三角形有2条高在三角形的外部，有1条在三角形内部，此项错误． 故选：B． 3．如图，根据图形折叠后的情况，可以判定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度、折叠问题 【分析】本题考查了三角形的中线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形. 根据是的中线，可推出点是中点，再根据翻折可知道与是对称点，即可求出答案. 【详解】解：是的中线， 是中点， ， 由图可知，根据翻折性质，满足的只有选项D. 故选：D. 4．如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形角平分线的定义、三角形内角和定理的应用、根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 【题型2 利用三角形的中线求长度】 5．等腰三角形一腰上的中线把周长分成和两部分，则腰长为（   ） A．8 B． C．8或 D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质的运用能力，做题时注意分类讨论思想的运用． 由题意得，腰上的中线把等腰三角形分成和两部分，则要分一腰的一半与另一腰的和为或两种情况进行分析，解一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示， 设等腰三角形的腰长， ，是腰上的中线， ． ①若的长为，则， 解得． 等腰三角形的腰长为， 等腰三角形的底长为． ②若的长为，则， 解得， 等腰三角形的腰长为， 等腰三角形的底长为． 经检验，均符合三角形三边关系． 故选： C． 6．在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24 cm和30 cm的两部分，则BC的长为 (　　)cm A．14 B．16或22 C．22 D．14或22 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义、线段的和与差、根据三角形中线求长度 【分析】根据点D为AC中点，得出AD=DC=，根据AB=AC，得出AB=2AD，分两种情况当AB+AD=24cm时，2AD+AD=24cm，可求    BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm，当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm，可求BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm即可． 【详解】解：∵点D为AC中点， ∴AD=DC=， ∵AB=AC， ∴AB=2AD， 分两种情况，当AB+AD=24cm时，2AD+AD=24cm，     解得AD=8cm， ∵BC+CD=30cm， ∴BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm， 当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm， 解得AD=10cm， ∵BC+CD=24cm， ∴BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm， ∴BC的长为14cm或22cm． 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，中线性质，一元一次方程，线段和差，分类思想的应用，掌握等腰三角形性质，中线性质，一元一次方程，线段和差，分类思想的应用是解题关键． 7．如图①是一张三角形纸片，将对折使点C与点B重合，如图②所示，折痕与的交点记为D． (1)请在图②中画出边上的中线； (2)若，，求与的周长差． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据三角形中线求长度、折叠问题 【分析】本题主要考查的是翻折的性质，由翻折的性质得到是解题的关键． （1）由翻折的性质可知，然后连接即可； （2）由可知与的周长差等于与的差． 【详解】（1）解：连接，如图所示，边上的中线为所求； （2）解：周长等于，周长等于， 由题意得， 与的周长差等于 与的周长差． 8．如图，是的中线，是的中线，若，则_____．    【答案】12 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】根据是的中线，是的中线，得到，再根据，即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线，是的中线， ∴， ∴． ∵， ∴ 故答案为：12． 【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是熟练掌握中线的相关知识． 【题型3 利用三角形的中线求面积】 9．如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，，则阴影部分的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】由点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，、、分别是、的中点，进一步利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：点是的中点， ， 、、分别是、的中点， ，， ∴， ，且， ， 即阴影部分的面积为． 10．如图，的中线相交于点F，若的面积等于12，则的面积等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，根据中线的性质得到三角形面积之间的关系，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： ∵的中线相交于点F， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵的面积为12 ∴， 解得， ∴． 11．如图点D、E、F分别是边上的中点．若阴影部分的面积为9，则的面积是（   ） A．18 B．24 C．27 D．32 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了中线平分面积，根据阴影部分的面积设，则，根据中线平分面积的计算得到，，由此列式求解即可． 【详解】解：∵阴影部分的面积为9， ∴设，则， ∵点是线段的中点， ∴，则， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， 故选：B ． 12．如图，的面积为S，作的中线，取的中点，连接得到第一个；作的中线，取的中点，连接得到第一个…；重复这样的操作，则第2024个的面积为__________． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，熟练掌握三角形中线平分三角形面积是关键．由三角形的中线平分三角形的面积得：的面积，同理中线得：的面积，重复这样的过程，可得结论． 【详解】解：∵的面积为，边中线， 的面积， 取的中点， 的面积， 同理得的面积， 则个三角形的面积为； 故答案为：． 【题型4 依据高的位置分类讨论求角度】 13．题目：“如图，在长方形纸片中，点，，分别在边上，将，分别沿，进行折叠并压平，与分别折叠到和的位置，若，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和差运算、折叠的性质．首先根据折叠的性质可知：，，，折叠后可能出现两种情况：一种情况是和没有重叠，一种情况是和重叠．当和没有重叠时，，当和重叠时，． 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，， 分两种情况讨论： ①如下图所示， 则， ， ， ， ， ②如下图所示， 则， ， ， ， ； 综上所述，或， 甲、丙答案合在一起才完整． 故选：B． 14．已知是的高，，，则的度数为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查三角形的高以及角的和差计算，熟练掌握三角形高的位置情况是解题的关键．分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或， 故选：C． 15．在中，，是边上的高且，则的度数是______ 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的高的含义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．根据题意分两种情况：高在内部和高在外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差求解即可． 【详解】解：如图所示，当高在内部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴． 如图所示，当高在外部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 综上所述，或． 故答案为：或． 16．已知：、是的高，直线、相交所成的角中有一个角为，则的度数为_____． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】分两种情况：（1）当为锐角时，如图1， （2）当为钝角时，如图2，根据四边形的内角和为和高得计算得出结果． 【详解】解：分两种情况： （1）当为锐角时，如图1， ∵， ∴， ∵、是的高， ∴， ∴； （2）当为钝角时，如图2， ∵， 同理：， ∴， ∴， 则的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形的高和四边形的内角和，明确四边形的内角和为，三角形的高所构成了两个直角；本题是易错题，容易漏解，要分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行计算． 【题型5 等积法求值】 17．如图，直角三角形中，，，，，点是边上一动点，作直线经过点．点，分别过点，作与垂直，与垂直．垂足分别为，，设线段，的长度分别为，则的最大值为______．    【答案】 【知识点】垂线段最短 【分析】根据，即得到，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，即 化简可得： 解得， 则的最大值就是的最小值， 由垂线段最短可得当时，最小， 由可得， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出，确定的最大值就是的最小值，并掌握垂线段最短的性质． 18．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为C，AC=3，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是(  ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】垂线段最短 【分析】利用垂线段最短得到AP≥AC，然后对各选项进行判断． 【详解】解：∵AC⊥BC， ∴AP≥AC，即AP≥3． 故选：A． 【点睛】本题考查点到直线距离，垂线段最短，利用垂线段最短得到AP≥AC是解题的关键． 19．等面积法是一种常用的、重要的数学解决问题的方法．请尝试利用这种数学方法解决下面问题：在中，．    (1)如图①，，求的面积及的长； (2)如图②、点D、点P分别在边上，将沿着折叠（为折痕），使点A和点B重合，，求的面积； (3)在（2）的条件下，作，垂足分别为点E、点F，则，求（或）的长； (4)如图③，点P在边上，且，点Q是边上一点（不与点A、点B重合），垂足分别为点E、点F．直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)DE (4)3 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据直角三角形面积公式求得三角形的面积，根据求得； （2）由三角形面积公式得出结果； （3）根据得出，从而得出，结合，得出结果； （4）根据得出，结合化简得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 由得， ， ∴； （2）解：； （3）解：如图，    由得， ， 由折叠得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：由（3）知：，， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，面积法等知识，解决问题的关键是熟练掌握面积法． 20．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 【题型6 与角平分线有关的求值】 21．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．设，根据角平分线的定义得，由三角形的外角定理得，则，同时，由此得，则，进而得，，然后再根据可得的度数． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点D， ∴． 故选：D． 22．如图，在△中，点是内部的平分线上一点，连接，点是、平分线的交点，若，则的度数为___ °． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解题的关键．先求出的度数，进一步得到的度数，据此得到的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵点是、平分线的交点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点是内部的平分线上一点， ∴． 故答案为： 23．如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则_________ ，____________________ ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、图形类规律探索 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， ∴， 故答案为：；． 24．如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得，，从而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是和平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴, 故选：A． 【题型7 与角平分线有关的证明】 25．如图，中，是角平分线，，垂足为． (1)已知，，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：设，则， ， 是角平分线， ， 又， ， ， ， ． 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，最后再由，进行计算即可得出答案； （2）设，则，由三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义得出，计算出，，即可得证． 【详解】（1）解：，， ， 是角平分线， ， ； （2）略 26．完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：，， ，（ ① ）． ． ② ③ （ ④ ）． （ ⑤ ）． ， 又， ∠ ⑥ ⑦ ． 平分（角平分线定义）． 【答案】垂直的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；3； 【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解、三角形角平分线的定义 【分析】根据垂线的定义，可得，从而得到，进而得到，，即可解答． 【详解】略 27．如图，是等腰三角形，．试画出边上的中线和高以及的平分线．从中你发现了什么？ 【答案】解：边上的中线和高以及的平分线，作图如图， 由图可知等腰三角形底边上的中线、高以及顶角的角平分线重合． 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义、画三角形的高 【分析】用直尺、量角器便可作出中线、高线及角平分线，观察三条线的位置关系即可． 【详解】略． 28．已知：如图，，直线分别交于点G，H，点P为直线上的点，连接． (1)如图1，点P在线段上时，请你直接写出的数量关系； (2)如图2，点P在的延长线上时，连接交于点Q，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，平分，平分，与交点K，连接，若，，求的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质探究角的关系、三角形角平分线的定义、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）如图1，过P作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行，内错角相等即可解答； （2）如图2，过点Q作，证出，根据平行线的传递性即可证明； （3）如图3，根据三角形内角和即可得，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出，结合（2）即可解出，过K作，证出，根据平行线性质得出，即可得，进而可求的大小． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点Q作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∵， ∴， 由（2）知，即， ∴， 解得， 如图3，过K作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． ∴的大小为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线是解题的关键． 【题型8 探究三角形的边、角、线】 29．如图1，，平分交于点，且． (1)若，且，求的度数． (2)过点作的角平分线，角平分线所在的直线与所在直线交于点． ①如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由． ②若为直线上的一个动点（不与重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由题意得，根据平行线的性质得，，再根据角平分线的性质得，即可求解； （2）①设，则，根据平行线的性质得，，根据角平分线的性质得，，过点作直线，得到，即可得出结论； ②分两种情况：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ，， ，， ∵平分， ， ； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 设，则， ∵， ，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， 过点作直线，如图： ，， ， ∵， ∴； ②当点在点右侧时，过点作，如图： 设，则， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， ，， ， ∵， ∴； 当点在点左侧时，如图，在延长线上取点K， 设，则， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴， ∵， ， 综上，或． 30．如图，在中，是的高．    (1)如图1，是的平分线，若，求的度数． (2)如图2，延长到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可． （2）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AEC=2∠G，根据三角形的高线可求解∠G的度数． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为． （2）∵和的平分线交于点G， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵是的高， ∴ ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题是三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，考查了角平分线的定义，三角形角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识．理解和掌握三角形有关的线段，三角形有关的角的知识是解题的关键． 31．如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)54 (3)；理由见解析 【知识点】三角形折叠中的角度问题、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）连接，并延长到点E，根据三角形外角的性质得出、，即可得出，根据，，，即可得出答案； （2）根据翻折得出，，根据三角形内角和得出，在根据，列出关于的方程，解方程即可得出答案； （3）根据角平分线的定义结合解析（1）得出，，根据，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，连接，并延长到点E， 则、， ∴，即， ∵，，， ∴， 故答案为：20； （2）解：∵将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：；理由如下： 如图3， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴ 即． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 32．人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么）， ∴． (1)请证明上文中的． (2)如图2，在中，如果，能否证明？小敏同学提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折痕交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小敏的方法完成证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用、三角形三边关系的应用 【分析】（1）由三角形的内角和定理可知，，，从而得到； （2）在中，，由折叠得，，则，即． 【详解】（1）证明：由三角形的内角和定理可知，，， ∴， ∴； （2）解：在中，， 由折叠得，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”． 试卷第22页，共57页 试卷第21页，共57页 学科网（北京）股份有限公司 $