专题01 与三角形高、中线、角平分线有关的计算（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形高、中线、角平分线计算，以题型为纲，系统提炼核心概念、解题方法与思路，构建从定义到综合应用的逻辑体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高相关计算|2典例+3变式|等面积法、直角互余推导|从高的定义与分类出发，结合面积公式与角度关系解决长度与角度问题| |中线相关问题|4题型（线段/周长/分割周长/面积）|方程思想、等量代换、面积二等分原理|以中线定义为基础，通过线段等量关系、周长拆分、面积分割逐步深化应用| |角平分线问题|2典例+3变式|角平分线模型（两内/一内一外）、角度等量代换|从角平分线定义切入，结合内角和与外角定理推导角度计算模型| |综合应用|3变式|多性质联用（标注等量关系→列方程求解）|整合高、中线、角平分线性质，通过分层拆解条件解决复杂几何问题|

专题01 与三角形高、中线、角平分线有关的计算 （题型突破·举一反三） 题型01 与三角形的高有关的计算 题型02 与中线有关的求线段长问题 题型03 与中线有关的求周长问题 题型04中线分割三角形的周长问题 题型05 与中线有关的求面积问题 题型06 利用面积法求线段长 题型07 与三角形的角平分线有关的问题 题型08 三角形高、中线、角平分线综合应用 ▌题型01 与三角形的高有关的计算 ◆一、核心概念 1. 三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。 2. 分类特征 锐角三角形：三条高都在三角形内部； 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在三角形内部； 钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部，一条高在内部。 ◆二、解题必备公式 & 方法 1. 三角形面积基础公式： 2. 等面积法核心：同一个三角形，用不同底和对应高计算面积相等，即 3. 角度计算：高与底边垂直，出现直角，结合三角形内角和、直角三角形两锐角互余求角度。 ◆三、常见解题思路 1. 已知两边及一条对应高，求另一条边上的高→用等面积法； 2. 给出三角形类型 + 高线，求内角度数→利用直角互余推导； 钝角三角形外部高线计算，注意外角、补角转换。 【典例1-1】如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数 是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】如图，， 分别是 ， 的中点，，，则边上的高为___________． 【变式1-1】在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，则∠EAD的度数为　 　． 【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的高BD＝4，P为BC上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，求PE+PF的值． 【变式1-2】如图，在中，，，平分． (1)求的度数． (2)在中，分别画出边上的高和边上的高；求出的度数，猜想与的数量关系，并说明理由． ▌题型02 与中线有关的求线段长问题 ◆一、核心概念 三角形中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，每条中线平分对边。 若是中边上中线，则。 ◆二、解题必备知识点 1. 中点线段等量关系：中线分底边为两段相等线段； 2. 线段和差转化：整体边长拆分为中线分割后的两段之和； 3. 方程思想：设未知线段长，根据中线等分线段列等式求解。 ◆三、典型解题步骤 1. 根据中线标注相等线段； 2. 结合已知边长，列出线段等量关系式； 解方程求出目标线段长度。 【典例2-1】如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 【变式1-1】如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知的周长为，是边上的中线． (1)如图，当时，求的长． (2)若，能否求出的长？为什么？ ▌题型03 与中线有关的求周长问题 ◆一、核心要点 三角形周长 = 三边长度之和；中线分割底边，仅改变局部线段，三角形总周长不变。 ◆二、解题必备技巧 1. 拆分周长表达式：把周长拆成含中线等分线段的形式； 2. 等量代换：中线分出的两条底边相等，进行线段替换简化计算； 3. 区分 “原三角形周长” 和 “中线分成两个小三角形的周长”：两个小三角形周长差 = 除公共中线外两条原边的差。 ◆三、通用模板 已知为中线，，，代入化简求值。 【典例3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【变式1-1】如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在中，分别是边上的中线，的周长比的周长长1，若． (1)求的长； (2)求的周长． 【变式1-3】在中，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． ▌题型04 中线分割三角形的周长问题 ◆一、核心区分点 一条中线把原三角形分成两个小三角形，两个小三角形共用这条中线（公共边，长度相等）。 ◆二、必备结论 1. 两小三角形周长之差 = 原三角形被中线分开的两条侧边之差； 推导： ，，，公共，故。 2. 已知周长差和其中一条侧边，可求另一条侧边；已知两边可直接求周长差值。 ◆三、解题步骤 1. 写出两个小三角形周长代数式； 2. 消去相等的中线、等分底边； 建立两边差值等式计算。 【典例4】在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【变式1-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【变式1-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 【变式1-3】如图，在中，是的中点，，，用剪刀从点处进行裁剪． (1)如图1，若沿将剪成两个三角形，求它们周长的差． (2)如图2，若点在上，沿将剪开，得到的两部分图形的周长差为2，求的长． ▌题型05 与中线有关的求面积问题 ◆一、核心定理（必背） 三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 原因：两个小三角形等底、同高，，面积相等。 ◆二、拓展推论 1. 三角形三条中线把原三角形分成 6 个面积完全相等的小三角形； 2. 多次作中线：每次中线平分所在三角形面积，面积连续二等分； 3. 面积倍数关系：小三角形面积含该中线的大三角形面积。 ◆三、解题方法 1. 给出原三角形面积，直接除以 2 得中线分割后的小三角形面积； 2. 反向推导：已知小三角形面积，乘 2 得上层大三角形面积； 3. 多中线嵌套，连续乘或除以计算。 【典例5-1】如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【典例5-2】如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【变式1-1】如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【变式1-2】如图，在中，点在边上（点不与点、点重合），连接，点是边的中点，连接、．若的面积为，则阴影部分图形的面积和为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于_________． ▌题型06 利用面积法求线段长 ◆一、适用场景 已知三角形三边长度，求任意一条边上的高；有高线、边长、面积三者中任意两个，求第三个量。 ◆二、必备公式 变形公式： ◆三、标准解题流程 1. 任选一组已知底和高，算出三角形总面积； 2. 把待求高线对应的边当作新底； 3. 代入变形公式求出高线长度； ◆四、补充要点 直角三角形优先用两直角边算面积，再求斜边上的高，是考试高频考法。 【典例6-1】如图，在三角形中，边上的高，若点M在边上移动，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 【典例6-2】如图，已知在三角形中，，，将三角形沿方向平移至三角形，使点B恰好是的中点，连接． (1)求三角形的面积； (2)已知，请直接写出点F到直线的距离________． 【变式1-1】如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：________． __________． ， ________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【变式1-3】（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． ▌题型07 与三角形的角平分线有关的问题 ◆一、核心定义 三角形角平分线：平分三角形一个内角，顶点到对边的线段，将内角分成两个相等的角。 若平分，则。 ◆二、基础解题必备 1. 角度等量代换：角平分线分出两个相等角，用于角度加减计算； 2. 内角和搭配：结合求内角度数； 3. 外角定理辅助：三角形外角等于不相邻两内角和，快速推导角度。 ◆三、拓展模型（高频） 1. 两内角平分线相交模型：两平分线夹角顶角； 2. 一内一外角平分线相交模型：夹角顶角； ◆四、解题思路 先标相等角，再用内角和 / 外角定理建立角度方程求解。 【典例7-1】 如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 【典例7-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 【变式1-2】如图，在中，于点，的角平分线交于点， 已知， 求的度数. 【变式1-3】如图，若AD是△ABC的角平分线，DE∥AB （1）若DF∥AC，EF交AD于点O．试问：DO是否为△EDF的角平分线？并说明理由； （2）若DO是∠EDF的角平分线，试探索DF与AC的位置关系，并说明理由． ▌题型08 三角形高、中线、角平分线综合应用 ◆一、综合题解题必备总思路 1. 先读图标注： · 中线→标记相等底边； · 高→标记直角； · 角平分线→标记相等角； 2. 分层拆解条件：分开使用高线、中线、角平分线各自性质，再联立等式； ◆二、综合核心工具汇总 1. 中线：等线段、等面积； 2. 高：直角、等面积法求线段； 3. 角平分线：等角、角度计算模型； ◆三、通用解题步骤 1. 根据题干分别提取高、中线、角平分线的等量关系； 2. 分别列出线段等式、角度等式、面积等式； 3. 联立方程，分步求出线段长度或角度； 检验结果是否符合三角形三边关系、内角取值范围。 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，在中，为的平分线，交于点．    (1)求的度数； (2)请你画出的中线，再找出的中点，连接．若，求的面积． 【变式1-1】如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【变式1-2】如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为； (2)若△的面积为，．   ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点作 ，交于点，连结、且相交于点，若，，求．(用含、的代数式表示) 【变式1-3】如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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【分析】分∠C为锐角或钝角两种情况：①当∠C为锐角时，如图所示，∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE；②当∠C为钝角时，如下图所示，∠EAD＝∠DAC+∠EAC，分别求解即可． 【详解】解：①当∠C为锐角时，如下图所示， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝80°， AE平分∠BAC， ∴∠BAE80°＝40°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝20°， 故：答案是20°． ②当∠C为钝角时，如下图所示， ∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝20°， 则：∠EAD＝∠DAC+∠EAC＝40°， 故：答案为20°或40°． 【点睛】本题三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键． 【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的高BD＝4，P为BC上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，求PE+PF的值． 【答案】见详解. 【分析】连接AP，用面积法计算：△ABC面积AC•BD＝△ABP面积+△ACP面积AB•PEAC•PE． 【详解】解：连接AP， △ABC面积＝△ABP面积+△ACP面积AB•PEAC•PE， ∵AB＝AC， ∴AB•PEAC•PEAC（PE+PF）， 又△ABC面积AC•BD， ∴PE+PF＝BD＝4． 【点睛】本题借助等腰三角形考查了三角形面积计算方法，运用面积法求垂线段长是解决这类问题的通用方法． 【变式1-2】如图，在中，，，平分． (1)求的度数． (2)在中，分别画出边上的高和边上的高；求出的度数，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：如图，线段、即为所求； 是高， ， ， ； 猜想；理由如下： 是高， ， ， ，，， ； 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，即可根据三角形外角的性质求得答案； （2）分别过点A和点B作对边的垂线段即可画出图形；根据三角形内角和定理即可求得的度数；根据三角形高的定义及三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）略 ▌题型02 与中线有关的求线段长问题 ◆一、核心概念 三角形中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，每条中线平分对边。 若是中边上中线，则。 ◆二、解题必备知识点 1. 中点线段等量关系：中线分底边为两段相等线段； 2. 线段和差转化：整体边长拆分为中线分割后的两段之和； 3. 方程思想：设未知线段长，根据中线等分线段列等式求解。 ◆三、典型解题步骤 1. 根据中线标注相等线段； 2. 结合已知边长，列出线段等量关系式； 解方程求出目标线段长度。 【典例2-1】如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 【典例2-2】如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出，是解题的关键．根据中线的定义知．结合三角形周长公式知；又．即可求出的长度． 【详解】解：是边上的中线， 为的中点，． 的周长的周长． ． 又 ， ，即． 即的长度是． 【变式1-1】如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长公式表示出和的周长，利用作差法建立等式即可求出的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．根据三角形的面积及高求得底边的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得， ， ， 又 为的中线， ， ， ， 故选：B． 【变式1-3】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知的周长为，是边上的中线． (1)如图，当时，求的长． (2)若，能否求出的长？为什么？ 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可； （2）根据三角形周长和边的关系解答即可． 此题考查三角形的中线以及三角形的三边关系，关键是根据三角形中线的性质解答． 【详解】（1）解： ，， ． 又∵的周长为， ． 是边上的中线， ． （2）解：不能，理由如下： ，， ． 又∵的周长为 ． ， 不能构成三角形， 则不能求出的长． ▌题型03 与中线有关的求周长问题 ◆一、核心要点 三角形周长 = 三边长度之和；中线分割底边，仅改变局部线段，三角形总周长不变。 ◆二、解题必备技巧 1. 拆分周长表达式：把周长拆成含中线等分线段的形式； 2. 等量代换：中线分出的两条底边相等，进行线段替换简化计算； 3. 区分 “原三角形周长” 和 “中线分成两个小三角形的周长”：两个小三角形周长差 = 除公共中线外两条原边的差。 ◆三、通用模板 已知为中线，，，代入化简求值。 【典例3】如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【答案】26 【分析】先计算的长度，由中线的定义得，进而即可求解． 【详解】解： 的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． 【变式1-1】如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 【变式1-2】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在中，分别是边上的中线，的周长比的周长长1，若． (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1)； (2)15 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． (1)根据三角形的中线的定义直接求解即可； (2)先根据的周长比的周长长1，得到，即可求解，继而可求解周长． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点E，F分别为的中点． ∵， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长1， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的周长为． 【变式1-3】在中，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 【答案】(1)8 (2)10 【分析】本题考查了三角形的三边关系，中线与周长的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三边关系得，则，因为是整数，则，即可作答． （2）因为是的中线，所以，因为且，得出，即可算出的周长． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ， 的周长为17， ， ， 的周长． ▌题型04 中线分割三角形的周长问题 ◆一、核心区分点 一条中线把原三角形分成两个小三角形，两个小三角形共用这条中线（公共边，长度相等）。 ◆二、必备结论 1. 两小三角形周长之差 = 原三角形被中线分开的两条侧边之差； 推导： ，，，公共，故。 2. 已知周长差和其中一条侧边，可求另一条侧边；已知两边可直接求周长差值。 ◆三、解题步骤 1. 写出两个小三角形周长代数式； 2. 消去相等的中线、等分底边； 建立两边差值等式计算。 【典例4】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【分析】设，，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符合条件的的长. 【详解】解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. 【变式1-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形中线的定义； 根据中线的定义结合已知可得，求出，再根据边上的中线把的周长分成60和40两部分列式计算即可． 【详解】解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【变式1-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 【答案】，或， 【分析】此题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形中线的定义，并注意分类讨论．首先设，，则，根据的中线把的周长分成两部分的比是可得①；②，分两种情况进行计算即可． 【详解】解：如图：    利用，设，， ∵， ∴， ∵的中线把的周长分成两部分的比是， 则①当时， 由题意得：， 解得：， 则，； ②当时， 由题意得：， 解得：， 则，， 答：，或，． 【变式1-3】如图，在中，是的中点，，，用剪刀从点处进行裁剪． (1)如图1，若沿将剪成两个三角形，求它们周长的差． (2)如图2，若点在上，沿将剪开，得到的两部分图形的周长差为2，求的长． 【答案】(1)4 (2)1或 3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由图可得到的周长的周长，即可求解； （2）分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可． 【详解】（1）解：∵是的中点， ， ∴的周长的周长； （2）解：设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得，， ， 解得：； 或3． ▌题型05 与中线有关的求面积问题 ◆一、核心定理（必背） 三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 原因：两个小三角形等底、同高，，面积相等。 ◆二、拓展推论 1. 三角形三条中线把原三角形分成 6 个面积完全相等的小三角形； 2. 多次作中线：每次中线平分所在三角形面积，面积连续二等分； 3. 面积倍数关系：小三角形面积含该中线的大三角形面积。 ◆三、解题方法 1. 给出原三角形面积，直接除以 2 得中线分割后的小三角形面积； 2. 反向推导：已知小三角形面积，乘 2 得上层大三角形面积； 3. 多中线嵌套，连续乘或除以计算。 【典例5-1】如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 【典例5-2】如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 【变式1-1】如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 【变式1-2】如图，在中，点在边上（点不与点、点重合），连接，点是边的中点，连接、．若的面积为，则阴影部分图形的面积和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：点是边的中点， ，， ， ． 【变式1-3】如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于_________． 【答案】5 【分析】根据三角形中线的性质得，同理可得，，进而求出，最后根据三角形中线的性质得出答案． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴，同理， ∴． ∵点F是的中点， ∴． ▌题型06 利用面积法求线段长 ◆一、适用场景 已知三角形三边长度，求任意一条边上的高；有高线、边长、面积三者中任意两个，求第三个量。 ◆二、必备公式 变形公式： ◆三、标准解题流程 1. 任选一组已知底和高，算出三角形总面积； 2. 把待求高线对应的边当作新底； 3. 代入变形公式求出高线长度； ◆四、补充要点 直角三角形优先用两直角边算面积，再求斜边上的高，是考试高频考法。 【典例6-1】如图，在三角形中，边上的高，若点M在边上移动，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短．此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度即可． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当垂直于时，的长度最短， ∵， ∴， 解得． 【典例6-2】如图，已知在三角形中，，，将三角形沿方向平移至三角形，使点B恰好是的中点，连接． (1)求三角形的面积； (2)已知，请直接写出点F到直线的距离________． 【答案】(1)12； (2)． 【分析】（1）根据平移的性质，结合三角形的面积公式进行求解即可； （2）根据平移的性质得到，设点F到直线的距离为，根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵沿射线方向平移至， ， ∵B是的中点， ， ∵， ； （2）解：∵平移， ∴， 设点F到直线的距离为，由（1）知：； ∴， ∴． 【变式1-1】如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）解：如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ． 的面积是． （3）解：为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：________． __________． ， ________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 【变式1-3】（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． ▌题型07 与三角形的角平分线有关的问题 ◆一、核心定义 三角形角平分线：平分三角形一个内角，顶点到对边的线段，将内角分成两个相等的角。 若平分，则。 ◆二、基础解题必备 1. 角度等量代换：角平分线分出两个相等角，用于角度加减计算； 2. 内角和搭配：结合求内角度数； 3. 外角定理辅助：三角形外角等于不相邻两内角和，快速推导角度。 ◆三、拓展模型（高频） 1. 两内角平分线相交模型：两平分线夹角顶角； 2. 一内一外角平分线相交模型：夹角顶角； ◆四、解题思路 先标相等角，再用内角和 / 外角定理建立角度方程求解。 【典例7-1】 如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质求出的度数，再根据是的角平分线求出．再利用直角三角形两锐角互余，求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【典例7-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，即可得出，进而根据平行线的性质可得，即可得出，即平分． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 【答案】或/15或65 【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解． 先由角平分线得到，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解． 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【变式1-2】如图，在中，于点，的角平分线交于点， 已知， 求的度数. 【答案】 【详解】本题考查了角的计算，三角形内角和定理，角平分线，高线的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据题意，易得， 可知的度数，利用三角形内角和定理，得， 结合角平分线，有， 即可得到结果． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 【变式1-3】如图，若AD是△ABC的角平分线，DE∥AB （1）若DF∥AC，EF交AD于点O．试问：DO是否为△EDF的角平分线？并说明理由； （2）若DO是∠EDF的角平分线，试探索DF与AC的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）DO是△EDF的角平分线，理由见详解；（2）DF∥AC，理由见详解； 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠2，∠1＝∠4，则由等量代换得到∠3＝∠4； （2）DF∥AC．由角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4．再根据DE∥AB的性质得到∠2＝∠3，所以内错角∠1＝∠4，故DF∥AC． 【详解】解：（1）DO是△EDF的角平分线．理由如下： 如图，连接DF． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2． 又∵DE∥AB， ∴∠3＝∠2． ∵DF∥AC， ∴∠1＝∠4， ∴∠3＝∠4，即DO是∠EDF的角平分线， ∴DO是△EDF的角平分线； （2）DF∥AC．理由如下： ∵如图，连接DF． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2． 又∵DE∥AB， ∴∠3＝∠2． 又∵DO是∠EDF的角平分线， ∴∠3＝∠4， ∴∠1＝∠4， ∴DF∥AC． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． ▌题型08 三角形高、中线、角平分线综合应用 ◆一、综合题解题必备总思路 1. 先读图标注： · 中线→标记相等底边； · 高→标记直角； · 角平分线→标记相等角； 2. 分层拆解条件：分开使用高线、中线、角平分线各自性质，再联立等式； ◆二、综合核心工具汇总 1. 中线：等线段、等面积； 2. 高：直角、等面积法求线段； 3. 角平分线：等角、角度计算模型； ◆三、通用解题步骤 1. 根据题干分别提取高、中线、角平分线的等量关系； 2. 分别列出线段等式、角度等式、面积等式； 3. 联立方程，分步求出线段长度或角度； 检验结果是否符合三角形三边关系、内角取值范围。 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，在中，为的平分线，交于点．    (1)求的度数； (2)请你画出的中线，再找出的中点，连接．若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的有关计算，根据三角形的中线求面积． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）根据要求画出图形，根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）因为， 所以． 因为为的平分线， 所以． 在中，； （2）如图所示，即为所求． 因为是的中线，， 所以． 又因为为的中点，即是的中线， 所以． 【变式1-1】如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解： 为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 【变式1-2】如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为； (2)若△的面积为，．   ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点作 ，交于点，连结、且相交于点，若，，求．(用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查了画三角形的高，三角形的中线的性质； （1）根据题意画出垂线， （2）①三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得的面积； ②由再求出三角形的面积，则得边上的高； ③由平行线可得，从而求得． 【详解】（1）如图，作垂足为， （2）①为的中线， ， 的面积为， 的面积为； ②为的中线， ， ， 的长； （3），为的中线， 是的中位线， 是的中线， ，， ， 又 【变式1-3】如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②或 (2)2 【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与三角形高、中线、角平分线有关的计算 （题型突破·举一反三） 题型01 与三角形的高有关的计算 题型02 与中线有关的求线段长问题 题型03 与中线有关的求周长问题 题型04中线分割三角形的周长问题 题型05 与中线有关的求面积问题 题型06 利用面积法求线段长 题型07 与三角形的角平分线有关的问题 题型08 三角形高、中线、角平分线综合应用 ▌题型01 与三角形的高有关的计算 【典例1-1】【答案】B 【典例1-2】【答案】4. 【变式1-1】【答案】20°或40°． 【变式1-2】 【答案】见详解. 【分析】连接AP，用面积法计算：△ABC面积AC•BD＝△ABP面积+△ACP面积AB•PEAC•PE． 【详解】解：连接AP， △ABC面积＝△ABP面积+△ACP面积AB•PEAC•PE， ∵AB＝AC， ∴AB•PEAC•PEAC（PE+PF）， 又△ABC面积AC•BD， ∴PE+PF＝BD＝4． 【点睛】本题借助等腰三角形考查了三角形面积计算方法，运用面积法求垂线段长是解决这类问题的通用方法． 【变式1-2】 【答案】(1) (2)解：如图，线段、即为所求； 是高， ， ， ； 猜想；理由如下： 是高， ， ， ，，， ； 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，即可根据三角形外角的性质求得答案； （2）分别过点A和点B作对边的垂线段即可画出图形；根据三角形内角和定理即可求得的度数；根据三角形高的定义及三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）略 ▌题型02 与中线有关的求线段长问题 【典例2-1】【答案】C 【典例2-2】 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出，是解题的关键．根据中线的定义知．结合三角形周长公式知；又．即可求出的长度． 【详解】解：是边上的中线， 为的中点，． 的周长的周长． ． 又 ， ，即． 即的长度是． 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可； （2）根据三角形周长和边的关系解答即可． 此题考查三角形的中线以及三角形的三边关系，关键是根据三角形中线的性质解答． 【详解】（1）解： ，， ． 又∵的周长为， ． 是边上的中线， ． （2）解：不能，理由如下： ，， ． 又∵的周长为 ． ， 不能构成三角形， 则不能求出的长． ▌题型03 与中线有关的求周长问题 【典例3】【答案】26 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】 【答案】(1)； (2)15 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． (1)根据三角形的中线的定义直接求解即可； (2)先根据的周长比的周长长1，得到，即可求解，继而可求解周长． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点E，F分别为的中点． ∵， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长1， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的周长为． 【变式1-3】 【答案】(1)8 (2)10 【分析】本题考查了三角形的三边关系，中线与周长的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三边关系得，则，因为是整数，则，即可作答． （2）因为是的中线，所以，因为且，得出，即可算出的周长． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ， 的周长为17， ， ， 的周长． ▌题型04 中线分割三角形的周长问题 【典例4】【答案】 【变式1-1】 【答案】， 【分析】本题考查了三角形中线的定义； 根据中线的定义结合已知可得，求出，再根据边上的中线把的周长分成60和40两部分列式计算即可． 【详解】解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【变式1-2】 【答案】，或， 【分析】此题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形中线的定义，并注意分类讨论．首先设，，则，根据的中线把的周长分成两部分的比是可得①；②，分两种情况进行计算即可． 【详解】解：如图：    利用，设，， ∵， ∴， ∵的中线把的周长分成两部分的比是， 则①当时， 由题意得：， 解得：， 则，； ②当时， 由题意得：， 解得：， 则，， 答：，或，． 【变式1-3】 【答案】(1)4 (2)1或 3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由图可得到的周长的周长，即可求解； （2）分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可． 【详解】（1）解：∵是的中点， ， ∴的周长的周长； （2）解：设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得，， ， 解得：； 或3． ▌题型05 与中线有关的求面积问题 【典例5-1】【答案】B 【典例5-2】【答案】A 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】5 ▌题型06 利用面积法求线段长 【典例6-1】【答案】B 【典例6-2】 【答案】(1)12； (2)． 【分析】（1）根据平移的性质，结合三角形的面积公式进行求解即可； （2）根据平移的性质得到，设点F到直线的距离为，根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵沿射线方向平移至， ， ∵B是的中点， ， ∵， ； （2）解：∵平移， ∴， 设点F到直线的距离为，由（1）知：； ∴， ∴． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）解：如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ． 的面积是． （3）解：为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 【变式1-2】 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． ▌题型07 与三角形的角平分线有关的问题 【典例7-1】 【答案】C 【典例7-2】 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，即可得出，进而根据平行线的性质可得，即可得出，即平分． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 【变式1-1】【答案】或/15或65 【变式1-2】 【答案】 【详解】本题考查了角的计算，三角形内角和定理，角平分线，高线的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据题意，易得， 可知的度数，利用三角形内角和定理，得， 结合角平分线，有， 即可得到结果． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 【变式1-3】 【答案】（1）DO是△EDF的角平分线，理由见详解；（2）DF∥AC，理由见详解； 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠2，∠1＝∠4，则由等量代换得到∠3＝∠4； （2）DF∥AC．由角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4．再根据DE∥AB的性质得到∠2＝∠3，所以内错角∠1＝∠4，故DF∥AC． 【详解】解：（1）DO是△EDF的角平分线．理由如下： 如图，连接DF． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2． 又∵DE∥AB， ∴∠3＝∠2． ∵DF∥AC， ∴∠1＝∠4， ∴∠3＝∠4，即DO是∠EDF的角平分线， ∴DO是△EDF的角平分线； （2）DF∥AC．理由如下： ∵如图，连接DF． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2． 又∵DE∥AB， ∴∠3＝∠2． 又∵DO是∠EDF的角平分线， ∴∠3＝∠4， ∴∠1＝∠4， ∴DF∥AC． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． ▌题型08 三角形高、中线、角平分线综合应用 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的有关计算，根据三角形的中线求面积． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）根据要求画出图形，根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）因为， 所以． 因为为的平分线， 所以． 在中，； （2）如图所示，即为所求． 因为是的中线，， 所以． 又因为为的中点，即是的中线， 所以． 【变式1-1】 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解： 为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 【变式1-2】 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查了画三角形的高，三角形的中线的性质； （1）根据题意画出垂线， （2）①三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得的面积； ②由再求出三角形的面积，则得边上的高； ③由平行线可得，从而求得． 【详解】（1）如图，作垂足为， （2）①为的中线， ， 的面积为， 的面积为； ②为的中线， ， ， 的长； （3），为的中线， 是的中位线， 是的中线， ，， ， 又 【变式1-3】 【答案】(1)①6，8；②或 (2)2 【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $