重难点03 方程组与不等式组参数和最值问题专项 8大题型讲义 2025-2026学年人教版七年级数学下册

重难点03 方程组与不等式组参数和最值问题专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 不等式与不等式组解题基本步骤 知识点二 不等式与不等式组应用题主要涉及的公式 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 已知二元一次方程组的解求参数 题型2 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型3 由一元一次不等式组的解集求参数 题型4 由不等式组的解集的情况求参数 题型5 求一元一次不等式解的最值 题型6 含参二元一次方程组错解复原问题 题型7 含参方程组相同解问题 题型8 含参不等式与方程组结合的问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 含参二元一次方程组基础题型：涵盖解的关系判定（解相等、互为相反数、解满足另一方程）、同解方程组、错解还原、解的符号限定（解为正数、非负数、正整数）四大类，核心考查含参消元运算与等量关系构建。 · 含参一元一次不等式（组）核心题型：包含已知解集反求参数、有解 / 无解条件判定、整数解个数限定、解的符号类四大方向，重点考查解集口诀的逆向应用与边界值判断。 · 方程组与不等式组综合参数问题：以含参二元一次方程组为基础，结合解的不等关系构建不等式（组），求解参数取值范围或整数解，是本专题中档与压轴题的核心考查形式。 · 核心思想与方法：考查代入 / 加减消元的含参运算能力、分类讨论思想（含参系数正负判定）、数形结合（数轴辅助判断解集边界）、端点值验证方法，侧重逻辑严谨性与抽象运算能力。 · 特殊解筛选应用：结合 “正整数解、非负整数解、参数为整数” 等限定条件，从参数取值范围中筛选符合要求的具体值或最值，是区分度题型的高频考点。 · 基础命题：以单一模块独立考查为主，如单独考查含参方程组求参数值、不等式组已知解集求参数，多以选择题、填空题形式出现，题干条件清晰，侧重基础运算与公式法则的直接应用，难度偏低。 · 综合命题：以 “方程组 + 不等式组” 的复合形式为核心，将解的符号、整数解个数等条件结合，设置多步推导，考查综合运算与逻辑推理能力，常以填空压轴、解答题中档题形式呈现。 · 素养命题：侧重设置端点陷阱、分类讨论场景，融入开放性设问（如 “有解时参数的最大整数值”“所有整数解的和”），弱化套路化解题，突出逻辑严谨性、抽象思维与数形结合素养，贴合中考代数压轴小题的命题趋势。 考情解码： · 模块地位：本专题是七年级下册代数核心重难点，是方程与不等式模块的能力升级内容，承接基础运算，培养字母运算与抽象逻辑思维，也是后续函数参数问题、代数综合题的重要基础，属于初中代数的核心区分度模块。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，常以选择填空压轴题、解答题压轴小问形式出现，分值占比 8%–12%；中考中多作为选择填空压轴题或方程综合题的子问题考查，是拉开分数梯队的经典题型。 · 高频考法：不等式组整数解个数问题、有解 / 无解判定、方程组解的符号结合不等式求范围，三类题型考查频次最高；同解方程组、错解还原常作为基础中档题出现；综合类参数范围 + 整数筛选是压轴题的主流考法。 · 失分规律：端点值未验证导致范围多取 / 漏取、含参不等式系数正负未分类讨论、含参方程组消元计算失误、忽略 “整数解” 等隐含限制条件，是四大核心失分点；其中边界判断与分类讨论的严谨性，是区分学生代数能力的关键。 知识点一 方程组与不等式组参数问题解题基本步骤 （1）定：明确主元与参数，通常将x、y等作为方程/不等式的未知数（主元），将a、m、k等字母当作常数（参数），确定求解目标是参数的取值或范围； （2）解：把参数视为已知数，正常求解方程组或不等式（组），用含参数的代数式表示出未知数的解，或不等式的解集； （3）建：根据题目给出的限定条件（解相等、解为正整数、解集边界、有解/无解等），建立关于参数的方程或新的不等式（组）； （4）求：求解新建的方程或不等式（组），得到参数的初步取值或取值范围； （5）验：验证参数的临界值、端点值是否符合题意，排除增解、漏解，确认最终结果符合题目所有限制条件。 知识点二 二元一次方程组参数问题核心题型与解法 （1）解的关系类（解相等、互为相反数、解满足另一方程） 核心解法：方法一，先解含参方程组，用参数表示x、y，再根据解的关系列方程求参数；方法二，将解的关系（如x=y）与原方程组中不含参数的方程联立，先求出x、y的具体值，再代回含参方程求参数。 （2）解的符号类（解为正数、非负数、正整数） 核心解法：用参数表示出方程组的解x、y，根据符号要求（x>0，y≥0等）列出关于参数的不等式组，求解得到参数的取值范围；正整数解需额外筛选参数的整数值。 （3）同解方程组类 核心解法：先求解两个方程组中不含参数的方程组，得到公共解，再将公共解代入含参数的方程组，联立求解得到参数的值。 （4）错解还原类 核心解法：将正确的解代入无计算错误的方程，将错解代入看错系数的方程，得到两个关于参数的等式，联立求解参数。 知识点三 一元一次不等式（组）参数问题核心题型与解法 （1）已知解集求参数 核心解法：根据“同大取大、同小取小”的解集法则，令解集的边界值相等，建立关于参数的方程求解；求解后必须验证端点等号是否成立，避免范围出错。 （2）有解/无解判定类 核心解法：根据“大小小大中间找（有解）、大大小小找不到（无解）”的口诀，对比两个不等式的解集边界，列出关于参数的不等式；临界值需单独代入验证是否符合有解/无解要求。 （3）整数解个数类 核心解法：先确定不等式（组）的固定解集范围，再根据整数解的个数锁定具体整数解，通过“左边界<参数≤右边界”的区间限定参数范围，端点逐一验证取舍。 （4）解的符号类 核心解法：解含参不等式，用参数表示出未知数的解集，根据“解为正、解为非负、无解为负”等要求，列出关于参数的不等式求解；注意系数含参数时，需讨论系数正负对不等号方向的影响。 知识点四 方程组与不等式组综合参数问题解题逻辑 （1）前置运算：以参数为常数，先求解二元一次方程组，用含参数的代数式表示出x、y的解； （2）条件转化：将题目中“解满足不等式”“解为正整数”“解的和大于0”等条件，转化为关于参数的一元一次不等式或不等式组； （3）范围求解：解关于参数的不等式（组），得到参数的基础取值范围； （4）结果筛选：结合参数的整数限制、最值要求、隐含条件等，从取值范围中筛选出符合题意的最终结果。 知识点五 参数问题高频易错点与检验要点 （1）主元混淆：错将参数当作未知数求解，偏离解题目标；需始终明确：求谁的范围，谁就是核心求解对象，其余字母按常数处理。 （2）端点失误：解集边界、整数解区间的端点值未验证，导致参数范围多取或漏取；所有临界值必须代回原题验证是否符合要求。 （3）变号遗漏：解含参数的不等式时，未知数系数含参数且正负未知时，未分类讨论，直接除后不等号方向出错。 （4）条件漏用：忽略“正整数解”“非负整数”“参数为整数”等隐含限制，导致结果范围过大，未筛选有效解。 （5）逻辑倒置：已知解集反推参数时，错误套用解集口诀，导致参数的不等关系写反，可结合数轴辅助判断边界位置。 【例1】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题利用二元一次方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，得到关于a，b的关系式，直接变形即可求出的值． 【详解】解：∵是原方程组的解， ∴ 将代入原方程组，得：， ，得： 化简得：． 【变式训练1-1】已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于的等式，通过等式运算即可求出的值． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， 得：． 【变式训练1-2】小敏解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数，则和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据方程组的解满足方程组中每个方程，先将已知的代入第二个方程求出的值，再代入第一个方程求出的值即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴把代入得， 解得， 即， 再把代入得， 即． 【变式训练1-3】若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将代入，得：，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， ∴， 题型2 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例2】已知关于的方程组，则下列结论中正确的有（     ） ①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，； ③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先解原方程组得到关于的表达式，再逐个验证四个结论，统计正确结论的个数，得到最终选项． 【详解】解：， 将两个方程相加，得， 即， 将两个方程相减，得， 即； ①当时，代入得，，则，因此①错误； ②当时，代入得，解得，因此②错误； ③若，代入得：， 化简得：， 解得：，符合结论，因此③正确； ④计算，代入得：，结果为定值，与无关，因此不论取何值，的值始终不变，④正确； 综上，正确的结论有2个． 【变式训练2-1】若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（     ） A．3 B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】原方程组的解同时满足和，先联立这两个方程求出，的值，再代入含的方程即可求出的值． 【详解】解：由题意可得，方程组的解满足，， ∵将两个方程相加得， ∴， 将代入，得， 将，代入，得， 解得：． 【变式训练2-2】关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解方程组得， 将其代入，得， 化简得， 解得. 【变式训练2-3】若方程组的解满足，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出方程组的解，再计算的值即可． 【详解】解：， 由①变形，得， 将代入②，得， 解得， 将代入，得， ∴方程组的解为， ∴． 题型3 由一元一次不等式组的解集求参数 【例3】若关于的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（     ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰好只有2个整数解确定a的取值范围，找出范围内所有整数a，计算其和即可得到结果． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好只有2个整数解， ∴这2个整数解为，， ∴， ∴， ∴满足条件的整数为、、、，整数的和为． 【变式训练3-1】如果不等式组的解集为，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解第一个一元一次不等式，再根据不等式组的解集，利用“同大取大”的规则确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为，不等号方向改变，得 ， 原不等式组可化为 . 又 不等式组的解集为 ， 根据“同大取大”的解集规律，可得 ． 【变式训练3-2】若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式组无解，则两个不等式的解集没有公共部分，由此求解． 【详解】解：解不等式，得. ∵不等式组无解， ∴． 【变式训练3-3】若不等式组的解集为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定方法，利用“同小取小”的规则列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵该不等式组中两个不等式均为小于型，根据一元一次不等式组解集“同小取小”的法则，已知解集为， ∴ 移项得 ． 题型4 由不等式组的解集的情况求参数 【例4】已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解共有个， ∴满足条件的个整数解为，，， ∴的取值范围是． 【变式训练4-1】一元一次不等式组有且仅有两个整数解则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组的整数解个数，确定解集左端点的取值范围是解题关键. 【详解】解：解不等式，得. 解不等式，得； ∴ 不等式组的解集为； ∵ 不等式组有且仅有两个整数解，且， ∴ 两个整数解为和； ∵ 不是该不等式组的整数解， ∴ ； ∵ 是该不等式组的整数解， ∴ ， ∴ ； 解得； 【变式训练4-2】不等式组有3个整数解，则t的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定t的范围，最后通过验证边界值判断等号位置，得到t的范围． 【详解】解：由不等式组可得解集为， ∵不等式组有3个整数解，且， ∴满足条件的三个整数解为 ， 若，则整数解包含，共有4个整数解，整数解的个数大于3，不符合要求； 若，则整数解只有，共有2个整数解，整数解的个数小于3，不符合要求； ∴的取值范围是 ． 【变式训练4-3】若关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定的取值范围，可利用“大大小小找不到”的口诀求解． 【详解】解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∵不等式组无解，即两个不等式的解集没有公共部分， ∴． 题型5 求一元一次不等式解的最值 【例5】已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 【变式训练5-1】现引入一种新的运算符号“”，规定：，若，则的最大值是_________． 【答案】 【分析】根据给定的新运算规则列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】解：，且， ，解得， 的最大值为2． 【变式训练5-2】设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程，，，的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？ 【答案】a可能取得的最小值是2433 【分析】从第四个方程的正根条件推出d的最小整数值，再依次根据其余方程的正根条件与整数性质，逐步倒推得到c，b的最小整数值，最终求出a的最小值． 【详解】解：∵ ∴ ∵根是正数，且d为整数 ∴，即 ∴d的最小值为101 ∵ ∴ ∵根是正数 ∴ ∴ ∵c为整数 ∴c的最小值为 ∵ ∴ ∵根是正数 ∴ ∴ ∵b为整数 ∴b的最小值为 ∵ ∴ ∵根是正数 ∴ ∴ ∴a的最小值为． 【变式训练5-3】已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键． 解方程组，用含的式子表示出、的值，根据，求得的取值范围而求得的最小值． 【详解】解：由得， ∵、、是非负实数， ∴， 解得． ∴． ∵， ， ∴， ∴的最小值为． 题型6 含参二元一次方程组错解复原问题 【例6】在解关于，的方程组时，甲看错了①中的，解得；乙看错了②中的，解得．则正确的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：将代入得，， 解得； 将代入得，， 解得； ∴正确的方程组是． 【变式训练6-1】解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】正确解满足原方程组所有方程，小童只看错c，因此其解满足第一个方程，据此列出方程求解、、，再计算即可． 【详解】解：∵小郑的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解得，， ∵小童只看错，因此满足， ∴代入得， 整理得， 联立得方程组， 解得：，， ∴． 【变式训练6-2】在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，解关于x，y的方程组即可解答． 【详解】解：把代入中可得：， 解得， 把代入中可得，， 解得：． 【变式训练6-3】下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程，得③． 将方程代入，得：， 解得． 把代入，得． 方程组的解为 美美的做法： 由，得． 由，得， 解得． 把代入，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是__________；美美的消元方法是__________． (2)判断：__________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，请运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法；加减消元法 (2)美美，正确解答如下： ， 由，得， 由，得，解得， 把代入，得， 原方程组的解为． 【分析】（1）善善化简方程，得到，再代入消元解方程，属于代入消元法；美美将两个方程中的系数配平，再进行相加运算消去解方程，属于加减消元法． （2）美美在进行系数配平时等式右边的常数未乘，因此美美的解答过程有误． 【详解】（1）略 （2）略 题型7 含参方程组相同解问题 【例7】已知关于，的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）因为两个方程组有相同的解，所以这个解同时满足两个不含参数的方程和，将这两个方程联立组成新的方程组，求解即可得到相同的解． （2）把求得的相同解代入另外两个含参数的方程和，得到关于的二元一次方程组，求解该方程组即可得到的值． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与有相同的解， ∴联立方程组，得 ①②，得， 解得，              把代入①，得， 解得， ∴这两个方程组的相同解为； （2）解：把，代入方程组， 得， ④，得， 解得，       把代入④，得， 解得． 【变式训练7-1】已知关于，的二元一次方程组和的解相同，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组，利用加减消元的方法求出结果，再代入求出a，b的值，代入求出结果再求算术平方根． 【详解】解：由题可知，两个二元一次方程组的解也是方程组的解， 解方程组， 得：， 解得：， 将代入得：， 则方程组的解为， 把分别代入，， 得， 解得 ，         的算术平方根为． 【变式训练7-2】已知关于x，y的方程组的解也是关于x，y的方程组的解，求m，n的值． 【答案】， 【分析】根据同解的性质，先求出两个方程组公共的的解，再代入得到关于的方程组，用消元法求解即可． 【详解】解： 得 ， 将代入原方程组含参数的方程，得 ， 解得 ． 【变式训练7-3】已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】熟练掌握二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）根据题意组成新的方程组，求解即可； （2）把（1）中、的值代入另两个方程得到关于、的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意联立得， 解得， 即两个方程组相同的解是； （2）把代入方程和中， 得， 解得， ∴． 题型8 含参不等式与方程组结合的问题 【例8】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则的值是（     ） A．3 B．2 C．1 D．-2 【答案】B 【分析】利用二元一次方程组的解的定义，将解代入原方程，依次求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵ 二元一次方程组的解是， ∴ 将，代入方程得： ， 解得， 再将，代入方程得： ， 解得， ∴. 【变式训练8-1】小明解出了关于的二元一次方程组的解为因不小心，有两处被污染，则“”和“”代表的数分别是（     ） A．17，9 B．22，9 C．14，6 D．18，6 【答案】A 【分析】先利用方程组的解满足方程的性质，先求，再求即可． 【详解】解：把代入，得，解得，即； 把，代入，得． 【变式训练8-2】已知关于x，y的方程组的解满足，则n的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先联立不含的两个方程求出的值，再代入含的方程求解． 【详解】解：联立 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∴， ∴ ． 【变式训练8-3】已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 1．若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 即， 解得． 2．若方程组的解为，则的值为（   　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 得，， ∴． 3．关于x的不等式组，下列五个结论： ①若不等式的解集是，则不等式的解集是； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是； ③若不等式组仅有5个整数解，则； ④若不等式组无解，则； ⑤当时，不等式组有解． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】先将不等式组的解集用含参数的式子表示，再结合各结论的条件建立关于的等式或不等式求解判断． 【详解】解：不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ①若不等式的解集是， ， 解得：， 将代入得：， 解得：， 故①正确； ②不等式组的解集中任意都在范围内， ， 解得：，与结论中不符， 故②错误； ③不等式组仅有5个整数解，且， 整数解为4，3，2，1，0， ， 解得：， 故③正确； ④不等式组无解， ， 解得：， 故④正确； ⑤当时，，此时不等式组解集为且，无解， 故⑤错误； 综上所述，正确的结论为①③④． 4．不等式的负整数解仅有、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出不等式的解集，再根据已知的负整数解确定参数的范围，注意端点的取舍． 【详解】解：， ， 负整数解仅有，，，即大于等于的负整数只有这三个，不是解， ， ． 5．如果关于的不等式组仅有四个整数解：，，，，那么满足这个不等式组的整数，组成的有序数对最多共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先解不等式组得到解集，再根据已知的四个整数解确定和的取值范围，找出范围内的整数，计算有序数对的个数即可． 【详解】解不等式组： 解不等式得；解不等式得； ∴不等式组的解集为 ∵不等式组仅有四个整数解，，，， ∴，， 解不等式，得， ∵是整数， ∴的取值为，，，共个， 解不等式，得， ∵是整数， ∴的取值为，，共个， ∴有序数对共有个． 6．已知关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】先解一元一次不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组有正整数解确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和，得到正确选项． 【详解】解：解不等式， 去分母得， 整理得， ． 解不等式得． 不等式组的解集为， ． 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 整理得， 解得． 将代入，得． 方程组的解为正整数，且为整数， 是的正因数， 的正因数有． 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时均为正整数； 当时，，满足条件，此时均为正整数． 所有满足条件的整数的和为． 7．定义：若一元一次方程的整数解恰好在一元一次不等式组解集的范围内，则称该未知数的值为该方程与不等式组的“共鸣值”，并称该一元一次方程为该不等式组的“共振方程”．例如：一元一次方程的解为；一元一次不等式组的解集为，可以发现方程的解在的范围内，且2是一个整数，所以称是该方程与不等式组的“共鸣值”，方程是不等式组的“共振方程”． 问题解决： (1)一元一次方程①，②中，其中 （填序号）的解是不等式组的“共鸣值”； (2)若关于x的方程的解是该方程与不等式组的“共鸣值”，求k的值； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“共振方程”，试求a的取值范围． 【答案】(1)② (2)k值为 (3)a的取值范围为 【分析】（1）先分别求出两个方程的解，再算出不等式组的解集，判断方程的解是否在不等式组解集内，选出符合“共鸣值”定义的序号； （2）先求解不等式组得到解集范围，再解含参数方程，结合题意方程的解在此解集里并且是整数，确定取值，最后代回方程算出； （3）先求出两个方程的解，再化简不等式组得到用表示的解集，依据两个解都在不等式解集之内列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】（1）解：①，解得， ②，解得， 不等式组，解得， ， ②的解是不等式组的“共鸣值”； （2）解：不等式组， ①两边同时乘以得，解得， ②两边同时乘以得，解得， 故原不等式组的解集为， 关于x的方程的解在范围内且是整数， ， 把代入得，解得； （3）解：方程，解得， 方程，解得， 不等式组，解得， 和都在范围内， ，解得． 8．我们定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“崇善向上方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“崇善向上方程”． (1)在方程①，②；③中，不等式组的“崇善向上方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“崇善向上方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“崇善向上方程”，且此时不等式组有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出方程①②③的解及不等式组的解，然后根据“崇善向上方程”的定义进行判断即可； （2）由方程可得，然后根据“崇善向上方程”的定义可知，进而求解即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有个整数解，即可得出，然后求出方程的解为，根据“崇善向上方程”的定义得出，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①解方程得：； ②解方程得：； ③解方程得：， 由不等式组，解得：； 根据“崇善向上方程”的定义可知：方程满足题意； （2）解：由方程，解得， 由不等式组，解得； ∵方程是不等式组的“崇善向上方程”， ∴， 解得； （3）解：关于的方程，解得， ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组有个整数解， ∴整数解的值为，，，， ∴， 解得， ∵关于的方程是关于的不等式组的“崇善向上方程”， ∴，解得． 综上所述：的取值范围为． 9．【阅读材料】： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解题思想一：“消元” ， ① （用含的代数式表示）， ． ，，即 ② ． 又，． 解题思想二：“配凑” 上式三边先同时乘2，得 ③ ， 再同时加1，得， 的取值范围是． (1)【完善材料】材料中①为________，②为________，③为________； (2)【方法应用】若，且，，请确定的取值范围； (3)【拓展提升】若（是大于3的整数），且，，当的取值范围内恰有16个整数时，则的值为_____________． 【答案】(1)① ；；③； (2)； (3)8 【分析】（1）根据材料中的解题思路和不等式的性质来确定①、②、③的值； （2）根据材料中的解题思想，通过消元法、配凑法确定的取值范围； （3）根据已知条件，通过消元表示出，再根据的取值范围内恰有个整数来确定n的值． 【详解】（1）解：解题思想一：“消元” ，（用含y的代数式表示）， ，即， 又∵， ， 解题思想二：“配凑”上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． （2）解：∵， ， ， ， 即， 又∵， ， ， ，即， ∴的取值范围是； （3）解：∵， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ∴的取值范围是， ∵的取值范围内恰有个整数，且是大于3的整数， ． 10．定义：对于一个一元一次方程和一个一元一次不等式组，若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“子方程”． (1)方程_____________（填“是”或“不是”）不等式组的“子方程”； (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组（）的“子方程”，求的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再根据“子方程”的定义进行判断即可； （2）解不等式组求得其解集，解方程求出，根据“子方程”的定义列出关于的不等式组，解之即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程，得：， 解不等式组，得：， ∵在范围内， ∴方程是不等式组的“子方程”； （2）解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为， 解关于的方程，得， ∵关于的方程是不等式组的“子方程”， ∴， 解得， ∴的取值范围是； （3）解：解方程，得， 解方程，得， 解关于的不等式组，得， 方程，都是关于的不等式组的“子方程”， ， 解得， 的取值范围是． 11．当时，若关于的不等式组的解集为，规定：为此不等式组的一次中点解集，为此不等式组的二次中点解集．如不等式组的解集为，则为其一次中点解集，为其二次中点解集． (1)不等式组的二次中点解集是__________，二次中点解集中包含的整数解为__________； (2)已知关于的不等式组的一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据二次中点解集定义即可得出二次中点解集，最后求出这个解集的整数解即可； （2）先求出不等式组的解集为，再根据一次中点解集和二次中点解集的定义得出一次中点解集和二次中点解集，根据一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解分别求出的取值范围，最后求出两个取值范围的公共部分即可得出答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的二次中点解集是，即， ∴二次中点解集中包含的整数解为． （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的一次中点解集为，即， ∵一次中点解集中有且仅有个整数解， ∴整数解为，，， ∴， 解得：， 原不等式组的二次中点解集为，即， ∵二次中点解集中有且仅有个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 12．对定义一种新运算，规定，其中是非零常数，等式右边是通常的四则运算． 如：，． (1)填空：________；（用含的代数式表示） (2)已知且． ①求的值； ②若关于的不等式组恰好有三个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）①根据新定义可得，解之即可得到答案； ②先求出，，进而解不等式组，再根据不等式组只有三个整数解进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴， 又∵， 联立， 解得：； ②∵， ， ∴原不等式组可化为， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组恰好有三个整数解， ∴； 解得：． 13．定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该一元一次不等式组的子方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程是不等式组的子方程．请根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)在方程①，②，③中，不等式组的子方程是________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的一个子方程，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的子方程，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据定义可得答案； （2）求出方程的解和不等式组的解集，再根据定义得到关于a的不等式，解之即可得到答案； （3）求出两个方程的解和不等式组的解集，再根据定义得到关于m的不等式组，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， 解方程得； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵， ∴只有方程是不等式组的子方程； （2）解：解方程得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的方程是不等式组的一个子方程， ∴， 解得； （3）解：解方程得， 解方程得； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵方程，都是关于的不等式组的子方程， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点03 方程组与不等式组参数和最值问题专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 不等式与不等式组解题基本步骤 知识点二 不等式与不等式组应用题主要涉及的公式 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 已知二元一次方程组的解求参数 题型2 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型3 由一元一次不等式组的解集求参数 题型4 由不等式组的解集的情况求参数 题型5 求一元一次不等式解的最值 题型6 含参二元一次方程组错解复原问题 题型7 含参方程组相同解问题 题型8 含参不等式与方程组结合的问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 含参二元一次方程组基础题型：涵盖解的关系判定（解相等、互为相反数、解满足另一方程）、同解方程组、错解还原、解的符号限定（解为正数、非负数、正整数）四大类，核心考查含参消元运算与等量关系构建。 · 含参一元一次不等式（组）核心题型：包含已知解集反求参数、有解 / 无解条件判定、整数解个数限定、解的符号类四大方向，重点考查解集口诀的逆向应用与边界值判断。 · 方程组与不等式组综合参数问题：以含参二元一次方程组为基础，结合解的不等关系构建不等式（组），求解参数取值范围或整数解，是本专题中档与压轴题的核心考查形式。 · 核心思想与方法：考查代入 / 加减消元的含参运算能力、分类讨论思想（含参系数正负判定）、数形结合（数轴辅助判断解集边界）、端点值验证方法，侧重逻辑严谨性与抽象运算能力。 · 特殊解筛选应用：结合 “正整数解、非负整数解、参数为整数” 等限定条件，从参数取值范围中筛选符合要求的具体值或最值，是区分度题型的高频考点。 · 基础命题：以单一模块独立考查为主，如单独考查含参方程组求参数值、不等式组已知解集求参数，多以选择题、填空题形式出现，题干条件清晰，侧重基础运算与公式法则的直接应用，难度偏低。 · 综合命题：以 “方程组 + 不等式组” 的复合形式为核心，将解的符号、整数解个数等条件结合，设置多步推导，考查综合运算与逻辑推理能力，常以填空压轴、解答题中档题形式呈现。 · 素养命题：侧重设置端点陷阱、分类讨论场景，融入开放性设问（如 “有解时参数的最大整数值”“所有整数解的和”），弱化套路化解题，突出逻辑严谨性、抽象思维与数形结合素养，贴合中考代数压轴小题的命题趋势。 考情解码： · 模块地位：本专题是七年级下册代数核心重难点，是方程与不等式模块的能力升级内容，承接基础运算，培养字母运算与抽象逻辑思维，也是后续函数参数问题、代数综合题的重要基础，属于初中代数的核心区分度模块。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，常以选择填空压轴题、解答题压轴小问形式出现，分值占比 8%–12%；中考中多作为选择填空压轴题或方程综合题的子问题考查，是拉开分数梯队的经典题型。 · 高频考法：不等式组整数解个数问题、有解 / 无解判定、方程组解的符号结合不等式求范围，三类题型考查频次最高；同解方程组、错解还原常作为基础中档题出现；综合类参数范围 + 整数筛选是压轴题的主流考法。 · 失分规律：端点值未验证导致范围多取 / 漏取、含参不等式系数正负未分类讨论、含参方程组消元计算失误、忽略 “整数解” 等隐含限制条件，是四大核心失分点；其中边界判断与分类讨论的严谨性，是区分学生代数能力的关键。 知识点一 方程组与不等式组参数问题解题基本步骤 （1）定：明确主元与参数，通常将x、y等作为方程/不等式的未知数（主元），将a、m、k等字母当作常数（参数），确定求解目标是参数的取值或范围； （2）解：把参数视为已知数，正常求解方程组或不等式（组），用含参数的代数式表示出未知数的解，或不等式的解集； （3）建：根据题目给出的限定条件（解相等、解为正整数、解集边界、有解/无解等），建立关于参数的方程或新的不等式（组）； （4）求：求解新建的方程或不等式（组），得到参数的初步取值或取值范围； （5）验：验证参数的临界值、端点值是否符合题意，排除增解、漏解，确认最终结果符合题目所有限制条件。 知识点二 二元一次方程组参数问题核心题型与解法 （1）解的关系类（解相等、互为相反数、解满足另一方程） 核心解法：方法一，先解含参方程组，用参数表示x、y，再根据解的关系列方程求参数；方法二，将解的关系（如x=y）与原方程组中不含参数的方程联立，先求出x、y的具体值，再代回含参方程求参数。 （2）解的符号类（解为正数、非负数、正整数） 核心解法：用参数表示出方程组的解x、y，根据符号要求（x>0，y≥0等）列出关于参数的不等式组，求解得到参数的取值范围；正整数解需额外筛选参数的整数值。 （3）同解方程组类 核心解法：先求解两个方程组中不含参数的方程组，得到公共解，再将公共解代入含参数的方程组，联立求解得到参数的值。 （4）错解还原类 核心解法：将正确的解代入无计算错误的方程，将错解代入看错系数的方程，得到两个关于参数的等式，联立求解参数。 知识点三 一元一次不等式（组）参数问题核心题型与解法 （1）已知解集求参数 核心解法：根据“同大取大、同小取小”的解集法则，令解集的边界值相等，建立关于参数的方程求解；求解后必须验证端点等号是否成立，避免范围出错。 （2）有解/无解判定类 核心解法：根据“大小小大中间找（有解）、大大小小找不到（无解）”的口诀，对比两个不等式的解集边界，列出关于参数的不等式；临界值需单独代入验证是否符合有解/无解要求。 （3）整数解个数类 核心解法：先确定不等式（组）的固定解集范围，再根据整数解的个数锁定具体整数解，通过“左边界<参数≤右边界”的区间限定参数范围，端点逐一验证取舍。 （4）解的符号类 核心解法：解含参不等式，用参数表示出未知数的解集，根据“解为正、解为非负、无解为负”等要求，列出关于参数的不等式求解；注意系数含参数时，需讨论系数正负对不等号方向的影响。 知识点四 方程组与不等式组综合参数问题解题逻辑 （1）前置运算：以参数为常数，先求解二元一次方程组，用含参数的代数式表示出x、y的解； （2）条件转化：将题目中“解满足不等式”“解为正整数”“解的和大于0”等条件，转化为关于参数的一元一次不等式或不等式组； （3）范围求解：解关于参数的不等式（组），得到参数的基础取值范围； （4）结果筛选：结合参数的整数限制、最值要求、隐含条件等，从取值范围中筛选出符合题意的最终结果。 知识点五 参数问题高频易错点与检验要点 （1）主元混淆：错将参数当作未知数求解，偏离解题目标；需始终明确：求谁的范围，谁就是核心求解对象，其余字母按常数处理。 （2）端点失误：解集边界、整数解区间的端点值未验证，导致参数范围多取或漏取；所有临界值必须代回原题验证是否符合要求。 （3）变号遗漏：解含参数的不等式时，未知数系数含参数且正负未知时，未分类讨论，直接除后不等号方向出错。 （4）条件漏用：忽略“正整数解”“非负整数”“参数为整数”等隐含限制，导致结果范围过大，未筛选有效解。 （5）逻辑倒置：已知解集反推参数时，错误套用解集口诀，导致参数的不等关系写反，可结合数轴辅助判断边界位置。 【例1】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 【变式训练1-1】已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是（     ） A． B．2 C．3 D． 【变式训练1-2】小敏解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数，则和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1-3】若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例2】已知关于的方程组，则下列结论中正确的有（     ） ①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，； ③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2-1】若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（     ） A．3 B．2 C． D．0 【变式训练2-2】关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】若方程组的解满足，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型3 由一元一次不等式组的解集求参数 【例3】若关于的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（     ） A．25 B．26 C．27 D．28 【变式训练3-1】如果不等式组的解集为，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】若不等式组的解集为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型4 由不等式组的解集的情况求参数 【例4】已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】一元一次不等式组有且仅有两个整数解则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】不等式组有3个整数解，则t的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】若关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型5 求一元一次不等式解的最值 【例5】已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练5-1】现引入一种新的运算符号“”，规定：，若，则的最大值是_________． 【变式训练5-2】设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程，，，的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？ 【变式训练5-3】已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 题型6 含参二元一次方程组错解复原问题 【例6】在解关于，的方程组时，甲看错了①中的，解得；乙看错了②中的，解得．则正确的方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【变式训练6-2】在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程，得③． 将方程代入，得：， 解得． 把代入，得． 方程组的解为 美美的做法： 由，得． 由，得， 解得． 把代入，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是__________；美美的消元方法是__________． (2)判断：__________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，请运用该同学的消元方法进行正确解答． 题型7 含参方程组相同解问题 【例7】已知关于，的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求，的值． 【变式训练7-1】已知关于，的二元一次方程组和的解相同，求的算术平方根． 【变式训练7-2】已知关于x，y的方程组的解也是关于x，y的方程组的解，求m，n的值． 【变式训练7-3】已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 题型8 含参不等式与方程组结合的问题 【例8】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则的值是（     ） A．3 B．2 C．1 D．-2 【变式训练8-1】小明解出了关于的二元一次方程组的解为因不小心，有两处被污染，则“”和“”代表的数分别是（     ） A．17，9 B．22，9 C．14，6 D．18，6 【变式训练8-2】已知关于x，y的方程组的解满足，则n的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练8-3】已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 1．若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 2．若方程组的解为，则的值为（   　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．关于x的不等式组，下列五个结论： ①若不等式的解集是，则不等式的解集是； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是； ③若不等式组仅有5个整数解，则； ④若不等式组无解，则； ⑤当时，不等式组有解． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④ D．①③④ 4．不等式的负整数解仅有、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．如果关于的不等式组仅有四个整数解：，，，，那么满足这个不等式组的整数，组成的有序数对最多共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．已知关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 7．定义：若一元一次方程的整数解恰好在一元一次不等式组解集的范围内，则称该未知数的值为该方程与不等式组的“共鸣值”，并称该一元一次方程为该不等式组的“共振方程”．例如：一元一次方程的解为；一元一次不等式组的解集为，可以发现方程的解在的范围内，且2是一个整数，所以称是该方程与不等式组的“共鸣值”，方程是不等式组的“共振方程”． 问题解决： (1)一元一次方程①，②中，其中 （填序号）的解是不等式组的“共鸣值”； (2)若关于x的方程的解是该方程与不等式组的“共鸣值”，求k的值； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“共振方程”，试求a的取值范围． 8．我们定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“崇善向上方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“崇善向上方程”． (1)在方程①，②；③中，不等式组的“崇善向上方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“崇善向上方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“崇善向上方程”，且此时不等式组有个整数解，求的取值范围． 9．【阅读材料】： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解题思想一：“消元” ， ① （用含的代数式表示）， ． ，，即 ② ． 又，． 解题思想二：“配凑” 上式三边先同时乘2，得 ③ ， 再同时加1，得， 的取值范围是． (1)【完善材料】材料中①为________，②为________，③为________； (2)【方法应用】若，且，，请确定的取值范围； (3)【拓展提升】若（是大于3的整数），且，，当的取值范围内恰有16个整数时，则的值为_____________． 10．定义：对于一个一元一次方程和一个一元一次不等式组，若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“子方程”． (1)方程_____________（填“是”或“不是”）不等式组的“子方程”； (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组（）的“子方程”，求的取值范围． 11．当时，若关于的不等式组的解集为，规定：为此不等式组的一次中点解集，为此不等式组的二次中点解集．如不等式组的解集为，则为其一次中点解集，为其二次中点解集． (1)不等式组的二次中点解集是__________，二次中点解集中包含的整数解为__________； (2)已知关于的不等式组的一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解，求的取值范围． 12．对定义一种新运算，规定，其中是非零常数，等式右边是通常的四则运算． 如：，． (1)填空：________；（用含的代数式表示） (2)已知且． ①求的值； ②若关于的不等式组恰好有三个整数解，求的取值范围． 13．定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该一元一次不等式组的子方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程是不等式组的子方程．请根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)在方程①，②，③中，不等式组的子方程是________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的一个子方程，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的子方程，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $