11.1不等式(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

11.1不等式 板块一：知识精讲 1．不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2．不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 3．不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 4．在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 板块二：典题精练 一、单选题 1．已知＞，下列不等式中错误的是（    ） A．x＋10＞y＋10 B．x－2＞y－2 C．3x＞3y D．－5x＞－5y 2．已知实数，满足，则下列选项错误的是( ) A． B． C． D． 3．设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么下列式子成立的是（   ） A．■＝2×● B．■＞2×● C．■＜2×● D．■＞3×● 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，下列不等式中错误的是（       ） A． B． C． D． 7．下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 8．5月某日，我市最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知a＜b，下列不等式成立的是（　　） A．a+2＜b+1 B．a﹣3＞b﹣2 C．﹣a＞﹣b D．am2＜bm2 二、填空题 10．叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k 1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）． 11．用“＜”或“＞”填空： (1)若a－2＞b－2，则a b；     (2)若，则a b； (3)若－4a＞－4b，则a b；     (4)若，则a b． 12．有下列各数：0，，4，，，，． 其中 是不等式的解； 是不等式的解． 13．已知点在第二象限，则点在第 象限． 三、解答题 14．指出下列各式成立的条件： (1)由mx<n，得x<； (2)由a<b，得ma>mb； (3)由a>－5，得a2≤－5a； (4)由3x>4y，得3x－m>4y－m. 15．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题： （1）比较与的大小； （2）若，比较a、b的大小． 16．已知关于的不等式，两边同除以，得，试化简：． 17．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集． （1）； （2）． 18．王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元，后来他以每只 的价格把羊全部卖掉了．如果a＜b，那么王老伯是赚钱了还是赔钱了？为什么？ 19．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分，根据以上信息回答下列问题： (1)的小数部分为______，的小数部分为______； (2)若m是的整数部分，n是小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，请直接写出的平方根． 20．用等号或不等号填空： （1）比较2x与x2+1的大小： 当x=2时，2x　　 x2+1 当x=1时，2x　　 x2+1 当x=﹣1时，2x　　 x2+1 （2）任选取几个x的值，计算并比较2x与x2+1的大小； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据不等式的基本性质判断求解即可． 【详解】解：A、∵＞，∴x＋10＞y＋10，此选项正确，不符合题意； B、∵＞，∴x－2＞y－2，此选项正确，不符合题意； C、∵＞，∴3x＞3y，此选项正确，不符合题意； D、∵＞，∴－5x＜－5y，此选项错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，解答的关键是熟练掌握不等式的基本性质：①不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变； ③不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 2．D 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：， ， A．， ，故本选项不符合题意； B．， ，故本选项不符合题意； C．， ， ，故本选项不符合题意； D．， ，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 3．B 【分析】设▲、●、■分别表示三种不同物体的质量分别为x，y，z，根据题意列出不等式，判断即可． 【详解】解：▲、●、■分别表示三种不同物体的质量分别为x，y，z， 根据题意得：z＋x＞2x，即z＞x；x＋y＝3y，即x＝2y， ∴z＞2y， 即■＞2×●， 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键． 4．D 【分析】根据不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质．熟记不等式的性质，并能正确运用是解题关键． 5．A 【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、不等式的两边都加6，则，故成立，符合题意； B、不等式的两边都乘以，则，故不成立，不合题意； C、不等式的两边都乘以，则，故不成立，不合题意； D、不等式的两边都减，则，故不成立，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6．D 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】A．∵，∴，正确； B．∵，∴，正确；     C．∵，∴，正确； D．∵，∴，故不正确； 故选D． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 7．D 【分析】利用不等式的性质判断即可． 【详解】解：A．由，得；故本选项不符合题意； B．由，得，故本选项不符合题意； C．由，，得，故本选项不符合题意； D．由，得，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 8．D 【分析】根据最高气温、最低气温，可得答案． 【详解】解：最高气温是，最低气温是，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的定义，利用不等号连接的式子是不等式． 9．C 【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A、∵a＜b， ∴a+2＜b+2， 故选项不符合题意； B、∵a＜b， ∴a﹣3＜b﹣3， 故选项不符合题意； C、∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b， 故选项符合题意； D、∵a＜b， ∴am2＜bm2（m≠0）， 故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 10． > 1.27 【分析】根据叶面的面积<矩形的面积，即S=，可求k>1；根据和，列出方程，求出k即可． 【详解】解：∵叶面的面积<矩形的面积，即S<ab ∴S= ∴k>1， ∵ ∴ ∴ 故答案为：>，1.27． 【点睛】本题考查了数据的处理和应用，涉及不等式的性质，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关键． 11． ＞ ＜ ＜ ＞ 【详解】根据不等式的性质可得： (1)根据不等式两边同时加上2，不等号的方向不改变，故a>b; (2) 根据不等式两边同时乘2，不等号的方向不改变，故a<b; (3) 根据不等式两边同时-4，不等号的方向改变，故a<b; (4) 根据不等式两边同时乘-2，不等号的方向改变，故a>b; 故答案是：(1). ＞    (2). ＜    (3). ＜    (4). ＞ 12． 6.0，4，，， 【解析】略 13．四 【分析】根据第二象限点的性质，可以列出不等式，解出x，y的解集，利用解集判断B点在哪个象限即可. 【详解】∵在第二象限， ∴，, ∴，， ∴，， ∴点B在第四象限． 故答案为：四 【点睛】此题主要考查了象限内点的性质，灵活运用不等式的解集判断其他多项式的符号是解题的关键. 14．(1)m>0；(2)m<0；(3)－5<a≤0；(4)m为任意实数． 【详解】试题分析：根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 试题解析：解：(1)由mx＜n，得x＜，两边同除以m，不等号方向不变，∴m＞0； (2)由a＜b，得ma＞mb，两边同乘以m，不等号方向发生改变，∴m＜0； (3)由a＞－5，得a2≤－5a，两边同乘以a，不等号方向不变，∴-5<a≤0； (4)由3x＞4y，得3x－m＞4y－m，两边同时减去m，不等号方向不变，m为任意实数． 点睛：本题考查了不等式的性质，注意不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 15．（1）；（2） 【分析】（1）直接用减去得出的结果与0进行比较即可得到答案； （2）直接解不等式即可. 【详解】解：（1）， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式的减法运算，解不等式，不等式的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 16．-1 【分析】首先根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得，所以；然后判断出的正负，求出的值是多少即可． 【详解】解：因为，两边同除以，得， 所以，， 所以， 所以 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是判断出． 17．（1）x＞－2（2）x≤3 【详解】（1）根据不等式的性质1，得，所以x＞－2．这个不等式的解集在数轴上表示如图（1）所示． （2）根据不等式的性质2，得x≤6－x，根据不等式的性质1，得x＋x≤6，即2x≤6，根据不等式的性质2，得x≤3．这个不等式的解集在数轴上表示如图（2）所示． 18．王老伯赚钱了. 【分析】分别求得8只羊的总进价以及总售价，利用不等式的性质比较即可． 【详解】王老伯赚钱了.理由如下： 因为先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元， 所以王老伯买羊共花费（5a＋3b）元. 而卖羊共收入×8＝（4a＋4b）元. 因为a＜b， 所以a＋（4a＋3b）＜b＋（4a＋3b）， 即5a＋3b＜4a＋4b，故王老伯赚钱了. 【点睛】计算盈亏应比较总进价和总售价，得到8只羊的总进价和总售价是解决本题的关键；用到的知识点为：在不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变． 19．(1)， (2)3 (3) 【分析】（1）由得到的小数部分为，由得到，则，即可得的小数部分为； （2）由，m是的整数部分，则．由，n是的小数部分得到．即可得到的值； （3）先求出，根据，其中是整数，，得到，得到，根据平方根的定义得到答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的小数部分为； 故答案为：， （2）∵，m是的整数部分， ∴． ∵，n是的小数部分， ∴． ∴， ∴的值为3． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中是整数， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 20．（1）＜，=，＜；（2）当x=3时，2x＜x2+1，当x=﹣2时，2x＜x2+1 【分析】（1）将x的值代入不等号两边的代数式中，比较大小即可得； （2）任选两个值，按照（1）中方法代入求值，然后比较大小即可得． 【详解】解：（1）比较2x与的大小： 当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 故答案为：，，； （2）当时，，， ∴； 当时，，， ∴． 【点睛】题目主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$