专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积专项训练（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积专项训练（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律 题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律 题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律 题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律 题型五 求规则图形的面积 题型六 求不规则图形的面积 题型七 根据图形的面积求点坐标 题型八 平面直角坐标系中面积综合 【经典例题一 平行于坐标轴运动的点坐标规律】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，右图是由左图平移后得到的图形，找几对特殊的对应点，分别写出它们的坐标，你能发现什么规律吗？ 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如下图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，⋯，顶点依次用表示． (1)请直接写出点的坐标． (2)根据规律，求出点的坐标． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一点从开始按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示．根据规律，解决下列问题． （1）填写下列各点的坐标： 点（___，___）， 点（___，___）， 点（___，___）， …… 点的坐标为_________． （2）指出从点到点的移动方向：_________． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 5．（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 6．（2025·安徽铜陵·三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案． 图形 图1 图2 图3 图4 ．．． 小正方形的个数 6 12 20 ．．． (1)观察以上图形，完成表格； (2)将图如图放置到平面直角坐标系中，则点的坐标是________； (3)不难发现点，，，，，在同一直线上，连接，利用面积法求图需要小正方形的个数． 【经典例题二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第100次跳动至点的坐标是 ．根据规律，请写出的坐标． 2．（2025·安徽阜阳·三模）【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律： ，，，，，…． 【归纳·应用】 (1)直接写出点的坐标为______；点的坐标为______； (2)若点的坐标为，求n的值． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，，…，，构成形如“7”的图形，阴影部分的面积分别为，，，…． 根据以上规律，解决下列问题： (1)______，______（用含的式子表示）． (2)计算：． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【经典例题三 平面直角坐标系中图形变换运动规律】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图为某公园的示意图．    (1)以虎山为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴在图中建立直角坐标系，并写出各景点的坐标； (2)若以猴园为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴建立直角坐标系，并写出各景点的坐标； (3)比较（1）（2）中各景点的坐标，你发现了什么规律？ 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的顶点均在小正方形的格点上且．三角形平移后得到三角形，且点A、B、O的对应点分别是点，点O的坐标为，点的坐标为．请你分析平移规律，并写出点的坐标． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 4．（2025·安徽宿州·一模）【观察思考】 如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，设大等腰直角三角形图案在轴上的直角顶点分别为，，，…，． 【规律发现】 （1）填空：点的横坐标为______，点的横坐标为______． （2）直接写出点的横坐标（用含的式子表示）． 【规律应用】 （3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长． 5．（24-25七年级下·广东潮州·期中）综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 6．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，． （1）如图1，求点，的坐标及四边形的面积；             图1 （2）如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由； （3）如图2，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．             图2 （4）在坐标平面内是否存在点，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标的规律；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律】 1．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，每个小方格边长为1个单位长度，已知点，，，，，，，，… (1)将图中的平面直角坐标系补画完整； (2)按此规律，请直接写出点和的坐标：_____________，：_______________． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行的规律是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从点到点的爬行路线记为，从点到点的爬行路线记为，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)填空：（（__________，________），_______（，________）． (2)若甲虫从点开始，爬行路线依次为，，，最终到达点处．请在图中标出甲虫的爬行路线示意图及最终点P的位置． 4．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成． (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是＿＿＿＿，的坐标是＿＿＿． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿＿． 5．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 6．（24-25七年级下·山东青岛·期末）在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点的坐标分别为，按照这个规律解决下列问题： 写出点的坐标； 点的位置在_____________填“x轴上方”“x轴下方”或“x轴上”； 试写出点的坐标是正整数． 【经典例题五 求规则图形的面积】 1．（24-25八年级·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 2．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 4．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点）的顶点B，C的坐标分别是，． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在（1）中所画的平面点角坐标系中，若y轴上的点P满足三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，，点A的坐标为 (1)填空：点B的坐标为 ； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当时，若在y轴上是否存在点Q，使得的面积与的面积相等，请求出点Q的坐标． 6．（24-25七年级下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD，得到四边形ABDC． （1）写出点C，D的坐标，并求出AOC的面积； （2）点B左侧的x轴上有一点F，使得DFC的面积是DFB面积的2倍，请求出点F的坐标； （3）点B右侧的x轴上是否也存在点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 求不规则图形的面积】 1．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践 【问题背景】 在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）求的面积． 【解决问题】 （2）若，，，求四边形的面积． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标． 【拓展延伸】 （4） 在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且． (1)直接写出，的值和三角形的面积； (2)设与轴交于点，求三角形的面积； (3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值； (4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标． 4．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）已知是由经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：________，________，________． (2)在平面直角坐标系中画出平移后的，并求出的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以，，P三点为顶点的三角形的面积等于的面积？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，三点在同一条直线上，其中a、b、c满足关系式． (1)求a，b，c的值． (2)若点在y轴的正半轴上，请用含m的式子表示的面积． (3)如图2，直线交x轴于点，直线交y轴于点E，直线，过B、D分别作直线的垂线，垂足为F，G，且．点H在直线上，在第二象限中是否存在点H，使的面积等于面积的？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25七年级下·山西大同·期中）阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 【经典例题七 根据图形的面积求点坐标】 1．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级下·天津西青·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 3．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25七年级下·重庆大足·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，且a，b满足，连接． (1)请直接写出a，b的值； (2)若点满足的面积等于12，求点P的坐标； (3)如图2，动点C从点B出发，在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，动点D从点O出发，在x轴上以每秒2个单位的速度向右运动，若点C，D同时出发，当的面积等于面积的2倍时，请直接写出点C的坐标． 5．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，在直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式，，．    (1)求，，的值； (2)在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在第二象限内有一点，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． (1)填空：_____，点的坐标为_____； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且m，n满足，点到轴的距离为1，点在轴负半轴上，连接交轴于点，当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． (4)P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 【经典例题八 平面直角坐标系中面积综合】 1．（24-25七年级·江西南昌·月考）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“距面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“距面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“距面积”．根据所给解决下列问题： (1)若已知点、、，这3点的“距面积”_________； (2)若、、三点的“距面积”为12，求点F的坐标； (3)直接写出（2）中三点的“距面积”的最小值是_______． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积； (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速变为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，当点M到达点B时，整个运动随之结束，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若P是x轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点P的坐标． 4．（24-25七年级下·天津河西·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为，长方形，点，，．线段交轴于点，点是长方形边上的两个动点．点从点出发以每秒1个单位长度沿的路线做匀速运动，同时点也从点出发以每秒2个单位长度沿的路线做匀速运动．当点运动到点时，两动点均停止运动．设运动的时间为秒，三角形的面积记为，三角形的面积记为，四边形的面积记为．    (1)当时，求的值； (2)当为何值时，? (3)若，求的取值范围．（直接写出答案即可） 5．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，将平移至，点A对应点，点B对应点，点C对应点．    (1)画出平移后的，并写出和的坐标； (2)求的面积； (3)点P在y轴上，且的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 6．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 1．（24-25八年级上·重庆·周测）如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段将这8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京·期中）如图，平移折线AEB，得到折线CFD，则平移过程中扫过的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·全国·模拟预测）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 7．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，，，点C是第一象限内一点且轴，将线段经过一定的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接，，点P为y轴上一动点，当时，点P的坐标为______．（注：表示的面积）    8．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：，，，，，，，，，，，，，，…按这个规律，则是第________个点．    9．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，的坐标为，的坐标为，，的坐标为，的坐标为，的坐标为，，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为，覆盖的整点的个数记为，面积的值记为，覆盖的整点的个数记为，面积的值记为，；则_____．【提示：】 10．（24-25七年级下·天津南开·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点重合）．则点的坐标为___________． 11．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，平移线段，点的对应点为点，点的对应点为，且轴． (1)若，分别求出点C和点D的坐标； (2)试探究：的面积是否会随a的值的变化而变化，若不变，求出的面积，若改变，求面积的最小值． 12．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_____，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，当时，点是x轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 13．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)如图1，若点D为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点E，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (2)如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点G为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点G的横坐标的值（用含的式子表示）． 14．（24-25七年级下·上海·期末）如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出点，点的坐标； (2)若是轴上的一个动点，当三角形面积等于时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点． ①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积等于，直接写出点的坐标． 15．（24-25七年级下·广西南宁·期中）综合与实践： 问题背景： （1）已知，，，．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和中点、，然后写出它们的坐标，则______，______． 探究发现： （2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为______． 拓展应用： （3）利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积专项训练（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律 题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律 题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律 题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律 题型五 求规则图形的面积 题型六 求不规则图形的面积 题型七 根据图形的面积求点坐标 题型八 平面直角坐标系中面积综合 【经典例题一 平行于坐标轴运动的点坐标规律】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，右图是由左图平移后得到的图形，找几对特殊的对应点，分别写出它们的坐标，你能发现什么规律吗？ 【答案】它们的坐标分别是，，，，，，，．将图形向右平移9个单位长度后，平移后得到的各点的横坐标分别是它们的对应点的横坐标加9，纵坐标不变． 【分析】根据平移的性质，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）即可发现规律． 【详解】解：如图，点，，，分别是由点，，，平移后得到的，它们的坐标分别是，，，，，，，．可以发现，将图形向右平移9个单位长度后，平移后得到的各点的横坐标分别是它们的对应点的横坐标加9，纵坐标不变． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，解决本题的关键是掌握平移的性质． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如下图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，⋯，顶点依次用表示． (1)请直接写出点的坐标． (2)根据规律，求出点的坐标． 【答案】(1)． (2) 【分析】本题主要考查规律型：点的坐标，掌握图形与点坐标的特点是解题的关键． 根据正方形的性质找出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，，（n为自然数）”，依此即可得出结论． 【详解】（1）解：通过观察，可得：，，，. （2）观察发现，，，，，，，，，…， 所以，，为自然数． 因为， 所以点的坐标为． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一点从开始按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示．根据规律，解决下列问题． （1）填写下列各点的坐标： 点（___，___）， 点（___，___）， 点（___，___）， …… 点的坐标为_________． （2）指出从点到点的移动方向：_________． 【答案】（1），  ， ， ；（2）向右 【分析】本题考查同学们在平面直角坐标系中，循环问题的循环规律，通过奇偶性的不同来分别讨论，通过横纵坐标的不通规律分别讨论，最后通过坐标上两点间的距离求解． （1）通过图象，推理可得到的坐标情况，通过分析各个点的坐标，找到对应的规律，通过分别讨论每个点的横、纵坐标来总结规律； （2）根据（1）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得从点到点的移动方向． 【详解】解：（1）由图可知，、、、、、，……，，， 根据各点坐标的规律可知，n为偶数时，的横坐标为，n为奇数时，的横坐标为，n的纵坐标为4次一循环，循环顺序为→→0→0→， 为奇数， 点的横坐标为， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：，  ， ， ； （2）解：因为每四个点一个循环， 所以， 所以从点到点的移动方向是向右． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：． 又∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：． 由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 5．（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 【答案】(1)19 (2) (3) 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，图形规律探索，解题的关键是根据已知图形和点的坐标得出一般规律． （1）根据给出的图形找出一般规律，得出图⑤中，正方形的总数即可； （2）根据所给出的几个图形中大正方形个数和小正方形的个数规律，得出第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形； （3）根据点的坐标为，得出小正方形的对角线长为2，从而得出，，的坐标，总结得出一般规律，从而得出的坐标． 【详解】（1）解：观察图形可知，每增加一个大正方形，则增加3个小正方形，可得第5个图形中有6个大正方形，13个小正方形，共有19个正方形； （2）解：观察图形可知：第1个图形中有个大正方形，个小正方形，共有3个正方形； 第2个图形中有个大正方形，个小正方形，共有7个正方形； 第3个图形中有个大正方形，个小正方形，共有11个正方形； ……； 第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形． （3）解：观察图2，基础图形的交点的坐标为，则小正方形的对角线长为2， ∴的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， ……， 以此类推，则的坐标为； 6．（2025·安徽铜陵·三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案． 图形 图1 图2 图3 图4 ．．． 小正方形的个数 6 12 20 ．．． (1)观察以上图形，完成表格； (2)将图如图放置到平面直角坐标系中，则点的坐标是________； (3)不难发现点，，，，，在同一直线上，连接，利用面积法求图需要小正方形的个数． 【答案】(1)30 (2) (3)图需要小正方形的个数为个． 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现小正方形个数变化的规律是解题的关键． （1）观察前三个图，找到规律，即可求解； （2）观察前三个点的坐标，找到规律，即可求解； （3）根据图形，找到规律，即可求解． 【详解】（1）解：图1，小正方体的个， 图2，小正方体的个， 图3，小正方体的个， 图4，小正方体的个， 故答案为：30； （2）解：，，， 观察得到规律：每个点的横坐标是其角标的2倍，横坐标是其角标加2， ∴； 故答案为：； （3）解：如图， 图1，小正方体的面积，小正方体的个数6个， 图2，小正方体的面积，小正方体的个数12个， 图3，小正方体的面积，小正方体的个数20个， 图4，小正方体的面积，小正方体的个数30个， 图4，小正方体的面积，小正方体的个数个， 答：图需要小正方形的个数为个． 【经典例题二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第100次跳动至点的坐标是 ．根据规律，请写出的坐标． 【答案】， 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半； 第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半的相反数，纵坐标是次数加上1的一半，然后写出即可． 【详解】解∶ 观察发现，第1次跳动至点的坐标是， 第2次跳动至点的坐标是， 第3次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第5次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第7次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， … 第次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， ∴第100次跳动至点的坐标是，第2017次跳动至点的坐标是． 2．（2025·安徽阜阳·三模）【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律： ，，，，，…． 【归纳·应用】 (1)直接写出点的坐标为______；点的坐标为______； (2)若点的坐标为，求n的值． 【答案】(1)； (2)1012 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，以及坐标找规律，一元一次方程的应用，解题的关键在于通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）根据图形写出坐标即可； （2）根据题意得到，，，，依此类推得到，再根据点的坐标为建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，点的坐标为， 点的坐标为； 故答案为：；． （2）解：，，，，， 且，，，，依此类推， ，即， 点的坐标为， ，解得． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，，…，，构成形如“7”的图形，阴影部分的面积分别为，，，…． 根据以上规律，解决下列问题： (1)______，______（用含的式子表示）． (2)计算：． 【答案】(1)（或12）；（或） (2) 【分析】本题主要考查平面直角坐标中点的规律，整数的运算，有理数的混合运算 （1）根据点与阴影部分面积的计算可得（或），由此即可求解； （2）把面积的值代入，运用有理数的混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，，阴影部分的面积分别为，，， ∴（或）， ∴（或12） 故答案为：；． （2）解： ． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由见解析 【分析】本题考查点的坐标变化规律，得出坐标的变化规律是解题的关键． （1）观察坐标系中第四象限中的点的坐标特征，即可求解； （2）根据已知点的坐标特征得出，，进而即可求解； （3）根据（1）得出，进而代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，的坐标，， 故答案为：． （2）根据点，，，，…， 由此可得 ∵， ∴点的坐标为 （3）解：由，，，，…， ∴ 当 解得： 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律，进而得出答案； （2）结合（1）中发现规律得出一般公式即可． 【详解】（1）解：，，； 点横坐标为，纵坐标依次为：2，，， 的纵坐标为：， ， ，，， 点横坐标为0，纵坐标依次为：，，， 的纵坐标为：， ， 点的坐标为，点的坐标为； （2）（2）由（1）得出：，， 点的坐标是，的坐标是． 【点睛】此题考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律是解题关键． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)；理由见解析 【分析】本题考查了点的坐标规律，发现规律是关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：观察发现：点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ，， ，， 故答案为：①；②； （2）解：． 理由：由点的坐标的变化规律可知：横坐标依次增加1，纵坐标以3，0，，0为周期循环． ，，，为动点A在运动过程中的连续四点， ． 【经典例题三 平面直角坐标系中图形变换运动规律】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图为某公园的示意图．    (1)以虎山为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴在图中建立直角坐标系，并写出各景点的坐标； (2)若以猴园为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴建立直角坐标系，并写出各景点的坐标； (3)比较（1）（2）中各景点的坐标，你发现了什么规律？ 【答案】(1)直角坐标系见详解，虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园 (2)直角坐标系见详解，虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园 (3)（2）中各坐标的横坐标都比（1）中的各坐标的横坐标小3， （2）中各坐标的纵坐标都比（1）中的各坐标的纵坐标大1． 【分析】本题主要考查了建立直角坐标系，写出直角坐标系中点的坐标，以及点坐标规律探索． （1）以虎山为原点建立直角坐标系，根据图形可得出景点的坐标 （2）以猴园为原点建立直角坐标系，根据图形可得出景点的坐标 （3）根据（1）（2）中各景点的横、纵坐标的关系得出结果． 【详解】（1）解：按要求建立直角坐标系如下图所示：    由图可得虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园． （2）解：按要求建立直角坐标系如下图所示：    由图可得虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园． （3）解：（1）虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园 （2）虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园． 规律：（2）中各坐标的横坐标都比（1）中的各坐标的横坐标小3， （2）中各坐标的纵坐标都比（1）中的各坐标的纵坐标大1． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的顶点均在小正方形的格点上且．三角形平移后得到三角形，且点A、B、O的对应点分别是点，点O的坐标为，点的坐标为．请你分析平移规律，并写出点的坐标． 【答案】向右平移4个单位， 【分析】本题主要考查坐标的平移变换，熟练掌握平移的变换，“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据点O平移后坐标，可知三角形是向右平移4个单位长度后得到三角形，再根据平移得到即可． 【详解】∵点O的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴三角形是向右平移4个单位长度后得到三角形， ∵点， ∴点， 即点． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去n，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移n个单位长度． 【分析】（1）（2）根据平移的规律即可得出答案； （3）根据（1）（2）中画出的相应图形，由图形可以得到两幅图形的位置关系，从而找到相应的规律． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：示例：通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移个单位长度． 【点睛】本题考查坐标与图形性质，主要利用了点的位置的确定，几何图形的变化，能根据题意画出图案是解题的关键． 4．（2025·安徽宿州·一模）【观察思考】 如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，设大等腰直角三角形图案在轴上的直角顶点分别为，，，…，． 【规律发现】 （1）填空：点的横坐标为______，点的横坐标为______． （2）直接写出点的横坐标（用含的式子表示）． 【规律应用】 （3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长． 【答案】（1）11；16（2）（3） 【分析】本题主要考查了关于图形的规律问题，点的坐标，代数式的表示，图形的周期性等，解题的关键是找到图形排列的规律． （1）先根据条件求出，再确定两个在轴上的大等腰直角三角形顶点间的长度，即可求解； （2）利用规律推出公式即可； （3）按照图形规律，求出两个正方形之间的长度，根据周期性即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意可知，正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为， ,,,, ∴点的横坐标为11，点的横坐标为16， 故答案为：11，16； （2）点的横坐标为； （3）按照图形规律，可得第1个正方形出现的围墙长度为3m，后面则每5m长的围墙为1组，不断循环，每组只有1个正方形图案， ∴ 故围墙的总长为1003m． 5．（24-25七年级下·广东潮州·期中）综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 【答案】（），，，，； （），，验证见解析； （）；． 【分析】本题考查了坐标与图形，探索规律，解决本题的关键是通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，再根据中点坐标与线段两端点坐标的对应关系解决问题． （1）根据图形读出平面直角坐标系中点，，，，的坐标即可； （2）根据（1）线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，可得线段的中点是的横坐标、纵坐标分别是，；因为点，分别为，的中点，根据（1）中的规律验证即可； （3）根据点，，点是线段的中点，利用中的规律求出点的坐标即可； 设点的坐标为，根据规律可得：，，解方程即可求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知：点，，，，的坐标分别为：，，，，； （2）解：由（1）中的规律可知： 点的坐标是，点的坐标是， ，； 点，分别为，的中点，点，，，， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 通过点，的坐标的验证规律是正确的， 故答案为：，； 解：点，，点是线段的中点， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的坐标为是， 故答案为：； 解：设点的坐标为， 点N是线段的中点，且点，， ，， 解得：，， 点的坐标为． 6．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，． （1）如图1，求点，的坐标及四边形的面积；             图1 （2）如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由； （3）如图2，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．             图2 （4）在坐标平面内是否存在点，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标的规律；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）存在，或；（3）存在，或；（4）存在，的纵坐标总是4或．或者：点在平行于轴且与轴的距离等于4的两条直线上；或者：点在直线或直线上 【分析】（1）根据点的平移规律，即可得到对应点坐标； （2）由，可以得到，即可得到P点坐标； （3）由，可以得到，结合点C坐标，就可以求得点Q坐标； （4）由，可以AB边上的高的长度，从而得到点的坐标规律． 【详解】（1）∵点，点 ∴向上平移3个单位，再向右平移1个单位之后对应点坐标为，点 ∴ ∴ （2）存在，理由如下： ∵ 即：=12 ∴ ∴或 （3）存在，理由如下： ∵ 即： ∵ ∴ ∵ ∴或 （4）存在：理由如下： ∵ ∴ 设中，AB边上的高为h 则： ∴ ∴点在直线或直线上 【点睛】本题考查直角坐标系中点的坐标平移规律，由点到坐标轴的距离确定点坐标等知识点，根据相关内容解题是关键． 【经典例题四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律】 1．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，求一个数的算术平方根，找到纵坐标是横坐标的平方，是解题的关键； （1）根据规律直接写出点的坐标； （2）根据纵坐标是横坐标的平方写出点的坐标； （3）根据到轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：点，，，， ∴ （2）解：依题意，点的坐标为 （3）解：由（2）可得 ∴． 又∵为正整数， ∴ 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，每个小方格边长为1个单位长度，已知点，，，，，，，，… (1)将图中的平面直角坐标系补画完整； (2)按此规律，请直接写出点和的坐标：_____________，：_______________． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据点的坐标确定坐标轴即可； （2）根据图示及坐标系各象限横纵坐标符号特点即可得出答案； 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示，根据图示可知，， 故答案为：，. 【点睛】本题考查了点的坐标规律，找到规律是解题的关键． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行的规律是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从点到点的爬行路线记为，从点到点的爬行路线记为，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)填空：（（__________，________），_______（，________）． (2)若甲虫从点开始，爬行路线依次为，，，最终到达点处．请在图中标出甲虫的爬行路线示意图及最终点P的位置． 【答案】(1)，，D， (2)见解析 【分析】（1）根据方格中两点的位置关系，确定左右和上下移动的格数，从而得到相应的表示数. （2）根据给定的一系列数，在方格中描出爬行路线并确定最终位置.. 【详解】（1）解：：先向右移动3个单位，所以左右方向的数是+3， 再向下移动2个单位，所以上下方向的数是 ：先向右移动1个单位，所以左右方向的数是+1 再向下移动个单位，所以上下方向的数是 故答案为：，，D，. （2）解：甲虫从点开始，第一个爬行路线为：先向右1个单位，再向上3个单位； 接着(−1,+1)：先向左1个单位，再向上1个单位； 然后(+3,−5)：先向右移动3个单位，再向下移动5个单位； 最后：先向左4个单位，再向上2个单位，从而确定点P的位置. 4．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成． (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是＿＿＿＿，的坐标是＿＿＿． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿＿． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了坐标与图形性质、坐标点的规律变化，根据给定点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键． （1）根据点的变化，可找出点的坐标；同理可得出点的坐标； （2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点的坐标； 【详解】（1）解：， ； ， ． 故答案为：；． （2）， ； …， ． 故答案为：；． 5．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 【答案】(1)① ，② (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的规律探究，掌握通过分析点的坐标变化寻找规律的方法是解决问题的关键． （1）①分析运动次数与坐标的关系，找出、的坐标规律为横纵坐标相等，且都为下标的； ②由①发现的规律总结出的坐标； （2）先找出这些点的下标与序号之间的规律，再据此计算序号是第676个点的下标即可． 【详解】（1）解：，运动次数1； ，运动次数2； ，运动次数3； ，运动次数4； ，运动次数5； ，运动次数6； 可以发现，每3次运动为一组，每组的第三个点（即，为正整数）的坐标为， 对于，，解得，∴坐标为， 对于，，解得，∴坐标为 故答案为：，； ②由①的规律，当为不小于1的整数时，所以的坐标为． 故答案为：； （2）解：观察的编号： 第1个点的下标是， 第2个点的下标是， 第3个点的下标是， 由此可得，第个点的下标为， 要求第676个点的下标，即， 则． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·山东青岛·期末）在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点的坐标分别为，按照这个规律解决下列问题： 写出点的坐标； 点的位置在_____________填“x轴上方”“x轴下方”或“x轴上”； 试写出点的坐标是正整数． 【答案】，，，；轴上方； A（n-1,0）或或或 【分析】可根据点在图形中的位置及前4点坐标直接求解； 根据图形可知点的位置每4个数一个循环，，进而判断与的纵坐标相同在x轴上方，即可求解； 根据点的坐标规律可分4种情况分别写出坐标即可求解． 【详解】解：（1）由数轴可得：，，，； （2）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，， 与的纵坐标相同，在x轴上方， 故答案为：x轴上方； （3）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，每个点的横坐标为序数减1，纵坐标为0、1、0、-1循环， ∴点的坐标是正整数为A（n-1,0）或或或． 【点睛】本题主要考查找点的坐标规律，点的坐标的确定，方法，根据已知点的坐标及图形总结点坐标的变化规律，并运用规律解决问题是解题的关键． 【经典例题五 求规则图形的面积】 1．（24-25八年级·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解； （2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，． ∵点，，，， ∴，，，，， ∴ ． （2）解：设， ∵三角形的面积等于四边形面积的一半，， ∴， 解得：或， ∴或． 2．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点 (3)存在，点Q坐标为 或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、解一元一次方程、绝对值，（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用三角形面积公式计算即可． （2）设点，构建方程求出p的值即可． （3）如图，设交y轴于点N，设、，利用面积法求出点N的坐标，再利用面积法构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又，， ∴，， ∴，， 过点C作轴于点N， 点， ， ，， ∴， ∴． （2）解：设点． ∵， 解得或 ， 当时，与重合，不合题意，舍去， ∴点． （3）解：如图，连接，设交y轴于点N，设、， ∵， ， ， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q坐标为或． 3．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)18 (2)，证明见解析 (3)点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了点的坐标和三角形的面积，分类讨论是解决本题的关键思想． （1）由A、B、C三点的坐标求出线段和线段的长度，然后求的面积； （2）设点，然后求的面积，即可得到结论； （3）分情况讨论，点P在x轴上；点P在y轴上，设点P的坐标，然后求出对应的底和高列出与面积有关的方程求点P． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：猜想：．证明如下： ∵过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点， ∴设点， ∴， ∴； （3）解：如图1，当点P在x轴上时，设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 如图2，当点P在y轴上时，设， 则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 综上所述，使得的点P的坐标为或或或． 4．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点）的顶点B，C的坐标分别是，． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在（1）中所画的平面点角坐标系中，若y轴上的点P满足三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确建立正确的坐标系是解题的关键． （1）根据点B和点C的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系并求出点A的坐标即可； （2）利用割补法求解即可； （3）根据（2）所求得到三角形的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：坐标系如下图所示，则点A的坐标为； （2）解：由题意得，； （3）解：∵y轴上的点P满足三角形的面积是三角形的面积的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，，点A的坐标为 (1)填空：点B的坐标为 ； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当时，若在y轴上是否存在点Q，使得的面积与的面积相等，请求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，梯形的面积，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据平行于x轴的直线上的点的特征求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）当时，，的面积为，过M作于N，设交y轴于C，连接，，分别求出，，则可判断Q不在线段上，设，分两种情况讨论：①当Q在C的上方时，②当Q在N下方时，利用割补法表示出的面积，从而构建关于n的方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，，点A的坐标为，且B在A的右侧， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵在第三象限，，点A的坐标为，轴， ∴的面积为； （3）解：当时，，的面积为， 过M作轴于N，设交y轴于C，连接，，如图所示： 则，， ∴Q不在线段上， 设， ①当Q在C的上方时，如图，过Q作轴，过B作于E，过M作于F， 则，，，， ∴， 解得， ∴； 当Q在N下方时，如图，过Q作轴，过B作于E，过M作于F， 则，，，， ∴， 解得， ∴； 综上，当Q的坐标为或时，的面积与的面积相等． 6．（24-25七年级下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD，得到四边形ABDC． （1）写出点C，D的坐标，并求出AOC的面积； （2）点B左侧的x轴上有一点F，使得DFC的面积是DFB面积的2倍，请求出点F的坐标； （3）点B右侧的x轴上是否也存在点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）C(0，2)，D(4，2)，面积为1；（2）F（1，0）；（3）存在，（5，0） 【分析】（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点、的坐标即可，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解； （2）设F(m，0)，根据DFC的面积是DFB面积的2倍列出方程即可求得点的坐标； （3）设(n，0)，根据的面积是面积的2倍列出方程即可求得点的坐标． 【详解】解：（1）∵点A、B的坐标分别为（-1，0），（3，0），将点A，B向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到A，B的对应点C，D， ∴C(0，2)，D(4，2)， ∴，CD＝4， ∴； （2）∵点F在x轴上， ∴设F(m，0)， ∵DFC的面积是DFB面积的2倍    ∴， ∵点F在点B左侧，B（3，0）， ∴， 又∵CD=4， ∴， 解得：， ∴F（1，0）， （3）假设存在， ∵点在x轴上， ∴设(n，0)， ∵的面积是面积的2倍    ∴， ∵点在点B右侧，B（3，0）， ∴， 又∵CD=4， ∴， 解得：， ∴存在点，使得的面积是面积的2倍，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形以及平移的性质等相关知识．平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，也考查了三角形的面积公式． 【经典例题六 求不规则图形的面积】 1．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践 【问题背景】 在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）求的面积． 【解决问题】 （2）若，，，求四边形的面积． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标． 【拓展延伸】 （4）在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）9；（3）（4）或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数量掌握图形面积与点的坐标之间的关系是解题的关键． （1）根据点的坐标可得轴，点B到的距离为，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求求出的面积，再求出A、B坐标，进而求出的面积即可得到答案； （3）先求出的长，则可得点N横坐标，根据列式求出的长即可得到答案； （4）求出的面积，进而得到四边形面积，则可得到三角形的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）∵点坐标为，点坐标为 ∴轴， ∵点坐标为， ∴点B到的距离为， ∴； （2）当，，时，，， ∴， ∴， ∴； （3）∵，点M是中点， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点N的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， ∵三角形的面积等于四边形面积的3倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形，平移的性质，三角形面积． （1）由得到平移方式，即可解答； （2）连接，由（1）知，则轴，得到，进而求出，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据题意得到向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到，求出，进而得到，；根据的面积比的面积大4，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把沿射线向右下平移得到，即点的对应点为点， ∵， ∴先向右平移3个单位长度，再先向下平移2个单位长度后得到， ∵， ∴，即； （2）解：连接， 由（1）知， 则轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：能，， ∵把沿射线向右下平移得到， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质得， ∴， ∴，； 当的面积比的面积大4时， 则，即， 解得：， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且． (1)直接写出，的值和三角形的面积； (2)设与轴交于点，求三角形的面积； (3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值； (4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，完全平方公式和算术平方根的非负性，解一元一次方程求三角形的面积， 对于（1），根据平方和二次根式的非负性求出a，c，即可得出，再求出面积即可； 对于（2），先根据求出，进而得出答案； 对于（3），分三种情况根据面积相等列出方程，求出解，并判断即可； 对于（4），先根据求出点的纵坐标为2，再求出，然后根据求出，则答案可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． ∵点， ∴点， 则， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ， ； （3）解：①当点在线段上时， ，， 即， 解得：； 同理：当在点B上方时，， 解得：； 当在点下方时，， 解得：，不存在． 所以m的值为或8； （4）解：，理由如下： 过点作直线轴，交于，交轴于，交于， ∵， ， 即， 解得：， 因此点的纵坐标为2； 设点的坐标为， ， 解得：， ，同理， ． ， ， 解得：， ． 4．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）已知是由经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：________，________，________． (2)在平面直角坐标系中画出平移后的，并求出的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以，，P三点为顶点的三角形的面积等于的面积？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)0；2；9 (2)见解析； (3)存在；或 【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标． （2）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （3）设点，根据题意，得，解答即可． 本题考查了坐标的平移，图形的面积，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得该平移变换是向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到新坐标为，，， 故答案为：0，2，9． （2）解：根据题意，得，，，画图如下： 则即为所求． 的面积为：． （3）解：存在；或，理由如下： 设点， 根据题意，得， ∴． 解得或， 故或． 5．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，三点在同一条直线上，其中a、b、c满足关系式． (1)求a，b，c的值． (2)若点在y轴的正半轴上，请用含m的式子表示的面积． (3)如图2，直线交x轴于点，直线交y轴于点E，直线，过B、D分别作直线的垂线，垂足为F，G，且．点H在直线上，在第二象限中是否存在点H，使的面积等于面积的？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)的面积为或 (3)存在，点H的坐标为 【分析】（1）利用算术平方根和绝对值，平方的非负性求解即可； （2）首先得到，，，然后根据题意分两种情况讨论：当点在点C上方时，当点在点C下方时，然后分别表示出，利用代入求解即可； （3）如图所示，连接、，过点H作轴于点M，过点B作轴于点N，证明出，得到，然后求出，利用求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， 解得，，； （2）解：∵，， ∴，， 由题意可知，点P可能在点C的上方或点P在点C的下方两种情况： 当点在点C上方时，如图所示，   ∴， ∴； 当点在点C下方时，如图所示， ∴， ∴，                        综上所述，的面积为或； （3）解：存在，点H的坐标为，理由如下：        如图所示，连接、，过点H作轴于点M，过点B作轴于点N． 由（1）可得，，， ∴，，，， ，，且 ∴ 又∵ 解得 ∴ ∴点H的坐标为． ∴在第二象限中存在点，使的面积等于面积的． 【点睛】此题考查了算术平方根，绝对值的非负性，坐标与图形综合，解题的关键是正确表示三角形的面积． 6．（24-25七年级下·山西大同·期中）阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）6；m；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）用两种不同的方法求出的面积，构建方程求解即可； （2）利用面积法，构建方程求解即可； （3）首先判断出点在轴下方，过点作轴于点，则，然后根据构建方程求解． 【详解】解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点， ，，点， ∴，，，， ， ∴，． ， ， 解得，， 点的坐标为； 故答案为：，，，； （2）如图，连接，过点作于，于． 依题意，直线与坐标轴交于，两点，点，在直线上， ， ， ， 点的坐标为； （3）∵点在直线上，且三角形的面积等于5， ∵， ∴点在轴下方， 如图所示，过点作轴于点，则 ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴． 【经典例题七 根据图形的面积求点坐标】 1．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）设，根据面积关系列式求解即可得到答案； （3）分负半轴及x轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在． 当M在y轴负半轴时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； 当M在x轴上时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴或； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围成图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高． 2．（24-25七年级下·天津西青·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)① ②，或， 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可； （2）①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； （2）①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 3．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的运动时间为3秒 (3)存在，或 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，则，解得，（秒）； （3）由（2）可知设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ，． 故答案为：；； （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为3秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 4．（24-25七年级下·重庆大足·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，且a，b满足，连接． (1)请直接写出a，b的值； (2)若点满足的面积等于12，求点P的坐标； (3)如图2，动点C从点B出发，在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，动点D从点O出发，在x轴上以每秒2个单位的速度向右运动，若点C，D同时出发，当的面积等于面积的2倍时，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据平方、算术平方根的非负性求解； （2）根据坐标可得，，根据求解； （3）设运动时间为t，则，，，当的面积等于面积的2倍时，，代入数值求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由（1）得， ， ，， ， ， 解得或， 或； （3）解：设运动时间为t，则，， ， ， ， 当的面积等于面积的2倍时，， ， 解得或， 时，点C的纵坐标为：；. 时，点C的纵坐标为：； 点C的坐标为或． 【点睛】本题考查平面直角坐标系，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 5．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，在直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式，，．    (1)求，，的值； (2)在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在第二象限内有一点，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据“两个非负数相加，和为，则这两个非负数的值为”，列方程解出，，的值； （2）根据的面积是面积的，于是得到，即可求得结论； （3）把、、的值代入面积的公式中列出等式，求出的值，代入求的坐标即可． 【详解】（1），， ，，， ，，； （2）的面积是面积的， ， ∴点Q的纵坐标的绝对值为2，点Q的纵坐标为2或． 或； （3），，， 的各顶点坐标为：，，； ； 又∵四边形的面积与的面积相等， ， ，， 在第二象限内有一点， 【点睛】本题考查了点的坐标的确定及非负数的性质，解此类题目时可根据非负数的性质分别求出各个数的值，再根据面积相等即可得出答案．解此类题目时刻将不规则图形拆成两个三角形的和，再进行计算即可． 6．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． (1)填空：_____，点的坐标为_____； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且m，n满足，点到轴的距离为1，点在轴负半轴上，连接交轴于点，当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． (4)P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、三角形的面积公式、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据三角形的面积公式即可求解； （3）由题意得，根据点的坐标特征求出的值，由得到，再利用三角形面积公式求出的长，即可求出点的坐标； （4）分2种情况讨论：①当时；②当时，分别表示出的长，再利用三角形面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴综上所述，，点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：存在， 由题意得：， ∴， 解得， ∴或； （3）解：轴，， ， 点到轴的距离为1，在第一象限， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得：，， 则点运动的时间为秒，点运动到点的时间为秒，点运动的时间为8秒， ①当时，此时点在线段上，未到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当时，此时点已到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：； 综上，当在上时，取或时，三角形的面积为3． 【经典例题八 平面直角坐标系中面积综合】 1．（24-25七年级·江西南昌·月考）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“距面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“距面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“距面积”．根据所给解决下列问题： (1)若已知点、、，这3点的“距面积”_________； (2)若、、三点的“距面积”为12，求点F的坐标； (3)直接写出（2）中三点的“距面积”的最小值是_______． 【答案】(1)12 (2)或 (3)6 【分析】本题主要考查了坐标和图形的性质，准确分析计算是解题的关键． （1）根据题目中的新定义可以求得相应的“矩面积”； （2）根据题意可以求得a的值，然后再对t进行讨论，从而可以得到F的坐标； （3）根据、、三点的“水平底”，，得出当“铅垂高”最小时，“距面积”最小，根据三点的纵坐标，结合“铅垂高”定义求出其最小值为2，即可得出答案． 【详解】（1）解：对于点、、， 其“水平底”，“铅垂高”， “矩面积”． （2）解：对于、、， 其“水平底”，， “矩面积”， ， 若为最大值， 则， 解得：， 此时点F的坐标为； 若为最小值， 则， 解得：， 此时点F的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：对于、、， 其“水平底”，， ∴当“铅垂高”最小时，“距面积”最小， 对于、、，其“铅垂高”最小值为， ∴“距面积”最小值为． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知“上加下减，左减右加”的平移规律是解题的关键． （1）根据点B和点D的坐标可得平移方式，根据平移方式和点A的坐标可得点C的坐标； （2）设点的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标为，即； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积； (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速变为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，当点M到达点B时，整个运动随之结束，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若P是x轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)，20 (2)秒 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，一元一次方程的结几何应用，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解，再结合三角形的面积公式列式计算，即可作答． （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴，， ，； ∴ 连接记与轴的交点为点，如图所示： ∴， ∴四边形的面积为． （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 4．（24-25七年级下·天津河西·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为，长方形，点，，．线段交轴于点，点是长方形边上的两个动点．点从点出发以每秒1个单位长度沿的路线做匀速运动，同时点也从点出发以每秒2个单位长度沿的路线做匀速运动．当点运动到点时，两动点均停止运动．设运动的时间为秒，三角形的面积记为，三角形的面积记为，四边形的面积记为．    (1)当时，求的值； (2)当为何值时，? (3)若，求的取值范围．（直接写出答案即可） 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形、不规则四边形的面积，确定点，的位置是解决第问的关键；正确进行分类，考虑到所有可能的情况是解决第问的关键． （1）当时，可得点，，过点作轴于点根据三角形的面积公式分别求出，，进而得出的值； （2）根据点、运动过程中，三角形不同的形状计算面积列出方程即可解答； （3）设点运动的路程为，则点运动的路程为分五种情况进行讨论：；；；；针对每一种情况，首先确定出对应范围内点，的位置，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，点，， 如图：过点作轴于点．   ，， ； （2）当 时，点在线段上，点在线段上， ，， 此时， ∴， 当 时，点在线段上，点在线段上， ，， 此时， ∴， 当 时，点在线段上，点在线段上， 此时， ∴，即，解得， 时，点在线段上，点在线段上，此时. 综上所述：当时，。 （3）解：设点运动的路程为，则点运动的路程为． 当 时，点在线段上，点在线段上， 此时四边形不存在，不合题意，舍去． 当时，点在线段上，点在线段上． ， ， ，解得． 此时； 当时，点在线段上，点在线段上． ， ， ，解得，不符合题意． 当时，点在线段上，点在线段上． ， ， ，解得． 此时． 当时，点是线段的中点，点与重合，两动点均停止运动． 此时四边形不存在，不合题意，舍去． 综上所述，当时，或． 5．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，将平移至，点A对应点，点B对应点，点C对应点．    (1)画出平移后的，并写出和的坐标； (2)求的面积； (3)点P在y轴上，且的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)和的坐标分别为 (2) (3)或． 【分析】本题考查了图形与坐标，利用网格求面积，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点A对应点，得出平移的方式为向右1个单位长度、向上3个单位长度，依次把其他对应点描出来，再依次连线，即可作答． （2）运用割补法进行列式，代入数值进行计算，即可作答． （3）先根据点的特征，且结合，得出再进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：    ∴和的坐标分别为 （2）解： （3）解：∵的面积等于的面积， ∴ ∵点P在y轴上 ∴ ∴ 则当在的上方时，，则； 则当在的下方时，，则； 综上或． 6．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、一元一次方程的应用、图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性得到，即可求解； （2）根据平移的性质可得，再利用梯形的面积公式求出，推出点在线段上，再利用列出方程，求出的值即可； （3）分①点在点左侧；②点在点的右侧两种情况讨论，再利用图形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：由（1）可知：，， 由平移的性质可得， ， 点在线段上， 由题意知，， ， 由题得：， 解得：， 当时，四边形的面积等于； （3）解：不会发生变化，理由如下： ①当点在点左侧时，易知点在线段上． 如图所示： 则 ； ②当点在点的右侧时，如图所示，连接． 则 ； ∴由①②可得，在运动过程中三角形与三角形的面积之差不会发生变化． 1．（24-25八年级上·重庆·周测）如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段将这8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标与图形，三角形的面积．根据题意得到直角三角形的面积，利用三角形的面积公式求出的长是解题的关键． 设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出即可． 【详解】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C， ∵正方形的边长为1， ∴， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边面积分别是， ∴面积是， ∴， ∴， 则点A的横坐标为． 故选：B． 3．（24-25七年级下·北京·期中）如图，平移折线AEB，得到折线CFD，则平移过程中扫过的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】据平移的性质确定平移过程中扫过的图形的形状，从而确定面积. 【详解】根据题意得：平移折线AEB，得到折线CFD，则平移过程中扫过的图形为矩形ABCD， 所以其面积为2×3＝6， 故选C． 【点睛】本题考查了平移的性质，能够确定平移形成的图形是确定面积的基础，难度不大． 4．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律，解题的关键是找到点的坐标变化规律，根据已知点的坐标表示出第n个点的坐标，得出坐标的规律，然后求得点的坐标即可． 【详解】解：观察偶数项的坐标规律：， ，，……， 可得，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2， ∵2024为偶数， ∴的坐标为， 故选：C． 5．（2025·全国·模拟预测）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得∶纵坐标为， 纵坐标为 ，利用阅读学习的知识迁移计算解答即可． 本题考查了交点问题，距离规律计算，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得∶纵坐标为， 纵坐标为 ， ，，． ， 当时． 原式 故选D． 6．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，，，点C是第一象限内一点且轴，将线段经过一定的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接，，点P为y轴上一动点，当时，点P的坐标为______．（注：表示的面积）    【答案】或． 【分析】根据三角形的面积求出，然后利用平移的性质可求点D坐标，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E，在y轴取点P，连接，    ∵轴，将线段经过一定的平移得到线段，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴点， ∵将线段进行适当的平移得到线段，， ∴， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了作图-平移变换，平面直角坐标系，三角形面积公式，坐标的平移等知识，掌握平移的性质是解题的关键． 8．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：，，，，，，，，，，，，，，…按这个规律，则是第________个点．    【答案】99 【分析】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解． 【详解】解：横纵坐标和是0的有1个点， 横纵坐标和是1的有2个点， 横纵坐标和是2的有3个点， 横纵坐标和是3的有4个点， ， 横纵坐标和是的有个点， ， ， 横纵坐标和是13的有14点，分别为：、、、、、、、、、、、、、、 是第个点， 故答案为：99． 【点睛】本题考查了点的坐标，找到坐标的排列规律是解题的关键． 9．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，的坐标为，的坐标为，，的坐标为，的坐标为，的坐标为，，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为，覆盖的整点的个数记为，面积的值记为，覆盖的整点的个数记为，面积的值记为，；则_____．【提示：】 【答案】3040 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变化规律的探求，由点的坐标变化找出P与S的变化规律是关键．根据题意，先分别求出，，，，，的值，并从中找到变化规律，再写出，的表达式，最后把代入计算即可． 【详解】解：根据题意，，， ，， ，， ， 依次类推，，， 当时，，， ． 10．（24-25七年级下·天津南开·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点重合）．则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，得出坐标的变化规律是解题的关键．根据已知点的坐标特征得出，,进而即可求解． 【详解】解：根据题意，可知，，，…， 由此可得， ∵， ∴点的坐标为． 故答案为:． 11．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，平移线段，点的对应点为点，点的对应点为，且轴． (1)若，分别求出点C和点D的坐标； (2)试探究：的面积是否会随a的值的变化而变化，若不变，求出的面积，若改变，求面积的最小值． 【答案】(1)，； (2)的面积不会随a的值的变化而变化，． 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由点的对应点为点，知向右平移2个单位，向上平移个单位，由点平移的对应点为，知向右平移个单位，向上平移个单位，据此可得，求得，再根据轴，知，据此求解即可； （2）由（1）知线段向右平移2个单位，向上平移个单位得到，分别求得， ，，再利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵点平移后的对应点为点， ∴向右平移2个单位，向上平移个单位， ∵点平移的对应点为， ∴向右平移个单位，向上平移个单位， 由题意得， 解得， 则， 即线段向右平移2个单位，向上平移个单位得到， ∵轴，∴， 当时，，， ∴，； （2）解：由（1）知线段向右平移2个单位，向上平移个单位得到，且， ∴， ∵轴， ∴，，即， 如图， 的水平距离为，垂直距离为， 的水平距离为，的垂直距离为， ∴， ∴的面积不会随a的值的变化而变化，． 12．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_____，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，当时，点是x轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性、三角形的面积、列代数式、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形、分类讨论是解题的关键． （1）利用算术平方根和平方的非负性，得出，，求出、的值即可； （2）根据点A、的坐标，求出，根据坐标与图形，得出的边上的高，根据三角形的面积公式，得出答案即可； （3）根据坐标与图形，结合三角形的面积公式，由的面积是的面积的2倍，得出，分“当点在点的左侧时”和“当点在点的右侧时”两种情况，根据坐标与图形，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）解：由（1）得，， ，， ∴， ∵在第三象限内有一点， ∴， ∴的边上的高， ∴； （3）解：∵，，点是轴上的动点， ∴的边上的高和的边上的高相等， 又∵三角形的面积底高，的面积是的面积的2倍， ∴， ∴当点在点的左侧时， ，则点的坐标为， 当点在点的右侧时， ，则点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 13．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)如图1，若点D为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点E，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (2)如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点G为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点G的横坐标的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)存在， (2)G的横坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形，坐标与图形变化－平移，以及一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接交y轴于点M，作于点H，求出，由的面积等于的面积得，由求出，再根据即可求出点的坐标； （2）延长交x轴于点N，连接，设点，用割补法求出，根据求出，分别表示出的面积和四边形的面积，然后根据二者面积相等列式求解即可． 【详解】（1）解：连接交y轴于点M，作于点H， ∵， ∴， ∴． ∵的面积等于的面积， ∴． ∵， ∴， ∴ 设， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交x轴于点N，连接，设点， 由平移的性质得点，点， ∵点 ∴， ∵ ， ∴， 解得， ∴点， ∵， ∴四边形的面积， 设， ， ∴， 解得 ， 设点 G的横坐标为x，则|， 解得或． 14．（24-25七年级下·上海·期末）如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出点，点的坐标； (2)若是轴上的一个动点，当三角形面积等于时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点． ①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积等于，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，熟练的利用数形结合与方程思想解题是关键． （1）根据平移的性质可以直接写出点，点的坐标； （2）设点，根据三角形面积等于列出关于的方程，解此方程可得到点的坐标； （3）①依据，两个动点的运动速度之比为，可得到，，，，由此便可计算三角形之间的关系，最终得到；②由小问①可以直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：点，，且将线段平移得到线段，由于点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 可判断线段先向下平移个单位，再向右平移个单位， ，； （2）如图所示，设点， ，， ，， ， ， 或， 或； （3）① ， 理由：由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是，设，，当点在第二象限时，如图所示： ，，，， ， ， ， ，， ； ②由题意可知，存在两种情况，分别是在第二象限和在第四象限的情况； 当点在第二象限时，如图所示： 由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，，此时，，，， ， ， ， ，， ，设点， 则可得：， 整理得到：， 故设点， ，， ， ∵， ， ， 解得：， 故点； 当点在第四象限时，如图所示： 由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，， 此时，，，， ， ， ， ，， ， 设点， 则可得：， 整理得到：， 故设点， ， 解得：， 故点； 综上所述，点的坐标为或． 15．（24-25七年级下·广西南宁·期中）综合与实践： 问题背景： （1）已知，，，．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和中点、，然后写出它们的坐标，则______，______． 探究发现： （2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为______． 拓展应用： （3）利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 【答案】（1）描点见解析，的坐标为，的坐标为，（2），（3）或或 【分析】本题主要考查了在坐标系中描点，两点中点坐标公式，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是关键． （1）在坐标系中描出A、B、C、D然后找到线段和中点P1、P2即可； （2）根据（1）所求即可得到中点坐标公式； （3）分当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，当线段HE的中点与线段FG的中点坐标重合时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，A、B、C、D为所求，点的坐标为，点的坐标为， （2）解：由题意得若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为； （3）解：∵，，， ∴线段EF的中点坐标为（1，），线段EG的中点坐标为（0，3），线段的中点坐标为（2，）， 当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，则， ∴， ∴点H的坐标为； 同理当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，点H的坐标为；当线段的中点与线段的中点坐标重合时，点H的坐标为， 综上所述，点H的坐标为或或 学科网（北京）股份有限公司 $