重难点02 不等式与不等式组应用题专项（8大题型讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册

重难点02 不等式与不等式组应用题专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 不等式与不等式组应用题解题基本步骤 知识点二 不等式与不等式组应用题主要涉及的公式 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 根据实际问题列二元一次方程 题型2 方案选择问题 题型3 行程问题 题型4 工程问题 题型5 数字问题 题型6 年龄问题 题型7 分配问题 题型8 销售利润问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 不等关系建模能力：识别 “至少、至多、不超过、不少于、不足、不低于” 等标志性关键词，从题干中提取有效不等关系，正确设元并列出一元一次不等式或不等式组，是本专题的核心基础考点。 · 经典题型场景应用：覆盖销售利润、方案选择、行程、工程、分配配套、数字年龄、几何图形七大主流题型，掌握各类场景的基础数量关系，结合不等关系求解解集，是本专题核心考查内容。 · 解集的实际意义筛选：结合生活实际约束（人数、物品数、车辆数为正整数，长度、价格为正数等），从解集中筛选符合要求的整数解、特殊解，进而求解最值（最大利润、最小成本、最短工期等）。 · 方案设计与优化：根据多个限制条件列不等式组，确定可行解的取值范围，枚举所有有效方案，通过计算总成本、总收益等指标对比选出最优方案，是中档题与压轴题的核心考点。 · 综合信息转化：从表格、统计图等图表材料，或 “方程 + 不等式” 复合情境中提取多组数量关系，完成混合建模，考查综合信息处理与知识融合应用能力。 · 基础命题：以单一情境的不等式列写、简单解集求解为主，题干条件清晰、关键词明确，多以选择题、填空题形式考查，侧重基础建模能力与不等式运算规则的掌握，难度较低。 · 综合命题：多以 “二元一次方程组 + 不等式组” 的复合形式出现，将销售利润、物资分配、租车租船等场景与方案设计结合，设置多重限制条件，考查多步推理与分类讨论能力，以解答题中档题为主。 · 素养命题：依托真实生活情境（如消费优惠、工程工期、环保节能、物资调配）、开放性设问命题，弱化固定解题套路，侧重考查数学建模、逻辑推理与实际问题解决的核心素养，贴合中考命题的实践性、创新性趋势。 考情解码： · 模块地位：本专题是七年级下册代数核心重难点，是不等式基本性质的落地应用，承接一元一次方程、二元一次方程组的应用体系，也是后续学习函数最值、不等式综合应用的重要基础，在初中代数体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择、填空、解答题，分值占比 12%–16%；中考中属于方程与不等式模块的高频考点，多以中档解答题呈现，分值 7–10 分。 · 高频考法：方案选择与优化、销售利润问题、分配配套问题考查频次最高，是解答题的核心命题方向；行程、工程、几何不等关系多以基础题、中档题形式出现；图表信息类、方程组与不等式综合题是近年考试的热点考法。 · 失分规律：不等号方向与题意匹配错误、不等式乘除负数时忘记变号，是基础运算的高频失分点；忽略实际意义检验、漏算整数解、方案枚举不全，是中档题的主要丢分点；多限制条件审题遗漏、复杂情境建模偏差，是本专题拉开分差的核心原因。 知识点一 不等式与不等式组应用题解题基本步骤 （1）审：弄清题意，梳理题目中的已知量、未知量，抓取“不超过、至少、不少于、不足”等不等关系关键词，找准题目中对应的限制条件与数量边界； （2）设：根据题意合理选择直接设元或间接设元，将核心未知量设为未知数，规范书写单位，明确未知数的实际取值限制； （3）列：根据挖掘出的不等关系，列出对应的一元一次不等式或不等式组，确保不等号方向与题意表述完全匹配； （4）解：按照不等式运算法则求解不等式（组），得出未知数的解集，注意乘除负数时不等号方向需改变的运算规则； （5）验：检验解集计算是否准确，同时结合生活实际筛选有效解（如人数、物品数量取正整数），确定符合题意的整数解或最值解； （6）答：规范书写完整答案，方案类问题需明确列出所有可行方案，最值问题需指明最大/最小值，对应题目问题作答。 知识点二 不等式与不等式组应用题主要涉及的公式 （一）行程问题 行程问题基本数量关系：速度×时间=路程。单位不同时，先统一单位。 1. 限时行程问题 规定时间内行驶路程≥目标总路程 实际行驶时间≤规定最长时间 2. 追及与相遇不等关系 追及达标：速度差×时间≥初始相距路程 相遇限制：速度和×时间≤总路程 3. 行船问题 船顺水速度=船静水速度+水速 船逆水速度=船静水速度-水速 （二）利润问题 利润问题基本数量关系： ① 利润=售价-成本（进价） ② 销售额=单价×销售数量 ③ 利润率=利润÷成本（进价）×100% ④ 售价=标价×折扣 ⑤ 利润=进价×利润率 ⑥ 盈利限制：总利润≥预期利润；利润率≥最低利润率 ⑦ 成本控制：总成本≤预算总额 （三）工程问题 工程问题基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间 1. 合作工程 合作总效率=各主体工作效率之和 合作工作总量=合作总效率×合作工作时间 2. 工期限制 总工作量≥要求完成工作量 总工期≤规定最长工期 3. 常规设定 无具体工作总量时，通常将总工作量记为单位“1”，单主体工作效率=1÷单独完成工作的时长 （四）分配与配套问题 1. 盈亏分配 物品总数量=每份分配量×份数+剩余量（盈） 物品总数量=每份分配量×份数-缺少量（亏） 分配上限：所需物品总数≤现有物品总数 2. 配套比例 若甲、乙两种部件按 m:n 组装成一套成品，则 甲部件总数量×n = 乙部件总数量×m 配套限制：可组装成品总数≤两种部件各自可配套的最大数量 （五）和差倍分问题 基本数量关系： 总量=甲量+乙量 相差量=较大量-较小量 甲量=乙量×倍数 不等对应关系： “不超过、至多”对应 ≤；“至少、不少于”对应 ≥ “大于、超过”对应 ＞；“小于、不足”对应 ＜ （六）数字与年龄问题 1. 多位数数值表示 两位数数值=10×十位数字+个位数字 三位数数值=100×百位数字+10×十位数字+个位数字 数位取值限制：各数位数字为0-9的整数，最高位数字不为0 2. 年龄问题 核心规律：两人的年龄差始终保持不变 n年后的年龄=当前年龄+n n年前的年龄=当前年龄-n （七）几何图形问题 1. 周长类 长方形周长=2×(长+宽) 正方形周长=4×边长 材料限制：图形总周长≤材料总长度 2. 面积类 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长² 三角形面积=½×底×高 面积要求：图形总面积≥目标面积 （八）方案优化问题 核心计算关系： 单方案总成本=固定成本+单位成本×数量 单方案总收益=单位收益×数量-固定成本 最优方案判定：在解集的有效取值范围内，对比各方案的总成本/总收益，选取成本最低或收益最高的方案 题型1 用一元一次不等式解决实际问题 【例1】端午节前夕，石狮本地一家食杂店售卖端午伴手礼：精品闽南烧肉粽礼盒每盒42元，手工艾草祈福香包每个6元．小亮的妈妈置办过节礼品，她的总花费预算不超过260元，她先选购了5盒烧肉粽礼盒，余下的钱用于购买艾草香包，则她可购买香包的数量最多为（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】根据总花费不超过预算列出不等式，求解后取最大正整数即可得到结果. 【详解】解：设她可购买香包的数量为个， ∵5盒烧肉粽的总花费为 元，总花费预算不超过260元， ∴列不等式得 ， 解得， ∵为整数， ∴的最大值为，即最多可购买8个香包. 【变式训练1-1】某客运站开展优质服务活动，雷锋号窗口每分钟服务1位顾客，窗口开始售票时，已有10位顾客在等待购票，窗口工作5分钟后，有1位新顾客到达且预计以后此后每隔2分钟有1位新顾客到达，预计从第位新顾客开始不用排队等候，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据第m位新顾客到达时窗口已服务完此前所有到达顾客的条件列不等式求解即可． 【详解】解：第位新顾客的到达时间为分钟，此时窗口已服务完位顾客，此前到达的顾客共位，不用排队需满足已服务人数此前到达人数， 即， 解得：， ∴从第6位新顾客开始不用排队等候． 【变式训练1-2】某乒乓球馆有两种计费方案：包场计费：包场每场每小时50元，每人要另付入场费5元；人数计费：每人打球2小时20元，继续打球每人每小时6元．李强和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们参与打球的人数至少为（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】设参与打球的人数为，分别计算两种计费方案的总费用，根据包场计费比人数计费便宜列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小正整数即可． 【详解】解：设参与打球的人数为， ∴包场总费用为（元）， ∴每人总费用为（元），人总费用为元， 根据题意得，， 解得， ∵人数为正整数， ∴x的最小值为8， ∴参与打球的人数至少为8． 【变式训练1-3】某数码店购进一款每个进价为40元的蓝牙耳机，每个标价55元出售，为吸引顾客，现在搞降价促销活动，若店家规定利润率不能低于，则这款耳机最多可以降（     ）元． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】要使降价最多需售价最低，结合最低利润率要求求出最低售价后计算最大降价额． 【详解】解：这款耳机可以降元， 由题意得， 解得， ∴这款耳机最多可以降元． 题型2 用一元一次不等式解决几何问题 【例2】已知，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足． (1)求点，的坐标； (2)若点为直线上一动点（异于点，），且，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性求解即可； （2）先求出的面积，然后分三种情况列不等式求解即可． 【详解】（1）解：，，， ∴， ，， ∴，． （2）解：， 的位置可能有三种情形： ①当点在第一象限时，， 由，可得， ∴， 即， ． ②当点在第二象限时，， 由，可得， 得， 即， ． ③当点在第四象限时， 由，可得， ∴，显然不可能． 综上得点横坐标的取值范围为或． 【变式训练2-1】如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 【变式训练2-2】如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）首先根据题意确定的长度，结合三角形面积公式计算的长度，即可获得答案； （2）根据平移的性质，可得，然后结合求解即可； （3）首先确定点的纵坐标为，结合题意可得，进而可得，根据的面积为15建立关于t的不等式并整理，可得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵的面积为15，即， ∴，解得， ∵点在轴的正半轴上， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∵线段是由线段平移所得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； （3）解：由（2）可知，， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵点为轴上的一个动点，且点的横坐标为， ∴， ∴， 若，可得， 整理可得， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】解题的关键是运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题，避免遗漏． 【变式训练2-3】如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 【答案】(1)8，6 (2)点表示的数是 (3)机器人变成彩色的总时长为8秒 【分析】本题考查了数轴、线段的中点、一元一次不等式的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据数轴的性质可得，由此即可得； （2）先判断出点只能在点的右侧，再根据线段和差可得，然后根据数轴的性质求解即可得； （3）先确定，求出点表示的数为，点表示的数为，再分三种情况：①，②和③，根据建立不等式求解即可得． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数分别为，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵，，且点在点的右侧， ∴点只能在点的右侧，位置如图所示： ∴， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的数是． （3）解：∵点表示的数分别为， ∴， 由题意得：点从点运动到点所需时间为秒， ∴当时，点在上，点在点处，此时，即， ∴当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∴当机器人的运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 令，解得． ①当时，点在点的左侧，未追上点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②当时，点与点重合，，符合题意； ③当时，点在点的右侧，超过点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； 综上，当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∵当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人变成彩色， ∴机器人变成彩色的总时长为（秒）， 答：机器人变成彩色的总时长为8秒． 题型3 列一元一次不等式组 【例3】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总工艺品数量得到B型工艺品数量，再分别计算两种原料的总用量，根据总用量不超过剩余原料量列出不等式组即可. 【详解】∵ 制作个A型工艺品，一共制作100个工艺品， ∴ B型工艺品的数量为个. ∵ 制作个A型需甲原料千克，制作个B型需甲原料千克， 甲原料总用量不能超过剩余的29千克， ∴ . ∵ 制作个A型需乙原料千克，制作个B型需乙原料千克， 乙原料总用量不能超过剩余的千克， ∴ . 综上，可得不等式组：． 【变式训练3-1】渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 【变式训练3-2】野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算目标海拔相对已知海拔的升高量，再根据气温变化规律得到目标海拔处的气温，最后结合适宜温度范围列出不等式组即可． 【详解】解：∵野生兰草适宜温度为，已知海拔处气温为，目标海拔为， ∴目标海拔相对已知海拔的升高量为， ∵海拔每升高，气温下降， ∴总下降气温为，因此处的气温为， 根据适宜温度范围可得不等式． 【变式训练3-3】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 题型4 不等式组的行程问题 【例4】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【变式训练4-1】热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 【变式训练4-2】综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【答案】(1)①不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒；②， (2) 【分析】（1）先求A到B的时间：，推导出不能全程绿灯通过，继而求出在B路口等待红灯时间：，B到C的时间：，则总时间为，即可解答； ②先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①A到B的时间：， A路口秒绿灯，秒红灯． 汽车36秒到达B路口，遇到红灯， 因此不能全程绿灯通过； 在B路口等待红灯时间：， B到C的时间：， 总时间： 答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒． ②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至． 汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯， ∴，解得， ∵， ∴x的取值范围是：， C路口绿灯每次都延迟，因此： 第1次绿灯：， 第2次绿灯：， 汽车到达C路口的时间：， 由题意，100秒在第二次绿灯内， ∴， 解得， ∵， ∴y的取值范围是； （2）解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：， 对B路口：， 解得， C比A晚15秒绿灯， 因此： C路口的第1次绿灯：， C路口的第2次绿灯：，即 A到C总路程：， 对C路口： ， 解得， ∵， ∴． 【变式训练4-3】校运动会前，数学兴趣小组对400米跑道（由两条直道和两个半圆弯道构成）和米接力赛进行了研究． (1)若弯道直径比直道短12米．若跑道内圈周长为400米，取3．求弯道直径（结果保留整数）． (2)若每条跑道宽为米，为使米接力时每队跑的距离都是400米，第2道的起跑线应比第1道前移多少米？（结果保留和） (3)在米接力赛中，接力区总长是30米，前20米为预跑区，后10米为传接棒区．甲匀速冲向接力区，乙在接力区起点处静止．当甲距乙20米时，乙由静止开始匀加速起跑（匀加速运动中，若初速度为0，末速度为，则平均速度为），乙用10米距离加速到恒定速度，之后保持匀速跑．已知甲的速度比乙的恒定速度快2米/秒．为保证在传接棒区内完成交接，求乙的恒定速度的取值范围． 【答案】(1)弯道直径约为米 (2)第2道的起跑线应比第1道前移米 (3)米/秒米/秒 【分析】（1）先设弯道直径为米，则直道为米，再根据题意列出方程，最后解方程即可； （2）先设第1道弯道半径为米，则第道弯道半径为米，再根据相邻跑道弯道部分的长度差，进行计算即可； （3）根据追及问题的时间关系，结合接力区的限制条件，建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设弯道直径为米，则直道为米， 由题意得，， 解得，． 结果保留整数， ． 答：弯道直径约为米． （2）解：设第1道弯道半径为米，则第道弯道半径为米， 第2道比第1道多跑的距离为：（米） 答：第2道的起跑线应比第1道前移米． （3）解：设乙的恒定速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 乙加速跑10米所用的时间为：（秒）， 设乙追上甲时，乙在匀速阶段跑了米， 则乙的总路程为米，总时间为（秒）， 甲的总路程为米，总时间为（秒）， 根据时间相等，得， 整理得，， ． 要保证在传接棒区（米至米）内完成交接， ， 解得，． 答：乙的恒定速度的取值范围是米/秒米/秒． 题型5 不等式组的经济问题 【例5】为丰富校园劳动实践活动，学校将一块的菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．同学们在这块菜地上种植了两季的甲、乙两种蔬菜，第一季的甲、乙的种植成本分别为5元和6元，第二季的甲、乙的种植成本分别为6元和8元，第二季甲、乙种植面积与第一季相同，第二季的种植总成本比第一季多了16元． (1)求甲、乙两种蔬菜的种植面积各为多少？ (2)若第三季甲、乙的种植成本与第二季相同，甲、乙两种蔬菜每季产量分别是、．班级计划第三季调整种植面积，使得两种蔬菜的总产量不低于100千克且种植总成本不超过80元，请求出甲种植面积的所有可能整数值． 【答案】(1)甲种植面积为，乙种植面积为； (2)甲种植面积的所有可能整数值为8，9，10． 【分析】（1）设甲种植面积为，乙种植面积为，根据总面积和两季总成本差的条件列二元一次方程组，解方程组得到种植面积； （2）设第三季甲种植面积为，则乙种植面积为，根据总产量和总成本的限制条件列一元一次不等式组，求解后取范围内的整数即可得到结果． 【详解】（1）解：设甲种植面积为，乙种植面积为， 根据题意得 ， 解得， 答∶甲种植面积为，乙种植面积为； （2）解：设第三季甲种植面积为，则乙种植面积为， 根据题意得， 解得． 因为为整数， 所以的取值为8，9，10， 答∶甲种植面积的所有可能整数值为8，9，10． 【变式训练5-1】某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍，已知购进A款蒙古袍3件和B款蒙古袍4件，共需670元；购进A款蒙古袍2件和B款蒙古袍5件，共需680元．销售一件A款蒙古袍可获利20元，销售一件B款蒙古袍可获利30元． (1)A、B两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ (2)若已知购进A款蒙古袍的数量是B款蒙古袍数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且A款蒙古袍不多于28件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 【答案】(1)款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元． (2)共有三种进货方案：①购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；②购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；③购进款蒙古袍件，款蒙古袍件． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设买了件B款蒙古袍，分别根据蒙古袍的数量和销售所获总利润列出不等式组，求解出范围后得到不同的进货方案． 【详解】（1）解：设款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元， 由题意可列二元一次方程组， 解得， 答：款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元． （2）解：设买了件B款蒙古袍，则买了件A款蒙古袍， 由题意可列不等式组， 解得，且为正整数，故或或，对应的或或， 答：共有三种进货方案：①购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；②购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；③购进款蒙古袍件，款蒙古袍件． 【变式训练5-2】2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． (1)求甲、乙两种飞船模型的销售单价； (2)班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； (3)供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 【答案】(1)甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价元； (2)9 (3)①；②共4种方案 【分析】（1）题目给出两组甲乙搭配购买的总价等量关系，可设单价建立二元一次方程组求解； （2）设甲采购数量为未知数，结合总件数表示乙的数量，根据总预算低于元列不等式，取满足条件的最大整数； （3）①甲采购7件超出5件，分段计算甲的费用，再结合乙的采购数量算出乙费用，两者相加得到总花费；②分甲采购量不超过5件、超过5件两种优惠情况列出总费用表达式，结合资金范围解不等式，筛选合法整数取值得到方案数． 【详解】（1）解：设甲种模型的销售单价为、乙种模型的销售单价为， ， 解得：， 答：甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价为元； （2）解：设购进甲种模型件，则购进乙种模型件， 由题意得：， 解得：， 因为为正整数， 所以的最大值为； （3）解：①当购买甲模型为7件时， 前5件按原价：元； 超出的2件每件优惠6元：元； 乙模型的数量为， 费用：元， 所花费用需要：元； ②设购买甲种模型件，则乙种模型件， 当时， ， 解得：， ， 故此情况无解； 当时， ， 解得：， 为正整数，故，共4种方案． 【变式训练5-3】滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若小城计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？ 【答案】有3种建设方案 【分析】设建设个大型租赁点，则建设个小型租赁点，根据题意列不等式求出范围，找出其中的正整数解即可求解． 【详解】解：设建设个大型租赁点，则建设个小型租赁点． 根据题意，得     解得，     又因为为正整数，所以可以取1，2，3．    因此，共有3种建设方案： ①建设1个大型租赁点，7个小型租赁点； ②建设2个大型租赁点，6个小型租赁点； ③建设3个大型租赁点，5个小型租赁点． 题型6 不等式组的分配问题 【例6】为建设数字化智慧教室，某校总务处计划批量采购智能学习平板与迷你错题打印机两款现代科技学习设备，用于各班自习室配备．商家给出两次批量采购的报价明细固定不变，两次采购数量、对应总费用统计如下表 采购批次 智能学习平板（台） 迷你错题打印机（台） 本次采购总费用（元） 第一批采购 2 3 3740 第二批采购 5 2 8360 (1)请求出智能学习平板、迷你错题打印机的单价分别为多少元？ (2)学校第三批采购计划一次性采购两种设备总数一共40台，财务处规定采购迷你错题打印机数量不能少于15台，且本次所有设备总花费不能超过40000元．求最多可以采购多少台智能学习平板？ 【答案】(1)智能学习平板的单价为1600元，迷你错题打印机的单价为180元 (2)最多可以采购23台智能学习平板 【分析】（1）设智能学习平板的单价为元，迷你错题打印机的单价为元，根据表格数据建立方程组，解方程组即可； （2）设采购台智能学习平板，则采购台迷你错题打印机，根据题意建立不等式组，解不等式组，结合为正整数解答即可． 【详解】（1）解：设智能学习平板的单价为元，迷你错题打印机的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：智能学习平板的单价为1600元，迷你错题打印机的单价为180元． （2）解：设采购台智能学习平板，则采购台迷你错题打印机， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为23， 答：最多可以采购23台智能学习平板． 【变式训练6-1】综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 【答案】(1) (2)每份早餐中牛肉为，牛奶为 (3)共有三种选择方案：选择A套餐2天，B套餐3天；或A套餐3天，B套餐2天；或A套餐4天，B套餐1天 【分析】（1）分别用蔬菜、牛肉、牛奶的质量乘以对应的蛋白质含量占比，再相加即可求解； （2）设每份早餐中牛肉为克，牛奶为克，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （3）设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴该份早餐中蛋白质总含量为； （2）解：设每份早餐中牛肉为克，牛奶为克， 由题意得，， 解得：， 答：每份早餐中牛肉为，牛奶为； （3）解：设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴每个学生每周午餐可以选择A套餐2天，B套餐3天，或选择A套餐3天，B套餐2天，或选择A套餐4天，B套餐1天． 【变式训练6-2】把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分5个，则最后一个学生能分到苹果，但最多分3个．用不等式组的知识求出可能有几人和相应的苹果数． 【答案】学生5人，苹果23个或学生6人，苹果27个或学生7人，苹果31个 【分析】设学生人数为人，则苹果有个，解不等式组，取整数值即可解决问题． 【详解】解:设学生人数为，则苹果有个, 依题意得， 解得， 学生人数为整数， ，苹果数为（个）， ，苹果数为（个）， ，苹果数为（个）． 答：学生5人，苹果23个或学生6人，苹果27个或学生7人，苹果31个． 【变式训练6-3】用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【答案】(1)解：3；4 (2)解：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； (3)解：最多可以制作横式纸盒20个． 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个，根据题意列不等式组，求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）解：设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个， ∴， 由①得， 代入③得：， ∴， ∴（）， 由， 则， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵t是整数， 解得t的最大值为20， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20个． 题型7 不等式组的方案选择问题 【例7】某地举办半程马拉松比赛，设计了A型和B型两款纪念品．其中A型纪念品的单价比B型纪念品的单价多20元；用1500元购买A型纪念品的数量是用400元购买B型纪念品的数量的3倍． (1)求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种型号纪念品共70个，要求购进A型纪念品的数量不少于B型纪念品的数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】(1)A型纪念品单价为100元，B型纪念品单价为80元. (2)共有3种满足条件的购买方案，分别为：方案1：购买A型42个，B型28个；方案2：购买A型43个，B型27个；方案3：购买A型44个，B型26个. 【分析】（1）设B型纪念品单价为x元，利用“A型比B型单价多20元”表示出A型单价，再根据“1500元购买A型的数量是400元购买B型数量的3倍”的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果； （2）设购买A型纪念品m个，根据“A型数量不少于B型数量的1.5倍”和“总费用不超过6480元”列出不等式组，求出m的整数取值，即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设B型纪念品的单价为元，则A型纪念品的单价为元. 根据题意得 ， 解得， 检验：当时，，因此是原方程的解． 则． 答：A型纪念品单价为100元，B型纪念品单价为80元； （2）解：设购买A型纪念品个，则购买B型纪念品个. 根据题意得 ， 解得， 因为m为正整数，所以m可取42，43，44；对应的值分别为28，27，26； 答：共有3种满足条件的购买方案，分别为：①购买A型纪念品42个，B型纪念品28个；②购买A型纪念品43个，B型纪念品27个；③购买A型纪念品44个，B型纪念品26个. 【变式训练7-1】列方程（组）或不等式（组）解决问题． 某文具店计划购进A、B两种笔记本，已知A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元． (1)求A、B两种笔记本的进价； (2)文具店第二次又购进A、B两种笔记本共100本（两种笔记本均购买），且投入的资金不超过1206元．已知A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．若全部按标价售出，并且总利润不少于800元，请问共有几种购买方案． 【答案】(1) A种笔记本进价为12元，B种笔记本进价为15元 (2) 共有2种购买方案 【分析】（1）设A种笔记本的进价为元，B种笔记本的进价为元，根据A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元，购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种笔记本本，则购进B种笔记本本，根据投入的资金不超过1206元，总利润不少于800元，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A种笔记本的进价为元，B种笔记本的进价为元， 依题意得：，解得． 答：A种笔记本进价为12元，B种笔记本进价为15元． （2）解：设购进A种笔记本本，则购进B种笔记本本， 依题意得：， 解得， ∵两种笔记本均购买， ∴，100， 又∵为正整数， ∴，99， ∴共有2种购买方案． 【变式训练7-2】年月日至日漯河食品博览会在漯河国际会展中心举办，本届展会主题为“世界眼光、中国经典、河南名品”，漯河产地的卫龙辣条类零食和欧麦坚果芙饼干颇受采购商欢迎．经现场了解，购买箱卫龙食品和箱欧麦饼干需元，购买箱卫龙食品和箱欧麦饼干需元． (1)求购买箱卫龙食品和箱欧麦饼干的价格分别是多少元？ (2)外地零售商李老板打算在食品博览会上购买卫龙食品和欧麦饼干共箱，且购买的欧麦饼干的数量不多于卫龙食品的倍，计划总费用不超过元．则共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)箱卫龙食品价格为元，箱欧麦饼干价格为元 (2)共有种方案．方案：购买卫龙食品箱，欧麦饼干箱；方案：购买卫龙食品箱，欧麦饼干箱 【分析】（1）设箱卫龙食品价格为元，箱欧麦饼干价格为元，购买箱卫龙食品和箱欧麦饼干需元，购买箱卫龙食品和箱欧麦饼干需元．据此列出二元一次方程组并解方程组即可； （2）设购买卫龙食品箱，则欧麦饼干为箱，购买的欧麦饼干的数量不多于卫龙食品的倍，计划总费用不超过元．据此列出不等式组并解不等式组即可． 【详解】（1）解：设箱卫龙食品价格为元，箱欧麦饼干价格为元，由题意得 解得 答：箱卫龙食品价格为元，箱欧麦饼干价格为元． （2）解：设购买卫龙食品箱，则欧麦饼干为箱． 由题意得 解得 由实际情况可知为正整数． ，  ， 答：共有种方案．方案：购买卫龙食品箱，欧麦饼干箱． 方案：购买卫龙食品箱，欧麦饼干箱． 【变式训练7-3】某文具店计划购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元；购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． (1)求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)该店计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过808元，请通过计算说明该店共有几种采购方案？哪种采购方案所需费用最少？ 【答案】(1) 笔筒的单价为17元，马克杯的单价为15元 (2) 共有3种采购方案，采购笔筒27个、马克杯23个时所需费用最少 【分析】（1）通过设未知数列二元一次方程组求解单价即可． （2）根据数量和费用限制列一元一次不等式组，得到符合条件的正整数解确定方案数量，再根据总费用随数量的变化规律得到最少费用方案即可． 【详解】（1）解：设笔筒的单价为x元，马克杯的单价为y元， 根据题意列方程组得，解得， 答：笔筒的单价为17元，马克杯的单价为15元． （2）解：已知购进笔筒个，则购进马克杯个，为正整数， 根据题意列不等式组得， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得，即， 因此不等式组的解集为， 因为为正整数， 所以可以取27，28，29，共3种采购方案. 设总费用为元，则， 因为， 所以随的增大而增大， 因此当时，最小，此时， 答：共有3种采购方案，采购笔筒27个、马克杯23个时所需费用最少． 题型8 不等式组的阶梯收费问题 【例8】为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【变式训练8-1】已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 【变式训练8-2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【变式训练8-3】为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 1．某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“原本未达到满减，加购元后满足满减优惠”列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵小王需要加购商品才能满足优惠条件，说明原本元未达到满减门槛，加购后总金额满足满减要求， ∴可得不等式组 ， 解得， ∴的取值范围是． 2．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金(元)，并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 【详解】解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 3．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．这些图书有（     ） A．23本 B．24本 C．25本 D．26本 【答案】D 【分析】设有名同学，本图书，根据题意列出方程和不等式组，利用人数和图书数为正整数确定人数，再计算图书总数即可． 【详解】解：设有本图书，名同学，根据题意得 ，， 将代入不等式组，得 化简得 解不等式，得 解不等式，得 ∴ ∵ 为正整数， ∴ 将代入，得 ， 即这些图书有26本． 4．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得到钢笔总数，再表示出最后一名同学分得的钢笔数量，结合数量范围列出不等式组即可. 【详解】解：班级共有名学生，每人分支剩余支， 钢笔总数为支， 若每人分支，只有最后一名同学分得的数量不足支，则前名同学共分得支， 最后一名同学分得的钢笔数量为支， 最后一名同学分到钢笔数量大于，且不足支， ． 5．已知温柑一个要4文钱，绿橘一个要2文钱，匾橘一个只要1文钱．现在拿70文钱买这三种橘子（都买），总共买60个．请根据以上内容计算总共有（    ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意设未知数列出方程，结合三种橘子都买即，，均为正整数的条件，枚举得到符合要求的方案数即可． 【详解】设购买温柑个，绿橘个，匾橘个，由题意得均为正整数， 用第二个方程减去第一个方程消去得：，即 三种橘子都买， ，解得 为正整数， 可取： 当时，，满足，符合要求； 当时，，满足，符合要求； 当时，，满足，符合要求； 因此总共有种购买方案． 6．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划拿出1200元钱全部用于购买排球和足球（两种都买），已知排球每个80元，足球每个60元，则购买方案有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】根据总费用列出方程后，结合购买数量为正整数且两种球都购买的要求，找出所有符合条件的解，即可得到方案数量． 【详解】解：设购买排球个，购买足球个， 由题意可知，，均为正整数， 根据总费用可得方程：， 整理得，， 变形得，． ∵是正整数，且， ∴是整数，且两种球都买，即， 是3的倍数，且， 的取值为，，，，对应的取值为，，，，均符合要求， 因此，共有4种购买方案． 7．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 8．绿植进教室，书香伴成长．为了美化学习环境，某班级购进了一批多肉盆栽，班主任准备分发给几名同学养护，如果每人分盆，剩余盆；如果前面每名同学分盆，最后一人分到盆栽，但不足盆，则分发给（  ）名同学养护 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设同学人数为，表示出多肉总数和最后一名同学分得的多肉数量，根据题干条件列出不等式组，求解后取正整数解即可得到结果． 【详解】解：设分发给名同学养护， 则多肉总盆数为盆， ∵最后一人分到盆栽，但不足盆， ∴ 由得， 由得， 因此不等式组解集为 ∵是正整数， ∴ ， 即分发给名同学养护． 9．某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品件，依题意可列不等式组得（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据甲商品件数为件，用含的式子表示出乙商品的购买件数，利用甲乙的总件数不少于件和甲乙总费用不超过元分别列不等式即可． 【详解】解：设购买甲商品件，则购买乙商品件， 依题意得：． 10．如图，七年级（1）班数学学习兴趣小组的同学们设计了一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序运行两次就停止可得第一次输入，其结果；第二次输入，其结果，据此建立一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意得：第一次输入，其结果；第二次输入，其结果， 即， 解得． 11．为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 【答案】(1)每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元 (2)3平方米和4平方米 【分析】（1）设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元； （2）解：设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米， 根据题意得： 解得：， 因为t为正整数， 所以或， 即黄瓜种植面积的所有可能整数值为3平方米和4平方米． 12．项目式学习： 【项目主题】 选择最少费用的方案． 【项目背景】 2026年马年春晚中，人形机器人《武》是科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 【数据收集】 ①企业要求购进的B型号智能机器人台数不超过A型号智能机器人台数的2倍； ②总费用不超过860万元； ③下表是该企业购买记录单上的部分信息： 购买A型号智能机器人/台 购买B型号智能机器人/台 总费用/万元 1 2 140 2 3 240 【问题解决】 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)该企业现计划采购A型号和B型号智能机器人共18台，请求出总费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型号智能机器人的单价为60万元，B型号智能机器人的单价为40万元 (2)总费用最少的购买方案是购买A型号机器人6台，B型号机器人12台 【分析】（1）设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元、y万元，根据【数据收集】中的③列方程组求解即可； （2）设购买A型号机器人m台，则购买B型号机器人台，根据【数据收集】中的①②列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元、y万元． 根据题意，得， 解得， 答：A型号智能机器人的单价为60万元，B型号智能机器人的单价为40万元． （2）解：设购买A型号机器人m台，则购买B型号机器人台． 根据题意，得， 解得． 是整数， 或7， 当时，总费用为（万元）， 当时，总费用为（万元）． ， 当购买A型号机器人6台，B型号机器人12台时，总费用最少． 答：总费用最少的购买方案是购买A型号机器人6台，B型号机器人12台． 13．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 【答案】(1)喇叭的单价为元，小红旗的单价为元 (2)元 【分析】（1）设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元，根据“购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同．”列出方程，即可求解； （2）设一横排有人，根据“排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元， 由题意得， ， 解得． ． 答：喇叭的单价为元，小红旗的单价为元． （2）解：设一横排有人， 由题意得，， 即，即 为整数，且， ． （元）． 答：排舞运动协会购买小红旗共花费了元． 14．华兴智能家居专卖店智能手环柜台销售甲、乙两种型号的智能手环，进价分别为元，元．近两周销售情况如下： 销售时段 甲型号数量 乙型号数量 销售收入 第一周 个 个 元 第二周 个 个 元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求甲、乙两种型号的智能手环的销售单价； (2)若华兴智能家居专卖店计划用不超过元的金额再采购这两种型号智能手环共个，求甲型号智能手环最多能采购多少个？ (3)在（2）的条件下，华兴智能家居专卖店智能手环柜台销售完这个智能手环的利润能否超过元？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)甲型号智能手环销售单价为元，乙型号智能手环销售单价为元 (2)甲型号智能手环最多能采购个 (3)能实现利润超过元的目标，采购方案如下： 甲型号智能手环采购个，乙型号智能手环采购个时，总利润为元； 当甲型号智能手环采购个，乙型号智能手环采购个时，总利润为元． 【分析】（1）由等量关系：甲型号智能手环的数量甲型号智能手环单价乙型号智能手环的数量乙型号智能手环单价销售总收入，列方程组求解即可； （2）由不等关系：甲型号智能手环采购的数量甲型号智能手环的进价（甲型号智能手环采购的数量） 乙型号智能手环的进价，列不等式求解即可； （3）由不等关系：甲型号智能手环的销售数量甲型号智能手环单件商品的利润+（甲型号智能手环采购的数量）乙型号智能手环单件商品的利润，结合第（2）小问即可求得． 【详解】（1）解：设甲型号的智能手环的销售单价为元，乙型号的智能手环的销售单价为元， ， 解得， 答：甲型号的智能手环的销售单价为元，乙型号的智能手环的销售单价为元； （2）解：设甲型号智能手环采购个，则乙型号智能手环采购个， 解得 答：甲型号智能手环最多能采购30个； （3）解：设甲型号智能手环采购个，则乙型号智能手环采购个， 解得 当，为正整数时，能实现利润超过元的目标， 采购方案如下：甲型号智能手环采购个，乙型号智能手环采购个时，总利润为元； 当甲型号智能手环采购个，乙型号智能手环采购个时，总利润为元． 15．为助力广西红糖特色产业发展，搭建产销对接渠道，当地农产品加工厂依托本地甘蔗原料甲、秘制糖浆原料乙，加工礼盒装古法红糖、袋装红糖两种特色产品，工厂现有甲原料350千克，乙原料290千克，生产单件产品用料如下： 每件礼盒装古法红糖需要使用甲原料9千克、乙原料3千克； 每件袋装红糖需要使用甲原料4千克、乙原料10千克． (1)若要把甲、乙两种原料刚好用尽，求礼盒装古法红糖、袋装红糖分别生产多少件； (2)现计划一共生产两款红糖50件，生产过程中甲、乙原料消耗量均不能超过现有库存，请问共有几种生产方案，并逐一写出所有方案． 【答案】(1)礼盒装古法红糖生产30件，袋装红糖生产20件 (2)共有1种生产方案：礼盒装古法红糖生产30件，袋装红糖生产20件 【分析】（1）设礼盒装古法红糖生产x件，袋装红糖生产y件，根据甲、乙两种原料刚好用尽建立方程组求解即可； （2）设礼盒装古法红糖生产m件，则袋装红糖生产件，根据生产过程中甲、乙原料消耗量均不能超过现有库存建立不等式组求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设礼盒装古法红糖生产x件，袋装红糖生产y件， 由题意得，， ∴， 答：礼盒装古法红糖生产30件，袋装红糖生产20件； （2）解：设礼盒装古法红糖生产m件，则袋装红糖生产件， 由题意得， 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为， ∴， ∴， 答：共有1种生产方案：礼盒装古法红糖生产30件，袋装红糖生产20件． 16．【问题】已知，且，试确定的取值范围． 【方法】由可知．由可知即，从而可以得到． 因为，所以由可得．即． 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知，且，求的取值范围． (2)已知，且，设，求的最大值与最小值的差． (3)一家家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）的定价范围． 【答案】(1) (2) (3) 一套桌椅定价范围为不少于元，不超过元 【分析】（1）先表示出，再结合可得，然后得出，接下来根据可得，则此题可解； （2）先表示出，再根据可得，然后整理得出，进而得出，则此题可解； （3）先设一把椅子的售价为x元，则一张桌子的售价为元，根据题意得出不等式组，并求出解集，再得出一套桌椅的定价为，并求出取值范围即可得出答案． 【详解】（1）解：已知，则， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 由， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 由， ∴， ∴， ∴t的最大值为，最小值为， 所以最大值与最小值的差为； （3）解：设一把椅子的售价为x元，则一张桌子的售价为元，根据题意，得 ， 解得， 一套桌椅的定价为， ∵， ∴， ∴， 所以出售一套桌椅的定价的范围不少于280元，不超过340元． 17．某校组织七年级师生到红色教研基地开展春季研学活动，需要联系客运公司租用客车，已知：①租用2辆A型客车和1辆B型客车满载能坐师生110人；租用1辆A型客车和2辆B型客车满载能坐师生130人②本次参加研学的师生共有240人；A型客车每辆租金600元，B型客车每辆租金700元③学校计划租A型和B型客车共9辆，在保证一次性将全部师生送到目的地的前提下，租车费用不超过5800元，请你解决以下问题： (1)每辆A型客车和B型客车各能坐多少人？ (2)有哪几种租车方案？哪种最省钱？ 【答案】(1)每辆A型客车能坐30人，B型客车能坐50人 (2)方案1：A型客车5辆，B型客车4辆 方案2：A型客车6辆，B型客车3辆 方案3：A型客车7辆，B型客车2辆 方案4：A型客车8辆，B型客车1辆 方案5：A型客车9辆，B型客车0辆； 租用9辆A型客车费用最低，最低费用5400元； 【分析】（1）设每辆A型客车能坐x人，B型客车能坐y人，根据“租用2辆A型客车和1辆B型客车满载能坐师生110人；租用1辆A型客车和2辆B型客车满载能坐师生130人”可列二元一次方程组，求解即可； （2）设租用A型客车辆，租用B型客车辆，根据题意可列一元一次不等式组，求出的整数解，可得方案数，分别求出每种方案的费用，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型客车能坐x人，B型客车能坐y人，根据题意得： 解得： 答：每辆A型客车能坐30人，B型客车能坐50人 （2）解：设租用A型客车辆，租用B型客车辆，根据题意可列 解之得 为正整数，结合总车辆数为9， 、、、、、共有5种租车方案 方案1：Ａ型客车5辆，Ｂ型客车4辆，费用为：（元）； 方案2：Ａ型客车6辆，Ｂ型客车3辆，费用为：（元）； 方案3：Ａ型客车7辆，Ｂ型客车2辆，费用为：（元）； 方案4：Ａ型客车8辆，Ｂ型客车1辆，费用为：（元）； 方案5：Ａ型客车9辆，Ｂ型客车0辆，费用为：（元）； 答：租用9辆Ａ客车费用最低，最低费用5400元 18．某公园的普通门票票价为每张元，门票仅限当日有效．为了满足游客的多样化需求并吸引更多游客，公园管理处还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）．年票分A，B，C三类：A类年票每张元，持票者进入公园时无需再购买门票；B类年票每张元，持票者进入公园时，需再购买门票，每次元；C类年票每张元，持票者进入该公园时，需再购买门票，每次元． (1)已知甲、乙两名游客均只选择一种年票游玩一年，甲购买B类年票，乙购买C类年票，两人全年入园总次数为次，两人全年公园门票总消费金额为元．请求出甲、乙两人各自的入园次数． (2)如果你只选择一种购票方式，并且你计划在一年中花元在该公园的门票上，试通过计算，从以上种购票方式中找出进入该公园次数最多的购票方式； (3)一年中至少需要进入该公园多少次，购买A类年票才会比其他任何购票方式划算． 【答案】(1)甲游客入园次数为次，乙游客入园次数为次 (2)购买C类门票可进入公园的次数最多，为次 (3)次 【分析】（1）设甲游客入园次数为x次，乙游客入园次数为y次，根据两人全年入园总次数为次，两人全年公园门票总消费金额为元建立方程组求解即可； （2）分别计算出以上种购票方式能进入该公园的次数即可得到答案； （3）设一年进入公园次，购买A类年票比较划算，根据题意建立不等式组求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲游客入园次数为x次，乙游客入园次数为y次， 由题意得，， 解得， 答：甲游客入园次数为次，乙游客入园次数为次； （2）解：如果购买普通门票，那么可以进入公园（次）； ∵， ∴不能选择购买A类年票； 如果选择购买B类年票，那么可以进入公园（次）； 如果选择购买C类年票，那么可以进入公园（次）； ∴如果计划共花费元购买该公园的门票，那么选择购买C类年票可进入公园的次数最多，为次． （3）解：设一年进入公园次，购买A类年票比较划算， 由题意得，， 解得，且为整数， ∴m的最小值为31， 答：一年中至少需要进入该公园次，购买A类年票才会比其他任何购票方式划算． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 不等式与不等式组应用题专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 不等式与不等式组应用题解题基本步骤 知识点二 不等式与不等式组应用题主要涉及的公式 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 根据实际问题列二元一次方程 题型2 方案选择问题 题型3 行程问题 题型4 工程问题 题型5 数字问题 题型6 年龄问题 题型7 分配问题 题型8 销售利润问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 不等关系建模能力：识别 “至少、至多、不超过、不少于、不足、不低于” 等标志性关键词，从题干中提取有效不等关系，正确设元并列出一元一次不等式或不等式组，是本专题的核心基础考点。 · 经典题型场景应用：覆盖销售利润、方案选择、行程、工程、分配配套、数字年龄、几何图形七大主流题型，掌握各类场景的基础数量关系，结合不等关系求解解集，是本专题核心考查内容。 · 解集的实际意义筛选：结合生活实际约束（人数、物品数、车辆数为正整数，长度、价格为正数等），从解集中筛选符合要求的整数解、特殊解，进而求解最值（最大利润、最小成本、最短工期等）。 · 方案设计与优化：根据多个限制条件列不等式组，确定可行解的取值范围，枚举所有有效方案，通过计算总成本、总收益等指标对比选出最优方案，是中档题与压轴题的核心考点。 · 综合信息转化：从表格、统计图等图表材料，或 “方程 + 不等式” 复合情境中提取多组数量关系，完成混合建模，考查综合信息处理与知识融合应用能力。 · 基础命题：以单一情境的不等式列写、简单解集求解为主，题干条件清晰、关键词明确，多以选择题、填空题形式考查，侧重基础建模能力与不等式运算规则的掌握，难度较低。 · 综合命题：多以 “二元一次方程组 + 不等式组” 的复合形式出现，将销售利润、物资分配、租车租船等场景与方案设计结合，设置多重限制条件，考查多步推理与分类讨论能力，以解答题中档题为主。 · 素养命题：依托真实生活情境（如消费优惠、工程工期、环保节能、物资调配）、开放性设问命题，弱化固定解题套路，侧重考查数学建模、逻辑推理与实际问题解决的核心素养，贴合中考命题的实践性、创新性趋势。 考情解码： · 模块地位：本专题是七年级下册代数核心重难点，是不等式基本性质的落地应用，承接一元一次方程、二元一次方程组的应用体系，也是后续学习函数最值、不等式综合应用的重要基础，在初中代数体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择、填空、解答题，分值占比 12%–16%；中考中属于方程与不等式模块的高频考点，多以中档解答题呈现，分值 7–10 分。 · 高频考法：方案选择与优化、销售利润问题、分配配套问题考查频次最高，是解答题的核心命题方向；行程、工程、几何不等关系多以基础题、中档题形式出现；图表信息类、方程组与不等式综合题是近年考试的热点考法。 · 失分规律：不等号方向与题意匹配错误、不等式乘除负数时忘记变号，是基础运算的高频失分点；忽略实际意义检验、漏算整数解、方案枚举不全，是中档题的主要丢分点；多限制条件审题遗漏、复杂情境建模偏差，是本专题拉开分差的核心原因。 知识点一 不等式与不等式组应用题解题基本步骤 （1）审：弄清题意，梳理题目中的已知量、未知量，抓取“不超过、至少、不少于、不足”等不等关系关键词，找准题目中对应的限制条件与数量边界； （2）设：根据题意合理选择直接设元或间接设元，将核心未知量设为未知数，规范书写单位，明确未知数的实际取值限制； （3）列：根据挖掘出的不等关系，列出对应的一元一次不等式或不等式组，确保不等号方向与题意表述完全匹配； （4）解：按照不等式运算法则求解不等式（组），得出未知数的解集，注意乘除负数时不等号方向需改变的运算规则； （5）验：检验解集计算是否准确，同时结合生活实际筛选有效解（如人数、物品数量取正整数），确定符合题意的整数解或最值解； （6）答：规范书写完整答案，方案类问题需明确列出所有可行方案，最值问题需指明最大/最小值，对应题目问题作答。 知识点二 不等式与不等式组应用题主要涉及的公式 （一）行程问题 行程问题基本数量关系：速度×时间=路程。单位不同时，先统一单位。 1. 限时行程问题 规定时间内行驶路程≥目标总路程 实际行驶时间≤规定最长时间 2. 追及与相遇不等关系 追及达标：速度差×时间≥初始相距路程 相遇限制：速度和×时间≤总路程 3. 行船问题 船顺水速度=船静水速度+水速 船逆水速度=船静水速度-水速 （二）利润问题 利润问题基本数量关系： ① 利润=售价-成本（进价） ② 销售额=单价×销售数量 ③ 利润率=利润÷成本（进价）×100% ④ 售价=标价×折扣 ⑤ 利润=进价×利润率 ⑥ 盈利限制：总利润≥预期利润；利润率≥最低利润率 ⑦ 成本控制：总成本≤预算总额 （三）工程问题 工程问题基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间 1. 合作工程 合作总效率=各主体工作效率之和 合作工作总量=合作总效率×合作工作时间 2. 工期限制 总工作量≥要求完成工作量 总工期≤规定最长工期 3. 常规设定 无具体工作总量时，通常将总工作量记为单位“1”，单主体工作效率=1÷单独完成工作的时长 （四）分配与配套问题 1. 盈亏分配 物品总数量=每份分配量×份数+剩余量（盈） 物品总数量=每份分配量×份数-缺少量（亏） 分配上限：所需物品总数≤现有物品总数 2. 配套比例 若甲、乙两种部件按 m:n 组装成一套成品，则 甲部件总数量×n = 乙部件总数量×m 配套限制：可组装成品总数≤两种部件各自可配套的最大数量 （五）和差倍分问题 基本数量关系： 总量=甲量+乙量 相差量=较大量-较小量 甲量=乙量×倍数 不等对应关系： “不超过、至多”对应 ≤；“至少、不少于”对应 ≥ “大于、超过”对应 ＞；“小于、不足”对应 ＜ （六）数字与年龄问题 1. 多位数数值表示 两位数数值=10×十位数字+个位数字 三位数数值=100×百位数字+10×十位数字+个位数字 数位取值限制：各数位数字为0-9的整数，最高位数字不为0 2. 年龄问题 核心规律：两人的年龄差始终保持不变 n年后的年龄=当前年龄+n n年前的年龄=当前年龄-n （七）几何图形问题 1. 周长类 长方形周长=2×(长+宽) 正方形周长=4×边长 材料限制：图形总周长≤材料总长度 2. 面积类 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长² 三角形面积=½×底×高 面积要求：图形总面积≥目标面积 （八）方案优化问题 核心计算关系： 单方案总成本=固定成本+单位成本×数量 单方案总收益=单位收益×数量-固定成本 最优方案判定：在解集的有效取值范围内，对比各方案的总成本/总收益，选取成本最低或收益最高的方案 题型1 用一元一次不等式解决实际问题 【例1】端午节前夕，石狮本地一家食杂店售卖端午伴手礼：精品闽南烧肉粽礼盒每盒42元，手工艾草祈福香包每个6元．小亮的妈妈置办过节礼品，她的总花费预算不超过260元，她先选购了5盒烧肉粽礼盒，余下的钱用于购买艾草香包，则她可购买香包的数量最多为（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式训练1-1】某客运站开展优质服务活动，雷锋号窗口每分钟服务1位顾客，窗口开始售票时，已有10位顾客在等待购票，窗口工作5分钟后，有1位新顾客到达且预计以后此后每隔2分钟有1位新顾客到达，预计从第位新顾客开始不用排队等候，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练1-2】某乒乓球馆有两种计费方案：包场计费：包场每场每小时50元，每人要另付入场费5元；人数计费：每人打球2小时20元，继续打球每人每小时6元．李强和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们参与打球的人数至少为（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式训练1-3】某数码店购进一款每个进价为40元的蓝牙耳机，每个标价55元出售，为吸引顾客，现在搞降价促销活动，若店家规定利润率不能低于，则这款耳机最多可以降（     ）元． A．5 B．6 C．7 D．8 题型2 用一元一次不等式解决几何问题 【例2】已知，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足． (1)求点，的坐标； (2)若点为直线上一动点（异于点，），且，求点横坐标的取值范围． 【变式训练2-1】如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【变式训练2-2】如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 【变式训练2-3】如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 题型3 列一元一次不等式组 【例3】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 题型4 不等式组的行程问题 【例4】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【变式训练4-1】热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【变式训练4-2】综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【变式训练4-3】校运动会前，数学兴趣小组对400米跑道（由两条直道和两个半圆弯道构成）和米接力赛进行了研究． (1)若弯道直径比直道短12米．若跑道内圈周长为400米，取3．求弯道直径（结果保留整数）． (2)若每条跑道宽为米，为使米接力时每队跑的距离都是400米，第2道的起跑线应比第1道前移多少米？（结果保留和） (3)在米接力赛中，接力区总长是30米，前20米为预跑区，后10米为传接棒区．甲匀速冲向接力区，乙在接力区起点处静止．当甲距乙20米时，乙由静止开始匀加速起跑（匀加速运动中，若初速度为0，末速度为，则平均速度为），乙用10米距离加速到恒定速度，之后保持匀速跑．已知甲的速度比乙的恒定速度快2米/秒．为保证在传接棒区内完成交接，求乙的恒定速度的取值范围． 题型5 不等式组的经济问题 【例5】为丰富校园劳动实践活动，学校将一块的菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．同学们在这块菜地上种植了两季的甲、乙两种蔬菜，第一季的甲、乙的种植成本分别为5元和6元，第二季的甲、乙的种植成本分别为6元和8元，第二季甲、乙种植面积与第一季相同，第二季的种植总成本比第一季多了16元． (1)求甲、乙两种蔬菜的种植面积各为多少？ (2)若第三季甲、乙的种植成本与第二季相同，甲、乙两种蔬菜每季产量分别是、．班级计划第三季调整种植面积，使得两种蔬菜的总产量不低于100千克且种植总成本不超过80元，请求出甲种植面积的所有可能整数值． 【变式训练5-1】某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍，已知购进A款蒙古袍3件和B款蒙古袍4件，共需670元；购进A款蒙古袍2件和B款蒙古袍5件，共需680元．销售一件A款蒙古袍可获利20元，销售一件B款蒙古袍可获利30元． (1)A、B两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ (2)若已知购进A款蒙古袍的数量是B款蒙古袍数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且A款蒙古袍不多于28件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 【变式训练5-2】2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． (1)求甲、乙两种飞船模型的销售单价； (2)班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； (3)供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 【变式训练5-3】滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若小城计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？ 题型6 不等式组的分配问题 【例6】为建设数字化智慧教室，某校总务处计划批量采购智能学习平板与迷你错题打印机两款现代科技学习设备，用于各班自习室配备．商家给出两次批量采购的报价明细固定不变，两次采购数量、对应总费用统计如下表 采购批次 智能学习平板（台） 迷你错题打印机（台） 本次采购总费用（元） 第一批采购 2 3 3740 第二批采购 5 2 8360 (1)请求出智能学习平板、迷你错题打印机的单价分别为多少元？ (2)学校第三批采购计划一次性采购两种设备总数一共40台，财务处规定采购迷你错题打印机数量不能少于15台，且本次所有设备总花费不能超过40000元．求最多可以采购多少台智能学习平板？ 【变式训练6-1】综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 【变式训练6-2】把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分5个，则最后一个学生能分到苹果，但最多分3个．用不等式组的知识求出可能有几人和相应的苹果数． 【变式训练6-3】用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 题型7 不等式组的方案选择问题 【例7】某地举办半程马拉松比赛，设计了A型和B型两款纪念品．其中A型纪念品的单价比B型纪念品的单价多20元；用1500元购买A型纪念品的数量是用400元购买B型纪念品的数量的3倍． (1)求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种型号纪念品共70个，要求购进A型纪念品的数量不少于B型纪念品的数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【变式训练7-1】列方程（组）或不等式（组）解决问题． 某文具店计划购进A、B两种笔记本，已知A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元． (1)求A、B两种笔记本的进价； (2)文具店第二次又购进A、B两种笔记本共100本（两种笔记本均购买），且投入的资金不超过1206元．已知A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．若全部按标价售出，并且总利润不少于800元，请问共有几种购买方案． 【变式训练7-2】年月日至日漯河食品博览会在漯河国际会展中心举办，本届展会主题为“世界眼光、中国经典、河南名品”，漯河产地的卫龙辣条类零食和欧麦坚果芙饼干颇受采购商欢迎．经现场了解，购买箱卫龙食品和箱欧麦饼干需元，购买箱卫龙食品和箱欧麦饼干需元． (1)求购买箱卫龙食品和箱欧麦饼干的价格分别是多少元？ (2)外地零售商李老板打算在食品博览会上购买卫龙食品和欧麦饼干共箱，且购买的欧麦饼干的数量不多于卫龙食品的倍，计划总费用不超过元．则共有哪几种购买方案？ 【变式训练7-3】某文具店计划购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元；购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． (1)求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)该店计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过808元，请通过计算说明该店共有几种采购方案？哪种采购方案所需费用最少？ 题型8 不等式组的阶梯收费问题 【例8】为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【变式训练8-1】已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【变式训练8-2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【变式训练8-3】为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 1．某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 3．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．这些图书有（     ） A．23本 B．24本 C．25本 D．26本 4．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 5．已知温柑一个要4文钱，绿橘一个要2文钱，匾橘一个只要1文钱．现在拿70文钱买这三种橘子（都买），总共买60个．请根据以上内容计算总共有（    ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 6．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划拿出1200元钱全部用于购买排球和足球（两种都买），已知排球每个80元，足球每个60元，则购买方案有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 7．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 8．绿植进教室，书香伴成长．为了美化学习环境，某班级购进了一批多肉盆栽，班主任准备分发给几名同学养护，如果每人分盆，剩余盆；如果前面每名同学分盆，最后一人分到盆栽，但不足盆，则分发给（  ）名同学养护 A． B． C． D． 9．某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品件，依题意可列不等式组得（     ）． A． B． C． D． 10．如图，七年级（1）班数学学习兴趣小组的同学们设计了一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 12．项目式学习： 【项目主题】 选择最少费用的方案． 【项目背景】 2026年马年春晚中，人形机器人《武》是科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 【数据收集】 ①企业要求购进的B型号智能机器人台数不超过A型号智能机器人台数的2倍； ②总费用不超过860万元； ③下表是该企业购买记录单上的部分信息： 购买A型号智能机器人/台 购买B型号智能机器人/台 总费用/万元 1 2 140 2 3 240 【问题解决】 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)该企业现计划采购A型号和B型号智能机器人共18台，请求出总费用最少的购买方案． 13．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 14．华兴智能家居专卖店智能手环柜台销售甲、乙两种型号的智能手环，进价分别为元，元．近两周销售情况如下： 销售时段 甲型号数量 乙型号数量 销售收入 第一周 个 个 元 第二周 个 个 元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求甲、乙两种型号的智能手环的销售单价； (2)若华兴智能家居专卖店计划用不超过元的金额再采购这两种型号智能手环共个，求甲型号智能手环最多能采购多少个？ (3)在（2）的条件下，华兴智能家居专卖店智能手环柜台销售完这个智能手环的利润能否超过元？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 15．为助力广西红糖特色产业发展，搭建产销对接渠道，当地农产品加工厂依托本地甘蔗原料甲、秘制糖浆原料乙，加工礼盒装古法红糖、袋装红糖两种特色产品，工厂现有甲原料350千克，乙原料290千克，生产单件产品用料如下： 每件礼盒装古法红糖需要使用甲原料9千克、乙原料3千克； 每件袋装红糖需要使用甲原料4千克、乙原料10千克． (1)若要把甲、乙两种原料刚好用尽，求礼盒装古法红糖、袋装红糖分别生产多少件； (2)现计划一共生产两款红糖50件，生产过程中甲、乙原料消耗量均不能超过现有库存，请问共有几种生产方案，并逐一写出所有方案． 16．【问题】已知，且，试确定的取值范围． 【方法】由可知．由可知即，从而可以得到． 因为，所以由可得．即． 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知，且，求的取值范围． (2)已知，且，设，求的最大值与最小值的差． (3)一家家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）的定价范围． 17．某校组织七年级师生到红色教研基地开展春季研学活动，需要联系客运公司租用客车，已知：①租用2辆A型客车和1辆B型客车满载能坐师生110人；租用1辆A型客车和2辆B型客车满载能坐师生130人②本次参加研学的师生共有240人；A型客车每辆租金600元，B型客车每辆租金700元③学校计划租A型和B型客车共9辆，在保证一次性将全部师生送到目的地的前提下，租车费用不超过5800元，请你解决以下问题： (1)每辆A型客车和B型客车各能坐多少人？ (2)有哪几种租车方案？哪种最省钱？ 18．某公园的普通门票票价为每张元，门票仅限当日有效．为了满足游客的多样化需求并吸引更多游客，公园管理处还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）．年票分A，B，C三类：A类年票每张元，持票者进入公园时无需再购买门票；B类年票每张元，持票者进入公园时，需再购买门票，每次元；C类年票每张元，持票者进入该公园时，需再购买门票，每次元． (1)已知甲、乙两名游客均只选择一种年票游玩一年，甲购买B类年票，乙购买C类年票，两人全年入园总次数为次，两人全年公园门票总消费金额为元．请求出甲、乙两人各自的入园次数． (2)如果你只选择一种购票方式，并且你计划在一年中花元在该公园的门票上，试通过计算，从以上种购票方式中找出进入该公园次数最多的购票方式； (3)一年中至少需要进入该公园多少次，购买A类年票才会比其他任何购票方式划算． 学科网（北京）股份有限公司 $