10.4三元一次方程组的解法(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

10.4三元一次方程组的解法 板块一：知识精讲 1．解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 2．三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 板块二：典题精练 一、单选题 1．已知，，，则等于（    ） A．0 B．7 C．8 D．9 2．已知整数，满足，且，那么的值等于（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．14或17 3．若3x+5y+6z＝5，4x+2y+z＝2，则x+y+z的值等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．不能求出 4．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？(　　) A．80 B．110 C．140 D．220 5．解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　） A．①③，①②B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③ 6．若，则等于（    ） A． B． C．2 D． 7．解下面的方程组时，要使解法较为简便，应（　　） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 8．今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（　 ）种 A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题 9．现有一项工作，A、B、C、D、E五人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间： 组合 A与B B与C A与C B与D C与E 所需时间 7天 9天 11天 14天 16天 要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排 ． 10．解三元一次方程组经过①－③和③×4＋②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是 ． 11．某销售商国庆节期间销售阿尔卑斯、大白兔、不二家三种糖果的数量之比，阿尔卑斯、大白兔、不二家三种糖果的单价之比为．十一月份该销售商为了迎接双“十一”加大了宣传力度．预计三种糖果的营业额都会增加．其中阿尔卑斯种糖果增加的营业额占总增加的营业额的，此时，阿尔卑斯种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业颁之比为，为使十一月份大白兔、不二家两种糖果的营业额之比为，则十一月份不二家糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为 ． 12．山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要 分钟恰好把池塘中的水抽完． 13．当时，代数式的值是5；当时，代数式的值是0；当时，代数式的值是；则当时，代数式的值是 ． 14．为响应“双十二购物狂欢节”活动，某零食店推出了甲、乙、丙三类饼干礼包，已知甲、乙、丙三类礼包均由、、三种饼干搭配而成，每袋礼包的成本均为、、三种饼干成本之和.每袋甲类礼包有5包种饼干、2包种饼干、8包种饼干；每袋丙类礼包有7包种饼干、1包种饼干、4包种饼干.已知甲每袋成本是该袋中种饼干成本的3倍，利润率为，每袋乙的成本是其售价的，利润是每袋甲利润的；每袋丙礼包利润率为.若该网店12月12日当天销售甲、乙、丙三种礼包袋数之比为，则当天该网店销售总利润率为 . 三、解答题 15． 16．解方程组： 17．甲、乙、丙三人到集邮市场，甲买了A种邮票3张、B种邮票2张、C种邮票1张，按票值付款13元；乙买了A种邮票1张、B种邮票1张、C种邮票2张，按票值付款7元；丙买了A种邮票2张、B种邮票3张、并卖出C种邮票1张，按票值结算还要付12元，问A、B、C三种邮票面值各多少元？ 18．甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解对其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多？(多的比少的)多几道题？ 19．关于x的代数式，当时，其值为；当时，其值为3；当时，其值为35； (1)求a，b，c的值 (2)当时，求代数式的值． 20．初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． (1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； (2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； (3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】解三元一次方程求出x、y、z的值即可得到答案． 【详解】解： 得：， 得：，解得， 把代入到②③得：，解得， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程，正确求出x、y、z的值是解题的关键． 2．A 【分析】根据绝对值的定义和已知条件，得出|x+y|，|x-y|式子的范围，把已知化简，从而确定x，y，z的值即可求解． 【详解】解：∵x≤y＜z， ∴|x-y|=y-x，|y-z|=z-y，|z-x|=z-x， 因而第二个方程可以化简为： 2z-2x=2，即z=x+1， ∵x，y，z是整数， 根据非负性可知，必有一加数为0， ∵x≤y＜z， ∴只可能是，即， 将，z=x+1，代入，化简可得： ，显然x只可能是， 根据x，y，z是整数讨论可得：x=y=-1，z=0， ∴x2+y2+z2=（-1）2+（-1）2+0=2． 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值的定义和三元一次方程组的解法，确定x，y，z的值是解题的关键． 3．B 【分析】两方程的两边分别相加，即可得出7x+7y+7z＝7，再两边除以7即可． 【详解】由题意得： ①+②得：7x+7y+7z＝7， 即x+y+z＝1， 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是学会利用整体的思想思考问题，属于中考常考题型. 4．B 【详解】设甲、乙、丙三个杯子原来有水aml,bml.cml, . 故选B. 5．C 【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去． 【详解】解：解三元一次方程组， 得： 得： 方程组变形为，刚好消去z， 故选：C． 【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法． 6．A 【分析】根据平方和绝对值的非负性得到三元一次方程组，解方程组即可. 【详解】解：由，可得 解得则. 故选A. 【点睛】本题考查平方和绝对值的非负性以及解三元一次方程组，利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题关键． 7．C 【分析】经观察发现，3个方程中②中系数最小，②2+③即可消除z，先消去z，即可得到一个关于x、y的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 【详解】 ②2+③即可最快速消除z，到一个关于x、y的二元一次方程组. 故选C. 【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”’的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法. 8．D 【详解】分析：设小虎足球队踢平场数是所负场数的k倍，依题意建立方程组，解方程组从而得到用k表示的负场数，因为负场数和k均为整数，据此求得满足k为整数的负场数情况． 详解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得：     ， 把③代入①②得，解得：z=（k为正整数）．     又∵z为正整数，∴当k=1时，z=7；     当k=2时，z=5；     当k=16时，z=1．     综上所述：小虎足球队所负场数的情况有3种情况．     故选D． 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用．解答方程组是个难点，用了换元法． 9．B 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设A，B，C，D，E五人的工作效率分别为a，b，c，d，e，列方程组并解答得到a，b，c的值，即得，从左到右，5个组合依次记为组合1、组合2、组合3、组合4、组合5，根据组合1和4知，，由组合2和5知，，即B的效率比A、C、D、E都大，由此即可得到答案． 【详解】设A，B，C，D，E五人的工作效率分别为a，b，c，d，e， 则， 解得， ， 从左到右，5个组合依次记为组合1、组合2、组合3、组合4、组合5， 由组合1和4知，， 因此； 由组合2和5知，， 所以B的效率比A、C、D、E都大， 所以应该安排B． 故答案为：B． 10．. 【分析】根据加减消元的方法即可进行求解. 【详解】解：①－③得4x+3y=2, ③×4＋②得7x+5y=3, ∴消去未知数z后，得到的二元一次方程组是. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元的方法是解题关键. 11．/ 【分析】设月份阿尔卑斯、大白兔、不二家三种糖果的销售的数量分别为、、；单价分别为、、，设月份增加的总营业额为，通过分析题意，得出大白兔、不二家两种糖果的营业额之和为，得出十一月份阿尔卑斯种糖果的营业额为，三种糖果总营业额为，继而根据十一月份大白兔、不二家两种糖果的营业额之比为得出大白兔、不二家两种糖果的营业额分别为，，进而得出不二家糖果增加的营业额，即可求解． 【详解】解:设月份阿尔卑斯、大白兔、不二家三种糖果的销售的数量分别为、、；单价分别为、、， 月份阿尔卑斯、大白兔、不二家三种糖果的销售额分别为，，； 月份阿尔卑斯糖果增加的营业额占总增加的营业额的， 设月份增加的总营业额为，则月份阿尔卑斯增加的营业额为； 又阿尔卑斯糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业额之比为， ，解得， 十一月份阿尔卑斯种糖果的营业额为，三种糖果总营业额为， 大白兔、不二家两种糖果的营业额之和为， 若十一月份大白兔、不二家两种糖果的营业额之比为， 则大白兔、不二家两种糖果的营业额分别为，； 不二家糖果增加的营业额为 ， 十一月份不二家糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键． 12．12 【分析】设池塘中的水有a，泉水每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x，根据一台A型抽水机1小时后正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b；根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，得，用x表示a和b．设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再进一步根据3tx=a+bt求解即可． 【详解】解：设池塘中的水有a，泉水每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x， 根据题意，得， 解得：， 设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完， 则，解得：， ∴用三台A型抽水机同时抽，需要×60=12分钟恰好把池塘中的水抽完， 故答案为：12． 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解决此题的关键是能够设出辅助未知数，根据题目中的等量关系列方程组求解． 13． 【分析】根据题意列三元一次方程组，解得a、b、c，进而求得代数式的值． 【详解】解：根据题意可知： 当时，， 当时，， 当时，， 联立，得：， 解得：， 当时，， 故填：－3． 【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用三元一次方程组的解法，本题属于基础题型． 14．25% 【分析】设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z，从甲礼包入手，先求出5x=y+4z，再由甲的利润率求出甲礼包的售价为19.5x，成本15x；由乙礼包所提供的条件可求出乙礼包的售价为12x，成本为10x；由丙礼包的条件列出丙礼包的成本为7x+y+4z=12x，进而确定丙礼包的售价为15x，成本为12x；最后再由利润率的求法求出总利润率即可． 【详解】解：设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z，依题意得： 5x+2y+8z=15x， ∴5x=y+4z， 由甲礼包的利润率为30%，则可求甲礼包的售价为19.5x，成本15x； ∵每袋乙的成本是其售价的，利润是每袋甲利润， 可知每袋乙礼包的利润是：4.5x×=2x， 则乙礼包的售价为12x，成本为10x； 由丙礼包的组成可知，丙礼包的成本为：7x+y+4z=12x， ∵每袋丙礼包利润率为：25%， ∴丙礼包的售价为15x，成本为12x； ∵甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5， ∴， ∴总利润率是25%， 故答案为：25%． 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用；理解题意，能够通过已知条件逐步确定甲、乙、丙的售价与成本价是解题的关键． 15．． 【详解】根据三元一次方程组的特点，由①+②得出2x+3y=18④，②+③得出4x+y=16⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，把x=3，y=4代入①求出z即可． 解：由①+②得：2x+3y=18④， 由②+③得：4x+y=16⑤， 由④和⑤组成一个二元一次方程组：，解得：， 把x=3，y=4代入①得：3+4+z=12， 解得：z=5， 所以原方程组的解为：． 16． 【分析】先①②和②③消去后，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：， ①②得：④， ②③得：⑤， ④⑤得：， ④⑤得：， 把代入②得：， 所以方程组的解是：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元思想． 17．A种邮票面值2元，B种邮票面值3元，C种邮票面值1元． 【分析】假设A种邮票面值x元，B种邮票面值y元，C种邮票面值z元，利用甲、乙、丙购买的邮票种类和应付的钱数得出等式组成方程组求出即可． 【详解】设A种邮票面值x元，B种邮票面值y元，C种邮票面值z元， 根据题意可得解得 答：A种邮票面值2元，B种邮票面值3元，C种邮票面值1元． 【点睛】此题主要考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组. 18．难题多   20道 【分析】本题有三个未知数：难题个数、容易题个数、正好两人解出的题（中等难度的题）的个数，有两个等量关系： （1）难度题个数+容易题个数+中等难度题个数=100．（2）难题个数+容易题个数×3+中等难度题个数×2=60×3． 【详解】设难题道，容易题道，中等难度题道，则有 ， 由①×2-②，得. 所以难题比容易题多20题. 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”． 19．(1)，， (2)16 【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的三元一次方程组，进行计算即可解答； （2）根据（1）中算出的a，b，c，得到代数式，然后令代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：， （2）当时，， ∴的值为16． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键． 20．(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； (2)方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液；方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； (3)这批消毒液可使用5天． 【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，根据购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，全校师生一天共需要消毒液，列出方程组，变形后代入即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，由题意可得， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,则由题意可得， ， 整理得，， 当时，, 当时，, 当时，, 方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，则由题意可得， ， 由①得③， 把③代入②得，， 解得， 答：这批消毒液可使用5天． 【点睛】此题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$