专题08 不等式与不等式组应用【重难点培优：知识梳理+8大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版七年级下册数学重难点培优专题专练

专题08 不等式与不等式组应用重难点题型分类 【题型1：行程问题 1】 【题型2：工程问题 2】 【题型3：经济问题 3】 【题型4：分配问题 4】 【题型5：方案问题 6】 【题型6：阶梯收费问题 9】 【题型7：其他问题 10】 【题型8：压轴真题 13】 行程问题 1. 某款混动汽车有油、电两种驱动模式，且两种驱动模式不能同时使用．驾驶该混动汽车从甲地前往相距200km的乙地，两种驱动方式各行驶了100km ，共计花费 100 元．已知该车每行驶1km ，用电比用油的费用少 0.6元. (1)该车用油和用电行驶1km的费用各是多少元？ (2)该车从甲地行驶至乙地，若要使总费用不超过 88 元，则至少需用电行驶多少km？ 2．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 工程问题 1. 推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率，是新农村建设的一项重要举措．庐江县某村在小城镇建设中集约了 1000 亩土地，计划对其进行平整，经投标，由甲，乙两个工程队来完成平整任务，甲工程队每天可平整土地 30 亩，乙工程队每天可平整土地 25 亩，已知甲乙两工程队每天的工程费合计为 4200 元，而且甲工程队 11 天所需工程费与乙工程队 10 天所需工程费刚好相同. (1)甲乙两工程队每天各需工程费多少元？ (2)现由甲乙两工人队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过7.6 万元．求费用最少时，甲，乙工程队工作天数，以及最低费用。 经济问题 1．某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元． (1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ (2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？ 2．某地脱贫攻坚，大力发展有机农业，种植了甲、乙两种蔬菜．某超市花430元可购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克；花212元可购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克． (1)求该超市购进甲、乙两种蔬菜的单价分别为多少元？ (2)若该超市每天购进甲、乙两种蔬菜共计100千克（甲、乙两种蔬菜重量均为整数），且花费资金不少于1160元又不多于1200元，问该超市有多少种购进方案？ 3．随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售额 A型号 B型号 第一周 6台 8台 3040元 第二周 12台 7台 4280元 (1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价； (2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？ 分配问题 1. 用如图 1 所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图 2 所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板 张. （2）正方形纸板有 20 张，长方形纸板有a 张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若 a ≤ 55 ，则最多能做 个竖式纸盒. 2. 某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了n 块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有A ，B ， C 三种裁剪方式，如图，A方式：裁剪成6 个圆形底面和1个侧面．B方式：裁剪成3 个侧面． C 方式：裁剪成9 个圆形底面．已知2 个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有2 块金属板 材按 C 方式裁剪，其余都按A 、B 两种方式裁剪. (1)设有x 块金属板材按A 方式裁剪，y 块金属板材按B 方式裁剪. ①可以裁剪出圆形底面共 个（用含x 的代数式表示），侧面共 有 个（用含x ， y 的代数式表示）； ②当n=20 时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ (2)现将n 块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则n 的值可以是 ．（其中40 ≤ n ≤ 50 ） 3. 用若干张白卡纸做长方体包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张白卡纸可以做侧面 2 个，或者做底面 3 个．一个包装盒由 1 个侧面和 2 个底面组成. (1)若有白卡纸 21 张，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？ (2)若有白卡纸 20 张，且不允许套裁（1 张白卡纸只能做 2 个侧面或者只能做 3 个底面），那么最多能做多少个包装盒？ (3)若有白卡纸 20 张，且允许套裁（可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面），那么如何 分才能充分地利用这些白卡纸？这时能做出多少个包装盒？ 方案问题 1．牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱．该商店有哪几种进货方案？ 2．为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 3．吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件个共需要元，求m、n的值． (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？ 4．根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 阶梯收费问题题型6 1．某店铺销售一款可定制的纪念品，按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过200个的部分 3元/个 超过200个但不超过500个的部分 元/个 超过500个的部分 元/个 (1)若购买350个这款纪念品，需花费______元；若购买650个纪念品，花费______元． (2)某艺术团为纪念新年艺术演出活动，花了880元从该店铺定制了此次活动的纪念品，则该艺术团购买了多少个纪念品？ (3)艺术团团长看到可定制纪念品意义好，价格也比较合理，为宣传艺术团名声和打造品牌，决定定制一批艺术团的专有纪念品，后来看到专有纪念品受多人喜爱，又购进一批，两次共购买了850个，其中第二次购买的数量超过200个，且小于第一次购买的数量，两次共花费2430元，求第一次购买的数量． 2．为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市出台了居民用水“阶梯价格”制度来引导市民节约用水，下表是用水价格的标准： 阶梯 一户居民每月用水量 （单位：立方米） 水费价格 （单位：元/立方米） 一档 不超过15立方米 a 二档 超过15立方米的部分 b 已知该市某户居民今年4月份用水16立方米，缴纳水费50元；5月份用水20立方米，缴纳水费70元． （1）求出表格中a、b的值； （2）6月份是用水高峰期，该户居民计划6月份水费支出不超过85元，那么该户居民6月份最多可用水多少立方米？ 其他问题题型7 1．为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元． (1)求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？ (2)为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3600元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？ (3)为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系． 2．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如下表： 指数范围 身体描述 偏低 正常 超重 肥胖 已知某同学体重67.5千克，身高1.5米． (1)通过计算，选择对该同学合适的身体描述； (2)若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围． 3．根据以下素材，探索完成任务． 问题的提出 根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用）不高于5800元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？ 素材1：图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为，开2个门，且门宽均为． 素材2：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米． 问题的解决 任务1 确定饲养室的形状 设，矩形的面积为S，求S关于x的函数表达式． 任务2 探究自变量x的取值范围． 任务3 确定设计方案 当 m， m， S的最大值为 ． 4．某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）： 大货车的车辆数（辆） 小货车的车辆数（辆） 累计运货台数（台） 第一次 2 3 21 第二次 5 6 48 (1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？ (2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你列出所有货车租用方案． (3)在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用． 5．元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购x盆A种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 A种盆栽 12 19 B种盆栽 10 15 (1)求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； (3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值． 压轴真题题型8 一、解答题 1．（25-26七年级上·云南昆明·期末）2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同．其中魔方每个标价10元，数独棋每个标价40元． 两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：魔方和数独棋都按9折出售． 乙商店：买两个数独棋送一个魔方． 学校计划订购数独棋60个，魔方若干（多于30）个，单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购魔方的数量是50个，如果在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是___________元． (2)当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？ (3)根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）根据以下素材，解决相应问题， 【素材1】我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每张15元的价格买了100张长方形木板，每张木板的长和宽分别为80cm，40cm． 【素材2】现将部分木板按图①所示的虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分），再把剩余五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图②所示的虚线裁剪出两块木板（阴影部分是余料），给部分收纳盒配上盖子． 【问题解决】 (1)求出长方体收纳盒的高度； (2)若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀．”其大意是把300条狗分成4个群，每个群里狗的数量都是奇数，其中1个群里狗的数量最少，并且另外3个群里狗的数量一样多．问应该如何分．请你根据题意解答下列问题： (1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下列说法正确的是________（填序号）． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案； ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案； ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． (2)若罗秀才再增加一个条件“数量多的3个群里，每个群里狗的数量都比剩下的那个群里狗的数量多40条”，则每个群里有多少条狗？ 5．（24-25七年级下·广东广州·期末）本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题． (1)小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？ (2)小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，依题意得到方程组，把②①，消去z，得到一个二元一次方程．小河说：“由于是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数），根据题意，由x，y的取值范围可以求出t的值，由此可求出满足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况． 现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整． 6．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 7．（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 8．（25-26八年级上·重庆·期中）重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 9．（24-25七年级下·全国·期末）为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 10．（24-25七年级下·福建泉州·期末）项目式学习 体育比赛计分 素材一 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，比如计分规则、比赛场次、最佳策略等．不同的比赛项目有着不同的计分规则，只有了解这些规则，才能让我们更佳清楚地看懂比赛．你是否思考过这些问题：篮球循环赛中，你们年段球队如何获得最终胜利？ 素材二 五一节期间，某校举办“瓷韵杯”七年级学生篮球赛，戴云队、九仙队、石牛队三支篮球队举行单循环赛，赛前约定的比赛排名规则： 获胜场数多的球队排名靠前； 如果两队获胜场数相同时，依下列顺序排列名次： 净胜分大的球队排名靠前； 净胜分相同时，两队比赛获胜者排名靠前． 素材三 三支球队的比赛成绩如表： 戴云队 九仙队 石牛队 净胜分 戴云队 九仙队 石牛队 注：戴云队与九仙队的比赛得分是，则九仙队与戴云队的比赛得分是 净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分，如戴云队的净胜分. 问题解决 任务一 分别计算九仙队和石牛队的净胜分（用含n的代数式表示）； 任务二 当时，通过计算说明九仙队获得第几名？ 任务三 根据排名规则和比赛成绩分析哪支球队能得第一名 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 不等式与不等式组应用重难点题型分类 【题型1：行程问题 1】 【题型2：工程问题 4】 【题型3：经济问题 5】 【题型4：分配问题 8】 【题型5：方案问题 11】 【题型6：阶梯收费问题 15】 【题型7：其他问题 17】 【题型8：压轴真题 23】 行程问题 1. 某款混动汽车有油、电两种驱动模式，且两种驱动模式不能同时使用．驾驶该混动汽车从甲地前往相距200km的乙地，两种驱动方式各行驶了100km ，共计花费 100 元．已知该车每行驶1km ，用电比用油的费用少 0.6元. (1)该车用油和用电行驶1km的费用各是多少元？ (2)该车从甲地行驶至乙地，若要使总费用不超过 88 元，则至少需用电行驶多少km？ 【详解】（1）解：设用油和用电行驶1km 的费用各是x 元和y 元， 100 ，解得 答：用油和用电行驶1km 的费用各是0.8元和0.2 元. （2）解：设需用电行驶akm ，则需用油行驶(200 -a)km ， ∴0.2a + 0.8 (200 - a ) ≤ 88 ， 解得a ≥ 120 ， 答：至少需用电行驶120km . 2．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 工程问题 1. 推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率，是新农村建设的一项重要举措．庐江县某村在小城镇建设中集约了 1000 亩土地，计划对其进行平整，经投标，由甲，乙两个工程队来完成平整任务，甲工程队每天可平整土地 30 亩，乙工程队每天可平整土地 25 亩，已知甲乙两工程队每天的工程费合计为 4200 元，而且甲工程队 11 天所需工程费与乙工程队 10 天所需工程费刚好相同. (1)甲乙两工程队每天各需工程费多少元？ (2)现由甲乙两工人队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过7.6 万元．求费用最少时，甲，乙工程队工作天数，以及最低费用。 【详解】（1）解：设甲工程队每天需工程费m 元，则乙工程队每天需工程费(4200 - m) 元∵甲工程队 11 天所需工程费与乙工程队 10 天所需工程费刚好相同， ∴ 11m = 10(4200 - m) ， 解得：m = 2000 ， ∴ 4200 - m = 4200 - 2000 = 2200 ， 答：甲工程队每天需工程费 2000 元，乙工程队每天需工程费 2200 元； （2）解：设甲工程队需工作x 天，乙工程队需工作y 天， 根据题意得，30x + 25y = 1000 ， ∵ x, y 都是整数， ∴ 40 - x > 0 ， 解得：x < 33 ， ∵总费用不超过7.6 万元， ∴ 2000x + 2200y ≤ 76000 ， 解得：x ≥ 18 ， ∵ y = 40 - 是正整数， 或 或 方案有： ①甲工程队需工作20天，乙工程队需工作 16天，费用为 20× 2000 +16× 2200 = 75200 （元） ②甲工程队需工作 25天，乙工程队需工作 10天，费用为25× 2000 +10× 2200 = 72000 (元)③甲工程队需工作 30天，乙工程队需工作 4天，费用为30× 2000 + 4× 2200 = 68800 （元）∴ 75200 > 72000 > 68800 ， ∴ 方案③费用最少，最少费用为 68800 元， 答：甲工程队需工作30天，乙工程队需工作 4天费用最少，最少费用为 68800元. 经济问题 1．某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元． (1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ (2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？ 【详解】（1）解：设挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元，根据题意，得， 解得． 答：挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元． （2）解：设购进挂式空调件，则购进电风扇件，根据题意，得， 解得 ， 为整数， 取10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20共11种． 答：一共有11种进货方案． 2．某地脱贫攻坚，大力发展有机农业，种植了甲、乙两种蔬菜．某超市花430元可购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克；花212元可购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克． (1)求该超市购进甲、乙两种蔬菜的单价分别为多少元？ (2)若该超市每天购进甲、乙两种蔬菜共计100千克（甲、乙两种蔬菜重量均为整数），且花费资金不少于1160元又不多于1200元，问该超市有多少种购进方案？ 【详解】（1）设甲单价x元，乙单价y元， 根据题意，得， 解得， ∴甲种蔬菜的单价为10元，乙种蔬菜的单价为14元； （2）设购进甲m千克，则购进乙千克， 由题意得：， 解得：， ∵是整数 ∴的值可以为50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，60，共11种方案． 3．随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售额 A型号 B型号 第一周 6台 8台 3040元 第二周 12台 7台 4280元 (1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价； (2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？ 【详解】（1）解：设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：，解得：， 答：A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元． （2）解：①设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴，131，132，133， ∴，69，68，67， ∴共有4种不同的进货方案： ①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台； ②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台； ③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台； ④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台． 分配问题 1. 用如图 1 所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图 2 所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板 张. （2）正方形纸板有 20 张，长方形纸板有a 张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若 a ≤ 55 ，则最多能做 个竖式纸盒. 【详解】解：（1） 制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板4 + 3 = 7 ； 故答案为：7 （2）设生产竖式纸盒 x 个，则生产横式纸盒y 个. 由题意得 解得： a -12 ； 即a = 30 + ∵ a ≤ 55 ， ∴ 30 + x ≤ 55 ， 解得：x ≤10 ∵ x 是整数， ∴ x 的最大整数为10 . ∴ 最多能做10 个竖式纸盒. 故答案为：10 2. 某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了n 块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有A ，B ， C 三种裁剪方式，如图，A方式：裁剪成6 个圆形底面和1个侧面．B方式：裁剪成3 个侧面． C 方式：裁剪成9 个圆形底面．已知2 个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有2 块金属板 材按 C 方式裁剪，其余都按A 、B 两种方式裁剪. (1)设有x 块金属板材按A 方式裁剪，y 块金属板材按B 方式裁剪. ①可以裁剪出圆形底面共 个（用含x 的代数式表示），侧面共 有 个（用含x ， y 的代数式表示）； ②当n=20 时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ (2)现将n 块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则n 的值可以是 ．（其中40 ≤ n ≤ 50 ） 【详解】（1）①根据题意可知，可以裁剪出圆形底面共：6x + 9× 2 = 6x +18 （个）； 侧面共有：x + 3y （个）； 故答案为： 6x +18 ，x + 3y ； ②根据题意得 解得： ∴ x + 3y = 9 + 3× 9 = 36 答：当n =20 时，最多能加工36 个圆柱形茶叶盒； （2）根据题意得：6x +18 = 2 (x + 3y) ， ∴ y = 3 + ∵ x ，y 均为整数， ∴ x 是3 的倍数， 又∵ n = x + y + 2 = x + 3+ x + 2 = x + 5 ，且40 ≤ n ≤ 50 ， , 解得：21≤ x ≤ 27 ， ∴ x 的值可取：21 、24 、27 ， 当x = 21时，n = x + 5 = × 21+ 5 = 40 ； 当x = 24 时，n = x + 5 = × 24 + 5 = 45 ； 当x = 27 时，n = x + 5 = × 27 + 5 = 50 ； 故答案为：40 或45 或50 . 3. 用若干张白卡纸做长方体包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张白卡纸可以做侧面 2 个，或者做底面 3 个．一个包装盒由 1 个侧面和 2 个底面组成. (1)若有白卡纸 21 张，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？ (2)若有白卡纸 20 张，且不允许套裁（1 张白卡纸只能做 2 个侧面或者只能做 3 个底面），那么最多能做多少个包装盒？ (3)若有白卡纸 20 张，且允许套裁（可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面），那么如何分才能充分地利用这些白卡纸？这时能做出多少个包装盒？ 【详解】（1）设用 x 张白卡纸做侧面，则用(21- x) 张白卡纸做底面， 根据题意得：2 × 2x = 3(21- x) ， 解得：x = 9 ， ∴ 21- x = 21- 9 = 12 （张）， 答：用 9 张白卡纸做侧面，12 张白卡纸做底面，才能使做成的侧面和底面正好配套； （2）设用y 张白卡纸做侧面，则用(20 -y) 张白卡纸做底面， 根据题意得：2 × 2y ≤ 3(20 -y) ， 解得： 又∵y 为正整数， ∴y 的最大值为 8， ∴2y 的最大值为 16， 答：最多能做 16 个包装盒； （3）设用 z 张白卡纸做侧面，则用(20 -1- z) 张白卡纸做底面， 根据题意得：2(2z + 1) = 3(20 -1- z)+ 1， 解得：z = 8 ， ∴ 20 -1- z = 20 -1- 8 = 11 （张）， 2z +1 = 2 × 8 +1 = 17 （个）， 答：用 8 张白卡纸做侧面，11 张白卡纸做底面，1 张白卡纸套裁，这时能做出 17 个包装盒. 方案问题 1．牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱．该商店有哪几种进货方案？ 【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元． 由题意，得 解得 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱． 由题意，得 解得． 因为m为正整数，所以m可取40，41，42． 故该商店有三种进货方案： ①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱； ②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱； ③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱． 2．为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【详解】（1）解：设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，由题意得 ， 解得：， 答：每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元； （2）解：设购买甲种品牌羽毛球x个，购买乙种品牌羽毛球个． 由题意得：， 解得：， 且均为正整数， ∴可以为：， ∴购买甲种品牌羽毛球106个，乙种羽毛球21个； 购买甲种品牌羽毛球108个，乙种羽毛球18个； 购买甲种品牌羽毛球110个，乙种羽毛球15个； 购买甲种品牌羽毛球112个，乙种羽毛球12个； 购买甲种品牌羽毛球114个，乙种羽毛球9个， ∴共有5种购买方案． 3．吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件个共需要元，求m、n的值． (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？ 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： ， ∴，； （2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，则设购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为，，， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个． 4．根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 阶梯收费问题题型6 1．某店铺销售一款可定制的纪念品，按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过200个的部分 3元/个 超过200个但不超过500个的部分 元/个 超过500个的部分 元/个 (1)若购买350个这款纪念品，需花费______元；若购买650个纪念品，花费______元． (2)某艺术团为纪念新年艺术演出活动，花了880元从该店铺定制了此次活动的纪念品，则该艺术团购买了多少个纪念品？ (3)艺术团团长看到可定制纪念品意义好，价格也比较合理，为宣传艺术团名声和打造品牌，决定定制一批艺术团的专有纪念品，后来看到专有纪念品受多人喜爱，又购进一批，两次共购买了850个，其中第二次购买的数量超过200个，且小于第一次购买的数量，两次共花费2430元，求第一次购买的数量． 【详解】（1）解：购买350个这款纪念品， ∴费用为：（元）， 购买650个纪念品， ∴费用为：（元）， 故答案为：1020，1815； （2）解：设艺术团购买这款纪念品x个， 由题意知，买200个这种纪念品需600元，买500个这种纪念品需（元）， ∵， ∴， 依题意得，， 解得：， 答：艺术团购买这款纪念品300个． （3）解：设第一次购买了y个，则第二次购买个， 当第二次购买的数量超过200个，且小于第一次购买的数量， ∴， 解得，， 当两次都是200到500的部分，则元，不符合题意； 当时，依题意得， 解得：， 答：第一次购买了600个． 2．为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市出台了居民用水“阶梯价格”制度来引导市民节约用水，下表是用水价格的标准： 阶梯 一户居民每月用水量 （单位：立方米） 水费价格 （单位：元/立方米） 一档 不超过15立方米 a 二档 超过15立方米的部分 b 已知该市某户居民今年4月份用水16立方米，缴纳水费50元；5月份用水20立方米，缴纳水费70元． （1）求出表格中a、b的值； （2）6月份是用水高峰期，该户居民计划6月份水费支出不超过85元，那么该户居民6月份最多可用水多少立方米？ 【详解】解：（1）设该市居民用水基本价格为a元/米3，超过15米3部分的价格为b元/米3， 根据题意，得， 解得：． 答：a的值是3，b的值是5． （2）设该户居民6月份最多可用水x立方米， 根据题意，得15×3+5（x-15）≤85． 解得x≤23． 答：该户居民6月份最多可用水23立方米． 其他问题题型7 1．为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元． (1)求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？ (2)为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3600元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？ (3)为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系． 【详解】（1）解：设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元， 由题意得：， 解得， 答：每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元． （2）解：设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶， 由题意得：， 解得， 为正整数， 可能为23，24，25，26，27，28，29，30， 答：共有8种购买方案． （3）解：设购买总费用为元， 则， ∵（2）中的所有购买方案费用相同， ， ． 2．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如下表： 指数范围 身体描述 偏低 正常 超重 肥胖 已知某同学体重67.5千克，身高1.5米． (1)通过计算，选择对该同学合适的身体描述； (2)若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围． 【详解】（1）解：∵体重67.5千克，身高1.5米， ∴， ∴该同学的身体描述为肥胖； （2）解：设在身高1.5米的前提下，设体重x千克后身体达到正常， 则， ∴解得， ∴该同学应该减轻体重的范围为． 3．根据以下素材，探索完成任务． 问题的提出 根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用）不高于5800元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？ 素材1：图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为，开2个门，且门宽均为． 素材2：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米． 问题的解决 任务1 确定饲养室的形状 设，矩形的面积为S，求S关于x的函数表达式． 任务2 探究自变量x的取值范围． 任务3 确定设计方案 当 m， m， S的最大值为 ． 【详解】解：（1）． （2）， ∴． （3）， ∵不在范围内，且， ∴当时，y随x的增大而减小． ∴当时，． 即，，． 4．某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）： 大货车的车辆数（辆） 小货车的车辆数（辆） 累计运货台数（台） 第一次 2 3 21 第二次 5 6 48 (1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？ (2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你列出所有货车租用方案． (3)在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用． 【详解】（1）解：设每辆大货车能装台教学设备，每辆小货车能装台教学设备， 根据题意可得：， 解得：， 每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备； （2）解：设租用大货车辆，则租用小货车辆， 根据题意可得：， 解得：， 为整数， 或7， 共有两种方案： 方案一：租大货车6辆，小货车6辆， 方案二：租大货车7辆，小货车5辆； （3）解：设运输费用为元， 由（2）可得运输费用为：， ， 运输费用随着的增大而增大， ， 当时，最小，为， 租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元． 5．元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购x盆A种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 A种盆栽 12 19 B种盆栽 10 15 (1)求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； (3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值． 【详解】（1）解：该超市采购x盆A种盆栽，则采购盆B种盆栽， 根据题意，， 由题意得：， 解得：， 答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为； （2）解：设总利润为W，根据题意得： ， ∵， ∴W随x的增大而增大，又， ∴当时，W最大，最大值为1820， 答：商场能获得的最大利润为1820元； （3）解：设总利润为W元，根据题意得： ， 当即时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得，舍去； 当即时，W随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得：， 综上分析可知，满足条件的m值为2． 压轴真题题型8 一、解答题 1．（25-26七年级上·云南昆明·期末）2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同．其中魔方每个标价10元，数独棋每个标价40元． 两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：魔方和数独棋都按9折出售． 乙商店：买两个数独棋送一个魔方． 学校计划订购数独棋60个，魔方若干（多于30）个，单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购魔方的数量是50个，如果在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是___________元． (2)当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？ (3)根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案． 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程及不等式的实际应用，解题的关键是掌握甲商店和乙商店的优惠方式． （1）根据乙商店的优惠方式列式求解即可； （2）设订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同，根据题意列出一元一次方程求解即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：元， ∴购买魔方和数独棋的总费用是2600元； （2）解：设订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， ∴当订购魔方的数量是60个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同； （3）解：设订购魔方的数量是x个， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当购买魔方数量大于30个且小于60个时，在乙商店购买魔方和数独棋划算；当购买魔方数量为60个时，在甲、乙商店一样；当购买魔方数量大于60个时，在甲商店购买魔方和数独棋划算． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及费用最值问题，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式，准确计算各方案费用并比较． （1）设未知数，根据两种设备组合的日处理能力列出方程组，求解得出两种设备的日处理能力； （2）设购买A设备台数，结合总台数和日处理能力要求列不等式，根据“A、B均购买”确定正整数解，得出购买方案； （3）分别计算各有效方案的货款，判断是否符合优惠条件，计算实际费用后比较大小． 【详解】（1）解：设1台A型设备日处理能力为吨，1台B型设备日处理能力为吨， 由题意得， 由得，代入得， 解得， 则， 答：1台A型设备日处理能力吨，1台B型设备日处理能力吨． （2）解：设购买A型设备台，则购买B型设备台， 由题意得， 解得， ∵为正整数（A、B两种型号均购买）， ∴或，对应的购买方案方案①：购买A型设备1台，B型设备台； 方案②：购买A型设备2台，B型设备台； 答：两种方案，分别为购买A型设备1台、B型设备台和A型设备2台、B型设备台． （3）解：方案①：货款万元， ∵，享受折优惠， 实际付款万元； 方案②：货款万元， ∵，不享受优惠， 实际付款万元； ∵， ∴方案①（购买A型设备1台、B型设备台）费用最少． 答：采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）根据以下素材，解决相应问题， 【素材1】我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每张15元的价格买了100张长方形木板，每张木板的长和宽分别为80cm，40cm． 【素材2】现将部分木板按图①所示的虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分），再把剩余五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图②所示的虚线裁剪出两块木板（阴影部分是余料），给部分收纳盒配上盖子． 【问题解决】 (1)求出长方体收纳盒的高度； (2)若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 【分析】(1)设长方体收纳盒的高度（即剪去小正方形的边长）为未知数，依据原木板尺寸表示出无盖收纳盒底面的长与宽，再结合底面长与宽的比例关系建立方程求解； (2)设无盖收纳盒和有盖收纳盒的个数，根据木板总数限制以及有盖与无盖收纳盒个数的数量关系列出不等式组，进而确定满足条件的整数解来得到分配方案． 【详解】（1）解：设长方体收纳盒的高度为， 则，解得． 故长方体收纳盒的高度为cm． （2）解：设用张木板制作无盖长方体收纳盒， 则 解得． 为整数， 或或或． 故共有种分配方案： ①张木板制作无盖长方体收纳盒，张木板制作盒盖； ②张木板制作无盖长方体收纳盒，张木板制作盒盖； ③张木板制作无盖长方体收纳盒，张木板制作盒盖； ④张木板制作无盖长方体收纳盒，张木板制作盒盖． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解题关键是：从几何裁剪中找到等量关系，建立方程求解高度以及准确梳理制作不同收纳盒所需的木板数量，建立不等式组，并结合整数解的要求确定分配方案． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀．”其大意是把300条狗分成4个群，每个群里狗的数量都是奇数，其中1个群里狗的数量最少，并且另外3个群里狗的数量一样多．问应该如何分．请你根据题意解答下列问题： (1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下列说法正确的是________（填序号）． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案； ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案； ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． (2)若罗秀才再增加一个条件“数量多的3个群里，每个群里狗的数量都比剩下的那个群里狗的数量多40条”，则每个群里有多少条狗？ 【分析】（1）设一样多的3个群里的狗数量为只，则数量最少狗群里有狗只，列不等式组即可求解. （2）设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，根据狗的总数为300只，可列一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设一样多的3个群里的狗数量为只，则数量最少狗群里有狗只，得： ， 解得， 又 为奇数， 共个. ①是正确的,②③是错误的. 答：说法正确的是①. （2）解：设数量少的群里有条狗， 则其余三个群里各有条狗． 由题意，得， 解得，则， 答：数量少的群里有45条狗，其余三个群里各有85条狗． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（24-25七年级下·广东广州·期末）本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题． (1)小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？ (2)小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，依题意得到方程组，把②①，消去z，得到一个二元一次方程．小河说：“由于是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数），根据题意，由x，y的取值范围可以求出t的值，由此可求出满足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况． 现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整． 【分析】本题考查方程组的应用和不等式组的解集； （1）设母鸡买了m只，小鸡买了n只，根据题意列方程组，解方程组即可解答； （2）设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，根据题意得到，利用t为正整数得到购买方案即可解答． 【详解】（1）解：设母鸡买了m只，小鸡买了n只， 根据题意得：， 解得：． 答：母鸡买了11只，小鸡买了81只； （2）解：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只， 根据题意得：， 得：， ∵是这个二元一次方程的一组解， ∴该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数）， 则， ∵x，y，z非负整数， ∴， 解得：， 又∵t为正整数， ∴t可以为25，26，27，28， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，． 答：公鸡、母鸡、小鸡各买了0只，25只，75只或4只，18只，78只或8只，11只，81只或12只，4只，84只． 6．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 7．（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【分析】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 8．（25-26八年级上·重庆·期中）重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元，利用总价＝单价×数量，结合购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即精装版豌杂面每箱的售价），再将其代入中，即可求出简装版豌杂面每箱的售价； （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面，根据“进货总资金不超过4020元，且试销总利润不低于790元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案； ②求出选择各方案超市可获得的总利润，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元， 根据题意得：，解得， 则． 答：精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元． （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面， 根据题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为6，7，8． ∴超市共有3种进货方案． 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②选择方案1获得的总利润为：（元）； 选择方案2获得的总利润为：（元）； 选择方案3获得的总利润为（元）； ， ∴当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 9．（24-25七年级下·全国·期末）为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 【分析】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可； （2）设要改造的小学有m所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可； （3）设改造中学a所，则改造小学所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据题意，得，解得， 答∶改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元． （2）设要改造的小学有m所，根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，且在范围内，使为整数的值只有， ∴． 答∶要改造的小学有12所． （3）设改造中学a所，则改造小学所，根据题意， 得，解得． ∵a取整数， ∴a的值为2，3，4，5． ∴对应的值分别为8，7，6，5， ∴有以下四种改造方案∶ 方案一∶改造2所中学，8所小学； 方案二∶改造3所中学，7所小学； 方案三∶改造4所中学，6所小学； 方案四∶改造5所中学，5所小学． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键． 10．（24-25七年级下·福建泉州·期末）项目式学习 体育比赛计分 素材一 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，比如计分规则、比赛场次、最佳策略等．不同的比赛项目有着不同的计分规则，只有了解这些规则，才能让我们更佳清楚地看懂比赛．你是否思考过这些问题：篮球循环赛中，你们年段球队如何获得最终胜利？ 素材二 五一节期间，某校举办“瓷韵杯”七年级学生篮球赛，戴云队、九仙队、石牛队三支篮球队举行单循环赛，赛前约定的比赛排名规则： 获胜场数多的球队排名靠前； 如果两队获胜场数相同时，依下列顺序排列名次： 净胜分大的球队排名靠前； 净胜分相同时，两队比赛获胜者排名靠前． 素材三 三支球队的比赛成绩如表： 戴云队 九仙队 石牛队 净胜分 戴云队 九仙队 石牛队 注：戴云队与九仙队的比赛得分是，则九仙队与戴云队的比赛得分是 净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分，如戴云队的净胜分. 问题解决 任务一 分别计算九仙队和石牛队的净胜分（用含n的代数式表示）； 任务二 当时，通过计算说明九仙队获得第几名？ 任务三 根据排名规则和比赛成绩分析哪支球队能得第一名 【分析】任务一：根据净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分进而计算可以得解； 任务二：依据题意，当时，三支篮球队均1胜1负，故需比较三支篮球队的净胜分，又戴云队、九仙队、石牛队三队的净胜分分别为，，8，故石牛队得第一名，又戴云队、九仙队的净胜分相同，戴云队：九仙队：47，进而可以判断得解； 任务三：依据题意，分、且分别进行分析计算即可判断得解． 本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出不等式组是关键． 【详解】任务一：（1）由题意得，九仙队的净胜分是； 石牛队的净胜分是 答：九仙队的净胜分是，石牛队的净胜分是 任务二：由题意，当时，三支篮球队均1胜1负， 需比较三支篮球队的净胜分． 戴云队、九仙队、石牛队三队的净胜分分别为，，8， 石牛队得第一名． 戴云队、九仙队的净胜分相同，戴云队：九仙队：47 戴云队为第二名． 九仙队为第三名． 任务三：①当时，石牛队两场都胜，石牛队得第一名． ②当时，每队各胜1场， 若戴云队得第一名，则需 此时，这个不等式组无解， 戴云队不可能得第一名； 若九仙队得第一名， ， 又， ； 若石牛队得第一名， 综上所述：当且时，石牛队得第一名；当时，九仙队得第一名． 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