第2章 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

2026－2027学年度北师大数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能综合运用本章概念（有理数分类、相反数、绝对值、倒数、数轴、乘方等）对复杂问题进行辨析与判断，形成完整的知识网络。 2. 能熟练运用有理数的各种运算法则和运算律进行混合运算，正确处理符号问题，提高运算的准确性和灵活性。 3. 能运用有理数及其运算解决实际应用问题，并通过观察、归纳发现数列或运算中的简单规律，发展运算能力和推理意识。 ▌课时目录 知识点01：有理数相关概念的综合辨析 知识点02：数轴与有理数大小比较的综合应用 知识点03：有理数四则运算与运算律的综合应用 知识点04：乘方运算与符号判定的综合应用 知识点05：科学记数法与近似数的综合应用 知识点06：有理数混合运算的综合计算 知识点07：有理数运算在实际问题中的综合应用 知识点08：探索有理数的规律 ▌知识点01：有理数相关概念的综合辨析 综合辨析涉及多个概念的联合考查： 1. 判断一个数属于哪类有理数（整数/分数、正/负）； 2. 判断两个数是否互为相反数、互为倒数； 3. 求一个数的相反数、绝对值、倒数； 4. 结合数轴判断点与数的对应关系。 解题时需注意概念间的区别与联系，如“倒数”与“相反数”的区别（倒数乘积为1，相反数和为0），“绝对值”与“相反数”的联系（|a|＝|－a|）。常见易错题：问“－a一定是负数吗？”（不一定，a本身可正可负可为零）；问“一个数的绝对值等于它本身，这个数是什么？”（非负数）。 1．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）下列说法：①是负分数；②1.5不是整数；③0不是非负有理数；④0是最小的自然数．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键；因此此题可根据有理数的分类进行排除选项． 【详解】解：①是负分数，说法正确；②1.5不是整数，说法正确；③0是非负有理数，原说法错误；④0是最小的自然数，说法正确； 故选C． 2．（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤不仅是有理数，而且是分数；⑥是小数，所以不是有理数．其中错误的说法有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 根据有理数的分类及定义依次判断即可． 【详解】解：0不是最小的整数，没有最小的整数， ∴①不正确； ∵有理数包括正有理数、负有理数和0， ∴②不正确． ∵正整数、负整数和零、正分数、负分数统称为有理数， ∴③不正确． ∵非负数包括正数和0， ∴④不正确. ∵不仅是有理数，而且是分数， ∴⑤正确． ∵是小数可化成分数，所以是有理数， ∴⑥不正确． ∴综上，①②③④⑥不正确，共5个，故B正确． 故选：B． 3．（25-26七年级上·陕西商洛·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是最小的负整数 B．0没有相反数 C．绝对值等于本身的数是正数 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【答案】D 【分析】本题考查有理数、相反数和绝对值的概念． 根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是最大的负整数，不是最小的，故A错误； 0的相反数是0，故B错误； 绝对值等于本身的数包括正数和0，故C错误； 互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，它们的绝对值相等，故D正确； 故选：D． 4．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）下列说法错误的是（   ） A．0的绝对值是0 B．一个负数的绝对值是它的相反数 C．0是最小的有理数 D．绝对值等于它本身的数是非负数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，熟练掌握其定义及分类是解题的关键．根据有理数的定义及分类逐项判断即可． 【详解】解：A、0的绝对值是0，正确，故A不符合题意； B、一个负数的绝对值是它的相反数，正确，故B不符合题意； C、0不是最小的有理数，没有最小的有理数，故C错误，符合题意； D、绝对值等于它本身的数是非负数，正确，故D不符合题意． 故选：C． ▌知识点02：数轴与有理数大小比较的综合应用 结合数轴比较多个有理数的大小，解题步骤： 1. 已知数在数轴上标出对应点； 2. 利用“右大左小”确定大小关系； 3. 涉及相反数、绝对值时，先用概念求出具体数值再比较。 常见综合题型：已知a、b在数轴上的位置（如a在原点左侧、b在原点右侧且|a|＞|b|），判断a＋b、a－b、ab的符号，或比较a、－a、b、－b的大小。 解题关键：先由数轴读出a、b的正负及绝对值大小，再代入运算或比较。 5．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各数中，绝对值最小的数是（     ） A．−3 B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】解：∵ ，，，， ∴ 绝对值最小的数是. 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各式比较大小正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各选项中的绝对值、多重符号式子，再逐项比较大小即可． 【详解】解：A、，，， ，故A错误； B、，故B错误； C、，， ，故C正确； D、，，， ，故D错误． 7．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据两个负数比较大小的规则，先计算两个数的绝对值，通分比较绝对值大小后即可得到原数的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴． 8．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 【答案】 【分析】先区分四个数的正负，再根据绝对值比较同号数的大小，结合负数小于所有正数得到排序结果． 【详解】解：由题意得，，， 因此可得，， 比较两个负数：， 因此， 比较两个正数：， 因此， 综上所述，． ▌知识点03：有理数四则运算与运算律的综合应用 综合运算中，需根据算式结构灵活选择计算策略： 1. 先定运算顺序（乘方→乘除→加减，有括号先算括号内）； 2. 观察算式特征，判断是否适合用运算律简便计算； 3. 带分数运算时可拆分为整数与分数部分分别计算； 4. 小数与分数混合时，统一化为分数或小数再计算。 典型综合题：(－)＋1.75＋(－)＋(＋1.25)，可化为[－1.5＋(－2.5)]＋[1.75＋1.25]＝－4＋3＝－1。注意：简便计算不改变运算结果，必须遵循运算优先级。 9．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 11．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用加法交换律和结合律简化运算； （2）利用加法交换律和结合律简化运算； （3）先将带分数化为假分数，再按有理数乘除法则计算； （4）先通分计算括号内的运算，再计算乘法； （5）将带分数拆分后简化计算； （6）按先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； ▌知识点04：乘方运算与符号判定的综合应用 乘方运算常与符号判定结合考查： 1. 判断－aⁿ与(－a)ⁿ的区别； 2. 根据底数的正负和指数的奇偶判断幂的符号； 3. 多个乘方与乘除混合时的符号处理。 典型题：已知n为正整数，判断(－1)ⁿ＋(－1)ⁿ⁺¹的值（恒为0，因为相邻两个正整数必为一奇一偶）。 解题规律：(－1)的偶次幂为1，奇次幂为－1，这是周期规律题的基础。 易错点：混淆－3²＝－9与(－3)²＝9；忽略底数为分数或负数时必须加括号。 13．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵任意数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴，， 解得 ，， 将， 代入 得：. 14．（2026·内蒙古赤峰·三模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案． 【详解】解：∵，是正数， ∴ A不符合题意． ∵，是正数， ∴ B不符合题意． ∵，是正数， ∴ C不符合题意． ∵，是负数， ∴ D符合题意． 15．（25-26九年级下·吉林长春·期中）下列式子计算的结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，，结果为正数，不符合要求． B选项：，，结果为正数，不符合要求． C选项：，，结果为负数，符合要求． D选项：，，结果为正数，不符合要求． 16．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算题目中的结果，再根据有理数运算法则计算各选项结果，对比得到答案． 【详解】解： ， 选项A：，和结果相等，故A选项符合题意； 选项B：，结果不相等，故选项B不符合题意； 选项C：，结果不相等，故选项C不符合题意； 选项D：，结果不相等，故选项D不符合题意． ▌知识点05：科学记数法与近似数的综合应用 综合题型包括： 1. 将科学记数法表示的数还原为原数； 2. 根据精确度要求取近似数并用科学记数法表示； 3. 结合有效数字判断测量精度。 例如：地球半径约为6.4×10³km，则该近似数精确到百位（因为6.4×10³＝6400，4在百位上），有2个有效数字（6和4）。 注意：科学记数法a×10ⁿ的精确度由a的最后一位在原数中的位置决定，而非由n决定。 17．（25-26七年级上·北京海淀·期末）中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． 18．（24-25七年级上·全国·阶段检测）“”青海省玉树县7.1级大地震，牵动了全国人民的心，社会各界踊跃捐款捐物，4月20日央视赈灾晚会共募得善款21.75亿元．把21.75亿元用科学记数法表示为（ ）． A． 元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】 解：21.75亿元即2 175 000 000用科学记数法表示为元． 故选：C． 19．（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 20．（2026·河南周口·三模）2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． ▌知识点06：有理数混合运算的综合计算 混合运算综合题的特点是步骤多、符号复杂、容易出错。规范解题步骤： 1. 抄题，避免抄错符号； 2. 按“先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内”的顺序分步计算； 3. 每一步只做一种运算，逐步书写；④完成后用逆运算或估算检验结果合理性。 典型题：－1⁴－(1－0.5)××[2－(－3)²]，分步：先算乘方－1⁴＝－1，(－3)²＝9；再算括号内2－9＝－7；再算乘法(1－0.5)＝0.5，0.5××（－7）＝－；最后加减－1－(－)＝。 21．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）计算：． 【答案】 【详解】 22．（25-26七年级下·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 23．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 24．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 ▌知识点07：有理数运算在实际问题中的综合应用 实际应用题的解题流程： 1. 审清题意，确定基准量（规定正方向）； 2. 用正负数表示各相关数据； 3. 列出有理数混合运算算式； 4. 计算结果并结合实际作答。 常见题型： 1. 水位变化问题（基准水位＋各时段变化量之和）； 2. 收支结余问题（初始金额＋收入－支出）； 3. 路程位移问题（规定方向后用正负数表示各段路程，求代数和）。 例如：某出租车一天行程如下（向东为正）：＋10、－3、＋5、－8、＋12，求最终位置：10－3＋5－8＋12＝16（km），即最终在出发点东侧16km处。 25．（2026·江苏镇江·一模）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 【详解】解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． 26．（2026·陕西·中考真题）某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【答案】 【分析】根据“数量（成本利润）单价”列式求解即可． 【详解】解：， ∴他们绘制的秦腔脸谱的个数为26． 27．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）某品牌电脑原来的售价是5000元，先降价，再降价，则现在的售价是_____元． 【答案】4050 【分析】第一次降价以原价为基础，第二次降价以第一次降价后的价格为基础，计算得到最终售价． 【详解】解：第一次降价后，售价为元； 第二次降价，以第一次降价后的价格为基础计算，售价为元． 28．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ 【答案】(1) A地在学校的东边，距离学校2千米 (2) 巡逻车平均每千米耗油升 【分析】（1）将各数相加，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）先求出前四次巡逻车行驶的总路程，再求出总的耗油量，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 所以A地在学校的东边，距离学校2千米； （2）解：， 则， 所以巡逻车平均每千米耗油0.96升． ▌知识点08：探索有理数的规律 规律探索题通过观察数列或运算结果的周期性、对称性寻找规律： 符号规律：如1、－1、1、－1…即(－1)ⁿ⁺¹的规律； 数字规律：如2、4、8、16…即2ⁿ的规律； 运算规律：如1－2＋3－4＋…＋99－100＝－50（每两项和为－1，共50组）。 解题方法：先列举前几项结果，观察符号交替、数值递增等特征，猜想通项公式或求和规律，再验证。 例如：探究1＋2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ的结果，可列举n=1得3=2²－1，n=2得7=2³－1，猜想结果为2ⁿ⁺¹－1，再验证。 29．（25-26七年级上·江西赣州·期中）观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 【答案】(1)91 (2) (3)2485 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （2）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （3）用的值减去的值，再类比所给的4个算式进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 30．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的计算示例，总结同指数幂相乘的运算规律； （2）先将带分数转化为假分数，再运用（1）中的规律进行简便计算； （3） 先把小数化为分数，拆分指数使各幂的指数统一，再利用（1）的规律简化式子，最后完成有理数的乘法运算． 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 31．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）定义：对于任意相邻负整数a，b，规定：． (1)理解定义： 例：，练习_________； (2)探究规律： 某数学兴趣小组发现：可将转换为减法．你发现了吗？是什么？（温馨提示：你可以再举几个例子试试，然后用含a与b的代数式将转换为减法．） (3)应用规律： 运用发现的规律求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据例子，找出规律即可； （3）根据（2）的规律把所求式子裂项求解即可； 本题主要考查了有理数的乘法计算，数字类的规律探索发现规律是关键. 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）； ； ； ； ； ……， 所以，． （3）由（2）知， 所以 ． 32．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察算式： ；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：(_)； (2)用含n的等式表示上面的规律；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，含乘方的有理数混合运算等知识点，根据题中所给算式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题中所给算式发现并总结出一般规律，进而可得出答案； （2）根据题中所给算式发现并总结出一般规律，即可得出答案； （3）先对每一项进行通分，然后对每一项的分子运用所得规律，再将每一项拆分成两项之积的形式，最后约分即可得出答案． 【详解】（1）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ； （3）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ， ， ． ▌全章训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【分析】结合砖茶汤占比条件先排除牛奶质量过大的选项，再计算牛奶占比时的基准质量，匹配最接近的选项． 【详解】解：砖茶汤占整锅奶茶质量左右，总质量为千克，则砖茶汤质量约千克． 牛奶占比左右，小于砖茶占比，故牛奶质量小于千克，排除A、B选项．（千克），剩余选项中千克更接近千克，C符合要求． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 【详解】解：点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，表示， 再向右移动7个单位，表示为， 即点P最终表示的数是6． 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）2的相反数是（     ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：的相反数是． 4．（26-27七年级·全国·小升初衔接）一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 【答案】C 【详解】解：根据分析，40天长满全池，则前一天的量是全池的一半，即半池，所以39天能长满半池． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）在，2，，0这四个数中，比小的数是（ ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据有理数大小比较的基本规则即可求解． 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小， 又∵，，，且， ∴ ， ∴比小的数是． 6．（25-26七年级下·广东中山·期末）某种药品的包装盒上贴有如下的标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（     ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度（）： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据标签得到合格温度的范围，判断各选项温度是否落在范围内即可． 【详解】解：据表可知，该药品的合格贮藏温度满足， 选项：，不满足范围，不符合要求； 选项：，满足范围，符合要求； 选项：，不满足范围，不符合要求； 选项：，不满足范围，不符合要求． 7．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【答案】A 【详解】解：输入n的值为3，， 输入n的值为8，，输出y． 8．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题根据完美提取的定义，先计算1到10的总和，再逐个验证三个说法，统计正确说法的个数即可，考查有理数混合运算的应用． 【详解】解：首先计算1到10这十个数的总和，得． 对①，提取6和7，按定义计算得，等于总和，符合完美提取的定义，故①正确． 对②，提取1，2，4，5，按定义计算得，不符合定义，故②错误． 对③，枚举所有符合条件的完美提取： 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，最小的乘积为，不可能符合条件； 因此一共只有3种完美提取，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 二、填空题 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）二月份，爸爸在银行新办了一本存折，存入5000元，存折上记作元．三月份爸爸取出2000元，存折上记作________元，现在存折上还有________元． 【答案】 3000 【分析】规定存入为正，则取出为负，再根据有理数加法计算存折剩余金额即可． 【详解】解：由题意得，存入记为正，取出记为负，因此三月份取出2000元，存折上记作元； 存折上现有金额为元． 10．（25-26七年级上·河北·阶段检测）的倒数是___________，相反数是___________，绝对值是 _________ ；0的绝对值是_______ ． 【答案】 【分析】先把带分数化为假分数，再根据倒数、相反数、绝对值的定义即可分别求出的倒数、相反数、绝对值，再根据绝对值的定义求出的绝对值即可. 【详解】解：∵， ∴的倒数是，的相反数是，的绝对值是． 的绝对值是． 11．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置，点在数轴上与点距离个单位长度，则点表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置， ∴点表示的数为 ∵点在数轴上与点距离个单位长度， ∴点表示的数为或． 12．（2026·北京·模拟预测）2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 【答案】104 【分析】全程比赛分两阶段计算，第一阶段小组循环赛按单循环场次计算，第二阶段淘汰赛按淘汰球队数加额外三四名决赛场次算，最后求和． 【详解】解：第一阶段：总共48支球队，每4支一组， 组数为：（组）， 每组单循环比赛的场次：（场）， ∴第一阶段比赛的总场次为：（场）． 第二阶段：∵晋级球队32支，采用单场淘汰赛决出冠军， ∴决出冠军需要淘汰的球队数量为：（支）， ∴淘汰赛场次为31场， 又∵半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛， ∴第二阶段比赛的总场次为：（场）． 全程总场次为：（场）． 13．（25-26六年级上·上海黄浦·开学考试）在3、、、0、、中，正数有____，负数有____，其中____既不是正数，也不是负数． 【答案】 3，，1.2 ， 0 【分析】根据正负数的意义，大于的数是正数，小于的数是负数，既不是正数也不是负数，据此对给出的数进行分类判断． 【详解】解：在、、、、、中，根据正负数的定义，可得正数是，，，负数是，，其中既不是正数，也不是负数． 14．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）已知，，则__________． 【答案】8 【详解】解：， ， ， 解得． ， ， ， ， 解得． 则． 15．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意两个数、，规定，则________． 【答案】 【分析】根据题中已知运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 16．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先将转化为，根据题中对绝对值的定义结合当在点与之间时取得最小值来求解． 【详解】解：， 由题知，表示与之间的距离，表示与之间的距离， 当在和之间时（含端点），与的和最小，最小值为， ∴的最小值． 三、解答题 17．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 19．（2026·安徽六安·模拟预测）【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】(1)①1，8，28，56，70，56，28，8，1；② (2)55 (3)754 【分析】（1）①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和，即可求得答案； ②分别求出每一行的数字之和，并找出规律即可； （2）找出每条斜线经过的数之和的规律，即可得到答案； （3）找出后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和这一规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和， 所以第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1； ②观察发现 第0行的和为， 第1行的和为， 第2行的和为， 第3行的和为， 第4行的和为， 故可得第100行的数之和为； （2）解：观察可知，第1条斜线经过的数之和为1， 第2条斜线经过的数之和为1， 第3条斜线经过的数之和为， 第4条斜线经过的数之和为， 第5条斜线经过的数之和为， 第6条斜线经过的数之和为， 第7条斜线经过的数之和为， 发现从第3条开始，每条斜线经过的数之和都为前两条斜线的数据之和， 所以第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 故第10条斜线经过的数之和为； （3）解：观察：长方形①的长与宽的和为， 长方形②的长与宽的和为， 长方形③的长与宽的和为， 长方形④的长与宽的和为， 发现后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和， 所以长方形⑤的长与宽的和为， 长方形⑥的长与宽的和为， 长方形⑦的长与宽的和为， 长方形⑧的长与宽的和为， 长方形⑨的长与宽的和为， 长方形⑩的长与宽的和为， 长方形⑪的长与宽的和为， 故长方形⑪的周长为． 20．（25-26七年级上·安徽六安·期中）数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是____，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____数轴上表示和的两点之间的距离表示为_________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)若表示一个有理数，且，则满足条件的数的是_______． 【答案】(1)， (2)， (3)5 (4)或 【分析】本题主要考查绝对值的意义及两点间距离公式，熟练掌握绝对值的意义及两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式得出结论即可； （2）根据两点间距离公式得出结论即可； （3）根据绝对值的意义得出结论即可； （4）根据绝对值的意义得出结论即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为，； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为，； （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点到与两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当在与之间时，有最小值， 故答案为； （4）解：当时，， 解得：， 此时符合； 当时，， 此时不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 此时符合； 故答案为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度北师大数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能综合运用本章概念（有理数分类、相反数、绝对值、倒数、数轴、乘方等）对复杂问题进行辨析与判断，形成完整的知识网络。 2. 能熟练运用有理数的各种运算法则和运算律进行混合运算，正确处理符号问题，提高运算的准确性和灵活性。 3. 能运用有理数及其运算解决实际应用问题，并通过观察、归纳发现数列或运算中的简单规律，发展运算能力和推理意识。 ▌课时目录 知识点01：有理数相关概念的综合辨析 知识点02：数轴与有理数大小比较的综合应用 知识点03：有理数四则运算与运算律的综合应用 知识点04：乘方运算与符号判定的综合应用 知识点05：科学记数法与近似数的综合应用 知识点06：有理数混合运算的综合计算 知识点07：有理数运算在实际问题中的综合应用 知识点08：探索有理数的规律 ▌知识点01：有理数相关概念的综合辨析 综合辨析涉及多个概念的联合考查： 1. 判断一个数属于哪类有理数（整数/分数、正/负）； 2. 判断两个数是否互为相反数、互为倒数； 3. 求一个数的相反数、绝对值、倒数； 4. 结合数轴判断点与数的对应关系。 解题时需注意概念间的区别与联系，如“倒数”与“相反数”的区别（倒数乘积为1，相反数和为0），“绝对值”与“相反数”的联系（|a|＝|－a|）。常见易错题：问“－a一定是负数吗？”（不一定，a本身可正可负可为零）；问“一个数的绝对值等于它本身，这个数是什么？”（非负数）。 1．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）下列说法：①是负分数；②1.5不是整数；③0不是非负有理数；④0是最小的自然数．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤不仅是有理数，而且是分数；⑥是小数，所以不是有理数．其中错误的说法有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．（25-26七年级上·陕西商洛·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是最小的负整数 B．0没有相反数 C．绝对值等于本身的数是正数 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 4．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）下列说法错误的是（   ） A．0的绝对值是0 B．一个负数的绝对值是它的相反数 C．0是最小的有理数 D．绝对值等于它本身的数是非负数 ▌知识点02：数轴与有理数大小比较的综合应用 结合数轴比较多个有理数的大小，解题步骤： 1. 已知数在数轴上标出对应点； 2. 利用“右大左小”确定大小关系； 3. 涉及相反数、绝对值时，先用概念求出具体数值再比较。 常见综合题型：已知a、b在数轴上的位置（如a在原点左侧、b在原点右侧且|a|＞|b|），判断a＋b、a－b、ab的符号，或比较a、－a、b、－b的大小。 解题关键：先由数轴读出a、b的正负及绝对值大小，再代入运算或比较。 5．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各数中，绝对值最小的数是（     ） A．−3 B． C．0 D．1 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各式比较大小正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）比较大小：______．（填“”、“”或“”） 8．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ ▌知识点03：有理数四则运算与运算律的综合应用 综合运算中，需根据算式结构灵活选择计算策略： 1. 先定运算顺序（乘方→乘除→加减，有括号先算括号内）； 2. 观察算式特征，判断是否适合用运算律简便计算； 3. 带分数运算时可拆分为整数与分数部分分别计算； 4. 小数与分数混合时，统一化为分数或小数再计算。 典型综合题：(－)＋1.75＋(－)＋(＋1.25)，可化为[－1.5＋(－2.5)]＋[1.75＋1.25]＝－4＋3＝－1。注意：简便计算不改变运算结果，必须遵循运算优先级。 9．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算下列各题： (1) (2) 10．（24-25六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 11．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 12．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) ▌知识点04：乘方运算与符号判定的综合应用 乘方运算常与符号判定结合考查： 1. 判断－aⁿ与(－a)ⁿ的区别； 2. 根据底数的正负和指数的奇偶判断幂的符号； 3. 多个乘方与乘除混合时的符号处理。 典型题：已知n为正整数，判断(－1)ⁿ＋(－1)ⁿ⁺¹的值（恒为0，因为相邻两个正整数必为一奇一偶）。 解题规律：(－1)的偶次幂为1，奇次幂为－1，这是周期规律题的基础。 易错点：混淆－3²＝－9与(－3)²＝9；忽略底数为分数或负数时必须加括号。 13．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 14．（2026·内蒙古赤峰·三模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级下·吉林长春·期中）下列式子计算的结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． ▌知识点05：科学记数法与近似数的综合应用 综合题型包括： 1. 将科学记数法表示的数还原为原数； 2. 根据精确度要求取近似数并用科学记数法表示； 3. 结合有效数字判断测量精度。 例如：地球半径约为6.4×10³km，则该近似数精确到百位（因为6.4×10³＝6400，4在百位上），有2个有效数字（6和4）。 注意：科学记数法a×10ⁿ的精确度由a的最后一位在原数中的位置决定，而非由n决定。 17．（25-26七年级上·北京海淀·期末）中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·全国·阶段检测）“”青海省玉树县7.1级大地震，牵动了全国人民的心，社会各界踊跃捐款捐物，4月20日央视赈灾晚会共募得善款21.75亿元．把21.75亿元用科学记数法表示为（ ）． A． 元 B．元 C．元 D．元 19．（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 20．（2026·河南周口·三模）2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． ▌知识点06：有理数混合运算的综合计算 混合运算综合题的特点是步骤多、符号复杂、容易出错。规范解题步骤： 1. 抄题，避免抄错符号； 2. 按“先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内”的顺序分步计算； 3. 每一步只做一种运算，逐步书写；④完成后用逆运算或估算检验结果合理性。 典型题：－1⁴－(1－0.5)××[2－(－3)²]，分步：先算乘方－1⁴＝－1，(－3)²＝9；再算括号内2－9＝－7；再算乘法(1－0.5)＝0.5，0.5××（－7）＝－；最后加减－1－(－)＝。 21．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）计算：． 22．（25-26七年级下·四川泸州·期末）计算：． 23．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 24．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌知识点07：有理数运算在实际问题中的综合应用 实际应用题的解题流程： 1. 审清题意，确定基准量（规定正方向）； 2. 用正负数表示各相关数据； 3. 列出有理数混合运算算式； 4. 计算结果并结合实际作答。 常见题型： 1. 水位变化问题（基准水位＋各时段变化量之和）； 2. 收支结余问题（初始金额＋收入－支出）； 3. 路程位移问题（规定方向后用正负数表示各段路程，求代数和）。 例如：某出租车一天行程如下（向东为正）：＋10、－3、＋5、－8、＋12，求最终位置：10－3＋5－8＋12＝16（km），即最终在出发点东侧16km处。 25．（2026·江苏镇江·一模）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 26．（2026·陕西·中考真题）某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 27．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）某品牌电脑原来的售价是5000元，先降价，再降价，则现在的售价是_____元． 28．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ ▌知识点08：探索有理数的规律 规律探索题通过观察数列或运算结果的周期性、对称性寻找规律： 符号规律：如1、－1、1、－1…即(－1)ⁿ⁺¹的规律； 数字规律：如2、4、8、16…即2ⁿ的规律； 运算规律：如1－2＋3－4＋…＋99－100＝－50（每两项和为－1，共50组）。 解题方法：先列举前几项结果，观察符号交替、数值递增等特征，猜想通项公式或求和规律，再验证。 例如：探究1＋2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ的结果，可列举n=1得3=2²－1，n=2得7=2³－1，猜想结果为2ⁿ⁺¹－1，再验证。 29．（25-26七年级上·江西赣州·期中）观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 30．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 31．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）定义：对于任意相邻负整数a，b，规定：． (1)理解定义： 例：，练习_________； (2)探究规律： 某数学兴趣小组发现：可将转换为减法．你发现了吗？是什么？（温馨提示：你可以再举几个例子试试，然后用含a与b的代数式将转换为减法．） (3)应用规律： 运用发现的规律求的值． 32．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察算式： ；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：(_)； (2)用含n的等式表示上面的规律；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算： ▌全章训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）2的相反数是（     ） A．2 B．0 C． D． 4．（26-27七年级·全国·小升初衔接）一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）在，2，，0这四个数中，比小的数是（ ） A． B．2 C．0 D． 6．（25-26七年级下·广东中山·期末）某种药品的包装盒上贴有如下的标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（     ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度（）： A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 8．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）二月份，爸爸在银行新办了一本存折，存入5000元，存折上记作元．三月份爸爸取出2000元，存折上记作________元，现在存折上还有________元． 10．（25-26七年级上·河北·阶段检测）的倒数是___________，相反数是___________，绝对值是 _________ ；0的绝对值是_______ ． 11．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置，点在数轴上与点距离个单位长度，则点表示的数是________． 12．（2026·北京·模拟预测）2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 13．（25-26六年级上·上海黄浦·开学考试）在3、、、0、、中，正数有____，负数有____，其中____既不是正数，也不是负数． 14．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）已知，，则__________． 15．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意两个数、，规定，则________． 16．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 三、解答题 17．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（2026·安徽六安·模拟预测）【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 20．（25-26七年级上·安徽六安·期中）数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是____，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____数轴上表示和的两点之间的距离表示为_________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)若表示一个有理数，且，则满足条件的数的是_______． / 学科网（北京）股份有限公司 $