专题02 与数轴有关的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建数轴综合题突破体系，提炼6类核心题型通法，强化数形结合与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|距离用差的绝对值，中点用平均数；动点设时间参数；绝对值转化距离；分类讨论临界点|从数轴基本概念到综合应用，构建“概念-方法-易错”逻辑链| |题型归纳|6类/每类1典例+3变式|距离问题：|a-b|及逆向讨论；动点问题：含t代数式表位置；折叠问题：对称点2a-x；规律问题：周期/递推公式；新定义问题：文字转数学式|按“基础表示→静态距离→动态运动→规律探究→创新应用”递进，覆盖数轴全考向| |压轴挑战|12题|综合运用分类讨论、方程思想、数形结合解决复杂数轴问题|对接中考高频考点，提升综合解题与创新思维能力|

专题02 与数轴有关的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上两点之间的距离问题 题型二、用数轴上的点表示有理数 题型三、数轴上的动点问题 题型四、数轴上的折叠问题 题型五、数轴上的规律探究问题 题型六、与数轴有关的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涵盖动点、距离中点、绝对值几何意义、规律探究、有理数运算及方程应用，数形结合。 - 解题方法：距离用差的绝对值，中点用平均数；动点设时间参数表达位置；绝对值转化为距离和差；分类讨论分段求解。 - 易错提醒：忽视动点方向致符号错；绝对值漏解；分类讨论未顾临界点（重合、折返）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上两点之间的距离问题 典例1．（25-26七年级上·全国·课后作业）由点确定距离变式为由距离确定，已知点M和点N在同一条数轴上，点N表示，且点M与点N之间的距离是5个单位长度，则点M表示的数是________． 题型模版 1.特征：数轴上已知两点表示的数，求它们之间的距离，或已知距离求其中一点坐标。 2.方法：数轴上两点距离为它们所表示数的差的绝对值，即 \( |a-b| \)，逆向则需讨论左右位置。 变式1-1．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）在数轴上与表示数的点的距离为3个单位长度的点所表示的数是____． 变式1-2．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）在数轴上有三个点A、B、C，且点A到点B的距离是5个单位长度，若点B表示的数是，点C表示的数是，则点A到点C的距离为______． 变式1-3．（25-26七年级上·江西赣州·期中）三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“友好三点”．若数轴上三个不重合的点，点表示的数是，点表示的数是，则“友好三点”中的点所对应的数为___________． 题型二、用数轴上的点表示有理数 典例2．（25-26七年级上·广西钦州·期中）根据数轴，回答下列问题： (1)数轴上点 A，B，C，D，E分别表示下列哪些数?填一填： A： ，B： ， C： ， D： ， E： ． (2)用“>”将数轴上表示的数连接起来． 题型模版 1.特征：将给定的有理数在数轴上用点标出，或根据数轴上的点读出其表示的有理数。 2.方法：确定原点、正方向和单位长度，正数在原点右侧，负数在左侧，按数值大小找到对应位置描点。 变式2-1．（25-26七年级上·云南文山·期末）把下列各数在数轴上表示出来，再将它们按大小顺序用“”连接起来． 变式2-2．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）有五个有理数：，，，， (1)在数轴上表示出上述各有理数 (2)把上述各数填入相应的集合内： ①分数集合 ； ②负有理数集合 ． ③非负整数集合 ． 变式2-3．（25-26七年级上·贵州毕节·期中）在数轴上标出表示下列各数的点． ，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的集合内． 负数集合{                   } 整数集合{                   } 非负整数集合{                   } 题型三、数轴上的动点问题 典例3．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 题型模版 1.特征：数轴上一个或多个点按速度运动，求相遇时间、距离或特定时刻的位置坐标。 2.方法：用含时间t的代数式表示各点位置，根据运动方向列方程（如相遇则位置相等，距离为定值则绝对值方程）。 变式3-1．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）在数轴上，点所表示的数是，将点向左平移5个单位长度得到点，则点所表示的数是________． 变式3-2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距A地．小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，到达地后以每小时的速度返回，到达A地停止运动．设运动时间为（小时），小明的位置为点．若把点记为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则请你回答下列问题： (1)指出点所表示的有理数______． (2)当时，则点表示的有理数______． (3)在小明行驶过程中，当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． (4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）． 变式3-3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 题型四、数轴上的折叠问题 典例4．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 题型模版 1.特征：数轴沿某点折叠，两边的点能重合，已知折痕点坐标，求对应点或对称点坐标。 2.方法：若沿点a折叠，则点x的对称点为2a-x，利用中点公式或距离相等建立方程。 变式4-1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是__________ 变式4-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． (2)若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 变式4-3．（23-24七年级上·福建宁德·期中）综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：    (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合； (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数的点与表示数______的点重合（用含的代数式表示）； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含的代数式表示）． 题型五、数轴上的规律探究问题 典例5．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 题型模版 1.特征：数轴上点按一定规律移动或跳跃，求经过若干次后的位置，常涉及周期或递推。 2.方法：列举前几次位置，找出移动周期或递推公式，用余数法或公式计算第 \(n\) 次后的坐标。 变式5-1．（25-26七年级上·山西晋城·期中）如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为_____．（用含n的代数式表示） 变式5-2．（25-26七年级上·全国·期中）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则 ， ，A、B两点之间的距离为 ． (2)有一动点P，从点A出发，第一次向左运动1个单位，第二次向右运动2个单位，第三次向左运动3个单位，第四次向右运动4个单位，当运动到第2023次时，求点P所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出点P的位置表示的数，若不可能，请说明理由． 变式5-3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 题型六、与数轴有关的新定义型问题 典例6．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义：定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点；定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度） (1)①若点表示有理数，则表示的有理数是__________； ②若点A，B分别表示有理数，，则与之间的距离为_________； (2)如图，点A，B分别表示有理数，2，试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 题型模版 1.特征：给出数轴上点的某种新运算或新规则（如“友好点”“跳跃点”），要求按定义解决。 2.方法：仔细阅读定义，将文字转化为数学表达式（如距离、中点），按新规则列方程或不等式求解。 变式6-1．（24-25七年级上·全国·单元测试）在数轴上，若点到点的距离刚好是5，则点叫做点的“和谐点”．如图，点表示的数为，则点的“和谐点”所表示的数应该是______． 变式6-2．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 变式6-3．（25-26七年级上·广东广州·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“祁美点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“祁美点”． (1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“祁美点”，点M在A，B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为______； (2)点A表示数，点B表示数12，P为数轴上一个动点： 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知点和点在同一数轴上，点表示数2，又已知点和点相距5个单位长度．则点表示的数是（　　） A．3 B． C．3或 D．或7 2．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 3．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）如图，把周长为4个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，，，，四点将圆四等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，滚动一次则点与数轴上表示2的点重合，滚动第二次点与数轴上表示3的点重合，滚动第3次点与数轴上表示4的点重合，…，在滚动过程中，数轴上的数2027与点（   ）重合． A．点 B．点 C．点 D．点 4．（25-26七年级上·北京西城·期中）如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 二、填空题 5．（24-25七年级上·重庆江北·期中）已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为______． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为______． 7．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，C是数轴上的任意一点．当A，B，C三点中有一点是另两点所连线段的中点时，点C表示的数可能是________． 三、解答题 9．（25-26七年级上·广西防城港·期中）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“<”连接起来： ，，0，，． 10．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）李老师善于通过知识迁移，对问题进行拓展探究，培养同学们用数学的思维思考现实世界的能力．下面李老师在“数轴的实际应用”主题下设计的问题，请你解答． (1)知识回顾 如图1，数轴上有一个表示数的点，已知点在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，那么的值是________； (2)探究迁移 如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两端，分别落在A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识求出点、点所表示的数及木尺的长； 11．（25-26七年级上·北京·期中）已知点是图形上的任意点，点是图形上的任意点．给出规定：如果，两点的距离有最小值，那么我们称这个最小值为图形的亲和距离；记作：（图形，图形）．特别地，当，两点重合时，（图形，图形）． 举例说明： 如图，数轴上的点表示的数是1，点，表示的数分别是与，那么（点，线段）． 根据以上定义完成下列问题： 数轴上的点，点表示的数分别是，，点为原点． (1)当时，（原点，线段）　　　； (2)如果（原点，线段），那么　　　； (3)数轴上的点，点表示的数分别是，，如果（线段，线段），直接写出的值． 12．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度； (1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？ (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数； (4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与数轴有关的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上两点之间的距离问题 题型二、用数轴上的点表示有理数 题型三、数轴上的动点问题 题型四、数轴上的折叠问题 题型五、数轴上的规律探究问题 题型六、与数轴有关的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涵盖动点、距离中点、绝对值几何意义、规律探究、有理数运算及方程应用，数形结合。 - 解题方法：距离用差的绝对值，中点用平均数；动点设时间参数表达位置；绝对值转化为距离和差；分类讨论分段求解。 - 易错提醒：忽视动点方向致符号错；绝对值漏解；分类讨论未顾临界点（重合、折返）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上两点之间的距离问题 典例1．（25-26七年级上·全国·课后作业）由点确定距离变式为由距离确定，已知点M和点N在同一条数轴上，点N表示，且点M与点N之间的距离是5个单位长度，则点M表示的数是________． 【答案】3或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵点M与点N之间的距离是5个单位长度，点N表示， ∴点M表示的数是或； 故答案为：3或． 题型模版 1.特征：数轴上已知两点表示的数，求它们之间的距离，或已知距离求其中一点坐标。 2.方法：数轴上两点距离为它们所表示数的差的绝对值，即 \( |a-b| \)，逆向则需讨论左右位置。 变式1-1．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）在数轴上与表示数的点的距离为3个单位长度的点所表示的数是____． 【答案】1或 【分析】满足条件的点可在数轴上表示数的点的右边或左边． 【详解】解：当满足条件的点在数轴上表示数的点的右边时，则； 当满足条件的点在数轴上表示数的点的左边时，． 变式1-2．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）在数轴上有三个点A、B、C，且点A到点B的距离是5个单位长度，若点B表示的数是，点C表示的数是，则点A到点C的距离为______． 【答案】2或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据点B表示的数和点A到点B的距离，求出点A表示的数有两种可能，再结合点C表示的数，计算点A到点C的距离 【详解】解：∵点B表示的数为，点A到点B的距离为个单位长度， 因此点A表示的数为或． 又∵点C表示的数为2， 故点A到点C的距离为或． 故答案为2或8 变式1-3．（25-26七年级上·江西赣州·期中）三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“友好三点”．若数轴上三个不重合的点，点表示的数是，点表示的数是，则“友好三点”中的点所对应的数为___________． 【答案】1，， 【分析】本题考查了数轴上两点距离，绝对值方程的应用．根据“友好三点”的定义，需考虑点到和距离相等、点到和距离相等、点到和距离相等三种情况，分别求解点对应的数． 【详解】解：设点表示的数为． 当点到点和点距离相等时，有 ，即 ，解得 ． 当点到点和点距离相等时，点到点的距离为 ，故 ，即 ，解得 或 ，但点与点、不重合，因此 ． 当点到点和点距离相等时，点到点的距离为 ，故 ，解得 或 ，但点与点、不重合，因此 ． 故点对应的数为，或． 故答案为：1，，． 题型二、用数轴上的点表示有理数 典例2．（25-26七年级上·广西钦州·期中）根据数轴，回答下列问题： (1)数轴上点 A，B，C，D，E分别表示下列哪些数?填一填： A： ，B： ， C： ， D： ， E： ． (2)用“>”将数轴上表示的数连接起来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的乘方运算，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再结合数轴，进行分析，即可作答． （2）根据越在数轴的右边的数越大，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 观察数轴，得， ， ， ； （2）解：观察数轴，得． 题型模版 1.特征：将给定的有理数在数轴上用点标出，或根据数轴上的点读出其表示的有理数。 2.方法：确定原点、正方向和单位长度，正数在原点右侧，负数在左侧，按数值大小找到对应位置描点。 变式2-1．（25-26七年级上·云南文山·期末）把下列各数在数轴上表示出来，再将它们按大小顺序用“”连接起来． 【答案】图见解析， 【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”连接起来即可． 此题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∴． 变式2-2．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）有五个有理数：，，，， (1)在数轴上表示出上述各有理数 (2)把上述各数填入相应的集合内： ①分数集合 ； ②负有理数集合 ． ③非负整数集合 ． 【答案】(1) 在数轴上表示出各有理数，如下图所示： (2) ①，； ②，； ③，． 【分析】本题考查数轴，有理数的分类，能正确画出数轴和区分各个数是解题的关键． （1）利用数轴表示数的方法画出数轴进行描点即可．（2）根据有理数的分类，可得答案． 【详解】（1）解：，； （2）解：①分数集合，； ②负有理数集合，． ③非负整数集合，． 变式2-3．（25-26七年级上·贵州毕节·期中）在数轴上标出表示下列各数的点． ，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的集合内． 负数集合{                   } 整数集合{                   } 非负整数集合{                   } 【答案】(1)在数轴上表示： ； (2)负数：，； 整数：，，； 非负整数：， 【分析】本题考查了有理数的分类，化简绝对值，有理数的乘方，有理数的大小比较，在数轴上表示有理数； （1）先化简多重符号，绝对值，有理数的乘方，根据有理数在数轴上对应的点，然后根据数轴即可比较大小； （2）根据负数、整数、非负整数的定义分类即可； 【详解】（1）解：，，，； （2）略 题型三、数轴上的动点问题 典例3．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 题型模版 1.特征：数轴上一个或多个点按速度运动，求相遇时间、距离或特定时刻的位置坐标。 2.方法：用含时间t的代数式表示各点位置，根据运动方向列方程（如相遇则位置相等，距离为定值则绝对值方程）。 变式3-1．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）在数轴上，点所表示的数是，将点向左平移5个单位长度得到点，则点所表示的数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上点的平移，掌握数轴上点的平移：向左平移，表示的数减小，向右平移，表示的数增大是解题的关键． 点A在数轴上向左平移5个单位长度，据此列式计算即可． 【详解】解：点所表示的数是，将点向左平移5个单位长度得到点，则点所表示的数是． 故答案为：． 变式3-2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距A地．小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，到达地后以每小时的速度返回，到达A地停止运动．设运动时间为（小时），小明的位置为点．若把点记为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则请你回答下列问题： (1)指出点所表示的有理数______． (2)当时，则点表示的有理数______． (3)在小明行驶过程中，当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． (4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或或或 (4)当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为 【分析】本题考查了数轴上动点问题，列代数式，整式的加减的应用，熟练掌握知识点的应用，并采用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据点为原点，地和地的距离为，即可解答； （2）根据路程速度时间，计算时，点P的运动路程，再根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （3）分情况讨论：从A地到B地时和从B地返回A地时，然后根据时间路程速度，解答即可，注意第二种情况速度有变化，要先求得到达B地的时间； （4）分两种情况讨论：①当小明从A地到B地时；②当小明从B地到A地时；注意第二种情况要先求得返回A地全程所用的时间． 【详解】（1）解：∵点为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，地位于两地之间且距A地， ∴点A表示的有理数为， 故答案为：； （2）解：∵小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，设运动时间为（小时），小明的位置为点， ∴当时，点表示的有理数， 故答案为：； （3）解：①当小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动时， 若此时距离地，点C表示的有理数为0， 当点P在点A和点C之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 当点P在点C和点B之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； ②当小明到达地后以每小时的速度返回A地时， ∵、相距， ∴点B表示的数为，小明到达B地的时间为（小时）， 若此时距离地， 当点P在点B和点C之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 当点P在点C和点A之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 综上所述，在小明行驶过程中，当小明距离地时，t的值为或或或． （4）解： ①当小明以每小时的速度从A地到B地时， 由（2）可知，小明到达B地的时间为1小时， ∴当时，点P与点A的距离为； ②当小明以每小时的速度从B地返回A地时， 由（2）可知，点B表示的有理数为3， 则小明从B地返回A地的时间为（小时） ∴当时，点P与点A的距离为， 综上所述，当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为． 变式3-3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 题型四、数轴上的折叠问题 典例4．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 【答案】（1）2；（2），点表示的数为，点表示的数为 【分析】本题考查了数轴说两点之间的距离，轴对称的性质，利用轴对称性质是解答关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）利用轴对称的性质求得折痕处对应的数，再利用轴对称的性质解答即可；利用轴对称的性质可得两点距离折痕处的距离分别为，结合数轴解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：对称中心是原点， 示的点与数2表示的点重合； （2）表示的点与3表示的点重合， 对称中心是1表示的点， 5表示的点与数表示的点重合， 数轴上A、两点之间的距离为9（在的左侧）， 点A表示的数是， 点表示的数是． 题型模版 1.特征：数轴沿某点折叠，两边的点能重合，已知折痕点坐标，求对应点或对称点坐标。 2.方法：若沿点a折叠，则点x的对称点为2a-x，利用中点公式或距离相等建立方程。 变式4-1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是__________ 【答案】或或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是，，， 到的距离是， ， 解得， 三条线段的长分别为，，， 当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或或． 故答案为：或或． 变式4-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． (2)若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【答案】(1) (2) (3)点对应的数为，点对应的数为 【分析】本题主要考查了数轴上的点以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是列出方程，解方程． （1）根据两点之间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可； （2）先求出折叠点表示的数为，再设与表示的点重合的点为数，进而有，解方程即可； （3）设点表示的数是，则点表示的数是，列出关于的方程，解方程即可得出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：点到点的距离相等， ， 解得：． （2）解：将数轴折叠，使两点重合， 折叠点表示的数为． 设与表示的点重合的点为数， 则即， 解得：， 所以表示的点与表示的点重合． （3）解：设点表示的数是，则点表示的数是， 两点经过（2）中的方式折叠后互相重合 即 解得： 点对应的数为，点对应的数为 变式4-3．（23-24七年级上·福建宁德·期中）综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：    (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合； (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数的点与表示数______的点重合（用含的代数式表示）； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)6， (3)图③剪切处对应的点所表示的数为或． 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题． （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，中心点表示的数为0，即0与之间的距离等于0与1之间的距离，于是可得表示的点与表示的点重合； （2）折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2，可得出所求即可； （3）根据题意画出草图，通过计算可得出剪切处对应的点所表示的数的值． 【详解】（1）解：由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）解：折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2， 与2之间的距离为：，则表示与的点重合的点为：； m与2之间的距离为：，则表示与m的点重合的点为：； 故答案为：6，； （3）解：如图，由题意得，，    ∴， ∴剪切处D对应的点所表示的数； 剪切处C对应的点所表示的数； 综上：图③剪切处对应的点所表示的数为或． 题型五、数轴上的规律探究问题 典例5．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，点第一次落回到数轴上时向右滚动的距离为长方形的周长，则可得到，从而得到答案； （2）长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上，用点A表示的数加上滚动的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为； （2）解：由题意可得，长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上， ∴若点表示的数为，点表示的数为． 题型模版 1.特征：数轴上点按一定规律移动或跳跃，求经过若干次后的位置，常涉及周期或递推。 2.方法：列举前几次位置，找出移动周期或递推公式，用余数法或公式计算第 \(n\) 次后的坐标。 变式5-1．（25-26七年级上·山西晋城·期中）如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为_____．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，有理数的乘法的实际应用，理解题意，列出正确的代数式表示对应的点是解本题的关键． 根据题意先得到时针一个格表示数轴上个单位长度，再根据向右滚动的圈数可得到答案． 【详解】∵钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴原点重合，再将钟面紧贴数轴沿着数轴 正方向滚动，使钟面上的数字5对应的点与数轴上表示的点重合， ∴时针一个格表示数轴上个单位长度， ∵钟面上1圈对应数轴上的线段的长度为（个单位长度）， ∴钟面滚动n圈（n为正整数），对应的线段长度为（个单位长度）， ∴钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为 故答案为：． 变式5-2．（25-26七年级上·全国·期中）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则 ， ，A、B两点之间的距离为 ． (2)有一动点P，从点A出发，第一次向左运动1个单位，第二次向右运动2个单位，第三次向左运动3个单位，第四次向右运动4个单位，当运动到第2023次时，求点P所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出点P的位置表示的数，若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)可以，P点对应的数为或 【分析】总结性分析 本题考查了二次多项式的定义、数轴上两点间距离的计算、动点运动规律探究及含绝对值方程的求解，解题的关键是掌握“二次多项式不含三次项（三次项系数为”的特征、动点运动的分组计算方法，以及根据点的位置分类讨论求解绝对值方程． （1）根据二次多项式三次项系数为0求a，二次项系数直接对应b，再用绝对值算A、B两点距离； （2）将动点运动按“两次一组”分组，计算每组位移，结合总次数次为奇数次）求最终位置； （3）设P对应的数为x，分P在A左侧、A与B之间、B右侧三种情况，按“”列绝对值方程，求解并验证是否符合区间． 【详解】（1）解：∵式子M是关于x的二次多项式， ∴三次项系数为0，即，解得； 二次项系数为8，故； A对应对应8，两点距离为． 故答案为：． （2）解：P从出发，运动规律：第n次运动位移为“奇）”或“偶）”； 分组计算：…； 共组，每组和为1，总位移为； P对应的数为． 答：点P所对应的有理数为． （3）设P对应的数为x，由得． ①当时： ∵，， ∴，解得（符合）； ②当时： ∵，， ∴，解得（符合）； ③当时： ∵，， ∴，解得（不符合，舍去）． 答：点P的位置表示的数为或． 变式5-3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 题型六、与数轴有关的新定义型问题 典例6．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义：定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点；定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度） (1)①若点表示有理数，则表示的有理数是__________； ②若点A，B分别表示有理数，，则与之间的距离为_________； (2)如图，点A，B分别表示有理数，2，试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 【答案】(1)①3；②3； (2)过程见解析，值为3． 【分析】本题考查数轴上的点表示数，新定义以及整式的加减运算，读懂题意是解题关键； （1）①直接根据新定义求解即可； ②根据新定义得出，，然后根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据新定义得出，，然后根据数轴上两点间的距离公式列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ②当A表示时，， 当B表示1.5时，， 则：与之间的距离为， 故填①3，②3； （2）根据题意，得，， ∴ 则：与之间的距离为定值，值为3． 题型模版 1.特征：给出数轴上点的某种新运算或新规则（如“友好点”“跳跃点”），要求按定义解决。 2.方法：仔细阅读定义，将文字转化为数学表达式（如距离、中点），按新规则列方程或不等式求解。 变式6-1．（24-25七年级上·全国·单元测试）在数轴上，若点到点的距离刚好是5，则点叫做点的“和谐点”．如图，点表示的数为，则点的“和谐点”所表示的数应该是______． 【答案】或3 【分析】本题考查了绝对值，新定义，解题的关键是分类讨论思想的应用． 分两种情况讨论，点在点的左边和点在点的右边，即可求解． 【详解】解：若点在点的左边，则点表示的数是往左边数5个单位长度，即； 若点在点的右边，则点表示的数是往右边数5个单位长度，即3． 综上所述，点的“和协点”所表示的数应该是或3． 故答案为：或3 变式6-2．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1)5 (2)，，0，1，2，3； (3)点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数即可； （3）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ， 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3； （3）①当P在之间时，， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， ，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：，此时． 综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时． 变式6-3．（25-26七年级上·广东广州·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“祁美点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“祁美点”． (1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“祁美点”，点M在A，B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为______； (2)点A表示数，点B表示数12，P为数轴上一个动点： 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 【答案】(1)； (2)或0或6；30或48或21． 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，弄清题中关于“祁美点”定义，按照定义表示线段倍数关系，分类讨论是解题的关键． （1）设M点表示的数是x，由题意可得或，求出符合题意的x的值即可； （2）设点P表示的数是x，由题意可得或，求出符合条件的x的值即可； 设点P表示的数是x，分三种情况讨论：当P点是点A，B的“祁美点”；当A点是P，B的“祁美点”；当B点是A，P的“祁美点”；列方程，求出P点表示的数即可得到答案． 【详解】（1）解：点M是点A，B的“祁美点”， 或， 设M点表示的数是x，点M在A，B之间，， ∴或 解得：或 点M表示一个负数， 点M表示的数为； （2）点P是点A，B的“祁美点”， 或， 设点P表示的数是x，由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的左侧， 或或， 故答案为：或0或6； 设点P表示的数是x， 当点P是点A，B的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， ， 当A点是P，B的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， 当B点是A，P的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， 或； 综上：点P表示的数是30或48或21． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知点和点在同一数轴上，点表示数2，又已知点和点相距5个单位长度．则点表示的数是（　　） A．3 B． C．3或 D．或7 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是分两种情况讨论． 分两种情况①当点在点的右边时，点表示的数为．②当点在点的左边时，点表示的数为求解即可． 【详解】解：点表示数2，点和点相距5个单位长度， 当点在点的右边时，点表示的数为． 当点在点的左边时，点表示的数为． 点表示的数是或 7， 故选：D． 2．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． 3．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）如图，把周长为4个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，，，，四点将圆四等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，滚动一次则点与数轴上表示2的点重合，滚动第二次点与数轴上表示3的点重合，滚动第3次点与数轴上表示4的点重合，…，在滚动过程中，数轴上的数2027与点（   ）重合． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的规律问题，根据圆的滚动规律可知4次一个循环，用2027除以4，取余数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，圆沿着数轴正方向滚动一圈按D，B，A，C的顺序排列： ， ∴数轴上的数2027与点重合； 故选A． 4．（25-26七年级上·北京西城·期中）如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念，两点间的距离公式及找规律进行归纳推理． 【详解】解：由题意知，∵数轴上点表示的数为，且，分别到0对应的点的距离相等，先根据数轴上两点到某点距离相等的性质求出前几个点所表示的数，再分析这些数的规律，最后根据规律求出表示的数． ∴， 即点表示的数为2， 依此类推，点表示的数为0，点表示的数为4，点表示的数为2，点表示的数为6，点表示的数为4，…， ∴点（n为正整数）表示的数为：，点（n为正整数）表示的数为， ∴当时，，即点表示的数为． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25七年级上·重庆江北·期中）已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离，了解数轴上点的移动规律是解题的关键．先求得点表示的数，然后分2种情况讨论，第一种是当在左侧，第二种是在右侧，分别得出答案． 【详解】解：已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得， 点为： 当在左侧，点距离点两个单位，那么点为：； 当在右侧，点距离点两个单位，那么点为：． 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为______． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和整数的个数问题，熟练掌握数轴的特征是解题的关键．由题意可得到的长度是玩具火车的倍，则玩具火车长度为，要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，据此即可得到答案． 【详解】解：∵已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为． ∴, 由题意可知，的长度是玩具火车的倍， ∴玩具火车长度为， 要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，此时玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为， 故答案为： 7．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数等知识．根据数轴上表示的点与表示3的点重合得到从表示1的点处折叠，根据数轴上两点之间的距离是10得到点P到表示1的点的距离是5，即可得到点表示的数为6或． 【详解】解：因为轴上表示的点与表示3的点重合， 所以是从表示1的点处折叠， 因为数轴上两点之间的距离是10， 所以点P到表示1的点的距离是5， 所以点表示的数为6或． 故答案为：6或． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，C是数轴上的任意一点．当A，B，C三点中有一点是另两点所连线段的中点时，点C表示的数可能是________． 【答案】或或 【分析】本题需要分三种情况讨论：点是的中点；点是的中点；点是的中点。根据数轴上中点的坐标公式来计算点表示的数． 【详解】设点表示的数为 情况一：点是的中点 根据中点公式 先将化为 方程变为 两边同时乘以2得 移项可得 情况二：点是的中点 根据中点公式 先将化为 方程变为 两边同时乘以2得 移项可得 情况三：点是的中点 根据中点公式 计算分子 所以 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了数轴上的中点问题，掌握数轴上若点是点的中点，则表示的数为，分三种中点情况利用该公式计算点表示的数是解题的关键． 三、解答题 9．（25-26七年级上·广西防城港·期中）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“<”连接起来： ，，0，，． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 在数轴上正确表示所给有理数，再利用数轴上右边的数大于左边的数比较大小即可． 【详解】解：把各数表示在数轴上如图所示， 所以． 10．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）李老师善于通过知识迁移，对问题进行拓展探究，培养同学们用数学的思维思考现实世界的能力．下面李老师在“数轴的实际应用”主题下设计的问题，请你解答． (1)知识回顾 如图1，数轴上有一个表示数的点，已知点在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，那么的值是________； (2)探究迁移 如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两端，分别落在A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识求出点、点所表示的数及木尺的长； 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为，木尺的长为． 【分析】本题考查了数轴上的动点，数轴上两点间的距离． （1）根据右加左减的规律求解即可； （2）由题意可知，点到的距离、的距离、点到的距离相等，可得木尺的长，从而可得点表示的数，点表示的数． 【详解】（1）解：∵点在数轴上向右移动个单位长度后表示的数是， ∴． 故答案为：． （2）解：由题意可知，点到的距离、的距离、点到的距离相等， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为． ∴点表示的数为，点表示的数为，木尺的长为． 11．（25-26七年级上·北京·期中）已知点是图形上的任意点，点是图形上的任意点．给出规定：如果，两点的距离有最小值，那么我们称这个最小值为图形的亲和距离；记作：（图形，图形）．特别地，当，两点重合时，（图形，图形）． 举例说明： 如图，数轴上的点表示的数是1，点，表示的数分别是与，那么（点，线段）． 根据以上定义完成下列问题： 数轴上的点，点表示的数分别是，，点为原点． (1)当时，（原点，线段）　　　； (2)如果（原点，线段），那么　　　； (3)数轴上的点，点表示的数分别是，，如果（线段，线段），直接写出的值． 【答案】(1)1 (2)3或 (3)或6 【分析】本题考查“数轴上两点间的距离”，理解题目中的亲和距离的计算方式是解题关键． 由题意，可知当图形M、图形N有重合的点时，d（图形M，图形N）=0． （1）由，得到点，点表示的数，再通过数轴判断原点O离线段的最短距离即可； （2）分两种情况讨论，分别求出当点D与点O的距离最短，且距离为3时x的值和当点E与点O的距离最短，且距离为3时x的值即可； （3）分两种情况讨论，当线段在线段左方时，最短距离为，则；当线段在线段右方时，最短距离为，则，代入计算即可得到的值． 【详解】（1）解：当时，点D表示数1，点E表示数2，此时点D与原点O的距离为线段上的点与原点O的最小值，故d（原点O，线段）=1． （2）分两种情况讨论， 第一种：在原点O的左方，此时点E为线段上离原点O的最近点，故d（原点O，线段）=，即， ∴． 第二种：在原点O的右方，此时点D为线段上离原点O的最近点，故d（原点O，线段）=，即， ∴． 故答案为：3或． （3）分两种情况讨论， 第一种：在的左方，此时点E，点F为线段，线段上距离最近的两点，故d（线段，线段）=，即， ∴． 第二种：在的右方，此时点D，点G为线段，线段上距离最近的两点，故d（线段，线段）=，即， ∴． 故答案为：或6． 12．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度； (1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？ (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数； (4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是 (2) (3)点D表示的数为2或 (4) 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上的动点问题是解题的关键． （1）根据点、是数轴上从左到右排列的点，进而根据数轴上两点距离可进行求解； （2）根据点B对齐刻度列式求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况求解即可； （4）首先求出，然后根据线段中点的概念找出规律求解即可． 【详解】（1），是数轴上从左到右排列的点，在数轴上对应的数分别为，2， ； ， ∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的； （2）∵点B对齐刻度， ∴， ∴， ∴在数轴上点B所对应的数； （3）∵点A表示的数是，点B表示的数是， ∴ ∴ ∴点D所对应的数为或； （4）点B表示的数是，点C表示的数是2， ， 一质点从点处向点方向跳动，第一次跳动到的中点处， 点表示的数为， 第二次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第三次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第四次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 点表示的数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $