专题01 丰富的图形世界的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建立体图形专项训练体系，通过“特征-方法-易错”三维提炼，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|展开图用“Z”字形/间隔法，三视图“长对正、高平齐、宽相等”，欧拉公式验证点棱面关系|从立体图形识别到空间变换，构建“概念-性质-应用”逻辑链| |七类题型|7典例+多变式|分类依面/顶点特征，旋转体用体积公式，展开图判断相对面，视图计数分层布局|覆盖从基础分类到复杂计算，题型与方法一一对应| |压轴挑战|综合题组|综合应用空间想象与几何计算，强化跨题型方法迁移|衔接中考高频考点，提升抽象能力与推理意识|

专题01 丰富的图形世界的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、立体图形的分类 题型二、几何体中的点、棱、面 题型三、求平面图形旋转所得立体图形体积 题型四、含图案的正方体展开图 题型五、由展开图计算几何体的面积或体积 题型六、根据从不同方向看到的图形确定立方块的个数 题型七、画出从不同方向看几何体的平面图形 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及立体图形（圆柱、圆锥、棱柱、球）的识别、展开与折叠、截面形状、三视图（正面、左面、上面）的判断与绘制。 - 解题方法：展开图找相对面用“Z”字形或间隔法；截面形状通过切割角度想象；三视图用“长对正、高平齐、宽相等”原则，由视图还原立体图时可借助正方体堆叠计数。 - 易错提醒：混淆棱柱与棱锥的顶点、棱、面数量关系（欧拉公式 \(V-E+F=2\) 可验证）；展开图中忽略立体图折叠后边的重合导致判断失误；三视图绘制时虚实线不分（看不见的棱画虚线）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、立体图形的分类 典例1．（24-25七年级上·宁夏银川·阶段检测）将下图中的立体图形分类．（填序号） 柱体___________；锥体___________；球体___________． 题型模版 1.特征：按柱、锥、球、台等几何体形状分类，依据面的数量、形状及有无顶点。 2.方法：观察立体图形，根据底面形状与侧棱特征，归为柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）或球体等类别。 变式1-1．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 变式1-2．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段检测）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有 ，无曲面的有 ． 变式1-3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 题型二、几何体中的点、棱、面 典例2．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； (3)通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 题型模版 1.特征：立体图形由点（顶点）、棱（边）和面（表面）构成，三者数量遵循欧拉公式。 2.方法：观察几何体，数出顶点数V、棱数E和面数F，验证欧拉公式V - E + F = 2。 变式2-1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ (2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？ (4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 变式2-2．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 变式2-3．（25-26七年级上·全国·课后作业）棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 题型三、求平面图形旋转所得立体图形体积 典例3．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）同一个图形绕不同的轴旋转时，得到的几何体一般不同．如图是一个直角三角形． (1)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）； (2)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）． 题型模版 1.特征：平面图形绕某轴旋转一周形成立体图形，求旋转体体积，常见于圆锥、圆柱、球。 2.方法：确定旋转轴，分析平面图形边界，利用积分（或祖暅原理）计算体积，或套用圆锥、圆柱体积公式。 变式3-1．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____；用数学知识解释这一现象是______； (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 变式3-2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是__________，这一过程体现了__________．（填序号） ①点动成线；②线动成面；③面动成体． (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 变式3-3．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥．那么，请你思考： (1)如图两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图． (2)如图（图2），有这样一个长方形，，，已知对角线、相交于点．如果图中的阴影部分以为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？ 题型四、含图案的正方体展开图 典例4．（2026·河南平顶山·三模）把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：正方体展开图上标有图案，需判断折叠后图案位置或相对面，涉及空间想象。 2.方法：确定展开图的“十”字型或“L”型结构，利用相邻面与相对面规律，或动手折纸模拟。 变式4-1．（25-26七年级上·广东清远·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（   ） A． B． C． D． 变式4-3．（25-26七年级上·四川德阳·期末）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 题型五、由展开图计算几何体的面积或体积 典例5．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 题型模版 1.特征：已知几何体展开图的尺寸，求原几何体的表面积或体积，常涉及棱柱或圆柱。 2.方法：从展开图中读出底面边长和高（或母线长），套用柱体、锥体面积/体积公式，注意单位换算。 变式5-1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）图①为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图②所示． (1)从图①展开至图②，一共剪开了几条棱？ (2)若被剪开的棱的棱长和为，则这个四棱柱的体积是多少？ 变式5-2．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动．如图图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有____________；（只填序号） 【活动开展】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子，如图，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作的无盖长方体形盒子和有盖长方体形盒子的体积分别是____________，____________． 【活动探究】若有盖长方体形盒子和无盖长方体形盒子若的长、宽、高分别为，，，将它们的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则它们表面展开图的外围周长最大分别是多少？ 变式5-3．（25-26七年级上·广东茂名·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的体积为 ； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为 ； (3)若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？请你画出外围周长最大时的一个表面展开图并标上相应的数据． 题型六、根据从不同方向看到的图形确定立方块的个数 典例6．（25-26七年级上·四川眉山·期中）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．如果需要的小正方体个数最多为_______ 个，最少为_______个． 题型模版 1.特征：已知三视图（正面、左面、上面），确定小立方体组合体的最少或最多块数。 2.方法：由俯视图确定底层布局，结合正面、左面在对应位置“搭高”，分层计数取最少/最多。 变式6-1．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的上面、正面看到的形状图，这个几何体至少是用_____个小立方块搭成的，最多是用____个小立方块搭成的． 变式6-2．（25-26七年级上·四川成都·期中）用小正方体搭一个几何体，从正面和上面看到的图形如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要______个小正方体，最多需要______个小正方体． 变式6-3．（25-26六年级上·山东烟台·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则______． 题型七、画出从不同方向看几何体的平面图形 典例7．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 题型模版 1.特征：根据立体图形，画出从正面、左面、上面观察到的平面图形（三视图）。 2.方法：分别从三个方向投影，注意遮挡关系，按“长对正、高平齐、宽相等”原则画图。 变式7-1．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）用几个相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在网格中分别画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． (2)如果保持从正面、左面看到的形状图都不变，最多可以再添加_____个小立方块． 变式7-2．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 变式7-3．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）​用7个大小相同的小立方块搭成几何体，从上面看到的几何体的形状图如图1所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在图2中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)在小立方块数目不变的情况下，请你重新搭使得从正面和从左面看到的两个形状图相同，在图3中画出从上面看到的形状图，并仿照图1填上数字，表示该位置小立方块的个数． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·河南信阳·一模）下列几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，从前面看得到的图形是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·四川眉山·期末）把下图所示的图形折叠起来围成一个正方体，应该得到的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南南阳·一模）小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 二、填空题 5．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若一个棱柱有七个面，则它是________棱柱，有________条棱． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 7．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）用若干个棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面看和从上面看到的这个几何体的形状如图所示，搭成这样的几何体最少需要_______个小正方体，最多需要_______个小正方体． 8．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，直角三角形ABC三边AB、BC、AC分别长4cm、3cm、5cm，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为_____． 三、解答题 9．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）在学校举办的“创意手工大赛”中，小明根据设计图纸裁剪出了一个几何体的表面展开图（如图所示）． (1)该几何体的名称是______； (2)根据图中所给数据，求该几何体的表面积和体积．（结果保留） 10．（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）（1）写出下列几何体的名称 ①_________  ②__________  ③__________  ④__________  ⑤__________ （2）将上述几何体按名称分类（请填写序号） 柱体有_________；锥体有__________；球体有___________． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）下图所示的是由直角三角形和正方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积（结果保留）． 12．（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一些相同的小立方块搭一个几何体，使它从正面看和从上面看的形状图如图所示，从上面看的形状图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方块的个数，解答下列问题． (1)____，____，____． (2)这个几何体最多由几个小立方块搭成？最少呢？请写出计算过程． (3)当，时，在图1中画出这个几何体从左面看到的形状图． 13．（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 14．（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 丰富的图形世界的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、立体图形的分类 题型二、几何体中的点、棱、面 题型三、求平面图形旋转所得立体图形体积 题型四、含图案的正方体展开图 题型五、由展开图计算几何体的面积或体积 题型六、根据从不同方向看到的图形确定立方块的个数 题型七、画出从不同方向看几何体的平面图形 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及立体图形（圆柱、圆锥、棱柱、球）的识别、展开与折叠、截面形状、三视图（正面、左面、上面）的判断与绘制。 - 解题方法：展开图找相对面用“Z”字形或间隔法；截面形状通过切割角度想象；三视图用“长对正、高平齐、宽相等”原则，由视图还原立体图时可借助正方体堆叠计数。 - 易错提醒：混淆棱柱与棱锥的顶点、棱、面数量关系（欧拉公式 \(V-E+F=2\) 可验证）；展开图中忽略立体图折叠后边的重合导致判断失误；三视图绘制时虚实线不分（看不见的棱画虚线）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、立体图形的分类 典例1．（24-25七年级上·宁夏银川·阶段检测）将下图中的立体图形分类．（填序号） 柱体___________；锥体___________；球体___________． 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【分析】本题主要考查了几何体的分类，柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 【详解】解：①是正方体，属于柱体； ②是长方体，属于柱体； ③是球，属于球体； ④是圆锥，属于锥体； ⑤是六棱柱，属于柱体； ⑥是五棱锥，属于锥体； ⑦是三棱柱，属于柱体； ⑧是圆柱，属于柱体； 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 题型模版 1.特征：按柱、锥、球、台等几何体形状分类，依据面的数量、形状及有无顶点。 2.方法：观察立体图形，根据底面形状与侧棱特征，归为柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）或球体等类别。 变式1-1．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 【答案】(1)圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； (2)；． 【分析】本题主要考查了认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． （）根据几何体的特点回答即可； （）根据平面和曲面的区别回答即可． 【详解】（1）解：按序号写出各自几何体的名称：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； （2）解：在以上几何体中，是柱体的有；含曲面的有， 故答案为：；． 变式1-2．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段检测）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有 ，无曲面的有 ． 【答案】(1)（），（），（）；（）（）；（）； (2)（），（），（）；（），（），（）． 【分析】（）根据立体图形的分类即可求解； （）根据立体图形的分类即可求解； 本题考查了立体图形，熟练掌握立体图形的特点是解题的关键． 【详解】（1）按“柱、锥、球”来分，柱体有（），（），（），锥体有（）（），球有（）， 故答案为：（），（），（）；（）（）；（）； （2）按“有无曲面”来分，有曲面的有（），（），（），无曲面的有（），（），（）， 故答案为：（），（），（）；（），（），（）． 变式1-3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③ (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 题型二、几何体中的点、棱、面 典例2．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； (3)通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)八，10，24； (2) (3)n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）由棱柱有个顶点，有个面，条棱求解可得； （2）由八棱柱有个侧面求解可得； （3）由棱柱有个顶点，有个面，条棱求解可得答案． 【详解】（1）解：因为此直棱柱有个顶点， 所以由知，此棱柱是八棱柱，有个面，有条棱；． （2）八棱柱的所有侧面的面积之和是：； （3）n棱柱共有个顶点，共有条棱． 题型模版 1.特征：立体图形由点（顶点）、棱（边）和面（表面）构成，三者数量遵循欧拉公式。 2.方法：观察几何体，数出顶点数V、棱数E和面数F，验证欧拉公式V - E + F = 2。 变式2-1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ (2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？ (4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)共有9个面；侧面是长方形 (2)21，14 (3)这个棱柱的侧面积之和是 (4)直n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查棱柱的组成，理解棱柱各部分的数量是解题的关键． （1）直接观察七棱柱即可解答； （2）观察七棱柱即可解答； （3）将根据长方形的面积公式求出每个侧面的面积，再乘以侧面的数量7个即可解答； （4）由七棱柱的规律，总结即可解答． 【详解】（1）这个直七棱柱有7个侧面，2个底面，共有9个面；侧面是长方形； （2）七棱柱一共有21条棱，一共有14个顶点． 故答案为：21，14； （3）， 故这个棱柱的侧面积之和是； （4）直n棱柱共有个顶点，共有条棱． 变式2-2．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 【答案】(1)4；4；6；6；6；10 (2)11；11；20；；； (3)； 【分析】考查了欧拉公式，本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和多面体的性质等知识． （1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可； （2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可； ②根据n棱锥的特征填写即可； （3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系； ②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系． 【详解】（1）解：观察与发现：三棱锥中，，，； 五棱锥中，，，； 故答案为：4；4；6；6；6；10； （2）解：猜想：①十棱锥中，，，； ②n棱锥中，，，； 故答案为：11；11；20；；；； （3）解：探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：． 故答案为：；． 变式2-3．（25-26七年级上·全国·课后作业）棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【答案】补全表格：8；15；18；6；7；（1）16；28；42（2）二十八；（3）n；；；；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 根据图示信息填写表格即可； （1）根据表格信息找出规律即可求解； （2）根据棱、面的关系求解即可； （3）根据棱、面的关系求解即可； （4）根据棱、面的关系求解即可． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； （4）∵在三棱柱中：，在四棱柱中：，在五棱柱中：， ∴v，e，f之间的关系：． 题型三、求平面图形旋转所得立体图形体积 典例3．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）同一个图形绕不同的轴旋转时，得到的几何体一般不同．如图是一个直角三角形． (1)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）； (2)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查基本图形的旋转，掌握几何体的基本概念和体积计算公式是关键． （1）三角形绕着直角边所在直线旋转一周得到圆锥，结合圆锥体积公式计算即可得出答案； （2）直角三角形绕着斜边所在直线旋转一周，得到两个扣在一起的圆锥． 【详解】（1）当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到的几何体是底面半径，高为的圆柱体，如图1， 所以体积为； （2）当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到两个等底面的圆锥体的组合体，如图2，设边上的高为r， 因为 所以． 所以体积为 题型模版 1.特征：平面图形绕某轴旋转一周形成立体图形，求旋转体体积，常见于圆锥、圆柱、球。 2.方法：确定旋转轴，分析平面图形边界，利用积分（或祖暅原理）计算体积，或套用圆锥、圆柱体积公式。 变式3-1．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____；用数学知识解释这一现象是______； (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2) 【分析】本题考查了圆柱的体积，平面图形旋转后形成的立方体， （1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可． 【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形， ∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体． 故答案为：圆柱，面动成体． （2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 变式3-2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是__________，这一过程体现了__________．（填序号） ①点动成线；②线动成面；③面动成体． (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱，③ (2)得到的几何体的体积为或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体； （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆柱，③； （2）解：①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或． 变式3-3．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥．那么，请你思考： (1)如图两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图． (2)如图（图2），有这样一个长方形，，，已知对角线、相交于点．如果图中的阴影部分以为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)见解析 (2)阴影部分扫过的立体的体积是565.2立方厘米 【分析】此题考查圆柱和圆锥的展开图的特点以及圆柱的体积公式及圆锥体积公式，做对本题的关键是用对公式，是公式型考查题． （1）根据圆柱和圆锥的特征，可知第一个梯形旋转一周形成的图形是上部是半径为5厘米，高为3厘米的圆锥，下部是半径为5厘米，高为6厘米的圆柱，第二个梯形旋转一周形成的是整体是一个高为9厘米，底面半径为5厘米的圆柱，而上部是一个空心圆锥； （2）阴影部分扫出的立体图形的体积（底面半径为6厘米，高为10厘米的圆锥的体积个底面半径是3厘米，高为5厘米圆锥的体积）． 【详解】（1） 解：画图如下：旋转一周是； 旋转一周是； （2）设三角形以为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是立方厘米，则 ， （立方厘米） 答：阴影部分扫过的立体图形的体积是565.2立方厘米． 题型四、含图案的正方体展开图 典例4．（2026·河南平顶山·三模）把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． 题型模版 1.特征：正方体展开图上标有图案，需判断折叠后图案位置或相对面，涉及空间想象。 2.方法：确定展开图的“十”字型或“L”型结构，利用相邻面与相对面规律，或动手折纸模拟。 变式4-1．（25-26七年级上·广东清远·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含图案的正方体的展开图．根据正方体展开图的特征依次分析即可，也可动手操作． 【详解】 解：观察一个正方体的平面展开图，结合正方体的表面图形的圆图形，和×图形，空白面，三角形图形的分布情况，得原正方体可能是， 故选：A． 变式4-2．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图，解决本题的关键是根据正方体的表面展开图找出它们的相对面、相邻面之间的位置关系进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，当在前面时，上面是，左面是，故A选项符合题意； B选项：当在上面时，前面应是，故B选项不符合题意； C选项：当在前面时，上面应是，故C选项不符合题意； D选项：两个应是相对面，不能相邻，故D选项不符合题意． 故选：A． 变式4-3．（25-26七年级上·四川德阳·期末）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体的展开图， 先观察原正方体可知带有图案的三个面交于一点，再逐个判断即可． 【详解】解：由原正方体知带有图案的三个面交于一点，而通过折叠后A，B都不符合； 且D折叠后带有图案的面的位置正好相反，所以能得到的图形是C选项． 故选：C． 题型五、由展开图计算几何体的面积或体积 典例5．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【答案】(1)12，7 (2)长方体的表面积为，长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （2）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． 题型模版 1.特征：已知几何体展开图的尺寸，求原几何体的表面积或体积，常涉及棱柱或圆柱。 2.方法：从展开图中读出底面边长和高（或母线长），套用柱体、锥体面积/体积公式，注意单位换算。 变式5-1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）图①为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图②所示． (1)从图①展开至图②，一共剪开了几条棱？ (2)若被剪开的棱的棱长和为，则这个四棱柱的体积是多少？ 【答案】(1)7条棱 (2) 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键． （1）根据总棱数为12，展开图相连的还有5条棱，得出剪开的是7条棱即可； （2）根据题中数据求出原四棱柱的高即可得出原四棱柱的体积． 【详解】（1）解：∵四棱柱共12条棱，展开图相连的还有5条棱， ∴一共剪开了7条棱． （2）解：， ． ∴这个四棱柱的体积是． 变式5-2．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动．如图图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有____________；（只填序号） 【活动开展】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子，如图，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作的无盖长方体形盒子和有盖长方体形盒子的体积分别是____________，____________． 【活动探究】若有盖长方体形盒子和无盖长方体形盒子若的长、宽、高分别为，，，将它们的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则它们表面展开图的外围周长最大分别是多少？ 【答案】； [活动开展]；； [活动探究]有盖长方体形盒子表面展开图的外围周长最大为，无盖长方体形盒子表面展开图的外围周长最大为． 【分析】本题考查长方体和正方体的表面展开图、长方体体积公式，熟练掌握长方体和正方体的表面展开图是解题的关键． 根据无盖正方体的表面展开图包括个正方形，逐一判断能否形成无盖正方体即可； [活动开展]根据制作长方体形盒子的方法，得到无盖长方体形盒子的长为、宽为，高为，有盖长方体形盒子的长为、宽为，高为，利用长方体的体积公式进行计算即可； [活动探究]根据题意得出有盖长方体形盒子和无盖长方体形盒子的表面展开图，在利用外围周长公式进行计算即可． 【详解】解：无盖正方体的表面展开图包括个正方形， 图可以折叠成一个无盖的正方体，底面是中间的正方形，四个侧面是周围的正方形， 图上方的两个正方形会重叠，无法得到无盖的正方体， 图尝试折叠，无法得到无盖正方体， 图可以折叠成一个无盖的正方体，底面是任意一个正方形，四个侧面是周围的正方形， 图可以折叠成一个无盖的正方体，底面是任意一个正方形，四个侧面是周围的正方形， 因此，可能是无盖正方体的表面展开图的有图、图、图， 故答案为：； [活动开展]解：根据题意得： 无盖长方体形盒子的长为， 宽为，高为， 则无盖长方体形盒子的体积为； 有盖长方体形盒子的长为， 宽为，高为， 则有盖长方体形盒子的体积为， 故答案为：；； [活动探究]解：有盖的长方体纸盒长、宽、高分别为，，，想要使展开图的周长最大，只需要沿着长为的棱剪开即可，如图， 则有盖长方体形盒子表面展开图的外围周长最大为， 无盖的长方体纸盒长、宽、高分别为，，，想要使展开图的周长最大，只需要沿着长为的棱剪开即可，如图， 则无盖长方体形盒子表面展开图的外围周长最大为． 变式5-3．（25-26七年级上·广东茂名·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的体积为 ； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为 ； (3)若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？请你画出外围周长最大时的一个表面展开图并标上相应的数据． 【答案】(1)② (2)①2000，②1000 (3)70cm， 该展开图的最大外围周长如图所示： 【分析】本题考查了正方体的表面展开图、长方体的体积计算及长方体表面展开图的外周长计算． （1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”进行判断即可； （2）①根据正方体的表面展开图得出所折叠成长方体的长、宽、高，再根据体积的计算方法进行计算即可； ②根据折叠的方法求出所折叠成长方体的长、宽、高，再根据体积的计算方法进行计算即可； （3）画出它的表面展开图，尽可能沿着棱长为的棱剪开，棱长为的棱不剪开． 【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，②不是无盖正方体的表面展开图， 故答案为：②． （2）解：①按照图1的方式折叠可得到底是边长为的正方形，高为的长方体，即底面边长为，高为， ∴体积为， 故答案为：2000； ②按照图2的方式折叠可得到底面长为，宽为，高为的长方体， ∴体积为， 故答案为：1000． （3）解：将一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形， ∴最大周长为， 即这个展开图的最大周长为． 题型六、根据从不同方向看到的图形确定立方块的个数 典例6．（25-26七年级上·四川眉山·期中）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．如果需要的小正方体个数最多为_______ 个，最少为_______个． 【答案】 13 9 【分析】本题考查从不同方向看几何体，灵活运用所给的图形并发挥空间想象力是关键． 以从上面看的图作为基准，结合从正面看的图，逐块分析小正方体堆叠情况． 【详解】解：以从上面看的图作为基准，小正方体最多的情况如下： 一共需要个， 小正方体最少的情况如下： 一共需要个． 故答案为：13；9． 题型模版 1.特征：已知三视图（正面、左面、上面），确定小立方体组合体的最少或最多块数。 2.方法：由俯视图确定底层布局，结合正面、左面在对应位置“搭高”，分层计数取最少/最多。 变式6-1．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的上面、正面看到的形状图，这个几何体至少是用_____个小立方块搭成的，最多是用____个小立方块搭成的． 【答案】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从上面看与从正面看，得到这个组合体中小正方体的个数最少和最多时的形状即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 图中所示的分别是从它的上面、正面看到的形状图，这个几何体至少小立方块个数：（个）； 如图， 图中所示的分别是从它的上面、正面看到的形状图，这个几何体至多小立方块个数：（个）； 故答案为：，． 变式6-2．（25-26七年级上·四川成都·期中）用小正方体搭一个几何体，从正面和上面看到的图形如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要______个小正方体，最多需要______个小正方体． 【答案】 7 9 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据图形，从上面看，底层有5个正方体，然后根据从正面看判断出最少和最多的正方体即可求解． 【详解】解：从上面看，底层有5个正方体，从正面看，第二层最少有2个正方体， ∴搭成这样的几何体至少需要个小正方体； 从正面看，第二层最多有4个小正方体， ∴搭成这样的几何体最多需要个小正方体． 故答案为：7，9． 变式6-3．（25-26六年级上·山东烟台·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则______． 【答案】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体；在上面看到的图形中标出相应的位置小立方体的数量可能的情况即可． 【详解】解：需要小立方块最多时，如图所示， 从图中可得：； 当需要小立方块最少时，如图所示， 从图中可得：； ． 故答案为：． 题型七、画出从不同方向看几何体的平面图形 典例7．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2)这个几何体的表面积为． 【分析】（1）根据从不同方向看几何体作图即可； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， 这个几何体的表面积为． 题型模版 1.特征：根据立体图形，画出从正面、左面、上面观察到的平面图形（三视图）。 2.方法：分别从三个方向投影，注意遮挡关系，按“长对正、高平齐、宽相等”原则画图。 变式7-1．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）用几个相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在网格中分别画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． (2)如果保持从正面、左面看到的形状图都不变，最多可以再添加_____个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． （1）从正面看有三列，第一列有2个正方形，第二列有3个正方形，第三列有2个正方形；从左面看有两列，第一列有2个正方形，第二列有3个正方形； （2）根据从正面、左面看到的形状图分析即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，可得最多可以再添加个小立方块 故答案为：． 变式7-2．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）圆柱；三棱柱；圆锥；（2）（3）见解析 【分析】（1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）根据三棱柱的侧面积计算公式求得即可得出答案； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，据此可画出图形． 【详解】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是圆柱，图2是三棱柱，图3是圆锥， 故答案为：圆柱；三棱柱；圆锥； （2）三棱柱的侧面展开图是长方形，其长为，宽为， 所以面积为； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，如图： ． 变式7-3．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）​用7个大小相同的小立方块搭成几何体，从上面看到的几何体的形状图如图1所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在图2中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)在小立方块数目不变的情况下，请你重新搭使得从正面和从左面看到的两个形状图相同，在图3中画出从上面看到的形状图，并仿照图1填上数字，表示该位置小立方块的个数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，熟练掌握由从不同方向看到的形状图来画图的方法是解题的关键． （1）由题意可知：从正面看，这个几何体共有3列，每列小正方体的数目分别是3，2，1；从左面看，这个几何体共有2列，每列小正方体的数目分别是2，3； （2）由题意可知：从左面看是2列，则从正面看也要是2列；从正面看左边列小正方体的数目是3，则从左面看左边列小正方体的数目也要是3，由此把从正面看第3列的小正方体移到第2列的2个小正方体上面即可． 【详解】（1） 解： （2） 解： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·河南信阳·一模）下列几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的分类．柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：正方体是四棱柱，棱柱和圆柱都是柱体，则属于柱体的有3个， 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，从前面看得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图的概念判断即可． 【详解】解：从题目所示的前面看，从上到下依次有一个正方形，两个正方形，从左到右依次有两个正方形，一个正方形，符合题意的为C． 3．（25-26七年级上·四川眉山·期末）把下图所示的图形折叠起来围成一个正方体，应该得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体的展开图，根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，两个图案所在的正方形为相对面，进行判断即可． 【详解】 解：图形折叠起来围成一个正方体，应该得到的是 故选：B． 4．（2026·河南南阳·一模）小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 二、填空题 5．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若一个棱柱有七个面，则它是________棱柱，有________条棱． 【答案】 五 15 【分析】本题考查了棱柱的概念，根据棱柱的底面和侧面的关系求解是解题关键． 根据n棱柱的特点，n棱柱由n个侧面和两个底面构成，棱柱的棱数为，据此求解即可． 【详解】解：一个棱柱是由7个面围成的，则有2个底面，5个侧面， 因此此立体图形是五棱柱，五棱柱有条棱． 故答案为：五，15． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长， ∴长方体的侧面积是：， 故答案为：． 7．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）用若干个棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面看和从上面看到的这个几何体的形状如图所示，搭成这样的几何体最少需要_______个小正方体，最多需要_______个小正方体． 【答案】 11 15 【分析】本题考查的是从不同的方向看一个几何体，利用从上面看到的视图结合从正面看到的写出最少，最多时小正方体的个数，可得结论． 【详解】解：如下图，搭成这样的几何体最少需要个小正方体， 最多需要个小正方体． 故答案为：11，15． 8．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，直角三角形ABC三边AB、BC、AC分别长4cm、3cm、5cm，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查圆锥的体积的计算，掌握旋转后的图形为圆锥是解题的关键． 首先分析将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周有两种情况，分开分别求得底面半径与高，即可计算不同情况下圆锥的体积． 【详解】解：将直角三角形绕4cm的直角边旋转，得到底面半径为3cm，高为4cm的圆锥， ∴， ∴； 将直角三角形绕3cm的直角边旋转，得到底面半径为4cm，高为3cm的圆锥， ∴， ∴； 故答案为：或． 三、解答题 9．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）在学校举办的“创意手工大赛”中，小明根据设计图纸裁剪出了一个几何体的表面展开图（如图所示）． (1)该几何体的名称是______； (2)根据图中所给数据，求该几何体的表面积和体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱体 (2)几何体的表面积是、体积是 【分析】本题考查了圆柱的展开图和圆柱的相关计算； （1）根据圆柱的展开图解答即可； （2）根据圆柱的体积和表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由展开图可知，顶部和底部均为圆形，侧面为长方形，符合圆柱体的展开特征，因此该几何体是圆柱体； 故答案为：圆柱体； （2）解：根据图中给出的数据，圆柱的底面直径为，故半径，高， 所以圆柱的体积， 圆柱的表面积． 10．（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）（1）写出下列几何体的名称 ①_________  ②__________  ③__________  ④__________  ⑤__________ （2）将上述几何体按名称分类（请填写序号） 柱体有_________；锥体有__________；球体有___________． 【答案】（1）正方体；圆柱体；长方体；球体；圆锥体；（2）①②③；⑤；④ 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键． （1）根据几何体特征解答即可； （2）根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】（1）解：①正方体；②圆柱体；③长方体；④球体；⑤圆锥体 故答案为：正方体；圆柱体；长方体；球体；圆锥体 （2）柱体有①②③；锥体有⑤；球体有④． 故答案为：①②③；⑤；④ 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）下图所示的是由直角三角形和正方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积（结果保留）． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数，再运用体积公式计算． （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确旋转沿正方形一边后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成，分别计算体积后相减． 【详解】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）由题意，旋转沿正方形的一边，旋转后立体图形可看作底面半径为、高为的圆柱，减去一个底面半径为、高为的圆锥． 圆柱体积 圆锥体积． 总体积． 答：得到的立体图形的体积为． 12．（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一些相同的小立方块搭一个几何体，使它从正面看和从上面看的形状图如图所示，从上面看的形状图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方块的个数，解答下列问题． (1)____，____，____． (2)这个几何体最多由几个小立方块搭成？最少呢？请写出计算过程． (3)当，时，在图1中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【答案】(1)1，1，3 (2)11，9 (3) 如图： 【分析】本题考查了由不同方向看简单组合体，解题的关键是发挥空间想象能力． （1）从正面看，第二列小立方块的个数为1，第3列小立方块的个数为3，据此可确定d、e、f的值； （2）从正面看，每一列上的小立方块个数是相应列中正方形数字中的最大数字，故可得第一列小立方块的个数最多为，最少为，那么加上其他两列小立方块的个数即可得到这个几何体的搭成情况； （3）从上面看，该几何体有3排，从前往后第三排最多有3层，第二排最多有1层，第一排有2层，因此从左面看，第1列能看到3个正方形，第2 列能看到1个正方形，第3列能看到2个正方形，由此可画出从左面看到的形状图． 【详解】（1）解：根据从正面看和从上面看到的形状可知 ；故答案为：1，1，3； （2）解：第一列小立方块的个数最多为个，最少为个， 这个几何体最多由个小立方块搭成， 最少由个小立方块搭成； （3）解：从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2． 13．（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 14．（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 【答案】(1)①③④ (2)①16；②1000 (3)该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和展开图的特征判断即可； （2）①由条件得底面是正方形，求出边长后根据正方形周长公式即可得解； ②分别求出长方体的长宽高后根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案； 本题主要考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 【详解】（1）解：根据展开图，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意得长方体纸盒的底面为正方形， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：16； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为， 高为， 宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 则该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $