专题03 利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过六类折叠模型系统构建“对应关系分析-方程思想应用”的解题体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|找对应边角，设未知数，勾股定理列方程|从折叠本质（全等变换）提炼通法，奠定思维基础| |六类题型|6典例+18变式|每类题型配“特征+方法”模板（如矩形折痕过顶点模型用直角三角形勾股定理）|按图形类型（矩形/直角三角形）及折痕位置分层，形成从基础到变式的逻辑链| |压轴挑战|12道综合题|综合应用折叠性质与勾股定理，结合分类讨论|对接中考高频考点，提升复杂问题解决能力|

专题03 利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长方形中折痕过对角线模型 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：将图形沿某直线折叠，使部分边或点重合，求折痕长、某边长度或面积等。 - 解题方法：找出折叠前后的对应边与对应角（相等关系），设所求线段为x，用含x的式子表示其他相关边，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解。 - 易错提醒：找错对应边和对应角；未考虑折叠后点落在特殊位置（如中点、顶点）；列方程时忽略已知边与设未知数边之间的数量关系；方程解出后未检验是否符合题意。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长方形中折痕过对角线模型 典例1．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为_____ 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后可得，则可设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在长方形中，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故答案为． 题型模版 1.特征：长方形折叠后折痕经过对角线的端点或中点，求折痕长度或折叠后的边长关系。 2.方法：利用折叠前后对应边角相等，结合矩形对边平行且相等、勾股定理，设未知数建立方程求解。 变式1-1．（25-26八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段_________． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 变式1-2．（25-26八年级上·重庆奉节·期末）如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为______________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 变式1-3．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2）解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 典例2．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，点E是长方形纸片的边上一点，将长方形纸片沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处．若，，则__________，__________． 【答案】 4 【分析】本题考查勾股定理与翻折问题，由翻折可得，，在中通过勾股定理求出长度，再在中由勾股定理求出的值． 【详解】由翻折可得，， ∵四边形为矩形， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即 故答案为：，． 题型模版 1.特征：长方形折叠时折痕经过一个顶点，求折痕长度或折叠后某边长度，常结合勾股定理。 2.方法：利用折叠前后对应边相等，确定折叠后的直角三角形，设未知数，用勾股定理列方程求解。 变式2-1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，由折叠前后对应边相等，可得，．再证，推出，设，利用勾股定理解，即可求解． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∴，， 根据折叠可知，，． 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， 则，，， ∵， ∴中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故答案为：． 变式2-2．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，矩形中，，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点的对应点为． （1）若点落在边上，则______． （2）若，则线段的长为______． 【答案】 2 10或． 【分析】（1）设，则，利用勾股定理计算即可． （2）根据，分点在射线内侧和外侧两种情况计算即可． 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：（1）设，则， 矩形中，，，沿翻折，点的对应点为， ，， ， 解得， 故答案为：2． （2）当点在射线内侧时， 矩形中，，，沿翻折，点的对应点为， ，， ， ， 是等边三角形， ； 当点在射线外侧时， 矩形中，，，沿翻折，点的对应点为， ∴ ，， ， ， ， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴是等边三角形 ∴ ，， ， ； 故答案为：10或． 变式2-3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)①图形见解析，；② (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；然后根据图形折叠的性质可知，利用勾股定理即可求得； ②设，则，根据图形折叠的性质可知，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据折叠的性质和勾股定理构建方程即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，． 故答案为：． ②设，则，， ∵，， ∴， 在中，，即． 解得，即． （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，， 则， 在中，， 即， 解得，即； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， 根据图形折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 典例3．（2025八年级上·吉林长春·专题练习）如图，长方形纸片ABCD，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， 四边形是长方形，，， ，， 在中，， ，解 得． 故答案为：． 题型模版 1.特征：长方形折叠时折痕连接边上任意两点（非顶点），求折痕长或重叠部分面积，形式多样。 2.方法：设未知数表示折叠前后对应边，利用全等（折叠）及勾股定理建立方程，结合矩形边长关系求解。 变式3-1．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，折叠性质，全等三角形判定及性质等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 根据题意设，，证明和全等，再利用勾股定理得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴，， 根据折叠性质得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 故答案为：. 变式3-2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质以及勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； 当共线时，的值最小，为的长，线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得，设，由折叠的性质得，，从而得到，在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】（1）解：在长方形中，， 为线段的中点， ， 由折叠的性质，得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：． （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长， 此时，点在上的点处，点在点处，如图， ， 在中，由勾股定理得， 设， 由折叠的性质得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 线段的值最小时，的长度为． 故答案为：． 变式3-3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 典例4．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在Rt中，，，点是边上一点，，将沿直线折叠，使点落在边上的点处．若点是直线上的动点，则的周长的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及最短路径问题，熟练掌握利用轴对称性质转化线段，结合两点之间线段最短求解最小值是解题的关键． 本题是最短路径问题．根据折叠性质，点与点关于直线对称，因此的周长根据两点之间线段最短，当点位于与的交点时，取得最小值因此，周长的最小值为接下来需要利用直角三角形和折叠的性质，求出的长度． 【详解】解：连接、， ∵在中，，， ∴， ∵沿直线折叠得到， ∴，，， ∴， 在中，，， ， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴ ∴的周长 ∵当在与的交点时，最小，最小值为 ∴周长的最小值 故答案为： 题型模版 1.特征：直角三角形沿过顶点的直线翻折，使某边落在另一边上，求折痕长或角度。 2.方法：利用翻折前后对应边角相等，构造新直角三角形，结合勾股定理或三角函数列方程求解。 变式4-1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 分三种情况：当时，根据等面积法得出，由勾股定理可求得，，然后继续利用勾股定理求解即可；②时，连接，延长交于点G，过点A作，然后证明，设，则，建立方程即可求解；根据题意得出，确定，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， 当时，如图所示， ∴， ∴即， 解得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即； 当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示， 由第一种情况得：， ∴， ∵折叠， ∴, ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，即； ∵， ∴， 综上可得：或， 故答案为：或． 变式4-2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，将沿折叠得，点 D在边上． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)直角三角形，理由见详解 (2)15 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及逆定理等知识， （1）首先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后由折叠的性质可得，易知，即可证明结论； （2）由折叠的性质可得，进而可得，设，则，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵将沿折叠得， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）∵将沿折叠得， ∴， ∴， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴， ∴． 变式4-3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，是边上一点，把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形．见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形折叠的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件，利用勾股定理逆定理即可证明三角形的形状； （2）根据折叠的性质得到，，然后得到的长度，在中根据勾股定理求出的长． 【详解】（1）解： 是直角三角形．理由如下： ， ． 是直角三角形，且． （2）由（1）得是直角三角形，且． 把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点， ． ． ， ， 解得． 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 典例5．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段________． 【答案】 【分析】本题考查通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，根据实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系；在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴ ∵将进行折叠，使顶点重合 ∴， 设，在中， ∴ 解得： 则 ∴在中， 故答案为：． 题型模版 1.特征：直角三角形沿过斜边中点的直线翻折，使直角顶点落在某边上，求折痕或角度。 2.方法：利用斜边中线等于斜边一半及折叠对应边相等，构造等腰三角形，结合勾股定理或中垂线性质求解。 变式5-1．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质得到，再设，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． 变式5-2．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 变式5-3．（25-26八年级上·江西九江·期中）综合与实践 某数学兴趣小组以“三角形的折叠”为主题开展探究活动，具体探究过程如下：现有一张直角三角形纸片，，，，小新用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． (1)如图，当点与点重合时，则的长为 ． (2)如图，当点与点重合时，求的面积． (3)当点落在的三等分点处，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据翻折的性质即可解决问题； （2）设，则，然后根据勾股定理求出，利用三角形的面积公式即可解决问题； （3）由点落在的三等分点，分两种情况，分别根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，当点与点重合时， ∵， ∴， 即的长为， 故答案为：； （2）解：如图，当点与点重合时， 设，则， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：当点落在的三等分点时，分两种情况： 如图， ∵点落在的三等分点，，， ∴， ∵折叠，折痕为，顶点的对应点是点， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：； 如图， ∵点落在的三等分点， ∴， ∵折叠，折痕为，顶点的对应点是点， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， 综上所述：的长为或． 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 典例6．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，因为折叠后点在边上，当点与点重合时，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长度；当点与点重合时，可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的取值范围． 【详解】解：如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则； 如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且； 综上所述，． 故答案为：． 题型模版 1.特征：直角三角形沿连接边上两点的直线翻折，使某顶点落在另一边上，求折痕或线段长。 2.方法：设未知数表示折叠前后对应边，利用全等关系及勾股定理建立方程，结合已知边长求解。 变式6-1．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 变式6-2．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据中点的定义得到，设，根据折叠的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 即是直角三角形； （2）解：∵刚好落在边的中点上， ∴， 设， ∵把沿着直线折叠，顶点的对应点落在边中点上， ∴， ∴中，， ∴， 解得：． 变式6-3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）综合与实践． 课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在中，，点D、F分别是上的一点，连接． (1)如图1，将沿直线折叠，点B恰好与点C重合，则________（填“”、“”或“”）； (2)如图2，将沿直线折叠，点B落在的中点E处，若，，求线段的长； (3)如图3，将沿直线折叠，点B落在延长线上的点E处，平分，求的度数． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，角平分线性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，，求得，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到 （2）由点是的中点，，得到，根据折叠的性质的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论； （3）根据角平分线的定义得到．由折叠的性质得到．等量代换得到，根据三角形的内角和定理得到结论． 【详解】（1）将沿直线折叠，点恰好与点重合， 故答案为： （2）点是的中点，， 将沿直线折叠，点落在的中点处， （3）平分， 由折叠可知：． 又， 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·黑龙江佳木斯·三模）在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得出，，，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果即可． 【详解】解：在中，，，，根据题意得： ，，， 则， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 2．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据折叠的性质可知，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵折叠使点与点重合， ∴， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形纸片中，，，点为线段延长线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上时，则的长为（   ） A．8 B．10 C．14 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵在长方形纸片中，，， ∴， ∵把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上 ∴， 在中， ∴ ， 设，则， 在中， ∴ 解得：， 即的长为， 故选：D． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 二、填空题 5．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 【答案】1 【分析】由折叠得，然后根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵四边形是长方形 ∴， ∴ ∴． 6．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 【答案】 【分析】根据折叠计算可得，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：， ， 由折叠得，，，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 7．（25-26八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 【答案】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，根据折叠的性质可知；根据折叠的性质可知，，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠可知，， ； 在中，，，， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； 8．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点E是边上一点，连接，将长方形沿翻折，点C落在点处，点D落在点处，且边恰好经过点A，再将沿翻折，点落在点处，连接，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题重点考查勾股定理与折叠问题，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解，熟练掌握折叠的原理和勾股定理是完成本题的关键． 第一步先利用折叠原理，得到为直角三角形，求得的值，并得到的值；第二步，求解，先设，得到，利用第一步的结论，通过勾股定理得到的值；第三步过作交于，利用直角三角形的性质和勾股定理计算得到的值，第四步用三角形的面积公式，利用前两步的结论计算完成求解． 【详解】解：由已知条件和折叠可知，为直角三角形，，， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 过作交于，如下图， 由翻转的性质知，为直角三角形， ∴，， 根据直角三角形的面积公式得， ∴， 故的高为的长，底边为， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，，，点E在上，连接，将沿折叠至处，点D在的延长线上，求解下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，即，根据勾股定理即可求出的长； （2）设，则，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠至处， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵将沿折叠至处， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 10．（25-26八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 11．（25-26八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长方形中折痕过对角线模型 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 题型六、直角三角形中过任意两，点所在直线（落在其中一边）翻折模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆ 夙通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：将图形沿某直线折叠，使部分边或点重合，求折痕长、某边长度或面积等。 -解题方法：找出折叠前后的对应边与对应角（相等关系），设所求线段为x,用含x的式子表示其他相关 边，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解。 -易错提醒：找错对应边和对应角；未考虑折叠后点落在特殊位置（如中点、顶点）；列方程时忽略已知 边与设未知数边之间的数量关系：方程解出后未检验是否符合题意。 夙题型归纳一精讲典型题法，寿夫解题根基 题型一、长方形中折痕过对角线模型 典例1.(25-26八年级上福建泉州阶段检测)如图，在长方形ABCD中，BC=2AB=4,将△ABC沿AC 翻折，得到△AEC,其中，AD与CE相交于点F,则DF为 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：长方形折叠后折痕经过对角线的端点或中点，求折痕长度或折叠后的边长关系。 2方法：利用折叠前后对应边角相等，结合矩形对边平行且相等、勾股定理，设未知数建立方程求解。 变式1-1.(25-26八年级下·新疆克拉玛依期末)如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落 在C处，BC交AD于点E.若AB=4,AD=8,则线段BE=」 变式1-2.(25-26八年级上重庆奉节期末)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.将△ABD沿 折叠，使点落在点'处，PD交CB于点D.C0 BD 交 于点，则的长为 变式1-3.(25-26八年级下·广东东莞期中)如图，将长方形ABCD沿AC折叠，使△ABC落在△AEC的 位置，且CE与AD相交于点F. 2/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)求证：EF=DF: AB=23 BC=6 (2)若 求AB 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 典例2.(24-25八年级上·四川成都阶段检测)如图，点E是长方形纸片ABCD的边CD上一点，将长方 形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处.若AB=3,AD=5,则BF= CE= D B 题型模版 1特征：长方形折叠时折痕经过一个顶点，求折痕长度或折叠后某边长度，常结合勾股定理。 2方法：利用折叠前后对应边相等，确定折叠后的直角三角形，设未知数，用勾股定理列方程求解。 变式2-L.(25-26八年级上陕西西安期中)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=5,BC=3,点P在BC 边上，将aCDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE,DE分别交AB于点G,F,若GE=GB,则BF的长为 G 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-2.(2026河北邯郸模拟预测)如图，矩形ABCD中，AD=10,CD=6,点E为射线AB上的一个 动点，将△1DE沿DE翻折，点的对应点为 A D B (1)若点落在BC A. AB= b心边上，则 ∠ADC=30° AA (2)若 则线段 的长为 变式2-3.(25-26八年级上江苏常州期中)在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AB=CD=10,BC=AD=8 -------B 图(1) 图(2) 备用图 B (1I)如图(I),P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）. ①如图(2)，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图(2)中作出折痕AP,画出△AEP,(不写做 法，保留作图痕迹)并直接写出此时DE= ②在①的条件下，求BP的长 (②)已知P为射线DC上的一个动点，将△ADO沿直线AQ翻折，点D落在直线BO上的点D'处，求D的长. 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 典例3. (2025八年级上吉林长春专题练习)如图，长方形纸片ABCD,ADBC,将长方形纸片折叠， 使点D与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF,若AB=4,AD=6,则AE的长为 D B 题型模版 1特征：长方形折叠时折痕连接边上任意两点（非顶点），求折痕长或重叠部分面积，形式多样。 2方法：设未知数表示折叠前后对应边，利用全等（折叠）及勾股定理建立方程，结合矩形边长关系求解。 变式3-1.(25-26八年级上浙江湖州阶段检测)如图，长方形ABCD中，AB=8,AD=12,将其沿EF折 叠，点A,B分别落到点A与点B处，恰好点C在AB上，且EG=CG,则线段CF的长度为一 B 变式3-2.(2025八年级上全国专题练习)如图，长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点M,N分别在 边AB,CD上，沿着MN折叠长方形ABCD,使点B,C分别落在G,F处. B(M) 图1 图2 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN=_: (2)如图2，若点M与点B重合，连接DF,当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为_. 变式3-3.(25-26八年级上浙江金华期中)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=5,BC=AD=3 D 图① 图② 图③ (I)如图①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，求BF的长： (2)如图②，将△ABD沿BD翻折，若A'B交CD于点E,求△BDE的面积： (3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折得到△A'BP,A'B,A'P分别交CD边于点E,F,且 DF=AF,求CE的长 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 典例4.(25-26八年级上河北邯郸期末)如图，在RtAABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，点D是BC边 CD=3,BE=1 上一点， 1,将△ACD沿直线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处.若点P是直线4D上 的动点，则△PEB的周长的最小值是一 题型模版 1特征：直角三角形沿过顶点的直线翻折，使某边落在另一边上，求折痕长或角度。 2方法：利用翻折前后对应边角相等，构造新直角三角形，结合勾股定理或三角函数列方程求解。 变式41.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，在R1△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点D是 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC上的一动点，将△ACD沿AD折叠得到△ADE,设AE与BC相交于点F,当△EFD为直角三角形时， CD= 变式42.(25-26八年级上广东佛山期中)如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,将△ACE沿 AE折叠得△ADE,点D在AB边上. E (I)判断△BDE的形状？并说明理由： (2)求△ABE的面积. 变式43.(25-26八年级上陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ABC中，AB=5,BC=12,AC=13,D是 边BC上一点，把△ABC沿AD折叠，使AC落在直线AB上，点C的对应点为点C, B+-- (I)试判断△ABC的形状，并说明理由： (2)求BD的长. 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 典例5.(25-26八年级上：上海宝山~阶段检测)如图，己知Rt△ABC中，∠C=90°，4C=8cm,BC=6cm 现将△ABC进行折叠，使顶点A,B重合.则线段DE= cm D 题型模版 1特征：直角三角形沿过斜边中点的直线翻折，使直角顶点落在某边上，求折痕或角度。 2方法：利用斜边中线等于斜边一半及折叠对应边相等，构造等腰三角形，结合勾股定理或中垂线性质求 解。 变式5-1.(2026江苏徐州一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,将点A沿DE折叠，恰 好可以落在点B处，则CD= E D 变式5-2.(25-26八年级上广东揭阳期末)如图，一张三角形纸片ABC,己知，AB=10,AC=8, BC=6,将该纸片折叠，若折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D,与边AB交于点E. D B (I)求△ABC的面积. 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求折痕DE的长， 变式5-3.(25-26八年级上江西九江·期中)综合与实践 某数学兴趣小组以“三角形的折叠”为主题开展探究活动，具体探究过程如下：现有一张直角三角形ABC 纸片，∠ACB=90°，AC=12,BC=16,小新用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠∠B,折痕为 DE,顶点B的对应点是点B' A(B) 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点B与点C重合时，则BE的长为_ (2)如图2，当点B与点A重合时，求△ACE的面积. (3)当点B落在AC的三等分点处，求BE的长， 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 典例6.(25-26八年级上江苏扬州期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=16,D、 E分别是AB和CB边上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，若点B落在AC边上，则CE的取值范围是 题型模版 1.特征：直角三角形沿连接边上两点的直线翻折，使某顶点落在另一边上，求折痕或线段长。 2方法：设未知数表示折叠前后对应边，利用全等关系及勾股定理建立方程，结合已知边长求解。 变式6-1.(25-26八年级上陕西汉中阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点M、N分别在边 AC、MB上，连接MN,将。Mw沿直线MN折委，点4恰好落在BC边上的点D处，且BD=BC,若 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=10.AB=8 BN 则线段的长为 M D OB A 变式6-2.(25-26八年级上陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，AC=8,BC=15,AB=17,D,E 分别是边AB和边CB上的点.把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点B'刚好落在边AC的中点上. (I)试判断△ABC的形状，并说明理由： (2)求CE的长度， 变式63.(25-26八年级上江苏镇江期中)综合与实践 课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动.己知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点 D、F分别是BCAB上的一点，连接DF. F F B、 B D 图1 图2 图3 (I)如图1，将△BDF沿直线DF折叠，点B恰好与点C重合，则CF AF(填“<”、“=”或“ >”); (②)如图2，将△BDF沿直线DF折叠，点B落在AC的中点E处，若AC=6,BC=9,求线段CD的长： (3)如图3，将△BDF沿直线DF折叠，点B落在AC延长线上的点E处，EF平分∠AED,求∠EFA的度数 ◆ ◆◆ 同压轴桃战一支克离障压热，突破思维上保 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(2026黑龙江佳木斯三模)在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=10,点D在BC上，将 △ACD沿AD对折，点C刚好落在AB上的E点，则CD的长() E A.4 B.3 c.5 D.6 2.(25-26八年级下内蒙古巴彦淖尔期中)如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使 C点与A点重合，则AF的长是() D B A.5 C v5 D.25 3.(25-26八年级上陕西西安期未)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=10,BC=8,点E为线段AD 延长线上的一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F恰好落在直线CD上时，则DE的长为 () A.8 B.10 C.14 D.12 4.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特期中)如图，Rt△ABC中，AB=8,BC=6,∠B=90°，M,N 分别是边AC,AB上的两个动点.将△ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在边BC的三等分点 处，则线段BN的长为() 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 15 15 A.3 B.4 C.3或4 D.3或3 二、填空题 5.(25-26八年级下辽宁铁岭期中)如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线 DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD=5,DC=3,则BF的长是一 A D 6.(25-26八年级下北京期末)如图，在△ABC中，∠A=25°，∠C=20°，AC=5.将△ABC分别沿 DE,FG折叠，使点A,C都与点B重合，若AD=1,则DF= -2“C D 7.(25-26八年级下湖北十堰期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=10,BC=6,点D为斜边 AC上一点，连接BD,将△BCD沿BD翻折，使C落在点E处，点F为直角边AB上一点，连接DF,将 △ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则∠BEF=°：AF的长为一· E B D 8.(25-26八年级上重庆期中)如图，在长方形ABCD中，AB=10,BC=8,点E是边AD上一点，连 接BE,将长方形18CD沿BE翻折，点C落在点C处，点D落在点P处，且边CD恰好经过点4，再将 C D CD 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AB 沿4份翻折，点C落在点C处，连接EC,则 △AEC2 的面积为 C A C D 三、解答题 9.(25-26八年级上江西九江期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,点E在BC 上，连接AE,将△ACE沿AE折叠至△ADE处，点D在AB的延长线上，求解下列问题： B E (I)求CD的长： (2)求BE的长. 10.(25-26八年级下·辽宁铁岭阶段检测)【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=18,点D,E分别在边AB,AC上，将∠A沿DE 折叠，使点A与点B重合.EC=5,求BC的长： 【深入探究】 (2)如图2.将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E.若AB=4, BC=8,求AE的长. C E O B C 图1 图2 11.(25-26八年级下江西南昌期中)如图是一张直角三角形ABC纸片，∠C=90°，AC=6,BC=8. 13/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、F E B G B 图1 图2 (I)在图I中，将直角边AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，求CD的长： (2)在图2中，将△BFG沿FG折叠，使点B与点A重合，求BF的长 12.(25-26八年级上四川成都期中)在矩形纸片ABCD中，AB=12,BC=16, D B 图① 图② 图③ (I)如图①，将矩形纸片沿AW折叠，点B落在对角线AC上的点E处，求BN的长： (2)如图②，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM,ME与AD相交于点G,CE与AD相交 于点F、且MG=GF,求BM的长： (③)如图③，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在AD边上的点E处，折痕所在直线同时经过AB、BC( 包括端点)，请直接写出DE的最大值和最小值 14/14