专题01 勾股定理及其逆定理的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以七类题型为框架，通过解题通法-题型归纳-压轴挑战三级体系，系统提炼勾股定理及逆定理的核心方法，强化知识应用与思维迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|定理直接应用、逆定理比较法、折叠问题方程思想|从定理原理到应用策略，构建基础方法框架| |七类题型|7典例+21变式|面积问题用相似比、网格问题用格点距离公式、逆定理判断最大边|从基础计算到综合判断，形成“概念-方法-变式”递进链条| |压轴挑战|14题|综合应用勾股定理解决动态、实际问题|整合知识模块，提升复杂情境下的推理与模型构建能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01勾股定理及其逆定理的七类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型二、已知直角三角形的两边，求第三边长 题型三、 等面积法求直接斜边上的高问题 题型四、勾股定理的验证方法 题型五、判断三边能否构成直角三角形 题型六、在网格中判断直角三角形 题型七、利用勾股定理的逆定理求解 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 夙通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：直角三角形中知两边求第三边：或已知三边判断三角形形状：常与折叠、最值、网格问题结 合。 解题方法：定理用+b2=c2(c为斜边)；逆定理用较小两边平方和与最大边平方比较，折叠问题设未知 数，用勾股列方程。 -易错提醒：未找对斜边就代入公式：逆定理忘记比较最大边：忽视三边能否构成三角形的前提：单位未 统一。 夙题型归纳一精讲典型题法，夯尖解题根基 题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积 典例1.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中)如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 积分别记为， 5.5,5.若8=36,5=64，则3= ,则 A S2 S S 题型模版 1.特征：以直角三角形三边为边向外作相似图形（如正方形、半圆、等边三角形），面积关系。 2方法：利用勾股定理a+b2=c2,结合相似图形面积比等于相似比平方，推导两小图形面积和等于大图形面 积。 变式1-1.(25-26八年级下河北唐山期中)如图，∠ACB=90°，AB=3,以Rt△ABC的三边为直角边分 别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 变式1-2.(25-26八年级下·福建南平·期中)如图，直角三角形ABC两直角边长分别为5和12，以直角三 角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为」 变式1-3.(25-26八年级上宁夏银川期末)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四 S=4S2=6S,=36 边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次 则另一个 正方形的面积 为 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S3 题型二、 已知直角三角形的两边，求第三边长 典例2.(25-26八年级下·福建厦门期中)在Rt△ABC,∠C=90°，BC=3,AB=5,则AC= 题型模版 1特征：已知直角三角形任意两边（直角边或斜边），求剩余第三边长度。 2.方法：确定斜边后，用勾股定理a2+b2=c2列方程；若含特殊角(30°或45°)，也可用三边比例关系直接求 解。 变式2-1.(25-26九年级下·云南曲靖期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，AC=6, BC=8,则AD的长为 变式2-2.(25-26八年级下·湖北随州期中)在△ABC中，AB=13,AC=20,AD是BC边上的高， AD=12,则BC= 变式2-3.(25-26八年级上河南平顶山期中)如图，在RtAABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=4cm, BC 1cm/s 动点P从点B出发沿射线以 的速度移动，设运动的时间为t秒.当△4B P为以4B或4P为底边的 等腰三角形时，t的值是 B P 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、等面积法求直接斜边上的高问题 典例3.(25-26八年级上·全国期末)在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为3cm和4cm,则第三边的长 为 斜边上的高为 题型模版 1.特征：已知直角三角形两直角边，求斜边上的高，常结合面积相等列方程。 2方法，用面积达号b=血，放商 ,先由勾股定理求斜边c,再代入计算。 变式3-1.(25-26八年级下新疆吐鲁番期中)已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么这 个直角三角形斜边上的高为一· 变式3-2.(2026江苏无锡模拟预测)如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,若AC=6, BC=8,则CD= 变式3-3.(25-26八年级下·安徽准南期末)△ABC中.AB=20,AC=15,BC边上的高为12，则BC 边的长为 题型四、勾股定理的验证方法 典例4.(25-26八年级下·湖南郴州开学考试)阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形. 如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为4，较短直角边为b,斜边长C, 用面积法得到直角三角形三边长a,b,C之间的一个重要结论：a2+b2=c2. 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 图3 (1)如图1，己知：∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.求证a2+b2=c2, 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且BC=a,AC=b, 正方形CFGH的边长为 .AB=c , SE方BD=4S,c+SE方彩co1(等面积法)， .c2=4× =a2+b2 + ∴a2+b2=c2 (2②)如图2，四边形ACED是直角梯形，∠C=∠E=90,BC=a,AC=b,AB=C,其中AB=BD,∠ABD=90° 求证：△ABC≌ABDE (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”， 若a=6,b=5,外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积. 题型模版 1.特征：通过拼图面积恒等或几何构造，直观证明a+b2=c2,无需代数推导。 2方法：用四个全等直角三角形拼成正方形（如赵爽弦图)，利用面积相等（大正方形面积=小正方形面积 +四个三角形面积)验证。 变式41.(25-26八年级上河南郑州期末)【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定 理设计的几何图形.郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四 个直角三角形较大的直角边长都为(，较小的直角边长都为b,斜边长都为C,大正方形的面积可以表示为 c,也可以表示为4×2b+(a-b,由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为ab,斜边长 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为c,则a2+b2=c2 C A H5 B B 图① 图② 图③ (I)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放 置，其中∠A=∠B=∠DEC=90°，请你利用图②推导勾股定理. (②)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C,操场边原有两个取水点A、B( A,B,H AB=AC CA 在同一直线上)，其中 ，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修 新路CH,且CH⊥AB.测得CH=24米，HB=I8米，求新路CH比原路CA少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC时，CH⊥AB,AC=15米，BC=18米，AB=21米，求AH的 长度？ 变式42.(25-26八年级上湖北黄冈期末)如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制， 它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.利用面积关系证明直角三角形三边之间 的数量关系，即在直角三角形中，c2=a2+b2(c为斜边)， (1)请利用“赵爽弦图”证明结论：c2=a2+b2(c为斜边). 【动手试一试】 (2)现有三边长为，b,C的直角三角形若干个，边长为c的等腰直角三角形若干个（如右图）拼成一个四 边形，两种类型三角形都需要用上，三角形使用个数不限。 (3)用其中一个图形证明a2+b=c2(提示：用面积法) 6/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b b 6 赵爽弦图 变式43.(25-26八年级上河南驻马店期末)课本再现：(1)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个 大正方形，中间空白部分也是正方形.已知直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为C.课堂上老 师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理.请证明：a2+b2=c2 类比迁移：(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若=3，b=4,则空白部分的面积 为 方法运用：(3)如图3，分别以Rt△4B 共温S&EBC=S 的三条边向外作三个正方形，连接EC,BG,若设 S△BCG=S,SE方形BCH=S,」 SS,.S之间的关系. ,求， D a E B b Q H 图1 图2 图3 题型五、判断三边能否构成直角三角形 典例5.(25-26八年级下·重庆开州期末)△ABC三边分别为a、b、C,在下列条件下，△ABC不是直角 三角形的是() A.a=8,b=14,c=17 B.a2+b2=c2 C.a=3,b=4,c=5 D.a:b:c=5:12:13 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：已知三条线段或三角形边长，判断是否满足勾股定理的逆定理。 2方法：先找最大边c,若满足a+b2=c2,则为直角三角形：否则不是（注意排除非三角形情况）。 变式5-1.(25-26八年级下山西朔州期末)数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7,15， 20,24,25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是() 0 变式5-2.(25-26八年级下·安徽淮北：期中)已知a,b,c为△ABC的三条边，则下列命题为真命题的是 () A.若a=5,b=12,c=14,则△ABC为直角三角形 B.若a2-b2=c2,则△ABC为直角三角形 C.若a:b:c=2:3:4,则△ABC为直角三角形 D.若a=9,b=12,c=16,则△ABC为直角三角形 变式5-3.(25-26八年级上甘肃期末)下列选项中，正确的是() A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B.若三角形的三边之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形 C.△ABC的三边分别为AB,BC,AC,若AB2=BC2+AC2,则∠A是直角 D.在△ABC中，若∠4∠B:∠C=2:3:7,则△ABC是直角三角形 题型六、在网格中判断直角三角形 典例6.(25-26八年级下·天津和平期中)如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A, B,C都在格点上，则下列结论错误的是() 8/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AB2=20 B.∠BAC=90° C.△ABC的面积为10 D.点A到直线BC的距离是2 题型模版 1.特征：在方格纸中已知三点坐标，判断三角形形状，常通过计算三边平方判断。 2方法：利用格点距离公式（横向差与纵向差的平方和）求三边平方，验证是否满足勾股定理的逆定理。 变式6-1.(2026辽宁朝阳·二模)如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点， 点A,B,C,D均是格点，则∠AOC的度数为一 D 变式6-2.(2425八年级下·福建三明期中)如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形ABCD 的四个顶点均在格点（小正方形的顶点）上. (1)求四边形ABCD的面积： (2)求证：∠BCD=90° 变式6-3.(25-26八年级下·吉林期中)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点 均在格点上，请按要求完成下列各题： 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)画线段AD/BC且使AD=BC,连接CD: (2)AD的长为 (3)△ACD为」 三角形： (4)根据所画的图形，可以求出四边形ABCD的面积为 (平方单位)· 题型七、利用勾股定理的逆定理求解 典例7.(25-26八年级下·江西赣州期末)如图，在三角形支架中，AD⊥BC,垂足为D,AB=20m, AC=15m,DC=9m」 (I)求BD的长： (2)判断支架外框△ABC的形状，并说明理由， 题型模版 1.特征：已知三角形三边（或边长表达式），判断是否为直角三角形，或反求参数使三角形为直角三角形。 2方法：用勾股定理逆定理，验证较小两边平方和是否等于最大边平方，列方程求参数并检验。 变式7-1.(25-26八年级下·吉林松原期中)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,AB=1,BC=2, CD=2,AD=3. 10/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)连接AC,判断△ACD的形状，并说明理由： (2)求四边形ABCD的面积. 变式7-2.(25-26八年级下·湖南长沙期末)某公园是人们健身散步的好去处.小明跑步的路线如图，从 A点到D点有两条路线，分别是A-B-D和A-C-D.已知AB=90m,4C=150m,点B在点C的正西方 120米处，点D在点C的正北方60米处（即BC=120m,CD=60m,BC⊥CD). 西 →东 南 湖 (1)求证：∠ABC=90°： (②)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？ 变式7-3.(25-26八年级下广东肇庆期末)【问题情境】如图①，在△ABC中，BD为AC边上的高. 斜梁 竖梁 D D B 横梁 图① 图② 图③ (①)【数学知识】若AD=1,BD=2,CD=4,求证：AB⊥BC: (②)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁 BD⊥AC AC=2.1m BD=1.2m BC=2m ,斜梁 ，横梁 m.若横梁BC与竖梁1B不垂直则为不安全房梁， BC 请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由. 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一攻克高牵压轴， 突破思维上限 一、单选题 1.(25-26八年级下北京西城期中)一直角三角形的两条边长为3和5，则第三条边长是() A.4 B V34 C v8 D.4或V3网 2.(25-26八年级下·广东惠州期末)如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角 形，已知正方形A,B,C的面积依次为2,4,3，则正方形D的面积为() A.9 B.8 C.2 D.45 3.(25-26八年级下·云南昭通阶段检测)下列命题： ①如果直角三角形的两边是5,12，那么斜边必是13： ②如果a、b、c为一组勾股数，那么3a、3b、3c仍是勾股数： ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形： ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c,(a>b=C),那么a2:b2:c2=2:1:1. 其中正确的是() A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 4.(25-26八年级下宁夏固原期中)在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A,B,C三点均在 正方形的顶点上，则下列结论错误的是() B 12/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A S△ABc=10 B.∠BAC=90° C.AB=2V5 BC D.点A到直线心的距离是2 二、填空题 5.(25-26八年级下·云南昭通·阶段检测)已知Rt△ABC的两条直角边分别为a,b,斜边为c,若 a+b=9,c=7 ABC ,则 的面积为. 6.(25-26八年级下湖北恩施期末)如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的 三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、3、6，则最大正方形E的面积 是 E 7.(25-26八年级下·河北唐山期末)如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上， CD⊥AB于点D,则CD的长为 8.(25-26八年级下·四川成都期末)如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之 间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位CD,使得CD⊥a,物料供应点A到传送带a的距离AE=3 2W13 米，物料供应点B到传送带b的距离BF=2米，A,B之间的距离为 米，若要求两个物料供应点到工 位的搬运距离相等，即AC=BD,则EC= 13/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F B 三、解答题 9.(24-25八年级上山东青岛阶段检测)如图，在△ABC中，AB=50cm,BC=30cm,∠C=90°，点 P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒. (I)用含t的代数式表示AP=,PC= (2)t为何值时，△PCB的面积等于△ABC面积的一半？ 10.(25-26八年级下·贵州黔南期末)剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支 流在此汇合，自古得名“九溪归一”.如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A,沿河步道设有两个 观景打卡点B,C.己知BA=BC,为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D(B,C,D三点在同 一直线上)，并修建一条观光小路AD,测得AC=1.5km,DC=0.9km,AD=1.2km. ---B--D-------C- --一-==一一-----一一--- (1)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)求原路线AB的长. 11.(25-26八年级下·广东韶关期中)如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，△ABC的顶点在格 点上 14/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)直接写出AB= BC= AC= (2)判断△ABC的形状，并说明理由； (3)直接写出BC边上的高为. 12.(25-26八年级下河南安阳期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,点D为垂足， AC=2.1.BC=2.8.求： (1)△ABC的面积； (2)斜边AB的长； (3)斜边AB上的高CD的长， 13.(25-26八年级下·江西抚州期中)定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形， 其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形 的等直分割线段.例如：如图1，在△ABC中，：AD⊥BC于D,且AD=DC,.△ABC是等直三角形， AD是△ABC的一条等直分割线段， D 图1 图2 (1)定义理解：直角三角形一定 等直三角形（填“是”或“不是”）； (②)定义应用：如图2，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的等直分制线段，AC=4,BC=8,求AD的 长 14.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末)根据以下素材，探索完成任务. 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A H B a E b D 图1 图2 图3 板块 内容 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、 背景 荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展 阐述 系列探究任务。 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中∠A=∠D=90°， 素材 Rt△ABE≌Rt△DEC、两块三角尺的直角边分别为ab,斜边为C,拼接在直线AD上(A、E、D 共线). 素材 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得AD⊥CD,AB=13,BC=12,AD=4,CD=3.计 二 划对图中灰色阴影地块进行绿化种草. 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C,岸边原有取水点AB,现决定在河边新建取水点H 素材 (A、H.B在同一直线上)，并新修一条路CH,使CH⊥AB(如图3)，测得CA=1.3千米， AB=1.4千米，BC=1.5千米. ()任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：a2+b2=c2: (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路CH的长度（单位：千米）. 16/16 专题01 勾股定理及其逆定理的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积 题型二、已知直角三角形的两边，求第三边长 题型三、等面积法求直接斜边上的高问题 题型四、勾股定理的验证方法 题型五、判断三边能否构成直角三角形 题型六、在网格中判断直角三角形 题型七、利用勾股定理的逆定理求解 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：直角三角形中知两边求第三边；或已知三边判断三角形形状；常与折叠、最值、网格问题结合。 - 解题方法：定理用a2+b2=c2（c为斜边）；逆定理用较小两边平方和与最大边平方比较；折叠问题设未知数，用勾股列方程。 - 易错提醒：未找对斜边就代入公式；逆定理忘记比较最大边；忽视三边能否构成三角形的前提；单位未统一。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积 典例1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式及勾股定理可得，进而可求出． 【详解】解：∵分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴． 题型模版 1.特征：以直角三角形三边为边向外作相似图形（如正方形、半圆、等边三角形），面积关系。 2.方法：利用勾股定理a2+b2=c2，结合相似图形面积比等于相似比平方，推导两小图形面积和等于大图形面积。 变式1-1．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】9 【分析】根据图形和题意，可知阴影部分的面积为，然后根据勾股定理可知，进而可以求得图中阴影部分的面积． 【详解】解：由已知可得，阴影部分的面积为， ∵，， ∴， ∴ ． 变式1-2．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 【答案】30 【分析】由图形的构成可得图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为以为直径的半圆面积加上以为直径的半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆面积． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和 ． 变式1-3．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理可得，再结合正方形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，，， ，，， ， 另一个正方形的面积为． 题型二、已知直角三角形的两边，求第三边长 典例2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在，，，，则_______________． 【答案】4 【分析】已知中，以及直角边和斜边的长度，利用勾股定理即可求解的长度． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得． 题型模版 1.特征：已知直角三角形任意两边（直角边或斜边），求剩余第三边长度。 2.方法：确定斜边后，用勾股定理a2+b2=c2列方程；若含特殊角（30°或45°），也可用三边比例关系直接求解。 变式2-1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在中，，是斜边上的高，，，则的长为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， 在中，，是斜边上的高，，， ∴， ∵， ∴ 解得， 在中，． 变式2-2．（25-26八年级下·湖北随州·期中）在中，，是边上的高，，则__________ ． 【答案】21或11 【分析】分点在线段和线段延长线两种情况求解，根据勾股定理分别求出即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， 分两种情况： ①如图1，点在线段上，由勾股定理得， ， ∴； ②如图2，点在线段延长线上，同①得：， ∴； 综上所述，的长为21或11． 变式2-3．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，分是以为底边的等腰三角形和是以为底边的等腰三角形两种情况，结合等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】解：当是以为底边的等腰三角形时，则， 由题意得，， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴当时，点P一定在的延长线上， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当是以为底边的等腰三角形时，则， ∴； 综上所述，t的值为5或， 故答案为：5或． 题型三、等面积法求直接斜边上的高问题 典例3．（25-26八年级上·全国·期末）在中，两条直角边的长分别为和，则第三边的长为______；斜边上的高为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求解斜边长，再根据三角形面积的两种表示方法求解斜边上的高. 【详解】解：在中，两条直角边长为和， ∴斜边长为. 设斜边上的高为. 根据三角形面积公式，可得：，解得. 题型模版 1.特征：已知直角三角形两直角边，求斜边上的高，常结合面积相等列方程。 2.方法：用面积法 = ，故高h = ，先由勾股定理求斜边c，再代入计算。 变式3-1．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理先求出斜边，再根据面积相等即可求出斜边上的高． 【详解】解：根据勾股定理，， 设斜边上的高为，直角三角形的面积有两种计算方式： 以两条直角边为底和高：， 以斜边和斜边上的高为底和高：， 联立得：， 解得：． 变式3-2．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图在中，，于D，若，，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理得出，利用等面积法即可求出． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 变式3-3．（25-26八年级下·安徽淮南·期末）中．，，边上的高为12，则边的长为________． 【答案】25或7 【分析】本题需分BC边上的高在内部和外部两种情况讨论，利用勾股定理分别计算和的长度，即可求出的长． 【详解】解：设边上的高为，为垂足， ①当、在点异侧时，高在内部， ∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； ②当、在点同侧时，高在外部， ∵，，，， ∴，， ∴； 综上，的长为或． 题型四、勾股定理的验证方法 典例4．（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 题型模版 1.特征：通过拼图面积恒等或几何构造，直观证明a2+b2=c2，无需代数推导。 2.方法：用四个全等直角三角形拼成正方形（如赵爽弦图），利用面积相等（大正方形面积=小正方形面积+四个三角形面积）验证。 变式4-1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少1米 (3)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）为y米，在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， 又， 是同一图形的面积，面积相等， ， ． （2）解：设为米，则米，米， ， ∴， 在中，，米， ， 即， 解得：， （米）， （米）， 新路比原路少1米． （3）解：由题意设：为y米， 又米，米，米， 米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长度为米． 变式4-2．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（c为斜边）． （1）请利用“赵爽弦图”证明结论：（为斜边）． 【动手试一试】 （2）现有三边长为的直角三角形若干个，边长为的等腰直角三角形若干个（如右图）拼成一个四边形，两种类型三角形都需要用上，三角形使用个数不限． （3）用其中一个图形证明（提示：用面积法） 【答案】 （1）证明：根据题意，得大正方形的面积为，小正方形的面积为，每个直角三角形的面积为， 根据题意，得， 故． （2）根据题意，拼图如下： （3）证明：设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． 【分析】（1）根据正方形的面积，完全平方公式，图形面积的性质证明即可． （2）根据题意，拼图解答即可． （3）根据题意，利用面积法证明即可． 本题考查了勾股定理的证明，面积的性质，熟练掌握证明是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式4-3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3） 【分析】本题考查勾股定理的几何应用，正方形的特征，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）利用正方形的面积减去两个三角形的面积即可求解； （3）根据勾股定理得出，根据正方形的性质分别求出，，，然后代入化简即可． 【详解】解：（1）； ， ； （2），， ， ， 故答案为：13； （3）在中，由勾股定理得： 在正方形中，，， ， 同理， 且， ． 题型五、判断三边能否构成直角三角形 典例5．（25-26八年级下·重庆开州·期末）三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（     ） A．，， B． C．，， D． 【答案】A 【分析】若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，根据该定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，，， ，， ，即， 不是直角三角形，符合题意； 选项B：，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； 选项C：，，， ， 是直角三角形，不符合题意； 选项D：设，，（）， ， 是直角三角形，不符合题意． 题型模版 1.特征：已知三条线段或三角形边长，判断是否满足勾股定理的逆定理。 2.方法：先找最大边c，若满足a2+b2=c2，则为直角三角形；否则不是（注意排除非三角形情况）。 变式5-1．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 变式5-2．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若， ，，则为直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】Ａ、因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； B、移项得，符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，该命题为真命题； C、设，，，，是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； D、是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题． 变式5-3．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 题型六、在网格中判断直角三角形 典例6．（25-26八年级下·天津和平·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，，， ， ，正确，不符合题意； C、，结论错误，符合题意； D、设点到直线的距离为， ， ， 则， 解得，即点到直线的距离是2，正确，不符合题意． 题型模版 1.特征：在方格纸中已知三点坐标，判断三角形形状，常通过计算三边平方判断。 2.方法：利用格点距离公式（横向差与纵向差的平方和）求三边平方，验证是否满足勾股定理的逆定理。 变式6-1．（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 变式6-2．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积； （1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积以及1个正方形面积即可求解； （2）根据已知边长得出，进而可得出． 【详解】（1）解：四边形的面积为：． （2）证明：如图，连接． ∵， ， ∴， 是直角三角形，且． 变式6-3．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)5 (3)直角 (4)10 【分析】（1）根据题意结合网格的特点作图即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理和网格的特点可得； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，， ∴， ∴是直角三角形； （4）解：． 题型七、利用勾股定理的逆定理求解 典例7．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为D，，，． (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形， 理由：由（1）知， ，， ， 是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 又， ； （2）略 题型模版 1.特征：已知三角形三边（或边长表达式），判断是否为直角三角形，或反求参数使三角形为直角三角形。 2.方法：用勾股定理逆定理，验证较小两边平方和是否等于最大边平方，列方程求参数并检验。 变式7-1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2) 【分析】（1）在中，由勾股定理求出的长度；通过计算与的关系，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形； （2）将四边形的面积转化为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：连接． ， ， 在中，，， ， 在中，，，， ， 是直角三角形， （2）解：． 四边形的面积为． 变式7-2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，点在点的正西方120米处，点在点的正北方60米处（即）． (1)求证：； (2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？ 【答案】(1)∵在中，，，， ∴ （）， （）， ∴， ∴是直角三角形，． (2)路线更短． 【分析】（1）先明确已知的三边长度，因为要证明直角，所以用勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方即可． （2）先根据已知，判断是直角，因为要求的长度，所以在中用勾股定理计算．根据（1）的结论分别计算两条路线的总长度，再比较两个总长度的大小，即可得出哪条路线更短． 【详解】（1）略 （2）解：设路线的总长度为，路线的总长度为， ． ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴路线总长度：． ∵， ∴路线更短． 变式7-3．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． (1)【数学知识】若，，，求证：； (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)证明：∵为边上的高， ∴， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴， ∴是直角三角形，且． (2)小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 【分析】（1）先利用勾股定理求得，，然后求得，则；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京西城·期中）一直角三角形的两条边长为3和5，则第三条边长是（     ） A．4 B． C． D．4或 【答案】D 【分析】题目未说明已知边长中哪条边是斜边，需分两种情况，利用勾股定理计算第三边长，再判断选项． 【详解】解：∵该三角形为直角三角形，已知两边长为3和5，未明确斜边， ∴分两种情况计算第三边长； 当5为斜边长，3为直角边长时，第三边长为 ； 当3和5均为直角边长时，第三边长即斜边长为； ∴第三条边是或 2．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（     ） A．9 B．8 C．2 D．45 【答案】A 【分析】直接根据勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由图和勾股定理可知，中间正方形的面积等于正方形A，B的面积之和，正方形D的面积等于中间正方形的面积加上正方形C的面积， 故正方形D的面积. 3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）下列命题： ①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13； ②如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理和勾股数的定义，逐一判断每个命题即可得到答案． 【详解】解：对四个命题逐一判断： ①∵题目未说明5和12都是直角边，当12是斜边时，斜边不是13，∴①错误； ②∵，，是一组勾股数，不妨设， ∴， ∴，，仍是勾股数，故②正确； ③∵，，，不满足直角三角形的条件， ∴该三角形不是直角三角形，故③错误； ④∵等腰直角三角形中，a为斜边， ∴由勾股定理得，代入得， ∴，故④正确； 综上，正确的命题是②④． 4．（25-26八年级下·宁夏固原·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 【答案】A 【分析】先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故B，C选项的结论正确，不符合题意； ，故A选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 二、填空题 5．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）已知的两条直角边分别为，斜边为，若，则的面积为______． 【答案】8 【分析】先利用勾股定理得到的值，再结合完全平方公式变形求出，最后根据直角三角形面积公式计算得到结果 【详解】解：∵中，a，b为直角边，c为斜边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由完全平方公式展开得， ∴， 整理得， ∴的面积为 6．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 【答案】 25 【分析】先根据勾股定理求出，同理可得正方形H的面积是9，则此题可解． 【详解】解：如图所示，令正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为c， 根据勾股定理，得， 即， ∴正方形G的面积是16，同理可得正方形H的面积是9， 所以正方形E的面积是． 7．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，边上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可； 【详解】解：根据题意，得，边上的高为4， ， 故， 故； 8．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，求得，利用勾股定理求得，设，则，利用勾股定理分别求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， 解得； 即． 三、解答题 9．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示____，____ (2)t为何值时，的面积等于面积的一半？ 【答案】(1)， (2)t为10秒时，的面积等于面积的一半． 【分析】（1）由勾股定理求得，再根据题意列式即可； （2）根据题意得到的面积等于面积，即，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意得，； （2）解：∵的面积等于面积的一半， ∴的面积等于面积， ∴， ∴， 解得， 答：t为10秒时，的面积等于面积的一半． 10．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)解：为直角三角形，理由如下：            ，，， ，， ，             为直角三角形． (2)原路线的长为 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）设，则，再利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 由（1）知为直角三角形， ， 为直角三角形， ， 即， 解得， ， 原路线的长为． 11．（25-26八年级下·广东韶关·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为___________． 【答案】(1)，5， (2)是直角三角形，见解析 (3)2 【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用等积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ，，， 故答案为：，5，； （2）解：是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）解：设边上的高为， 的面积， ， ． 12．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，，，点为垂足，，．求： (1)的面积； (2)斜边的长； (3)斜边上的高的长． 【答案】(1)2.94 (2)3.5 (3)1.68 【分析】（1）根据三角形面积计算即可． （2）根据勾股定理计算即可． （3）根据三角形面积计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵在中，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·江西抚州·期中）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据直角三角形定义，以及等直三角形定义分析求解即可； （2）根据等直三角形定义可得，设，则，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：等腰直角三角形，可类比图1作出其等直分割线段， 若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形， 直角三角形一定是等直三角形； （2）解：∵是的等直分割线段， ∴是等腰三角形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴． 14．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 即； (2)24 (3)1.2千米 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $