3.1 反比例关系 第3课时（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦“反比例关系”，通过知识回顾代数式与列代数式，结合正比例关系实例（如走路步数与路程）引入，以小桥长度一定时每步长度与步数的关系搭建学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以冬奥会造雪、运输货物等生活实例为载体，通过对比正比例与反比例的符号表达（y=kx vs xy=k），培养抽象能力与推理意识。练习涵盖基础判断、实际应用及拓展提升（如杠杆原理），帮助学生用数学语言表达数量关系，既助学生理解概念，又为教师提供清晰教学流程。

列代数式表示数量关系 第 1 节 第3章 第3课时 反比例关系 代数式 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 探索简单实例中的数量关系和变化规律,结合具体情境体会反比例关系. 初步了解反比例关系的表现形式,并能在实际问题中识别反比例关系,发展学生的抽象能力和应用意识. 经历从生活中发现问题解决问题的过程,进一步积累数学解决生活问题的经验,发展数学思维. 反比例关系的概念及识别 重点 在实际问题中识别反比例关系. 重点 重 难 点 知识回顾 1.代数式: 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,叫作代数式,单独的一个数或字母也是代数式. 2.列 代数式: 把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来的过程,就叫作列代数式. 3.列代数式注意事项： ①要抓住关键词语,明确它们的意义以及它们之间的关系,将问题中的数量关系正确地转换为对应的运算.如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等; ②理清语句层次,明确运算顺序;注意题目的语言叙述所表示的运算顺序，一般是“先读先写”. ③要掌握各类实际问题中的基本量的关系和公式. 知识回顾 练一练 （1）购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料需要 元 (2)把a元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时本息和是 元. （4）小明100m赛跑时用了ts，那么小明跑完100m的平均速度是 m/s. （3）某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是 元. （2a+3b） a+ 8.25%a （1.1x－80） 相信你能行 新知导入 （1）小明每步走0.5m，走了a步，走了 m （2）某品牌苹果采摘机器人可以平均每秒完成5m²范围内苹果的识别，机器人tｓ能识别的范围是 ｍ２ ５t 0.5a 每步走0.5米 走的路程÷走的步数= 走的路程=每步走0.5m×走的步数 速度不变 下列问题满足正比例关系吗？ 走的路程与走的步数比值总是一定的，是正比例关系 机器人能识别的范围与所用时间的比值总是一定的 （等于５）． 因此机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系． （3）如果两个量乘成正比例关系，你能用代数式表示吗？ 设两个量分别用x、y表示，若y与x成正比例关系，则： 是固定值k （4）一座小桥， 小明每步走0.5m，走了a步，走完小桥，桥长 m； 小亮每步走0.6m，走了b步，走完小桥，桥长 m； 你能得到__________= =小桥长； 新知导入 （5）若小桥长100米，若每步走x m，走完小桥，需要走 步。 0.5a 0.6b 0.5a 0.6b 下列问题满足正比例关系吗？ 小桥长100米 = 每步走的长度×走的步数 两个量的乘积保持不变，这种数量关系称为反比例关系 路程一定 不是正比例关系 新知讲授 探究点2 反比例关系及其应用 在工程问题中，工作量、工作效率、工作时间三者存在的关系是: （保持不变） 成正比例关系 思考 工作量=　 　 　×　　 　.  工作效率 工作时间 工作量=　 　 　×　　 　.  工作量=工作效率×工作时间 工作效率 工作时间 （保持不变） 关系 类似的，在行程问题中，路程保持不变，速度与时间存在怎样的关系? 探究点1 认识反比例关系 新知讲授 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市,在冬季奥运会前,某赛场计划造雪260 000 m3,解答下列问题: 讨 论 场馆造雪 (1)根据每天造雪量,计算所需的造雪天数,填写下表: 每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 … 造雪天数        … 52 50 40 造雪总量÷每天造雪量=造雪的天数 工作总量÷工作效率=工作天数 260 000÷6500==40 260 000÷5200==50 260 000÷5000==52 探究点1 认识反比例关系 新知讲授 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市,在冬季奥运会前,某赛场计划造雪260 000 m3,解答下列问题: 讨 论 场馆造雪 每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 … 造雪天数        … 52 50 40 造雪总量÷每天造雪量=造雪的天数 发现:造雪天数随着每天造雪量的变大而　　　　　.且这两个量的　　　　一定.  变大而变小 乘积 (2)每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的?它们之间有什么关系? 总量一定 每天造雪量×造雪的天数 造雪总量 = 每天造雪量变大 造雪天数变小 5 000×52 = 5 200×50 = 6 500×40 = 260 000 探究点1 认识反比例关系 新知讲授 如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（k 是一个确定的值，且 k ≠ 0），如果xy=k或y=(k是一个确定的值,且k≠0),这两个量x，y就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.其中 k 叫作比例系数. 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 归 纳 成反比例的量与反比例关系 语言描述 符号描述 判断下列关系式是否为反比例 ①y＝4x， ② ＝3， ③y＝－ ， ④y＝x2， ⑤y＝ ， ⑥ xy＝123. 其中表示y与x成反比例关系的式子有 .(填序号) ③⑦　 探究点1 认识反比例关系 新知讲授 练 习 ＝4 成正比例关系 两个量的比是固定数 成正比例关系 两个量的比是固定数 yx＝－2 两个量的乘积是固定数 成反比例关系 成反比例关系 两个量的乘积是固定数 y与x不成任何比例关系 y与x不成任何比例关系 新知讲授 探究点1 认识反比例关系 x，y 是两个相关联的量 正比例关系 反比例关系 y = kx（k是一个确定的值，且 k ≠ 0） xy = k（k是一个确定的值，且 k ≠ 0） 成反比例关系的两个量的特点: （1）一个量随着另一个量的变化而变化，且变化的方向相反，即一个量随着另一个量的变大而变小； （2）这两个量的乘积一定. 归 纳 正比例关系与反比例关系的区别 注意 新知讲授 探究点2 在实际问题中识别反比例关系 1.判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： （1）一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量； （2）长方体的体积一定，长方体的底面积与高； （3）购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用. 成反比例关系 成反比例关系 不成反比例关系 讨论 水果质量=每箱质量×装箱数 水果质量一定 长方体的体积=长方体的底面积×高 一定 总费=荧光笔的费用 + 中性笔的费用 一定 两个量的和，不是两个量的积， 新知讲授 探究点2 在实际问题中识别反比例关系 例3 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2. 分别往这四个容器中注入 300 cm3 的水. （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？ （2）分别用 x（单位：cm2）和 y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示 y 与 x 的关系，y 与 x 成什么比例关系？ 教材P74 分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系： 圆柱里水体积 = 底面积×水的高度 圆柱里水的体积 圆柱底面积 水的高度 = 解：（1）四个容器中水的高度分别为 （2）由题意得：xy = 300. 所以 y 与 x 成反比例关系. 生活中，成反比例关系的例子是很常见的．例如，在购买某种物品 时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系．你还能举出一些 例子吗？ 新知讲授 探究点2 在实际问题中识别反比例关系 讨论 （1）煤的数量一定，使用天数与每天的平均用煤量。 （2）全班的人数一定，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数。 （3）书的总册数一定，按各包册数相等的规定包装书，包数与每包的册数。 （4）若一块长方形的菜地面积一定，这块菜地的长和宽 （5）一艘轮船在甲港和乙港两地往返航行，已知甲乙两地的距离是800km，轮船航行的平均速度与航行时间 新知巩固 1. 如果汽车行驶的路程一定，那么汽车行驶的平均速度与时间是否成反比例关系？为什么？ 汽车行驶的平均速度与时间成反比例关系 解：速度×时间 = 路程 教材P75 因为路程一定， 所以，速度×时间 =固定数 新知巩固 3. 某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数 与运输的天数之间的关系如下表所示. 每天运输的吨数 500 250 10 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … （1）这批货物共有多少吨？ 500×1=250×2=100×5=50×10=500 （吨） （2）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ 运输的天数越多，每天运输的吨数越少 （3）用 t 表示运输的天数，用 a 表示每天运输的吨数，用式子表示 t 与 a 的关系. t 与 a 成什么比例关系？ 所以t 与 a 成反比例关系 教材P75 解：由题意得： 即：t•a=500 检测反馈 1. 如果xy＝7，那么x和y(　　) A. 成正比例关系 B. 成反比例关系 C. 不成比例关系 D. 无法确定 B 2. 下列关系式中，y与x成反比例关系的是(　　) A. y＝ B. x＋y＝2 C C. y＝－ D. y＝ 3. 购买荧光笔的总费用一定，每支荧光笔的费用与 　　　　成反比例(　　) A. 荧光笔的长度 B. 荧光笔的颜色 C. 荧光笔的数量 D. 无法确定 C 4. 在路程s，速度v，时间t三个量中，可用式子 ＝v表示其关系， 当v一定时，s与t成 比例关系； 当s一定时，v与t成 比例关系； 当t一定时，s与v成 比例关系. 正　 反　 正　 检测反馈 5.京沪线铁路全程为1 463 km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)之间的数量关系为 . v＝ 　 拓展提升 1.同学们在探究“杠杆原理”时，通过实验发现：当左边刻度4上放3个砝码，右边刻度及放砝码数如图所示，这两种情况下两边平衡.那么在右边其余刻度上放几个砝码才能保证平衡？ （1）请你完成表格. 左边刻度数 1 2 3 4 砝码数 ____ 6 ___ 3 乘积 ____ ____ ____ ____ 12 4 12 12 12 12 （2）在本次实验中，右边刻度数和砝码数成什么比例关系？为什么？ 解：成反比例关系.理由： 因为右边刻度数和砝码数的乘积为定值， 所以右边刻度数和砝码数成反比例关系. 2. 已知与成正比例关系，与 成反比例关系. 与 成什么比例关系？ 解：因为与成正比例关系，与 成反比例关系， 所以设,且,均为定值 . 所以, 所以 . 所以. 因为和 均为定值， 所以为定值. 所以与 成反比例关系. 拓展提升 真题感知 1. (1)(2026•玉溪期末)下列各种关系中，成反比例关系的是(　　) A. 书的总页数一定，未读的页数与已读的页数 B. 小麦的每公顷产量一定，总产量与种植面积 C. 圆柱的体积一定，圆柱的底面积与高 D. 同学的年龄一定，他们的身高与体重 C (2)哲学中认为“万事万物皆有联系”，彼此之间相互作用和影响.在生活中也有很多的例子，如水涨船高、水落石出.那么下列说法中体现出反比例关系的是(　) A. 商品单价一定，购物的数量和总价的关系 B. 百米赛跑时，跑步时间和平均速度的关系 C. 工作效率一定，工作时间和工作总量的关系 D. 长方体的底面积一定，长方体的高与体积的关系 B 课堂小结 3.判断两个量是否成反比例关系的方法： 比较两个量中相对 应的两个数的乘积 乘积改变，不成反比例关系 乘积一定，成反比例关系 1.反比例关系:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系. 2.用符号语言描述： xy=k（ k≠0 ）. 24 课后练习 4. 判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： （1）200 名同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数； （2）三角形的面积是 6 cm2，它的一条边的长与这条边上的高； 成反比例关系 成反比例关系 （3）张华每小时可以制作 120 朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间. 不成反比例关系 习题 3.1 课本p76页 小红花朵数=120×时间 一条边的长×这条边上的高=12 每排的人数×排数=200 课后练习 5. 糖果厂生产一批水果糖. 把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表所示. 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … （1）这批水果糖共有多少颗？ （2）总袋数是怎样随着每袋数的颗数的变化而变化的？ 10×360=3600 （颗） 总袋数随着每袋数的颗数的增多而变少. （3）用 n 表示总袋数，m 表示每袋装的颗数，用式子表示 n 与 m 的关系. n 与 m 成什么比例关系？ 答：n 与 m 成反比例关系 习题 3.1 课本p76页 解：由题意得 检测反馈 9.甲、乙、丙 3 名同学阅读同一本书，丙的阅读时间最长. （1）甲读完这本书用了 14 天，每天读 18 页. 乙读完这本书用了 21 天，每天读多少页？丙读完这本书用了 x 天，每天读多少页？他们读的天数和每天读的页数之间有什么关系？ 14×18 = 252（页），252÷21 = 12（页/天） 所以，乙每天读 12 页，丙每天读页， 他们读的天数和每天读的页数之间成反比例关系. （2）两星期内，照这样的速度阅读 t 天，他们各读了多少页？还剩多少页？已读的页数和剩下的页数成反比例关系吗？为什么？ 甲读了 18t 页，还剩 (252－18t)页； 乙读了 12t 页，还剩(252－12t)页； 丙读了 页，还剩 （252－）页. 已读的页数和剩下的页数不成反比例关系，理由：它们的乘积不是定值. 习题 3.1 课本p77页 27 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $