3.1.1第2课时椭圆的定义与标准方程的应用课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版-选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆定义与标准方程的应用，通过链接教科书例题导入，衔接直线与椭圆位置关系、方程参数范围、焦点三角形计算等核心知识点，搭建从定义到应用的学习支架。 其特色在于以题型为载体，通过通性通法总结（如判别式判断位置关系、定义与余弦定理解决焦点三角形）培养数学思维与推理能力，结合跟踪训练与随堂检测强化数学语言表达，助力学生掌握解题逻辑，也为教师提供结构化教学资源。

第2课时　 椭圆的定义与标准方程的应用 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 直线与椭圆的公共点问题 【例1】　（链接教科书第84页例4）已知直线 l ： y ＝2 x ＋ m ，椭圆 C ： ＋ ＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C ： 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （1）有两个不同的公共点； 解：直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得 将①代入②，整理得9 x2＋8 mx ＋2 m2－4＝0，　③ 关于 x 的一元二次方程的判别式Δ＝（8 m ）2－4×9×（2 m2－ 4）＝－8 m2＋144. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （1）由Δ＞0，得－3 ＜ m ＜3 . 于是，当－3 ＜ m ＜3 时，方程③有两个不同的实数根，可 知原方程组有两组不同的实数解，这时直线 l 与椭圆 C 有两个不 同的公共点. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （2）有且只有一个公共点； 解：由Δ＝0，得 m ＝±3 ， 也就是当 m ＝±3 时，方程③有两个相同的实数根，可知原 方程组有两组相同的实数解.这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重 合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （3）没有公共点. 解：由Δ＜0，得 m ＜－3 或 m ＞3 . 从而当 m ＜－3 或 m ＞3 时，方程③没有实数根，可知原方 程组没有实数解，这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 　　直线与椭圆的公共点问题，实际上是研究它们的方程组成的方程 组的实数解或实数解的个数问题.即将直线方程与椭圆方程联立的方 程组通过消元后变为关于 x （或 y ）的一元二次方程，判断该方程的判 别式与0的大小关系. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 求直线 l ： y ＝－ x ＋1与椭圆 C ： ＋ y2＝1的公共点的坐标. 解：联立直线 l 与椭圆 C 的方程 得到 x2＋3（－ x ＋1）2＝3，即2 x2－3 x ＝0， 解得 x1＝0， x2＝ ， 当 x1＝0时， y1＝－ x1＋1＝1；当 x2＝ 时， y2＝－ x2＋1＝－ ， 所以直线 l 与椭圆 C 的公共点的坐标为（0，1），（ ，－ ）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型二 椭圆标准方程的识别 【例2】　（链接教科书第86页习题8题）已知方程 ＋ ＝1表示 焦点在 x 轴上的椭圆，则 t 的取值范围为 ⁠. 解析：因为方程 ＋ ＝1表示焦点在 x 轴上的椭圆，所以 解得3＜ t ＜ .所以 t 的取值范围是（3， ）. （3， ）　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 根据椭圆方程求参数的取值范围 （1）给出方程 ＋ ＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦 点在 x 轴上的椭圆的条件是 m ＞ n ＞0，其表示焦点在 y 轴上的椭 圆的条件是 n ＞ m ＞0； （2）若给出椭圆方程 Ax2＋ By2＝ C ，则应先将该方程转化为椭圆的 标准方程的形式 ＋ ＝1，再研究其焦点的位置等情况. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. “0＜ t ＜1”是“曲线 ＋ ＝1表示椭圆”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：　曲线 ＋ ＝1表示椭圆等价于解得0＜ t ＜1且 t ≠ .所以“0＜ t ＜1”是“曲线 ＋ ＝1表示椭圆”的必 要不充分条件.故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 已知椭圆方程为 kx2＋3 y2－6 k ＝0（ k ≠0），焦距为4，则 k ＝ ⁠. 解析：将方程 kx2＋3 y2－6 k ＝0化为 ＋ ＝1.∵焦距为4，∴2 c ＝4，即 c ＝2.当焦点在 x 轴上时，6－2 k ＝4，解得 k ＝1；当焦点 在 y 轴上时，2 k －6＝4，解得 k ＝5.综上， k ＝1或5. 1或5　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型三 椭圆中与焦点三角形有关的计算问题 【例3】　设 P 是椭圆 ＋ ＝1上一点， F1， F2是椭圆的焦点，若∠ F1 PF2＝60°，求△ F1 PF2的面积. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：由椭圆方程知， a2＝25， b2＝ ，所以 c2＝ ， 所以 c ＝ ，2 c ＝5. 在△ F1 PF2中，由余弦定理得， F1 ＝ P ＋ P －2 PF1· PF2 cos 60°， 即25＝ P ＋ P － PF1· PF2.　① 由椭圆的定义，得10＝ PF1＋ PF2， 即100＝ P ＋ P ＋2 PF1· PF2.　② 由②－①，得3 PF1· PF2＝75， 所以 PF1· PF2＝25， 所以 ＝ PF1· PF2· sin 60°＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【母题探究】 　（变条件）将本例中椭圆的方程改为“ ＋ ＝1”其余条件不 变，求△ F1 PF2的面积. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解： PF1＋ PF2＝2 a ＝20，又 F1 F2＝2 c ＝12. 在△ F1 PF2中，由余弦定理知， F1 ＝ P ＋ P －2 PF1· PF2· cos 60°， 即144＝（ PF1＋ PF2）2－3 PF1· PF2， 所以 PF1· PF2＝ ， 所以 ＝ PF1· PF2· sin 60°＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 1. 椭圆上的点 P （ x0， y0）（点 P 不在 x 轴上）与两焦点 F1， F2构成 的△ PF1 F2称为焦点三角形，解关于焦点三角形的问题时要充分利 用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理等知识. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （1）焦点三角形的周长 L ＝2 a ＋2 c ； （2）在△ PF1 F2中，由余弦定理可得 F1 ＝ P ＋ P －2 PF1· PF2· cos θ（θ＝∠ F1 PF2）； （3）焦点三角形的面积 ＝ PF1· PF2· sin θ（θ＝∠ F1 PF2）. 2. 焦点三角形的常用公式 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 设 F1， F2分别是椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点， P 是椭圆上一点， 且 PF1∶ PF2＝4∶3，则∠ F1 PF2＝ ⁠. 解析：因为 PF1∶ PF2＝4∶3，所以可设 PF1＝4 k ， PF2＝3 k .由题 意可知3 k ＋4 k ＝2 a ＝14，所以 k ＝2，所以 PF1＝8， PF2＝6，因 为 F1 F2＝10， P ＋ P ＝102＝ F1 ，所以∠ F1 PF2＝90°. 90°　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 已知椭圆 ＋ ＝1，点 P 是椭圆上一点， F1， F2是椭圆的焦点，且∠ PF1 F2＝120°，则△ PF1 F2的面积为 ⁠. 　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：由 ＋ ＝1，可知 a ＝2， b ＝ ，所以 c ＝ ＝ 1，从而 F1 F2＝2 c ＝2.在△ PF1 F2中，由余弦定理得 P ＝ P ＋ F1 －2 PF1· F1 F2 cos ∠ PF1 F2，即 P ＝ P ＋4＋2 PF1①.由椭 圆定义得 PF1＋ PF2＝2 a ＝4②.由①②联立可得 PF1＝ .所以 ＝ PF1· F1 F2· sin ∠ PF1 F2＝ × ×2× ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 1. 已知椭圆 ＋ ＝1（ m ＞0）的左焦点为 F1（－4，0），则 m ＝ （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 解析：　由4＝ （ m ＞0），解得 m ＝3. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 已知椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在椭圆上， 若 PF1＝4，则∠ F1 PF2＝ ⁠. 解析：由椭圆的定义知 a2＝9， b2＝2，∴ a ＝3， c2＝ a2－ b2＝7， 即 c ＝ ，∴ F1 F2＝2 .∵ PF1＝4，∴ PF2＝2 a － PF1＝2.∴ cos ∠ F1 PF2＝ ＝ ＝－ ，又0°＜∠ F1 PF2＜180°.∴∠ F1 PF2＝120°. 120°　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 3. 求直线 y ＝ x ＋1与椭圆 x2＋ ＝1的公共点的坐标. 解：联立 消去 y ，得3 x2＋2 x －1＝0，解得 x ＝－1或 x ＝ . 当 x ＝－1时， y ＝0；当 x ＝ 时， y ＝ . ∴所求公共点的坐标为（－1，0）和（ ， ）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $