2.1第1课时圆的标准方程课件 -2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程，通过《墨子·经上》“圆，一中同长也”的情境导入，联系直线方程知识，引导学生从圆的定义出发，探索圆心和半径确定圆的几何要素，建立圆的标准方程及点与圆位置关系的知识脉络。 其亮点在于注重通性通法总结，如待定系数法和几何法求圆方程，结合赵州桥、圆拱桥等实际问题培养直观想象和数学运算核心素养。通过自我诊断、跟踪训练等环节强化知识落实，帮助学生提升用数学语言表达和解决问题的能力，也为教师提供系统的教学资源支持。

2.1　圆的方程 新课程标准解读 核心素养 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并 掌握圆的标准方程与一般方程 直观想象、 数学运算 第1课时　圆的标准方程 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　《墨子·经上》云：“圆，一中同长也.”这句朴素的定义用数学 语言来描述就是：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组 成的集合.这个定点即圆心，而定长就是半径.只要给定了圆心和半 径，这个圆就确定了. 【问题】　直线可在直角坐标系内用方程表示，那么圆是否也可在直 角坐标系内用方程表示呢？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 知识点一　圆的标准方程 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 提醒　（1）圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意 义：圆心位置和半径；（2）当圆心在坐标原点时，圆的方程为 x2＋ y2 ＝ r2. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 知识点二　点与圆的位置关系 点 M （ x0， y0）与圆 C ：（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2的位置关系及判 断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点 M 在圆上 CM ＝ r （ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＝ r2 点 M 在圆外 CM ＞ r （ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＞ r2 点 M 在圆内 CM ＜ r （ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＜ r2 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 　　 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ m2一定表示圆. （　×　） （2）确定一个圆的几何要素是圆心和半径. （　√　） （3）圆（ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是 4. （　×　） × √ × 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 圆心为（－2，3），半径为2的圆的方程是（　　） A. （ x －2）2＋（ y ＋3）2＝2 B. （ x ＋2）2＋（ y －3）2＝4 C. （ x ＋2）2＋（ y －3）2＝2 D. （ x －2）2＋（ y ＋3）2＝4 解析：　因为圆心为（－2，3），半径为2，所以圆的标准方程 为（ x ＋2）2＋（ y －3）2＝4.故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 3. 点 P （1，3）与以 A （2，－1）为圆心，半径为5的圆的位置关系 为（　　） A. 点 P 在圆上 B. 点 P 在圆内 C. 点 P 在圆外 D. 无法确定 解析：　∵ AP ＝ ＝ ＜5，∴点 P 在 圆 A 的内部. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求圆的标准方程 【例1】　（链接教科书第56页例1）（1）与 y 轴相切，且圆心坐标为 （－5，－3）的圆的标准方程为 ⁠； 解析：∵圆心坐标为（－5，－3），又与 y 轴相切，∴该圆的半径为 5，∴该圆的标准方程为（ x ＋5）2＋（ y ＋3）2＝25. （ x ＋5）2＋（ y ＋3）2＝25　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （2）求经过点 P （1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2 x ＋3 y ＋1＝ 0上的圆的标准方程. 解：法一（待定系数法）　设圆的标准方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2， 则有解得 ∴圆的标准方程是（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝25. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 法二（几何法）　由题意知 OP 是圆的弦，其垂直平分线的方程 为 x ＋ y －1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为（4，－3），半径 r ＝ ＝5. ∴圆的标准方程是（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝25. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 求圆的标准方程的两种方法 （1）待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 （2）几何法：即利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆 的标准方程. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 圆心在 y 轴上，半径为5，且过点（3，－4），则圆的标准方程 为 ⁠. 解析：设圆心为 C （0， b ），则（3－0）2＋（－4－ b ）2＝52， ∴ b ＝0或 b ＝－8，∴圆心为（0，0）或（0，－8），又 r ＝5，∴ 圆的标准方程为 x2＋ y2＝25或 x2＋（ y ＋8）2＝25. x2＋ y2＝25或 x2＋（ y ＋8）2＝25　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 已知△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A （0，5）， B （1，－2）， C （－3，－4），求该三角形的外接圆的方程. 解：法一　设所求圆的标准方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2. 因为 A （0，5）， B （1，－2）， C （－3，－4）都在圆上，所以 它们的坐标都满足圆的标准方程， 于是有 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解得 故所求圆的标准方程是（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝25. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 法二　因为 A （0，5）， B （1，－2），所以线段 AB 的中点的坐标为 ， 直线 AB 的斜率 kAB ＝ ＝－7，因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 y － ＝ ，即 x －7 y ＋10＝0. 同理可得线段 BC 的垂直平分线的方程是2 x ＋ y ＋5＝0. 由得圆心的坐标为（－3，1）， 又圆的半径长 r ＝ ＝5， 故所求圆的标准方程是（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝25. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型二 点与圆的位置关系 【例2】　（链接教科书第61页练习5题）写出圆心为 A （2，－3）， 半径为5的圆的标准方程，并判断点 M1（5，－7）， M2（－2，－1） 是否在这个圆上.若该点不在圆上，说明该点在圆外还是在圆内？ 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：圆心为 A （2，－3），半径为5的圆的标准方程 是（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝25. 把点 M1（5，－7）的坐标代入方程（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝25的左边，得（5－2）2＋（－7＋3）2＝ 25，左右两边相等，点 M1的坐标满足圆的方程，所 以点 M1在这个圆上. 点 M2到圆心 A 的距离 d ＝ M2 A ＝ ＝2 ＜5. 故点 M2不在圆上，在圆内. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 判断点与圆位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小； （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大 小，并作出判断. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 已知点（ a ＋1， a －1）在圆 x2＋（ y － a ）2＝ a2＋4外，则实数 a 的取 值范围为（　　） A. （－∞，1） B. （1，＋∞） C. （0，1） 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：　圆 x2＋（ y － a ）2＝ a2＋4的圆心为（0， a ），半径 r ＝ ，因为点（ a ＋1， a －1）在圆 x2＋（ y － a ）2＝ a2＋4外，所 以点（ a ＋1， a －1）到圆心（0， a ）的距离大于半径，即 ＞ ，解得 a ＞1，故 a 的取值范围为 （1，＋∞）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型三 圆的标准方程的实际应用 【例3】　（链接教科书第56页例2）赵州桥位于我国河北省，是我国 现存最早、保存最好的巨大石拱桥.如图所示，赵州桥是一座空腹式 的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度 a 和圆拱高 b 表示出赵州桥圆弧所在圆的半径. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：作出示意图如图所示，其中 AB 表示跨度， O 为 AB 中点， OC 为 圆拱高.以 O 为原点， AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，根据 已知条件有 B ， C （0， b ）. 可以看出，圆弧所在圆的圆心在 y 轴上，因此可设圆心的坐标为（0， t ），半径为 r ， 因为点 B ， C 都在圆上， 所以 由此可解得 r ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 求与圆的方程有关的实际应用问题的解题步骤 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高 3 m，这条船能否从桥下通过？ 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：建立如图所示的坐标系，使圆心 C 在 y 轴上.依题意，有 A （－ 10，0）， B （10，0）， P （0，4）， D （－5，0）， E （5，0）. 设这座圆拱桥的拱圆的方程是（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2， 于是有解得 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋（ y ＋10.5）2＝14.52（0≤ y ≤4）.把点 D 的横坐标 x ＝－5代入上式，得 y ≈3.1.由于船在水面以 上高3 m，3＜3.1，所以该船可以从桥下通过. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 1. 圆 C ：（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝3的圆心坐标为（　　） A. （2，1） B. （2，－1） C. （－2，1） D. （－2，－1） 解析：　结合圆的标准方程可知，圆 C 的圆心坐标为（2，－1）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 点 P （ m2，5）与圆 x2＋ y2＝24的位置关系是（　　） A. 点 P 在圆内 B. 点 P 在圆外 C. 点 P 在圆上 D. 不确定 解析：　由（ m2）2＋52＝ m4＋25＞24，得点 P 在圆外. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 3. 以两点 A （－3，－1）和 B （5，5）为直径端点的圆的标准方程是 ⁠. 解析：∵ AB 为直径，∴ AB 的中点（1，2）为圆心， AB ＝ ＝5为半径，∴该圆的标准方程为（ x － 1）2＋（ y －2）2＝25. （ x －1）2＋（ y －2）2＝25　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ）   　 解析：∵ OD ⊥ AB ，∴ AD ＝ DB ＝ AB ＝ ×10＝5（m），在Rt△ OAD 中，设半径 OA ＝ R m，则 OD ＝ CD － R ＝7－ R ，∴ OA2＝ OD2＋ AD2，即 R2＝（7－ R ）2＋52，解得 R ＝ .∴此隧道圆的半径是 m. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $