21.2.1.2二次函数y=ax^2的图象与性质 学案 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，核心是理解系数a对开口方向和大小的影响。课堂导入通过复习画二次函数图象的步骤、形状及y=x²的特征，搭建新旧知识桥梁，为探究新知提供学习支架。 以合作探究为主线，引导学生动手绘制函数图象，观察几何软件中a值变化，培养几何直观与创新意识。通过比较归纳a的影响发展推理能力，例题与习题层次分明，强化应用意识，助力学生掌握性质并提升解决问题能力。

分课时学案 课题 21.2.1.2二次函数y=ax2的图象与性质 单元 21 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1.在同一直角坐标系中画出函数y=x2，y=x2 和 y=2x2的图象 2.掌握二次函数y=的开口方向、对称轴、顶点等性质 3. 理解系数 a 对函数图象的影响。像 a 的正负决定开口方向，a 的绝对值大小影响开口大小 重点 理解系数 a 对函数图象的影响。 难点 通过观察图象能够掌握二次函数y=x2的性质 教学过程 导入新课 复习提问，温故孕新 1.画二次函数图象的步骤是什么？ 　 2.二次函数图象的形状是什么？ 3、二次函数y=x²的图象特征 新知讲解 合作探究，活动领悟 思考： 问题 在同一直角坐标系中如何画出函数y=x2，y=x2 和 y=2x2的图象. 观察 1.二次函数y=x2 ，x2和y=2x2 的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.图象有最高点还是最低点?当在什么范围内，图象自左向右上升或下降？ 2.利用几何画图软件，改变二次函数y=ax²(a＞0)的二次项系数a(a＞0)的值，如图.观察图象有什么变化？ 从上面观察，我们可以总结出 探究 在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象,分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.图象有最高点还是最低点?当𝑥在什么范围内，图象自左向右上升或下降？ 2.根据函数的图象特点，并利用几何绘图软件，改变二次项系数a(a<0)的值，观察图象，总结二次函数的图象特点和函数性质。 3.分别比较函数y=x2 与y=-x2, y=x2 与y=x2 ,y=2x2 与y=-2x2 的图象，指出它们之间的相同与不同之处？ 思考 利用几何绘图软件，改变二次函数中a的值，观察图象并思考： (1)函数(a>0)的图象与函数(a<0)的图象有什么不同？ (2)的大小对函数的图象的开口大小有什么影响？ 总结归纳 师生互动，变式深化 例、已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 巩固训练 尝试练习，巩固提高 1.已知点A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在抛物线y=x2上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y1 2.如图,四个二次函数图象所对应的函数表达式分别是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系为 (　　) A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>a>d>c 3.已知是二次函数，且当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，则 k = . 4.已知下列二次函数： ① ;②;③; ④;⑤. (1)其中开口向上的是________.(填序号); (2)其中开口向下且开口最大的是_____.(填序号)； (3)有最高点的是______.(填序号). 5.已知抛物线y=ax²经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数表达式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-18的点的坐标. 作业布置 1. 下列函数关系中，是二次函数的是( ) A. 生产100吨钢材，工作效率和工作时间 之间的关系 B. 当速度为时，汽车行驶的距离与时间 之间的关系 C. 长方形的周长一定时，长方形的长与宽 之间的关系 D. 高为的圆柱形储油罐的体积为 ,底面圆的半径为 2.一元二次方程 3=5 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，–5 D. 5，0 3.已知关于 的方程 –2+3=0 是一元二次方程，则k=______. 4.2026年4月24日，第十一个“中国航天日”主场活动在成都启动，主题为“七秩问天路 携手探九霄”.某航天文创店采购了一批空间站主题钥匙扣，进货价为7.5元/件，在一段时间里，销售单价是13.5元，销售量是500件，而销售单价每降低1元就可多售出200件，当销售单价为 元时，获取利润为元，则与 之间的函数关系式为__________________________. 5.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程. 答案： 复习提问，温故孕新 1.画二次函数图象的步骤是什么？ 　列表、描点、连线. 2.二次函数图象的形状是什么？ 抛物线. 3、二次函数y=x²的图象特征 开口向上 关于y轴对称 原点是最低点 在y轴左侧，y随x的增大而减小 在y轴右侧，y随x的增大而增加 课堂练习 尝试练习，巩固提高 1.已知点A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在抛物线y=x2上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　A　) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y1 2.如图,四个二次函数图象所对应的函数表达式分别是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系为 (　A　) A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>a>d>c 3.已知是二次函数，且当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，则 k = 2 . 4.已知下列二次函数： ① ;②;③; ④;⑤. (1)其中开口向上的是___②③⑤_____.(填序号); (2)其中开口向下且开口最大的是___①__.(填序号)； (3)有最高点的是__①④____.(填序号). 5.已知抛物线y=ax²经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数表达式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-18的点的坐标. 解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数表达式为y= -2x2. （2）因为−4≠−2(−1)2,所以点B（-1，-4）不在此抛物线上. 3）由-18=-2x2,得x2=9,x=±3, 所以纵坐标为-18的点有两个，它们分别是(3,-18)与(−3,-18). 作业设计 1.若抛物线y=(6-a)x2的开口向上,则a的取值范围是 (　B　) A.a>6 B.a<6 C.a>0 D.a<0 2.若二次函数 的图象经过点 ，则该图象必经过点( A ) A. B. C. D. 3. 已知函数 是关于的二次函数,则 的值为___−4或1____；若该函数图象的开口向下，则的值为__−4__；若该函数有最小值，则 的值为__1_. 4.如图，观察函数 y = (k - 1)x2 的图象，则 k 的取值范围是 k＞1 . 5. 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于 A、B 两点，求出 A、B 两点的坐标，并求出三角形 AOB 的面积． 解：由题意得 解得或 ∴ 两交点坐标为 A (4，16) 和 B (-1，1)． 学科网（北京）股份有限公司 $