湖南株洲市醴陵市第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 以2025春晚机器人舞蹈、《九章算术》“刍童”、冬奥会等真实情境为载体，覆盖概率统计、立体几何、函数导数等高二核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|离散型随机变量、回归方程、古典概型|广告利润回归分析，体现数学建模| |多选题|3/18|排列组合、随机变量分布|植物寿命无记忆性，考查概率逻辑推理| |填空题|3/15|刍童体积、数列不等式、条件概率|《九章算术》文化传承，机器人移动情境创新| |解答题|5/77|独立性检验、二项式定理、立体几何、函数证明、概率分布|冬奥会“基地学校”问题，综合数据分析与数学期望|

2026高二下学期期末检测 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 ⊙ ① A D A ACD BCD 题号 11 答案 ABD 259V3 12.3 13. 0,8 14.17 15山已知P(4-1-Pa1. P4=1-Pa网=1 X因为八手所以P回-1P)-1专} 所似P(0=PPa到-P回P42甘品 又P=4P- 所以P(B)≠P(A)P(B) 所以A与B不为独立事件： (2)假设原列联表为 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 a 6 a+b 不太主动预习 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d n(ad-be) 根据原数据有(a+b)c+d)a+c6+d1.35 (t∈N) 若将样本容量调整为原来的 倍， 则新的列联表为： 兴趣高 兴趣不高 总计 ta tb t(a+b) 主动预习 不太主动预 tc t(c+d) 习 t(a+c) i(b+d) t(a+b+c+d) 总计 t(a+b+c+d)(t2ad-t'bc) 则X= t(a+b+c+d)(ad-be) t(a+b)-1(c+d).i(a+c)1(b+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) =1.35t≥7.879，解得t≥5.84， 又t∈N,所以t的最小值为6. 16()当x=8时，展打武中三项式系数轻大的原是第5顶，这医是日 sea-2-g日-jf 可2r-++,数只对：为行e款 令g(x)=x-nx（x21),有8(x)=1-1=-可hx-=0,得r=1 xx,由x 因为当0<x<1时，g()<0,8()单调递减；当1<<+时，g()》>0,8()单调递增， 所以在=1处3（有极小值1，故当x>1时，8）>g01, 从面有-b>亦n4,故含：>：)E宽立 所以f2)+f(2)》2f(,原不等式成立. (3)对m∈N,且m>1有 +-c+c日c++c日+c +=2++-++ 而 2+0-…--f》-}2 2贵女心20-到 m！ 0-.3,4.则，数2c3.因t2, 17.(1)如图所示： M B 在三棱柱 BC-AB,C中，取AC的中点G,连接NG,MG, 所以NG114,AG=号4， BB 又因为M为的中点， 所以NGIIB,M,NG=B,M, 所以B,MGN是平行四边形， BN/IMG BN 所以 又 平面MAC,MGC平面MAC, 所以直线8N1 平面MAC: (2)在三棱柱 C-48C中，M+底面ABC,MC平面41C 以平面48c平面4C.平百464C=4C 如图所示： C N M AAC 过点B作B册LAC,交AC的延长线于H,则BH上平面 .AAC 所以BH即点B到平面的距离 ∠BAC=120°AB=AC=AA=2 因为 所以 H=AB×sin60°=√5 x+1>0 18()由题意可得2x+1≠0，解得x<-1或x>0 即'=f因的定义域为，-小0，+) r+f-小=n）24*n 2a =生）2(24】-1-o, are小-e.线-0关兮Te 史1+，令=+，则 (2)由x>0,则x h 21 t+1, 令8(x)=hx-2a(r-1) x+1,x>1' 则8'=2al-x+1F+2-4x1 (x+1)2x(x+1)2, 若a≤1，由>1，则2-4a)r≥-2 ow-0 则8（四在+w)上单调道道，又80）=h1-0=0,故3（四>0恒 恒成立，符合要求： 若a1r有g0-14211-<0, 4 则存在>0，使得xee)时，8'()<0， 即3(0在L)上单调递减，又80=0， 则当x∈e)时.8k0, 故不符： 综上所述，a≤1； (x+1-2>0 In (3)由(2)可得， 气(x2x+1对任意x>0恒成立， x+1 2 则（x 2x+1对任意x>0恒成立， 数当x=1时，有h2>号，3n2>2 h()=2In(n)+2n-(2n+1)in(n+1)neN 则h0=2nl+2-(2+h(1+1)=2-3n2<0 即当”=1时， 2n(n)+2n<(2n+1)ln(n+1) 当n≥2时， h(n)-h(n-1)=2n(n)+2n-(2n+1)n(n+1)-2n[(n-1)月-2(n-1)+(2n-l)lnn 2In -2nln(n+1)-In (n+1)+2nInn-Inn+2 (n-1): =nn-2nln"+l-h(n+l)+2=2-1n"+l-2nh"+l-2-(2n+l)n"+l n n n’ hx+1 、2 In n+1>2 由气x2x+1对任意x>0恒成立，则气n)2n+1, 数6o小-Aa)-2-(a+lh片c2-(2a+n210, 即(m)kha-）,又0<0，则对在意neN,有月 h(n)<0 即对于任意的”eN,2n(n侧+2n<(2n+1)h(a+l)） 19.(1)由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27,15,43,41,32,26,56,36,49,20， 参与“单板滑雪”的人数依次为46,52,26,37,58,18,25,48,32,30， 其中参与“自由式滑雪”的人数超过40人的有4个，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且“单板滑雪”的人 数超过30人的有2个， 设事件A为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过40人”，事件B为“从10所 学校中选出的3所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过30人” 则.Pa)-Cc8+cC+C-1ow Clo -120, P(4B)-CC+CC4 C30 120 4 所以P(BA)= P(AB)_120-1 P(A)10025 120 (2)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校有4所，则X的可能取值为0,1,2,3， P(X=0)= CC=1 Ci06, P(X=1)= cci-1 2, P(X=2) CC6-3 C。10, P(X =3)-Ci 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 1 2 3 1 6 10 30 所以E(X)=0x2+1×+2 +3× 2 10 (3)由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为 r-G 所以小在n轮测试中获得“优秀”的次数Y满足 Y-B 27) 7 7 、 81 由n 27 3，得n 7≈1.6， 所以理论上至少要进行12轮测试 绝密★启用前 醴陵市第一中学高二下学期期末考试试题 数 学 满分150分，考试时间120分钟 命题人：李兰娟 审题人：李慧 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（    ） A．8 B． C．2 D． 2．已知离散型随机变量，则（     ） A．7 B．3 C．2.1 D．0.7 3．某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下： 广告支出x/万元 2 5 8 11 15 19 利润y/万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（   ） A．30万元 B．32万元 C．36万元 D．40万元 4．抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（    ） A． B． C． D． 5．将数字（）､字母（）和符号（★，❤，☼）放入到下面的九宫格中，每个格子只能放一个数字､字母或符号，每个数字､字母或符号都必须使用，且只能用一次．则每行每列都有数字､字母和符号的排法有（    ）种 A．648 B．1048 C．1296 D．2592 6．已知抛物线的焦点为F，动点P，Q在C上，满足，若的最小值为，则（    ）． A． B． C． D． 7．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 8．若函数，，则（　　） A．函数，的图象关于直线对称 B．，使得 C．若，则 D．若，则 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（   ） A．所有不同的分派方案共种 B．若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C．若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种 D．若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 10．日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为.记“一株植物的寿命为”为事件，“一株植物的寿命不小于”为事件.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．设，则为等比数列 D．设，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A． B．的最小值为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．与所成角的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．我国古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，关于“刍童”的体积计算曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知刍童的外接球（球心在该刍童体内）半径为5，且，则该刍童的体积是______. 13．已知数列是递增的等差数列，且是函数的两个零点.设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，则的取值范围为__________. 14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，移动了3次，该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，该质点竖直方向移动两次的概率_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件B：主动预习．据统计显示，，，． (1)计算和的值，并判断A与B是否为独立事件； (2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分）设函数（，且，）． (1)当时，求的展开式中二项式系数最大的项； (2)设是的导函数，证明：，； (3)是否存在，使得恒成立？若存在，证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由． 17．（15分）如图，在三棱柱中，底面ABC，且为等腰三角形，，，M为的中点，N为的中点. （1）求证：直线平面MAC； （2）求点B到平面的距离 18．（17分）已知函数. (1)证明：曲线关于点中心对称； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：对于任意的. 19．（17分）2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，3所学校的“单板滑雪”人数均不超过30人的概率； (2)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记为可选作为“基地学校”的学校个数，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 学科网（北京）股份有限公司 $