精品解析：湖南衡阳市衡南县2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

衡南县高二期末考试试卷 数学 时量：120分钟总分：150分 注意事项：请考生把答案写在答题卡上.题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 2. 已知复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以z的实部为. 3. 已知，则“”是“数据，，，，，的极差为”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据 的正负确定六个数据的最大值和最小值，求出极差，再判断两个命题之间的关系． 【详解】当 时，这组数据的最大值为 ，最小值为 ，极差为 ； 当 时，最大值为 ，最小值为 ，极差为 ． 因此，这组数据的极差为 ． 若 ，则 ，所以“”是“数据 的极差为 ”的充分条件． 若数据 的极差为 ，则 ，解得 ． 当 时，数据的极差仍为 ，但 ，所以“”不是必要条件． 因此“”是充分不必要条件，B正确． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故， 两边平方得，解得． 5. 在数列中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的定义及通项公式求解即得． 【详解】由得， 所以是首项，公差的等差数列， 因此，将代入得， 解得. 6. 已知函数，的部分图象如图所示，，两点之间的距离为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合图象得出周期进而得出，再应用点代入结合单调性得出，最后结合特殊值求解. 【详解】因为A，B两点之间的距离为10，所以周期，则， 又，，所以，则.又，且结合图象及周期可知，应在上升图象上， 所以由，可得，， 解得，. 又，所以， 所以. 7. 已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的值域可得，令，，利用导数判断的单调性，利用单调性解不等式. 【详解】因为在内单调递增，则， 可知函数在内的值域为； 又因为在内单调递增，则， 可知函数在内的值域为； 由题意可知：，即， 令，，则， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为，且， 则不等式的解集为，所以实数a的取值范围为. 8. 如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设，的标准方程，再用，表示出，，代入后，利用函数的单调性求出最大值. 【详解】设双曲线的标准方程为，，则双曲线的标准方程为，， 所以，， 所以， 设，则， 设，则， 令，解得，又因为，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当，函数有最大值， 所以的最大值为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 随机变量服从二项分布，，则 B. 在线性回归分析中，若值越小，则模型的拟合效果越好 C. 随机变量服从正态分布，且，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别利用二项分布的方差公式、决定系数的含义、正态分布的对称性及二项式系数和判断． 【详解】A：，A正确． B：在线性回归分析中，决定系数 越大，模型的拟合效果越好，因此B错误． C：由正态曲线关于直线 对称，． 又 ，所以 ，C正确． D：由二项式定理，，D错误． 10. 已知一个圆锥的底面半径为，高为，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ） A. 侧面积为 B. 过两条母线的截面面积的最大值为 C. 圆锥的内切球半径为 D. 设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A： 由圆锥的侧面积公式求解；对于B： 过两条母线的截面面积的最大值为轴截面面积；对于C：利用相似三角形求解；对于D：先找到 为SA与MB所成角或其补角，再通过余弦定理求解. 【详解】对于A：设圆锥的母线长为l，由题意可知，所以圆锥的侧面积为，A正确； 对于B：因为过两条母线的截面为等腰三角形， 且，所以顶角为锐角， 故过两条母线的截面面积的最大值为轴截面面积，其面积为，B正确； 对于C：设内切球球心为，半径为r，过作， 则，，，则与相似， 则，即，，C错误； 对于D：过点A作交底面圆于C，如图所示： 则即为SA与MB所成角或其补角， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以M为弧AB的中点，C为弧AB的中点， 故， 所以， 所以SA与MB所成角的余弦值为，D正确. 11. 记为数列的前项和，已知，为实数，则（ ） A. 当时，是等比数列 B. 当时，则 C. 当时，数列的前项和为 D. 当时，数列第7项的值最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用求出通项，再结合错位相减法求和，利用导数确定单调性并比较大小即可. 【详解】对于A，当时，，则，当时，，不满足， 则，当时，不是等比数列，A错误； 对于B，当时，，当时，，解得， 当时，，即，数列是首项，公比为的等比数列， ，则，B正确； 对于C，当时，，当时，，解得， 当时，，即，数列为首项1，公比2的等比数列，则， ，设数列的前n项和为，则， ， 两式相减得：， 因此，C正确； 对于D，当时，，当时，，解得， 当时，，即， 数列是首项为，公比为的等比数列，则， 令，则， ， 令，，求导得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 又，则，又，, 则当时，，； 当，时，，； 因此数列满足，所以其第7项的值最大，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在复平面内，若复数满足，则在复平面内对应点满足的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先设复数，再代入结合模长公式计算化简得出轨迹方程. 【详解】由题意，设， ，， 则， 化简得， 所以z在复平面内对应点满足的方程为. 13. 已知向量，满足，，，若，，且，分别是在，上的投影向量，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，，然后由向量模长公式可得，据此可得答案. 【详解】，，类似可得， ， 当且仅当时等号成立. 14. 设A，B是半径为4的球O的表面上两定点，且，球O的表面上一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】在平面内建立直角坐标系，并求出点P在平面内轨迹方程，得到该轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，通过球心距求得交线圆的半径，即可得其周长，即点P的轨迹长度. 【详解】由题意知，，所以是正三角形. 如图，在平面内，以的中点为坐标原点，分别以所在直线及的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 则.设， 由动点P满足，得， 化简得，，即点P在平面内的轨迹为以点为圆心，半径为的圆. 转化到空间中：当以为轴旋转一周时，动点P依然满足， 故空间中点的轨迹为以为球心，半径为的球. 同时点在球上，故点P的轨迹为两球的交线，是一个圆. 因为，， 所以，所以， 所以点P的轨迹（圆）的半径为. 所以其周长，即点P的轨迹长度为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，． （1）求样本的相关系数r；（精确到0.01） （2）现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 附：相关系数，． 【答案】（1）0.92 （2）随机变量的分布列为 X 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据统计表格中的数据，求得，，结合参考数据和相关系数的公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的取值为，利用超几何分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据统计表格中的数据，可得，， 以及，，． 可得样本相关系数. 【小问2详解】 解：根据题意，可得随机变量的取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为 X 1 2 3 P 所以期望为. 16. 内角，，的对边分别为，，，满足． （1）求证：； （2）当角取得最大值时，的面积为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将进行切化弦，利用正弦定理和余弦定理可得结论. （2）求出为锐角，利用余弦定理结合基本不等式得到，此时最大，利用平方关系得到．利用三角形的面积公式求出的值． 【小问1详解】 由，可得． 由正弦定理可得． 故． 由余弦定理可得． 化简得． 【小问2详解】 因为角取得最大值，所以为锐角，， 因为，所以，所以， 所以，所以为锐角， 则， 当且仅当即时取等号． 此时最大，且． 所以． 解得． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论求解即可； （2）当时，结合（1）可知函数在上单调递减，可先将问题转化为对任意恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 由，， 则， ①当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，函数在上单调递减， 而，，则时，， 对任意，存在，使， 即等价于恒成立，即， 所以对任意恒成立． 设，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即实数的取值范围为． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中A点在x轴上方）如图1.将平面沿x轴向上折叠，使A点折至点位置且y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图2. （1）当时， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求点到平面的距离； （2）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （ⅰ）由椭圆，得，则， 当时，直线l的方程为， 联立，解得或， 所以，， 如下图，以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线分别为为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则折叠后，，，，， 所以， 则，即； （ⅱ） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可； （ⅱ）利用点到面的空间向量公式求解即可. （2）建立与（ⅰ）相同的空间直角坐标系，由题设可得，进而结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知，，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 则点到平面的距离为. 【小问2详解】 建立与（ⅰ）相同的空间直角坐标系， 设折叠前，，则折叠后， 因为折叠前周长是，依题意折叠后的周长是， 由，，，故， 设方程为，依题意， 联立，消去可得， 显然，则，， 而，， 则，① 则， 所以，② 由①②可得， 因为， 则得 所以， 化简得， 所以，解得， 因为，所以． 19. 袋子里有编号的个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出个，记取出个小球的最大编号为. （1）当，时，求的分布列； （2）当时，求； （3）求. 【答案】（1） 2 3 4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，先推得的可能取值为2，3，4，分别求出其对应的概率值，列出分布列即可； （2）因，则的可能取值为或，分别求出其对应的概率值，利用期望与方差公式即可求得答案； （3）依题意，选取个不同的元素，有种方法，推理得到求出，再利用将其化简，结合组合数的性质即可求得答案. 【小问1详解】 当，时，随机从编号的4个小球中取出2个共有种情况， 的可能取值为2，3，4， ，，， 分布列如表所示 2 3 4 【小问2详解】的可能取值为或， ，， 所以， 因此. 【小问3详解】 选取个不同的元素，有种方法， 要满足，则需取出元素，其余个元素是从小于的个元素中选出的， 所以， 因为， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡南县高二期末考试试卷 数学 时量：120分钟总分：150分 注意事项：请考生把答案写在答题卡上.题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“数据，，，，，的极差为”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，的部分图象如图所示，，两点之间的距离为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 随机变量服从二项分布，，则 B. 在线性回归分析中，若值越小，则模型的拟合效果越好 C. 随机变量服从正态分布，且，则 D. 10. 已知一个圆锥的底面半径为，高为，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ） A. 侧面积为 B. 过两条母线的截面面积的最大值为 C. 圆锥的内切球半径为 D. 设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 11. 记为数列的前项和，已知，为实数，则（ ） A. 当时，是等比数列 B. 当时，则 C. 当时，数列的前项和为 D. 当时，数列第7项的值最大 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在复平面内，若复数满足，则在复平面内对应点满足的方程为_________. 13. 已知向量，满足，，，若，，且，分别是在，上的投影向量，则的最小值为_____. 14. 设A，B是半径为4的球O的表面上两定点，且，球O的表面上一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，． （1）求样本的相关系数r；（精确到0.01） （2）现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 附：相关系数，． 16. 内角，，的对边分别为，，，满足． （1）求证：； （2）当角取得最大值时，的面积为，求． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中A点在x轴上方）如图1.将平面沿x轴向上折叠，使A点折至点位置且y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图2. （1）当时， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求点到平面的距离； （2）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 袋子里有编号的个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出个，记取出个小球的最大编号为. （1）当，时，求的分布列； （2）当时，求； （3）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $