湖南衡阳市衡南县2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

衡南县高二期末考试试卷 数学 时量：120分钟总分：150分 注意事项：请考生把答案写在答题卡上.题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“数据，，，，，的极差为”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，的部分图象如图所示，，两点之间的距离为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 随机变量服从二项分布，，则 B. 在线性回归分析中，若值越小，则模型的拟合效果越好 C. 随机变量服从正态分布，且，则 D. 10. 已知一个圆锥的底面半径为，高为，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ） A. 侧面积为 B. 过两条母线的截面面积的最大值为 C. 圆锥的内切球半径为 D. 设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 11. 记为数列的前项和，已知，为实数，则（ ） A. 当时，是等比数列 B. 当时，则 C. 当时，数列的前项和为 D. 当时，数列第7项的值最大 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在复平面内，若复数满足，则在复平面内对应点满足的方程为_________. 13. 已知向量，满足，，，若，，且，分别是在，上的投影向量，则的最小值为_____. 14. 设A，B是半径为4的球O的表面上两定点，且，球O的表面上一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，． （1）求样本的相关系数r；（精确到0.01） （2）现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 附：相关系数，． 16. 内角，，的对边分别为，，，满足． （1）求证：； （2）当角取得最大值时，的面积为，求． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中A点在x轴上方）如图1.将平面沿x轴向上折叠，使A点折至点位置且y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图2. （1）当时， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求点到平面的距离； （2）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 袋子里有编号的个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出个，记取出个小球的最大编号为. （1）当，时，求的分布列； （2）当时，求； （3）求. 衡南县高二期末考试试卷 数学 时量：120分钟总分：150分 注意事项：请考生把答案写在答题卡上.题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1）0.92 （2）随机变量的分布列为 X 1 2 3 P 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （ⅰ）由椭圆，得，则， 当时，直线l的方程为， 联立，解得或， 所以，， 如下图，以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线分别为为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则折叠后，，，，， 所以， 则，即； （ⅱ） （2）存在， 【19题答案】 【答案】（1） 2 3 4 （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $