2.2 直线与圆的位置关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，系统讲解相交、相切、相离的判定方法，切线方程及弦长问题的求解。通过日出情境导入，结合思考问题搭建探究支架，引导学生从现实现象抽象出数学关系，衔接前后知识。 其特色在于以数学眼光观察现实，用日出情境激发兴趣，通过几何法与代数法对比培养数学思维，母题探究（如半圆与直线位置关系）渗透分类讨论，强化创新意识。学生能深化知识理解，教师可借助例题变式提升教学效果。

第2章 圆与方程 1 2.2 直线与圆的位置关系 2 在海天交于一线的天际,一轮红日先是探出半个圆圆 的小脑袋,然后冉冉上升,再跃出海面,展现着斑斓的霞光 和迷人的风采.在这个过程中,把太阳看作一个圆,海天交 线看作一条直线,日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系. 返回导航 新课导入 3 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切与相离. 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系. 3.会求与圆有关的弦长问题. 4.掌握与圆有关的最值问题的求法. 5.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 直线与圆的位置关系的判断 思考1 如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线，观察太阳落山的 图片，你认为直线与圆有哪些位置关系? 提示 相离、相切与相交. 思考2 在平面直角坐标系中,如何利用直线与圆的方程判定直线与圆的位置 关系？ 提示 可以研究直线方程和圆的方程组成的方程组的解的个数或者研究圆 心到直线的距离与半径长度的关系. 返回导航 7 ［知识梳理］ 直线：， 不同时为0)，圆： . 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ①___个 ②___个 ③___个 判定 方法 几何 法 设圆心到直线的距离 ④___ ⑤___ ⑥___ 2 1 0 = 返回导航 8 位置关系 相交 相切 相离 判定 方法 代数 法 由 , 消元得到一元二次方程根的判别式 ⑦___0 ⑧___0 ⑨___0 = 续表 返回导航 9 位置关系 相交 相切 相离 图示 ____________________________ __________________________ ___________________________ 续表 返回导航 10 ［例1］ 已知与圆,当 为何值时， 直线与圆 【解】 方法一（代数法）:由方程组 消去得 , 所以 , （1）当,即 时，直线与圆有两个公共点. （1）有两个公共点； 返回导航 11 方法二（几何法） 设圆心到直线的距离为，则 . （1）由,得 时，直线与圆有两个公共点. 返回导航 12 （2）只有一个公共点； 【解】 方法一（代数法）:由方程组 消去得 , 所以 , （2） 当，即 时，直线与圆只有一个公共点. 方法二（几何法）: 设圆心到直线的距离为，则 . （2）由，得 时，直线与圆只有一个公共点. 返回导航 13 （3）没有公共点? 【解】 方法一（代数法）:由方程组 消去得 , 所以 , （3） 当，即 时，直线与圆没有公共点. 方法二（几何法） 设圆心到直线的距离为，则 . （3）由，得 时，直线与圆没有公共点. 返回导航 14 母题探究 已知曲线，直线 ．若直线 与曲线有两个公共点，求实数 的取值范围． 解：由 ， 得，则 ， 由 ， 得 ， 所以曲线是以 为圆心，2为半径的半圆，如图所示． 返回导航 15 由题意知，直线恒过定点,当直线与半圆相切， 为切点时，圆心 到直线的距离 ， 所以，解得 ． 当直线过点时，直线的斜率 ， 则直线与曲线有两个不同的交点时，实数的取值范围为 ． 返回导航 ［跟踪训练1］ （1）直线与圆 的位置关系是( ) A.相交且直线过圆心 B.相切 C.相离 D.相交且直线不过圆心 解析：选D.圆的圆心为，半径 ，则圆 心到直线的距离 ，因为 ，且直线不过圆心 ，所以直线与圆相交但不过圆心.故选D. √ 返回导航 17 （2）“直线与圆相交”是“ ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A.若直线与圆相交，则圆心 到 直线的距离满足，故，由于 能推出 ，但不能推出 ，故“直线 与圆相交”是“ ”的充分不必要条件. √ 返回导航 18 二 切线问题 ［例2］ （对接教材例2）若直线过点 ，且与圆 相切，求直线 的方程. 【解】 方法一（几何法）因为，所以点 在圆外. 返回导航 19 ①若直线的斜率存在，设直线 ，即 ，因为直线与圆 相切，所以 ，所以 . 所以直线的方程为 ， 即 . ②若直线的斜率不存在，则直线 也符合要求. 所以直线的方程为或 . 返回导航 20 方法二（代数法）若直线的斜率存在，设直线 ， 即，与圆的方程联立消去 得 ，整理得 ，所以 ，解得 . 此时直线的方程为 ， 即 . ②若直线的斜率不存在，则直线 也符合要求. 所以直线的方程为或 . 返回导航 21 母题探究 在本例条件下，此切线长为___. 5 解析：点到圆心的距离为 , 所以切线长为 . 返回导航 22 （1）求过已知点的圆的切线的方法 ①如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线与切线垂直，从而求得切 线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程. ②如果已知点在圆外,过这点的切线有两条,但在设斜率解题时可能求出的 切线只有一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在. （2）圆的切线长的求法 过圆外一点的圆的切线长的求解要抓住圆心到切线的距离等于半径这一几 何性质.设切线长为，点到圆心的距离为,半径为 ，运用勾股定理可得 . 返回导航 23 ［跟踪训练2］ （1）过点作圆 的切线， 则切线方程为( ) A. B. C. D. 解析：选C.圆，即 ，圆 心为，半径，又 ，所以 点在圆上，且，所以切线的斜率 ，所以切线方程 为，即 . √ 返回导航 24 （2）已知圆及圆外一点，过点 作圆的一条切线，切点为，则 的面积为___. 6 解析：因为圆的圆心为，半径 ， 由题意得，，所以 ， 所以的面积为 . 返回导航 25 三 弦长问题 ［例3］ （对接教材例3）求直线 被圆 截得的弦长. 【解】 方法一:联立直线与圆 的方程， 得消去,整理得 . 设两交点分别为, , 由根与系数的关系得, , 返回导航 26 ， 所以弦长为 . 返回导航 27 方法二：圆可化为 . 其圆心坐标为，半径,点到直线 的距离 , 所以 ， 所以弦长为 . 返回导航 28 母题探究 如果一条直线经过点且被圆 所截得的弦 长为8，求这条直线的方程. 解：圆的半径为,直线被圆所截得的弦长 ，所以弦 心距 . 当直线的斜率不存在时， 满足题意.当直线的斜率存在时,设直线方 程为,则圆心到直线 的距离等于3，即 ,解得 . 返回导航 29 故直线的方程为 . 综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为 或 . 返回导航 30 求弦长的两种方法 求解直线被圆截得的弦长问题时，方法有以下两种. （1）几何法：因为半径<m></m>、弦心距<m></m>、弦长<m></m>的一半构成直角三角形，所以 常利用<m></m>求解. （2）代数法：当直线斜率为<m></m>时，联立直线方程和圆的方程，消元转化为 关于<m></m>的一元二次方程，运用根与系数的关系即可求得弦<m></m>的长为 <m></m>. 返回导航 31 ［跟踪训练3］ 过点,且倾斜角为的直线交圆 于 ,两点，则弦 的长为( ) A. B. C. D. √ 返回导航 32 解析：选A.过点且倾斜角为的直线的方程为 , 即 , 又圆即，所以圆心，半径 , 则圆心到直线的距离 , 所以直线被圆截得的弦 . 故选A. 返回导航 33 PART 02 课堂巩固 自测 34 1.圆在点 处的切线方程为( ) A. B. C. D. 解析：选A.易知该切线斜率存在，不妨设切线 ， 易知圆心，半径，所以圆心到切线 的距离为 ， 解得，即切线 . √ 返回导航 35 2.（多选）已知圆与直线 ，下 列选项正确的是( ) A.直线与圆必相交 B.直线与圆不一定相交 C.直线与圆不可能相离 D.直线与圆可以相切 解析：选.易知直线过定点 ，又 ，所以点 在圆内，所以直线与圆必相交，所 以A，C正确，B，D错误. √ √ 返回导航 36 3.若直线与圆相交，则实数 的取 值范围是_________. 解析：依题意，由圆的圆心 到直线 的距离，解得 . 返回导航 37 4.已知圆，直线 . （1）求证：无论实数取何值，直线与圆 都相交； 证明：因为直线方程可化为，由 可得 所以直线恒过定点，把代入圆 方程得 ，所以定点始终在圆 内，所以无论实 数取何值，直线与圆 都相交. 返回导航 38 （2）当时，求直线被圆 截得的弦长. 解：方法一:圆化为 ， 圆心，半径 . 当时，直线 . 圆心到直线的距离 . 所以直线被圆截得的弦长为 . 返回导航 39 方法二：当时，直线 . 联立 整理得，得或 设直线与圆相交于， ，所以弦长 . 方法三：在方法二中，也可以不求交点坐标，设， ，由 可得，，，由弦长公式 . 返回导航 40 1.已学习：（1）直线与圆的三种位置关系. （2）圆的切线方程. （3）圆的弦长. 2.须贯通：（1）直线与圆位置关系的判断方法. （2）求圆的切线方程的方法. （3）求直线与圆相交时弦长的方法. 3.应注意：解决直线与圆的位置关系问题时，易漏掉直线斜率不存在的情况. 返回导航 41 $