29.1.2过三点的圆 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“过三点的圆”核心内容，涵盖过不在同一直线上三点作圆的尺规作图，以及三角形外接圆、外心的概念。课堂导入通过复习圆的动态静态定义、弦与弧等相关概念及点与圆的位置关系，为新知探究搭建知识支架，实现前后知识的自然衔接。 其亮点在于以合作探究为主线，通过“过一点、两点、三点作圆”的递进式问题设计，培养学生的推理意识与几何直观。结合中考真题演练和圆形工件找圆心等实际操作，渗透模型意识与应用意识。采用“概念梳理+典例分析+分层练习”的教学方法，帮助学生构建知识体系，既提升学生的数学探究能力，也为教师提供了清晰的教学流程与丰富的实例支持。

人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.1.2 过三点的圆 学习目标 1 2 能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆. 了解三角形的外心和外接圆的概念． 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 圆 概念 相关概念 位置 关系 动态定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆. 连接圆上任意两点的线段叫作弦；经过圆心的弦叫作直径； 设⊙O的半径为r， 任意一点到圆心 的距离为d. 点在圆外 点在圆上 点在圆内 位置关系 数量关系 d>r d=r d<r ⇔ ⇔ ⇔ 静态定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 圆上任意两点间的部分叫作圆弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两个半圆；大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧； 能够重合的两个圆叫作等圆；能够重合的两条弧叫作等弧. 2 合作探究 探究 (1)经过一个点A能不能作圆?这样的圆能作出多少个? (2)经过两个点A，B能不能作圆?如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点? (3)经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆?如果能，如何确定所作圆的圆心? 我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢? 分析：作圆的关键是确定 和 ， 对于经过已知点作圆的问题，当圆心确定后，半径也就随之确定，因此作 圆的问题又转化为 的问题. 圆心的位置 半径的大小 确定圆心 经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个. 2 合作探究 探究 (1)经过一个点A能不能作圆?这样的圆能作出多少个? 经过两个点A，B作圆，由于所作圆的圆心到A，B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个. 2 合作探究 探究 (2)经过两个点A，B能不能作圆?如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点? 分析：经过不在同一条直线上的三个点A，B，C作 圆，因为所作的圆要经过A，B，C三点，其圆心应 满足 ， 所以所作圆的圆心既要在 上， 又要在 上，显然所作圆的圆 心就是 . 2 合作探究 探究 (3)经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆?如果能，如何确定所作圆的圆心? 到这三个点的距离都相等 线段AB的垂直平分线 线段BC的垂直平分线 这两条垂直平分线的交点 尺规作图 1.分别作线段AB和BC的垂直平分线l₁，l₂. 设l₁，l₂相交于点O，则OA=OB=OC. 2 合作探究 探究 (3)经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆?如果能，如何确定所作圆的圆心? 2.以点O为圆心，OA为半径，作出⊙O. ⊙O就是经过A，B，C三点的圆. 尺规作图 由作法可知，线段AB，BC的垂直平分线有且只有 一个交点，所以⊙O的圆心是确定的，进而其半径 也是确定的. 因此，经过A，B，C三点可以作一个并且只可以作 一个圆.这就得到： 2 合作探究 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 如图， 是△ABC 的外接圆， 是△ABC 的外心， △ABC 是 的内接三角形. 2 合作探究 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. ⊙O ⊙O 点O 中考演练(2023江西) 如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3 典例分析 D 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°． 求作：Rt△ABC的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的 长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线PQ，交AB于点O； （3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为所求作的圆． 中考演练(2023内蒙古通辽) 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 3 典例分析 下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 3 典例分析 D 中考演练(2023内蒙古通辽) 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 4 巩固练习 1. 如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=55°，连接BO，CO，则∠BOC的度数是（    ） A．100∘ B．90∘ C．110∘ D．70∘ C 4 巩固练习 2. 已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在∠ACB的平分线上；②直线BP可以把△ABC分成面积相等的两部分；③∠BAC=∠ABC；④点P是△ABC的外心；⑤点P是△ABC的重心．其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 C 4 巩固练习 3. 如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来_____________________________． △ADC、△BDC、△ABD 4 巩固练习 4. 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心? 操作方法： 将该工具在圆形工件上摆放一次，画出直线CD； 变换工具在圆上的位置，再次摆放工具，画出直线EF； 直线CD和直线EF的交点即为圆形工件的圆心. 4 巩固练习 5. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长. 解：1.分别作边 AB、BC的垂直平分线， 两条垂直平分线交于一点O， 2.以O为圆心，OA长为半径画圆， ⊙O即为△ABC的外接圆. 4 巩固练习 连接AO并延长，交BC于点D，连接OB. 则AD⊥BC，BD=CD=1. 在Rt△ABD中，AB=2，BD=1， 由勾股定理得：AD=. 设OA=OB=x，则OD=−x， 在Rt△OBD中，由勾股定理得： (−x)2+12=x2，解得：x=， ∴△ABC的外接圆的半径为. 5 当堂检测 1.根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC的外心的是 （     ） A． B． C． D． A 5 当堂检测 2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（     ） A．点D B．点E C．点F D．点G C 解：由题意，OA=OB=OC， ∴∠1=∠OCA，∠2=∠OBC，∠3=∠OAB， ∴∠AOC=180°−2∠1，∠BOC=180°−2∠2， ∠AOB=180°−2∠3， ∵∠AOC+∠BOC+∠AOB=360°， ∴180°−2∠1+180°−2∠2+180°−2∠3=360°， ∴2∠1+2∠2+2∠3=180°，则∠1+∠2+∠3=90°． 5 当堂检测 3.如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3=________． 90° 5 当堂检测 4.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC边上的中线AD=12． (1)请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求△ABC的外接圆的半径． 解：（1）如图所示，⊙O即为所求； 5 当堂检测 解：（2）如图，连接OB， ∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°， ∴BD===5， 设OA=OB=x，则OD=12−x， 在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2， ∴(12−x)2+52=x2，解得：x=， 即△ABC的外接圆的半径为． 6 课堂小结 圆 概念 相关概念 点与 圆的 位置 关系 设⊙O的半径为r， 任意一点到圆心 的距离为d. 点在圆外 点在圆上 点在圆内 位置关系 数量关系 d>r d=r d<r ⇔ ⇔ ⇔ 动态定义 静态定义 弦——直径 弧——半圆、优弧、劣弧 等圆、等弧 过三点的圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆， 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角 形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 7 布置作业 A B 习题29.1：第6题. 习题29.1：第9题. $