29.1.2 过三点的圆-课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕“过三点的圆”展开，涵盖过不共线三点作圆的方法、三角形外接圆与外心概念及反证法。课堂导入从“两点确定直线”类比提问“几点确定圆”，引导学生思考作圆关键是圆心和半径，以旧知搭建学习支架。 其亮点在于通过探究式问题链逐步深入，结合破损圆盘复原等实例培养几何直观，利用坐标系确定圆心发展模型意识，反证法教学强化推理意识。采用分层练习与中考链接，帮助学生提升探究能力和逻辑思维，为教师提供系统教学资源。

29.1 圆的有关概念 29.1.2 过三点的圆 人教版 数学 九年级 上册 我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢？ 作圆的关键是什么？ 　　作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小． 导入新知 2. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 1. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握作图方法. 3. 了解反证法的证明思想. 素养目标 问题1 经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？ · · · · · 以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. A 探究新知 过不共线三点作圆 知识点 1 问题2 经过两个点A，B能不能作圆？这样的圆能作出多少个？所作圆的圆心的位置有什么特点？ · · · · A B 作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这一点和点A或点B的距离为半径画圆即可; 可作无数个圆. 圆心在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 5 问题3： 经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ A B C D E G F ●o 经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上. 经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置. 经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 位置关系 有且只有 A B C D E G F ●o 探究新知 定理： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 例 已知：不在同一直线上的三点A，B，C. 求作： ⊙O，使它经过点A，B，C. 作法：1. 连接AB，作线段AB的垂直平分线MN； 2. 连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O； 3. 以O为圆心，OB为半径作圆. 所以⊙O就是所求作的圆. O N M F E A B C 利用尺规法作圆 素养考点 探究新知 问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？ 方法: 1. 在圆弧上任取三点A，B，C; 2. 作线段AB，BC的垂直平分线，其交点O即为圆心; 3. 以点O为圆心，OC长为半径作圆. ⊙O即为所求. A B C O 探究新知 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？ A B C D O ∵A，B两点在圆上，所以圆心与A，B两点的距离相等， 又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴圆心在CD所在的直线上，因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径，它们的交点为圆心. 巩固练习 解: 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A，B，C三点的圆. A B C O 探究新知 三角形的外接圆及外心 知识点 2 外接圆 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆. ⊙O叫作△ABC的________， △ABC叫作⊙O的____________. 到三角形三个顶点的距离相等. 三角形的外心： 定义： 外接圆　 内接三角形　 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 叫作三角形的外心. 作图： 三角形三边中垂线的交点. 性质： ●O A B C 要 点 归 纳 探究新知 【练一练】 判断下列说法是否正确. （1）任意的一个三角形一定有一个外接圆.( ) （2）任意一个圆有且只有一个内接三角形.( ) （3）经过三点一定可以确定一个圆. ( ) （4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( ) √ × × √ 探究新知 画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形内， 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点， 钝角三角形的外心位于三角形外. A B C ●O A B C C A B ┐ ●O ●O 探究新知 14 例1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． （1）求∠DAO的度数； 解：∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°. 探究新知 圆与平面直角坐标系相结合的问题 素养考点 1 （2）求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 解： ∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°，∴AD为直径. 又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6， OA＝ . 因此，圆的半径为3， ∴△AOB外接圆的面积是9π. 解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度． 探究新知 点A的坐标( ，0). 如图，已知直角坐标系中，点A(0，4)，B(4，4)， C(6，2). （1）写出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标. （2）判断点D(5，-2)和圆M的位置关系. 巩固练习 解：（1）在方格纸中，线段AB和BC的垂直 平分线相交于点(2，0)， 所以圆心M的坐标为(2，0). （2）圆的半径 线段DM 所以点D在圆M内. M 例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径． 解：连接OB，过点O作OD⊥BC. D 则OD＝5cm， 在Rt△OBD中， 即△ABC的外接圆的半径为13cm. 探究新知 考查三角形的外接圆的有关知识 素养考点 2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为(　　) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 巩固练习 A 19 思考：经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？ l1 l2 A B C P 探究新知 反证法 知识点 3 如图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点. 而l1⊥l，l2⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾. 所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆． 反证法的定义 先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法． 反证法的一般步骤 假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）; 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾; 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 探究新知 例 用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A，∠B，∠C是中不能有两个角是直角. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 则　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 这与　　　　　　　　　　　相矛盾，所以假设不成立． 因此，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． ∠A，∠B，∠C中有两个角是直角 ∠A=∠B＝90° 三角形的内角和为180度 一个三角形中不能有两个角是直角 ∠A+∠B+∠C >180° 探究新知 反证法的应用 素养考点 利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（ ） A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45° C.有一个锐角大于45° D.每一锐角都大于45° 巩固练习 D 23 1. （江苏南京中考）过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A.（4，） B.（4，3） C.（5， ） D.（5，3） 2.（四川内江中考） 已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC的外接圆半径=　　． A 链接中考 1. 如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法. A B C O 课堂检测 基础巩固题 2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= . 5 课堂检测 解析：∵∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴BA==10， ∴△ABC的外接圆的圆心在其斜边AB的中点处. ∴其外接圆的半径为5． 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） M R Q A B C P A．点P B．点Q C．点R D．点M B 课堂检测 能力提升题 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心． 解：（1）在圆形瓷盘的边缘选A，B，C三点； （2）连接AB，BC； （3）分别作出AB，BC的垂直平分线； （4）两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心. A B C 课堂检测 拓广探索题 作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 定理： 过不在同一直线上的三个点确定一个圆 注意：同一直线上的三个点不能作圆. 课堂小结 一个三角形的外接圆是唯一的 反证法 定义 步骤 假设，推理，得证 三角形的外心 定义 性质 在各类三角形中的位置 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 谢谢观看 $