第一章 勾股定理 单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学勾股定理单元卷，覆盖勾股数、直角三角形判定、折叠与动态问题，结合古代数学文化与生活情境，适配单元复习，提升抽象能力与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数（第1题）、直角三角形判定（第2题）|基础巩固，辨析概念与判定方法| |填空题|6/24|勾股树（第11题）、古代“折竹抵地”（第14题）|文化传承，结合图形与历史问题| |解答题|8/66|U型池滑行最短距离（第17题）、动点问题（第23题）|分层设计，从实际应用到动态几何，培养推理能力与模型意识|

第一章 勾股定理 单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，共30分） 1．在下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．3，4，5 D．5，12，13 2．下列三角形中，一定是直角三角形的有（　　） ①有两个内角互余的三角形； ②三边长分别为0.3，0.4，0.5的三角形； ③三边之比为3：4：5的三角形； ④三个内角的比是1：2：3的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．已知AB＝15，BC＝24，则AD的长为（　　） A．9 B．13 C．6 D．12 4．图直角三角形，两直角边长AC＝6，BC＝8，将三角形ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（　　） A． B． C． D． 5．如图，点A、B、C在正方形网格格点上，则∠ACB的度数为（　　） A．30° B．45° C．40° D．60° 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN＝（　　） A．3 B．4.8 C．2.4 D．2.5 7．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使点B的对应点落在对角线AC上的点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边（x＞y）．下列说法正确的有（　　） ①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③；④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC＝8，则BC的长为（　　） A．4 B．6 C． D． 二．填空题（共6小题，共24分） 11．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是_______. 12．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝12，CD＝13，且∠B＝90°，则图中的凹四边形DABC的面积为 　　 ． 13．如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB＝3，BC＝1，若以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M的表示的数为 　　 ． 14．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，设AB为x尺，则可列方程为_________ ． 15．如图，幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向，沁苑小区D位于B的南偏东55°方向，无人机以1千米/分的速度配送快递时，从B到C需飞行8分钟，从B到D需飞行15分钟．若无人机的配送路线是B→C→D→B，则配送途中飞行的时间为 　　 分． 16．如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为6，C的边长为2，则正方形B的面积为 　　 ． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝4m，一滑行爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，π取3） 18．如图，一根竹竿长1.5米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙0.9米，若竹竿底端向左滑动0.3米，那么竹竿顶端下滑多少米． 19．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相交于点F． （1）证明：△ADF是等腰三角形； （2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝3，求BC的长． 20．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE． （1）证明：CE＝BD； （2）若CD＝4，△CDE的周长为12，求△CDE的面积． 21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°． （1）连接BQ，求证：△APC≌△BQC； （2）问线段PA、PB、PC三者之间的数量关系？并证明结论． 22．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前两正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息回答下列问题： （1）图②所示的割补过程为：割①补 　　 ；割 　　 补⑥；割③补 　　 ； （2）将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形边长为2，且大正方形的边长为10，试计算其中一个直角三角形的周长． 23．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s，它们同时出发，设运动的时间为ts （1）求运动几秒时，△APC是等腰三角形？ （2）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 24．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为边BC上一点，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，DE，PE分别交AB于点F，G，已知GE＝GB． （1）试说明：△GEF≌△GBP； （2）求BF的长； （3）求△EFG的面积． 参考答案 第一章 勾股定理 单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，共30分） 1．在下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．3，4，5 D．5，12，13 【解答】解：A、都不是整数，不符合勾股数定义，符合题意； B、都是整数，且62+82＝102，故是勾股数，不符合题意； C、都是整数，且32+42＝52，故是勾股数，不符合题意； D、都是整数，且52+122＝132，故是勾股数，不符合题意； 故选A． 2．下列三角形中，一定是直角三角形的有（　　） ①有两个内角互余的三角形； ②三边长分别为0.3，0.4，0.5的三角形； ③三边之比为3：4：5的三角形； ④三个内角的比是1：2：3的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①有两个内角互余的三角形是直角三角形，故①符合题意； ②∵0.32+0.42＝0.52， ∴三边长分别为0.3，0.4，0.5的三角形是直角三角形，故②符合题意； ③设三边分别为3k，4k，5k， ∵（3k）2+（4k）2＝9k2+16k2＝25k2＝（5k）2， ∴三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形，故③符合题意； ④∵三内角之比为1：2：3的三角形的三个内角分别为30°、60°、90°， ∴三内角之比为1：2：3的三角形是直角三角形，故④符合题意； 综上所述，一定是直角三角形的有4个， 故选：D． 3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．已知AB＝15，BC＝24，则AD的长为（　　） A．9 B．13 C．6 D．12 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．BC＝24， ∴AD⊥BC，， 在直角三角形ABD中，AB＝15， 由勾股定理得：， 故选：A． 4．图直角三角形，两直角边长AC＝6，BC＝8，将三角形ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE， ∴AD＝BD， 设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x， 在Rt△ACD中， ∵CD2+AC2＝AD2， ∴x2+62＝（8﹣x）2， 解得， 即CD等于． 故选：D． 5．如图，点A、B、C在正方形网格格点上，则∠ACB的度数为（　　） A．30° B．45° C．40° D．60° 【解答】解：连接AB， 设每个小正方形的边长为a， ABa，BCa，ACa， ∴AB＝BC，AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝∠CAB， ∴∠ABC＝90°，∠ACB＝∠CAB＝45°， 故选：B． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN＝（　　） A．3 B．4.8 C．2.4 D．2.5 【解答】解：连接AM， ∵AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点， ∴CMBC＝3，AM⊥BC， ∴AM4， ∵S△AMCAM•MCAC•MN， ∴3×45×MN， 解得：MN＝2.4， 故选：C． 7．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使点B的对应点落在对角线AC上的点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8， ∴BC＝8， ∵△AEF是△AEB翻折而成， ∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形， ∴CE＝8﹣3＝5， 在Rt△CEF中，CF4， 设AB＝x， 在Rt△ABC中， AC2＝AB2+BC2， 即（x+4）2＝x2+82， 解得x＝6． 故选：D． 8．如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【解答】解：如图所示， ∵PB＝AB＝6，AQ＝2， ∴BQ＝6+2＝8， ∴PQ10． 答：蚂蚁爬行的最短路程是10． 故选：C． 9．如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边（x＞y）．下列说法正确的有（　　） ①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③；④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【解答】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形边长为7，小正方形边长为2， 由勾股定理可得：x2+y2＝72＝49， 故①正确； ∵图中4个直角三角形全等， ∴x﹣y＝2， 故②正确； ∵大正方形面积＝4个直角三角形面积+小正方形面积， ∴， ∴， 故④正确； ∵x2+y2＝49，， ∴， ∵x＞0，y＞0， ∴， 故③正确， 综上所述，①②③④正确， 故选：D． 10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC＝8，则BC的长为（　　） A．4 B．6 C． D． 【解答】解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a+b＝8，c2＝a2+b2，HG＝c﹣b，DG＝c﹣a， 则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c﹣b）（c﹣a）＝2， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64， ∴ab＝32， ∴S＝c2﹣c（a+b）+ab＝c2﹣8c+322， 解得c1＝6，c2＝10（舍去）． 故选：B． 二．填空题（共6小题，共24分） 11．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是___13____. 【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得： x2＝3+5＝8，y2＝2+3＝5，z2＝x2+y2＝13； 即最大正方形E的面积为：z2＝13． 故填：13． 12．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝12，CD＝13，且∠B＝90°，则图中的凹四边形DABC的面积为 　24　 ． 【解答】解：连接AC，如图所示： ∵∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，且AB＝3，BC＝4， ∴根据勾股定理得：AC5， 又∵AC2+AD2＝52+122＝25+144＝169，CD2＝132＝169， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴∠CAD＝90°，即△ACD为直角三角形， 则图中的凹四边形DABC的面积S＝S△ACD﹣S△ABCAC•ADAB•BC＝30﹣6＝24． 故答案为：24． 13．如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB＝3，BC＝1，若以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M的表示的数为 　1　 ． 【解答】解：∵AB＝3，BC＝1， ∴AC， ∵点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M， AM＝AC， ∵A点表示﹣1， ∴M点表示的数为：1， 故答案为：1． 14．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，设AB为x尺，则可列方程为 x2+32＝（9﹣x）2 ． 【解答】解：设AB＝x尺，则AC＝（9﹣x）尺， 根据勾股定理得x2+32＝（9﹣x）2． 故答案为：x2+32＝（9﹣x）2． 15．如图，幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向，沁苑小区D位于B的南偏东55°方向，无人机以1千米/分的速度配送快递时，从B到C需飞行8分钟，从B到D需飞行15分钟．若无人机的配送路线是B→C→D→B，则配送途中飞行的时间为 　40　 分． 【解答】解：∵幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向，沁苑小区D位于B的南偏东55°方向， ∴∠CBA＝90°， ∵无人机以1千米/分钟的速度配送快递时，从B到C需飞行8分钟，从B到D需飞行15分钟， ∴BC＝8km，BD＝15km， 由勾股定理得：CD17（km）， ∴从C飞到D需要17分钟， ∴沿B→C→D→B路线配送途中飞行所需时间是8+15+17＝40分钟， 故答案为：40． 16．如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为6，C的边长为2，则正方形B的面积为 　40　 ． 【解答】解：由题意可知，∠EDF＝∠EFK＝∠FHK＝90°，EF＝FK， ∴∠DEF+∠EFD＝∠KFH+∠EFD， ∴∠DEF＝∠KFH， 在△EDF与△FHK中， ， ∴△EDF≌△FHK（AAS）， ∴ED＝FH， ∴FH2+KH2＝ED2+HK2， 即正方形B的面积＝ED2+HK2， ∵正方形A的边长为6，C的边长为2， ∴正方形B的面积＝62+22＝40， 故答案为：40． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝4m，一滑行爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，π取3） 【解答】解：将半圆面展开可得： AD＝4π米，DE＝DC﹣CE＝AB﹣CE＝20﹣4＝16（米）， 在Rt△ADE中， AE20（米）． 答：他滑行的最短距离为20米． 18．如图，一根竹竿长1.5米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙0.9米，若竹竿底端向左滑动0.3米，那么竹竿顶端下滑多少米． 【解答】解：标记点O如图所示， 由题意得，AB＝CD＝1.5米，BO＝0.9米，DB＝0.3米， ∴DO＝1.2米， 在Rt△ABO中，由勾股定理得：（米）， 在Rt△DOC中，由勾股定理昨：（米）， 则顶端下移的距离为：AC＝AO﹣CO＝1.2﹣0.9＝0.3（米）， 故答案为：0.3． 19．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相交于点F． （1）证明：△ADF是等腰三角形； （2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝3，求BC的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C（等边对等角）， ∵FE⊥BC， ∴∠CEF＝∠BED＝90°（垂直的定义）， ∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°， ∴∠F＝∠BDE， ∵∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠FDA（等量代换）， ∴AF＝AD（等角对等边）， ∴△ADF是等腰三角形； （2）解：∵BD＝4，AD＝3， ∴AB＝3+4＝7， ∵AB＝AC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝7． 20．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE． （1）证明：CE＝BD； （2）若CD＝4，△CDE的周长为12，求△CDE的面积． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， 即CE＝BD； （2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， 由（1）可知：△ABD≌△ACE， ∴∠B＝∠ACE＝45°， ∴∠CDE＝∠ACE+∠ACB＝90°， 即△CDE是直角三角形， 设CE＝a，ED＝b， ∵CD＝4，△CDE的周长为12， ∴CE+ED+CD＝12， ∴a+b+4＝12， 即a+b＝8①， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：ED2﹣CE2＝CD2， ∴b2﹣a2＝42， ∴（b﹣a）（b+a）＝16②， 将①代入②得：b﹣a＝2③， ①﹣②得：2a＝6， ∴a＝3， 即CE＝a＝3， ∴△CDE的面积为：CE•CD3×4＝6． 21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°． （1）连接BQ，求证：△APC≌△BQC； （2）问线段PA、PB、PC三者之间的数量关系？并证明结论． 【解答】（1）证明：∵△PCQ是等腰直角三角形，∠PCQ＝90°， ∴PC＝QC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ＝90°﹣∠PCB， 在△APC和△BQC中， ， ∴△APC≌△BQC（SAS）． （2）解：PA2+PB2＝2PC2， 证明：∵PC＝QC，∠PCQ＝90°， ∴PQ2＝PC2+QC2＝2PC2， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°， ∵△APC≌△BQC， ∴∠A＝∠CBQ＝45°，AP＝BQ， ∴∠PBQ＝∠ABC+∠CBQ＝90°， ∴AP2+BP2＝BQ2+BP2＝PQ2， ∴PA2+PB2＝2PC2． 22．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前两正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息回答下列问题： （1）图②所示的割补过程为：割①补 　④　 ；割 　⑤　 补⑥；割③补 　②　 ； （2）将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形边长为2，且大正方形的边长为10，试计算其中一个直角三角形的周长． 【解答】解：（1）如图②，∵四边形ABDE、四边形BCHL、四边形ACFG都是正方形， ∴∠GAC＝∠ABD＝∠BCE＝∠AED＝90°，AC＝AG＝a，AB＝AE＝BD＝DE＝c，BC＝CH＝BL＝b， ∴∠BAC＝∠EAG＝90°﹣∠CAE， ∴△ABC≌△AEG（SAS）， ∴BC＝EG＝b，∠ABC＝∠AEG， ∵AC∥FG， ∴∠CAE＝∠AEG， ∵∠QAH+∠CAE＝90°，∠PEF+∠AEG＝90°， ∴∠QAH＝∠PEF， ∵AH＝EF＝a﹣b，∠AHQ＝∠F＝90°， ∴△AHQ≌△EFP（ASA）， ∴割①补④； ∵DK⊥BF， ∴∠BKD＝∠G＝90°， ∵∠KBD+∠ABC＝90°，∠GAE+∠AEG＝90°， ∴∠KBD＝∠GAE， ∴△KBD≌△GAE（AAS）， ∴割⑤补⑥； ∵DE∥AB，BC∥HL， ∴∠DPK＝∠ABC＝∠BQL， ∵∠DKP＝∠L＝90°，DK＝EG＝BL＝b， ∴△DKP≌△BLQ（AAS）， ∴割③补②， ∴故答案为：④，⑤，②. （2）如图②，∵小正方形边长为2，且大正方形的边长为10， ∴a﹣b＝2，c＝10， ∴a2+b2＝c2＝100， 由a﹣b＝2得a2+b2﹣2ab＝4， ∴100﹣2ab＝4， ∴2ab＝96， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196， ∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴a+b+c＝14+10＝24， ∴其中一个直角三角形的周长是24． 23．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s，它们同时出发，设运动的时间为ts （1）求运动几秒时，△APC是等腰三角形？ （2）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 【解答】解：（1）如图1，当PC＝PA时，△APC是等腰三角形， 此时PA＝t＝PC，则PB＝8﹣t， 在Rt△ABP中，由BC2+PB2＝PC2得， 62+（8﹣t）2＝t2， 解得，t， 答：运动秒时，△APC是等腰三角形； （2）①如图2，作BC的中垂线，交AC于点Q，此时QC＝QB， 则MC＝MBBC＝3，MQAB＝4， ∴QC5， 因此点Q运动的距离为6+5＝11， 故需要的时间t＝11÷2＝5.5， ②如图3，以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AC于点Q，则CB＝CQ＝6， 此时点Q运动的距离为6+6＝12， 因此需要的时间为12÷2＝6； ③如图4，以点B为圆心，以CB为半径画弧，交AC于点Q，则BC＝BQ＝6， 过点B作BN⊥AC，垂足为N，则，CN＝NQ， ∵∠BNC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△BNC∽△ABC， ∴， 即：， 解得，CN＝3.6， ∴CQ＝2CN＝7.2， 此时点Q运动的距离为6+7.2＝13.2， 因此需要的时间为13.2÷2＝6.6； 综上所述，当运动时间为5.5秒、6秒、6.6秒时，△BCQ成为等腰三角形． 24．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为边BC上一点，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，DE，PE分别交AB于点F，G，已知GE＝GB． （1）试说明：△GEF≌△GBP； （2）求BF的长； （3）求△EFG的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°， 由翻折的性质可知，∠E＝∠C＝90°， ∴∠E＝∠B， 在△GEF和△GBP中， ， ∴△GEF≌△GBP（ASA）； （2）解：∵△GEF≌△GBP， ∴BP＝EF，FG＝GP， ∵GE＝GB， ∴BF＝PE， 设BP＝EF＝x，则PC＝PE＝BF＝3﹣x， ∵DE＝DC＝4， ∴DF＝4﹣x， ∵AF＝AB﹣BF＝4﹣（3﹣x）＝1+x，∠A＝90°， ∴AD2＝AF2+DF2， ∴32+（1+x）2＝（4﹣x）2， ∴x， ∴BF＝CP＝3； （3）解：∵∠A＝∠E＝90°，∠AFD＝∠EFG， ∴△ADF∽△EGF， ∴， ∴AD＝3，AF＝1，EF， ∴， ∴EG， ∴S△EFG•EF•EG． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $