第二十四章 勾股定理（单元自测·提升卷）数学人教版五四制八年级下册

命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十四章勾股定理·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D 心 C D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） n.号 12.3√5+3/3+35 13.135°/135度 14.7 15.g 6 16.4或3+√5 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：：∠B=90°，a=5,b=13, .c2=b2-a2=132-52=144, C=12.3分 (2)解：：∠B=90°，a=8,c=15, .b2=a2+c2=82+152=289, b=17.6分 18. 【详解】1)解：设a+4_b+3_C+8=k,则a=3-4,6=2-3,C=4-8, 324 由a+b+c=12,得： 3k-4+2k-3+4k-8=12, 解得：k=3, 1/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 0=3×3-4=5,b=2×3-3=3,c=4×3-8=4;3分 （2)解：32+42=52，即b2+c2=a2, ABC是直角三角形.6分 19. 【详解】(1)解：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=50m,AC=130m,则由勾股定理可得 AB=√AC2-BC2=V1302-502=120(m), :AB的距离为120米；3分 (2)解：大巴车的速度为120÷4=30m/s, 则30m/s=30×3.6km/h=108km/h, .108km/h>100km/h, 。大巴车超速了.…6分 20. 【详解】(1)解：连接AC, D 工厂 :AB=BC=AD=V2km,∠ABC=90°， A 道路 .△ABC是等腰直角三角形， 4C=VAB产+BC=V2+2=2km,LCAB=45°， CD =6km, 在△ACD中，AD2+4C2=2+(22=(N6=CD2, △ACD是直角三角形，∠CAD=90°， LDAB=90°+45°=135°；3分 (2)解：过点D作DE⊥AB于E,作点A关于DE的对称点F,连接DF, D 工厂 、 A B 道路 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由轴对称的性质，得：DF=DA=√2km,AE=EF, 由(1)知，∠BAD=135°， .∠DAE=45°， :ADE是等腰直角三角形，AE=DE, AE2+DE2=AD2, AE-DE- 2 AD =1(km), .AF=2AE 2(km), 。被监控到的道路长度为2km.6分 21. 【详解】(1)解：：两点之间线段最短， 故选：A;2分 (2)解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A,则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及 高构成直角三角形.由勾股定理，得V12×4)2+82-837(cm)· 答：所需金属丝的最短长度为8V37cm;5分 (3)解：如图，先将长方体的侧面ABEF和侧面BCGF展开，再作点C关于EG的对称点N,连接AN交 EG于点M,则MC=MN. 所以AM+MC=AM+MN; 根据两点之间线段最短可知，当A,M,N三点共线时，AM+MN的值最小，即AM+MC的值最小，此 时A-M-C就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程. 在Rt△ACN中，∠ACN=90°，根据勾股定理，得： AW=VAC2+CN2=V(5+4)2+(3+3)2=3V13(dm). 所以最短路程为3V13dm..8分 22. 3/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：根据题意，得AP=3tcm,BQ=2tcm, 当t=2秒时，AP=6cm,BQ=4cm, .BP=AB-AP =12-6=6cm), ∠B=90°， :P0=VB02+Bp2=V42+62=2V3(cm): P2的长为2V13cm;2分 (2)解：根据题意，AP=3tcm,BQ=2tcm, ∴BP=AB-AP=12-31cm, :△PBQ是等腰三角形，∠B=90°， ∴BP=BQ, 12-31=2t, 解得1=12 :出发时间为2秒时，aP80是等腰三角形；…5分 (3)解：LB=90°，AB=12cm,BC=9cm, .AC=BC2+AB2=15(cm), :Q沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm,且点2在边CA上， .QC=2t-9）cm, :△BCQ是等腰三角形， .下面分3种情况讨论： ①当BC=CQ时，此时BC=CQ=9cm, B6-- 2t-9=9, 解得t=9; ②当CQ=BQ时， 4/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 则∠C=∠CBQ, .90°-∠C=90°-∠CBQ, .∠A=∠ABQ, AO=BO, 1 .AO=Co=AC=7.5cm, 2t-9=7.5, 解得t=8.25; ③当BC=BQ时， 如图，过点B作BG⊥AC于点G, B- 项如B=gB4=9x12=36②=2G. AC CG-BC-BG-27 m, C0=2CG=54。 21-9=4 5 解得1=9.9； 综上所述，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间为9秒或8.25秒或9.9秒.8分 23. 【详解】)解：梯形4BCD的面积为a+6创(a+)a+ab+,也可以表示为 2 2x-ab+-c=ab+c. 2 2 a2+b+b=ab+c2,即a2+=c2:2分 2 2 2 (2)设AB=AC=x, 5/9 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AH AB-BH x-0.6, 在Rt△ACH中，AH2+CH2=AC2,即(x-0.6)2+0.82=x2, 解得=5 6 即C-8 (千米)， :4C-CH=5-0.8=(千米)， 6 30 答：路CH比原学C1少0千米：一5分 (3)设AH=a,则BH=AB-AH=21-Q, 在Rt△ACH中，CH=AC2-AH, 在Rta BCH中，CH2=BC2-BH, :AC2-AH2=BC2-BH2,即102-a2=172-(21-a, 解得a=6, ·CH=√AC2-AH2=V100-62=8.8分 24. 【详解】解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6, BC=VAB2+AC2=V82+62=10, 设BC边上的高为h, .5.wABC 2 :万=4C,AB-8×6_24 BC105 24 敏答案为：10，；4分 (2)作△BAC的中线AE,高线AD,如图， B E D 由D知，BC=0,D= :AE为RtABAC斜边BC上的中线，BE=5, :AE BE =CE=5, 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.DE=AE2-AD2= 5 7 则48C的边BC的中偏度值为兮8分 (3)①当AC在△ABD外部时，作△ACB的中线AE,如图， AD L BC,AD=12,AC=13,AB=15, D E B :CD=VAC2-AD2=V132-122=5,BD=VAB2-AD2=V52-122=9, :BC=BD+CD=14, AE为ABC的中线， :CE=1BC=7, 2 ED=CE-CD=7-5=2, 即点E到AD的距离为2， 则ABC的边BC的中偏度值”为 2≥6： ②当AC在△ABD内部时，作△ACB的中线AE,如图， AD L BC,AD=12,AC=13,AB=15, D CEB CD=√AC2-AD2=V132-122=5,BD=VAB2-AD2=V152-122=9, :BC BD-CD=4, :AE为ABC的中线， :.CE=BC=2, 2 ED=CE+CD=2+5=7, 即点E到AD的距离为7， 719 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则ABC的边BC的中偏度值”为气： 12 综上所述，A8C的边BC的中偏度值”为6或2 12分 25. 【详解】(1)解：根据折叠的性质，得AF=CF. :四边形ABCD是长方形， 4B=90°. 设BF=x, 则AF=CF=AB-BF=10-x, 在Rt△BFC中，BF2+BC2=FC2, x2+62=(10-x)2, 解得x=16 BF=16 Γ5·4分 (2)解：：四边形ABCD是长方形， .∠A=∠C=90°. 根据折叠的性质，得LA=∠A'=90°，AD=A'D. 又：BC=AD, :A'D CB,ZA'=ZC :A'B交CD于点E, .LA'ED=∠CEB, .△A'ED≌ACEB(AAS, :ED EB 设CE=y, 则ED=EB=DC-CE=10-y. 在Rt△BCE中，CE2+BC2=BE2, .y2+62=(10-y)2, 解得少=16， Γ5’ 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CE- .DE=10- 1634 55 5 wExDE×BC=x4x6=102 1 25 5·8分 (3)解：四边形ABCD是长方形， ∠A=∠D=90°. 由折叠的性质， 得∠A'=∠A=90°，AP=A'P,AB=A'B=10, ∠D=∠A'=90°. 又：DF=A'F,LDFP=LA'FE, .△DFP≌△A'FEASA), .DP=A'E,PF EF :DE PA'. 又：AD=BC=6, 设PA=m, DP=A'E AD-PA=6-m,DE=PA'=m, .EC=10-m,BE=10-(6-m=4+m. 在Rt△ECB中，(4+m)2=62+10-m)2, 解得m=30 ÷CE=10-30、40 77·12分 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十四章 勾股定理·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25 2．在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知的三个内角所对的三条边长分别为，则下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1．手指沿折线顺序解锁，则按此手势解锁一次手指滑过的路径长为（   ） A．5 B． C． D．6 5．下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 6．如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（    ） A．18 B．20 C．24 D．48 7．《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为尺，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 9．如图1所示，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，此时绳长即为适合自己的绳长．将图1抽象成几何图形如图2所示，已知在中，，过点作于点，若米，米，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中，那么的长为（   ） A．2025 B． C． D．2024 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，垂足为，，，则 ． 12．如图，在中，，，，则的长为 ． 13．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则 ． 14．如图，在四边形中，，分别以四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为．若，则 ． 15．定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为．如果中，，，那么边的高比系数 ． 16．如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在中，，，，． (1)已知，，求． (2)已知，，求． 18．已知，，是的三边长，且满足，． (1)试求，，的值； (2)判断的形状． 19．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 20．如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为几千米． 21．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 22．如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)当秒时，求的长（不要求化简）； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? (3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 24．【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边BC的“中偏度值”为 【尝试应用】如图2，在中，，， （1）边的长为______，边上的高的值为______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】如图3，点A为直线l上方一点，点A到直线l的距离，点B在直线l上，且，若点C在直线l上，且 （3）请直接写出的边BC的“中偏度值”． 25．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十四章 勾股定理·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25 2．在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知的三个内角所对的三条边长分别为，则下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1．手指沿折线顺序解锁，则按此手势解锁一次手指滑过的路径长为（   ） A．5 B． C． D．6 5．下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 6．如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（    ） A．18 B．20 C．24 D．48 7．《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为尺，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 9．如图1所示，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，此时绳长即为适合自己的绳长．将图1抽象成几何图形如图2所示，已知在中，，过点作于点，若米，米，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中，那么的长为（   ） A．2025 B． C． D．2024 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，垂足为，，，则 ． 12．如图，在中，，，，则的长为 ． 13．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则 ． 14．如图，在四边形中，，分别以四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为．若，则 ． 15．定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为．如果中，，，那么边的高比系数 ． 16．如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在中，，，，． (1)已知，，求． (2)已知，，求． 18．已知，，是的三边长，且满足，． (1)试求，，的值； (2)判断的形状． 19．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 20．如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为几千米． 21．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 22．如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)当秒时，求的长（不要求化简）； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? (3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 24．【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边BC的“中偏度值”为 【尝试应用】如图2，在中，，， （1）边的长为______，边上的高的值为______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】如图3，点A为直线l上方一点，点A到直线l的距离，点B在直线l上，且，若点C在直线l上，且 （3）请直接写出的边BC的“中偏度值”． 25．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十四章 勾股定理·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握勾股数需为正整数且满足勾股定理 ，逐项判断即可. 【详解】解：勾股数定义要求是正整数且满足 ， A选项为分数，非正整数，不符合题意； B选项为小数，非正整数，不符合题意； C选项：，，，不符合题意； D选项：，，，符合题意． 故选D. 2．在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么，即． 利用勾股定理直接计算斜边的长度即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴是直角三角形，和为直角边，为斜边， ∴． 故选：B． 3．已知的三个内角所对的三条边长分别为，则下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理可判断A和C，根据三角形内角和定理可判断B和D． 【详解】解：A、， ， 能判定是直角三角形； B、∵， ∴ ， ， ， 能判定是直角三角形； C、设， ∵， ∴， 能判定是直角三角形； D、 ， 不能判定是直角三角形． 故选：D． 4．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1．手指沿折线顺序解锁，则按此手势解锁一次手指滑过的路径长为（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 连接，由题意可得：，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，如图， 由题意得，， ∴在中， ， ∴按此手势解锁一次手指滑过的路径长为 ， 故选C． 5．下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 6．如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（    ） A．18 B．20 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形和圆的面积公式，根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，根据三角形的面积公式计算的面积，再利用割补法即可求出“希波克拉底月牙”的面积． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径的半圆面积为； 以为直径的半圆面积为； 以为直径的半圆面积为； 的面积为， ∴“希波克拉底月牙”的面积是． 故选：C． 7．《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为尺，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设为x尺，则尺，根据勾股定理得： ， 则， 即， 故选：D． 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可． 【详解】解：A、由勾股定理得：，A选项正确，不符合题意； B、， ， ，B选项正确，不符合题意； C、，C选项错误，符合题意； D、设点A到直线的距离为h， 则，即， ，D选项正确，不符合题意， 故选：C． 9．如图1所示，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，此时绳长即为适合自己的绳长．将图1抽象成几何图形如图2所示，已知在中，，过点作于点，若米，米，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用勾股定理求出米，可知米，从而可知米． 【详解】解：， ， ， ， 米， 米， 米， 在中，米， 米， 米． 故选：A． 10．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中，那么的长为（   ） A．2025 B． C． D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到的规律是解题的关键． ，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可计算的长． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ， …… ， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，垂足为，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，先根据勾股定理得出，再根据等积法求出． 【详解】解：在中，，，，， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，作交于，则，结合题意可得，为等腰直角三角形，求出，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：作交于， ， 则， ∵，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握格点的特征，构造等腰直角三角形是解题关键．如图，取格点，连接，，根据网格特征可知，根据平行线的性质得出，根据勾股定理及勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，，即可得出，利用平角的定义即可得答案． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格特征可知，， ∴， ∵网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 14．如图，在四边形中，，分别以四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值即可求出结论． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为．如果中，，，那么边的高比系数 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分母有理化，为的高，由等腰三角形的性质得到，，由直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，最后得到边的高比系数． 【详解】解：如图，为的高， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴边的高比系数， 故答案为：． 16．如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，在中， ，，，得，由勾股定理得，然后求出，再分当时，当时两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中， ，，， ∴， 由勾股定理得： ， ∵点为的中点， ∴， 由折叠性质得，，， ∴当为直角三角形时，有以下两种情况： 当时，如图所示， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作于点，如图所示， 同上理可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在中，，，，． (1)已知，，求． (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定时，是斜边、与是直角边，再用勾股定理的变形公式计算． （2）先确定时，是斜边、与是直角边，再用勾股定理的基本公式计算． 【详解】（1）解：，，， ， ． （2）解：，，， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形中，先确定直角边与斜边，再代入勾股定理公式计算未知边长是解题的关键． 18．已知，，是的三边长，且满足，． (1)试求，，的值； (2)判断的形状． 【答案】(1)5；3；4 (2)直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，进而求解； （2）根据勾股定理的逆定理进行解题即可． 【详解】（1）解：设，则，，， 由，得： ， 解得：， ∴，，； （2）解：∵，即， ∴是直角三角形． 19．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 20．如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为几千米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，， ∴， ， ， 被监控到的道路长度为． 21．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 22．如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)当秒时，求的长（不要求化简）； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)9秒或8.25秒或9.9秒 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）根据题意得，，得到，再利用勾股定理即可求解的长； （2）根据题意得，，则，结合是等腰三角形，得，列出方程，求出的值解答即可； （3）利用勾股定理求出，由题意得，分三种情况：①当时；②当时；③当时，利用勾股定理和等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 当秒时，，， ∴， ∵， ∴； ∴的长为； （2）解：根据题意，，， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 解得， ∴出发时间为秒时，是等腰三角形； （3）解：∵，，， ∴， ∵沿方向运动，速度为每秒，且点Q在边上， ∴， ∵是等腰三角形， ∴下面分3种情况讨论： ①当时，此时， ∴， 解得； ②当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ③当时， 如图，过点B作于点G， 则，， ∴， ∴， ∴， 解得； ∴综上所述，能使成为等腰三角形的运动时间为9秒或8.25秒或9.9秒． 23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? (3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少千米 (3)见解析， 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 24．【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边BC的“中偏度值”为 【尝试应用】如图2，在中，，， （1）边的长为______，边上的高的值为______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】如图3，点A为直线l上方一点，点A到直线l的距离，点B在直线l上，且，若点C在直线l上，且 （3）请直接写出的边BC的“中偏度值”． 【答案】（1）10，；（2）的边BC的“中偏度值”为；（3）的边BC的“中偏度值”为6或 【分析】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理及应用，解答本题的关键是掌握分类讨论的思想方法． （1）根据题意和题目中的数据，可以计算出， 中边上的高和该边上的中点到的距离， （2）根据“中偏度值”的定义即可求解； （3）分两种情况：当在外部时，当在内部时，画出图形，分别计算即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ， 设BC边上的高为h， ， ， 故答案为：10，； （2）作的中线，高线，如图， 由（1）知，，， 为斜边上的中线，， ， ， 则的边BC的“中偏度值”为； （3）①当在外部时，作的中线，如图， ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点E到的距离为2， 则的边BC的“中偏度值”为； ②当在内部时，作的中线，如图， ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点E到的距离为7， 则的边的“中偏度值”为； 综上所述，的边的“中偏度值”为6或 25．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $