第十四章 全等三角形 综合评价（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材 贵州专版）

第十四章综合评价 (时间：120分钟满分：150分) 4 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只 篇 有一个选项正确 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1.下列图形是全等图形的是 B 2.如图，△AOD≌△BOC,若OC=3,则CD的长是 A.3 B.4 C.5 D. 北 B (第2题图) (第3题图) 3.如图，CD⊥AB于点D,EF⊥AB于点F,CD=EF.要根据“HL”证明 Rt△ACD≌Rt△BEF,则还需要添加的条件是 ( 0i 苹 A.∠A=∠B B.∠C=∠E C.AD=BF D.AC=BE 4.如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为O,钟摆静止时在最低点A处，OA与钟面 底部的水平台垂直.钟摆到达位置B处，距离水平台的高度为1.2；然后 到达位置C处，测得B,C两点到OA的水平距离BD,CE分别为1.5m和 1.8m,且∠BOC=90°，则钟摆到达C处时距离水平台的高度为( A.1.2m B.1.5m C.1.6m D.1.8m m水平台 (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.将两块完全相同的含45°角的三角尺按如图所示的方式摆放，使两块三 角尺的一条直角边分别和∠ABC的两边重叠，两块三角尺的锐角顶点重 部 合于点P,作射线BP.若∠ABC=70°，则∠ABP的度数为 A.20 B.30° C.35 D.40° 6.如图，小明站在河岸边的点C处，想要测量河对岸的一棵树B到C的距 离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，他想出来这样一个办 法：他面向树的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在树的 底部B处；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在 岸的某一点D上；接着，他用步测的办法量出自己与点D的距离，这个距 离就是他与树的距离，小明这种方法的依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 7.如图，已知在△ABC中，∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°，那 么∠B的度数是 A.50° B.55 C.60 D.65 A M B D B (第7题图) (第8题图) (第9题图) 8.如图，BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C,DE=8,AD=3,则BC的长为 ( ) A.8 B.11 C.5 D.3 9.如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB,则作图痕迹 中，弧FG是 ( A.以点C为圆心、OD的长为半径的弧 B.以点C为圆心、DM的长为半径的弧 C.以点E为圆心、DM的长为半径的弧 D.以点E为圆心、OD的长为半径的弧 10.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是边BC上的三等分点，且AD=AE.若 ∠BAD=30°，∠DAE=50°，则∠BAC的度数为 ( A.130° B.120° C.110° D.100° B D E B B (第10题图) (第11题图) (第12题图) 11.如图，P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长是 24cm,面积是36cm2,则点P到边BC的距离是 ( ) A.8 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 12.如图，已知CD=CE,AC=BC,∠BCA=∠DCE=90°，连接BD,AE交 于点F,连接CF.有下列结论：①BD=AE;②BD⊥AE;③∠AEC十 ∠DBC=45°；④FC平分∠BFE.其中正确结论的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.如图，∠BAC=∠ABD,若添加条件： ,则能使△ABD≌ △BAC.(写出一个即可) 法线 E F 木板 B B D 地面DC平面镜A (第13题图)（第14题图） (第15题图) 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=5,D是边BC上一点，沿直 线AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上的点E处，则BE的长为 8 15.如图，乐乐用手电筒进行物理光学实验.地面上从左到右依次是墙、木板 和平面镜.手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，恰好 经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF= 1.5m,A,C到平面镜B的距离相等.图中点A,B,C,D在同一条直线上 则灯泡到地面的高度AG为m. 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,D是边 AC上的一点，连接BD并延长至点E,使得DE= D BD,连接AE,CE.若∠AEB=2∠CBE,则CD的长 B 为 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 17.(本题满分12分)(1)如图，△ADF≌△BCE,BC=5cm,AB=6cm,求 CD的长； (2)一个风筝骨架的示意图如图所示，其中AB=AC,BD=CD,∠C= 23°，求∠B的度数. 18.(本题满分10分)如图，已知△ABC和△CDE,B,C,D三点在同一条直线 上，AB∥DE,∠A=90°，EC⊥BD于点C,且AB=CD.求证：AC=CE. 19.(本题满分10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DELAB于点D,交BC于 点E,连接AE.若AD=AC,∠B=32°，求∠AEC的度数. 9 20.(本题满分10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB. (1)请仅用无刻度直尺和圆规在AB上找一点E,使得△ACD≌ △AED,保留作图痕迹，并给出全等的证明过程： (2)若CD=3,AB=10,求△ABD的面积. 21.(本题满分10分)如图，已知△ABC和△ADE,点D在边BC上，∠1= ∠2，AE=AC,AC与DE相交于点F.请你从下面三个条件：①AB AD;②BC=DE;③∠E=∠C中选择一个条件，证明△ABC≌△ADE. E 22.(本题满分10分)如图，为测量河两岸A,B两点间的距离，在点B所在 河岸平地上取点C和点D,使点A,B,C在同一条直线上，且CD=CB, 测得∠DCB=100°，∠ADC=65°，在CD的延长线上取一点E,使∠E= 15°，这时由测得的DE的长能否得到A,B两点间的距离？请说明理由. 0 10 23.(本题满分12分)如图，E,F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于 点E,BF⊥AC于点F,AB=CD,AE=CF,BD交AC于点M. 求证：(1)BF=DE; (2)MB=MD. 24.(本题满分12分)如图，已知∠AOB,以点O为圆心，适当长为半径作两 段圆弧，与角的两边分别交于点E,F和点M,N,连接EN,FM,交于点 Q,作射线OQ. (1)△OMF与△ONE全等吗？请说明理由 (2)判断OQ是不是∠AOB的平分线，并说明理由. 一11 25.(本题满分12分)【发现问题】 (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中， 若AB=3,AC=2,求边BC上的中线AD长的取值范围.小亮在组内 经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,连 接BE,得到△ADC≌△EDB,他用到的判定定理是 .(用字母 表示) 【解决问题】 (2)小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑构造 全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提 出了一个新的问题：如图②，在△ABC中，D是BC的中点，点M在 边AB上，点N在边AC上.若DM⊥DN,求证：MN<BM+CN. 【拓展应用】 (3)如图③，在△ABC中，分别以AB,AC为边向外作△ABE和 △ACD,使AE=AB,AD=AC,∠EAB=∠DAC=90°，M是BC的 中点，连接AM,DE.若AM=14,求DE的长 图① 图② 图③ 12方法技巧专题利用分式方程的解求待定字母的值或取值范围【易错】 1.C2.-13.A4.a>3且a≠65.-16.167.解：由题意，得不等式组的解集为 号<r5.不等式组的解集至少有两个正整数解号<4，解得a<9,解分式方程。 得x=号.：其解为正整数且1号为大于等于2的整数，即a为大于等于6的偶 数.a≤9，∴.a=6或8..所有满足条件的整数a的值之和为6十8=14.8.A9.一1 第2课时列分式方程解决实际问题 例题引路 【例10【例2】解：191+25%)x86(2)根据题意得90十器 60 x(1十25%)x 30,解得x=号经检验x=号是原分式方程的解，且符合题意∴x的值为号 基础过关 1.C2.1640=12303.C4.解：设甲步行的速度为xm/min,则乙骑自行车的速度为 x十50 3xm/min.根据题意，得341-13型=12.解得x=74.5.经检验，x=74.5是原分式方程 3x 的解，且符合题意.∴.3x=223.5.答：甲步行的速度为74.5m/min,乙骑自行车的速度为 223.5m/min. 能力提升 5A6解：)设这项工程为单位1，规定的工期为x天，根据题意，得兰十千=1解得 x=20.经检验，x=20是原分式方程的解，且符合题意.答：规定的工期为20天.(2)由题意 和(1)知，甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项工程需25天，①③方案能够保 证工程如期完工.方案①所需施工费用为20×1.5=30（万元），方案③所需施工费用为4× 1.5十20×1=26（万元）..30>26，.方案③的施工费用最少 思维拓展 7.解：(1)AC(2)选解法一：设步行的速度为xm/min,则骑自行车的速度为3.xm/min. 根据题意，得3000-300=25.解得x=80.经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题 x 3x 意，此时3x=240.答：步行的速度为80m/min,骑自行车的速度为240m/min.[或选解法 二：设步行的时间为xmin,则骑自行车的时间为(x-25)min.根据题意，得3×3000 解得=孕.经检验=号是原分式方程的解，且符合题意.此时300-80,300 3000 x-25 240.答：步行的速度为80m/min,骑自行车的速度为240m/min.] 重点强化专题依托实际情境建立分式方程模型解题【热点】 1,A2.解：(1)设每个“侗族”玩偶的售价为x元，则每个“苗族”玩偶的售价为(x十4)元.根 据题意，得-是·9解得x=12.经检验=12是原分式方程的解，且符合题意. x十4=12十4=16.答：每个“苗族”玩偶的售价为16元，每个“侗族”玩偶的售价为12元 (2)设购买m个“侗族”玩偶，则购买(500一m)个“苗族”玩偶.根据题意，得12十16(500一 m)≤7200，解得m≥200.答：至少要购买200个“侗族”玩偶.3.A4.解：设走路线一的 平均速度为xkm/h,则走路线二的平均速度是(1十50%)xkm/h根据题意，得30- 150%)x=6,解得x一36.经检验，x=36是原分式方程的解，且符合题意.答：走路线 30+61 一的平均速度为36km/h.5.C6.解：设模型A每小时能处理xGB数据，则模型B每小 时能处理(x十10)GB数据，根据愿意，得0=29解得=20，经检验，=20是原分式 方程的解，且符合题意.∴.x十10=20十10=30.答：模型A每小时能处理20GB数据，模型 -94 B每小时能处理30GB数据.1D&解，1)根招题金，得片=引解得a=5经检酸。 a=5是原分式方程的解，且符合题意.a的值为5.(2)设金属边框的宽为xm.根据题意， 得7xX2×30≤10.，解得x≤元，：要求边框的宽最多，结果精确到0.01m,x≈0.23. 答：金属边框的宽最多为0.23m. 数学活动探究比例的性质及2+二的规律 1解：125410（答案不唯-）(2）号一号（(8)猜超：若号=台：则名 9a-b1 a≠6c≠d.证明如下：号=台ad=c:a≠bc≠d名号 c-d a-b c-d (ab)(c-d)(cd)(ab)ac-adbc-bd-actbe-adtbd 2bc-2ad (a-b)(c-d) (a-b)(c-d) (a-b)(c-d) 2a-kka=0=a含号2解，10号 号？号号号兴？号号②猜想：x+-,证明如下：+卓= 宁)广（岁）出兰学该片成±甘 1 士n或士】【运用】上1或一25 第十八章章未复习 思维导图 字母A:C荒架品0 考点整合 1B2≠-13后（答案不唯一）4A506D1一号品解：1）版 式-言告=。·会a妆=66=-.2)原式=2” (x+y)(x-y) ”品，新：累武=[片门品（后 2(x-y) 2 )号号-是1020.味1且2 x+1) :x为满足一3<x<0的整数x只能取0.把x=0代人，得原式-子10D 1号2.07(21613.B14m<-1且m≠-1015.-316解，0方 程两边乘(x一1)(x十1)，得3(x一1)一(x十1)=0.解得x=2.检验：当x=2时，(x一1)(x十 1)≠0，所以，原分式方程的解为x=2.(2)方程两边乘(x十3)(x-3),得x(x+3)=18十 (x十3)(x-3),解得x=3.检验：当x=3时，(x十3)(x-3)=0,因此x=3不是原分式方程 的解，所以，原分式方程无解。17，解：1D(x十20》(2)由题意，得90=0解得x= 50.经检验，x=50是原分式方程的解，且符合题意.答：该陶瓷器厂平均每天生产50个这种 茶壶壶身， 聚焦课标 18.解：（任务1）设小红家茶行红茶采购xkg,则绿茶采购1.5xkg.根据题意，得4800 5850=30.解得x=30.经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意.1.5x=45.答：小 1.5x 红家茶行红茶采购30kg,绿茶采购5kg(任务2》由任务1，得每千克红茶的进价为。0- 160(元)，每千克绿茶的进价为160一30=130（元）.设每千克绿茶的售价为m元，每千克红 茶的售价为(m十40)元.根据题意，得45(m-130)十30(m十40-160)≥7425.解得m≥ 225.答：每千克绿茶的售价至少为225元. -95 综合评价答案 第十三章综合评价 1.C2.D3.A4.A5.B6.B7.A8.B9.C10.D11.B12.C13.1514.4 15.416.69°或11°17.解：(1)由图可知，x十80=x十x十20，解得x=60.(2)设∠B=x°， 则∠A=2x°，∠C=∠A+∠B+12°=3x°+12°.：∠A十∠B十∠C=180°，.2x十x十3x十 12=180,解得x=28.∴.∠A=56°，∠B=28°，∠C=96°.18.证明：：ED⊥BD,∴∠CDE =90°.∴.∠CED十∠DCE=90°.：∠ACB=∠CED,∴.∠ACB+∠DCE=90°.∴∠ACE= 180°-（∠ACB十∠DCE)=90°.∴△ACE是直角三角形.19.解：由题意，得∠BAC=45 +15°=60°.：在△ABC中，∠ACB=80°，.∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-60°- 80°=40°.BD为正北方向，AE为正南方向，.BD∥AE,∠DBA=∠BAE=45°..∠DBC =∠DBA十ABC=45°+40°=85°.20.解：：a,b,c为△ABC的三边长，∴.a十b>c,a<b+ c,cb十a..a十b-c>0,a-b-c<0,c-b-a<0...a十b-c+a-b-c-c-b-a= a+b-c-(a-b-c)+(c-b-a)=-a+b+c,21.∠CAD∠CDE∠BAD∠CAD ∠BAC101°22.解：(1)钝角(2)如图，CD即为所求.8(3)如图， 直 A /m B D 线m即为所求.（答案不唯一）23.解：1）：BD为边AC上的中线AD=号AC-之AB= 3.根据题意，得AB-AD<BD<AB十AD,即6-3<BD<6十3，.3<BD<9.(2)设AB AC=2x,:BD为边AC上的中线，AD=CD=AC=x,:AB<BC,BD将△ABC的周 长分为9和13两部分，.AB十AD=9,CD十BC=13,即2x十x=9,x十BC=13.,.BC= 10.24.(任务1)解：是（任务2）证明：：∠A=40°，∠B=60°，.∠ACB=180°-∠A ∠B=80.:CD为角平分线，∠ACD=∠BCD=号∠ACB=40.∠BDC=∠A+ ∠ACD=80°..∠BCD=∠A,∠B=∠B,∠BDC=∠ACB..△BCD和△ABC互为“等角 三角形”.：∠ACD=∠A,.CD为△ABC的“等角分割线”.25.(1)证明：由折叠的性质， 得∠ADA'=2∠ADE,∠AEA'=2∠AED.:∠ADE+∠AED=180°-∠A,∠ADA'+ ∠AEA'=2∠ADE+2∠AED=2(∠ADE+∠AED)=2(180°-∠A)=360°-2∠A. ∴.∠1+∠2=180°-∠ADA'+180°-∠AEA'=360°-（∠ADA'+∠AEA')=360°-(360° 2∠A)=2∠A.(2)解：由(1)知∠1+∠2=2∠A,.2∠A=128°.∴∠A=64°.∴.∠ABC+ ∠ACB=180-∠A=16.:B1,CI均是△ABC的角平分线.∠1BC=∠ABC. ∠ICB=∠ACB,∠BC=180-(∠IBC+∠ICB)=180-(∠ABC+∠ACB)= 12.(3)解：∠BHC=180-子（∠1+∠2）.证明如下：由(1)知∠1+∠2=2∠A∴∠A 合（∠1+∠2.：BF,CG分别是边AC.AB上的高，∠AFB=∠AGC=90.∠ABF= ∠ACG=90°-∠A.∴.∠HBC+∠HCB=180°-∠A-∠ABF-∠ACG=∠A.∴.∠BHC= 180°-（∠HBC+∠HCB)=180°-∠A=180°-号（∠1+∠2. 第十四章综合评价 1.D2.D3.D4.B5.C6.D7.D8.C9.C10.C11.B12.C13.BD=AC (答案不唯一)14.215.1.516.217.解：(1)：△ADF≌△BCE,∴.AD=BC=5cm. 'AB=6cm,.AC=AB-BC=1cm..CD=AD-AC=4cm.(2)在△ABD和△ACD中， AB=AC, AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).∠B=∠C=23°.18.证明：：AB∥DE,∴·∠B= BD=CD, 96 ∠B=∠D, ∠D.:EC⊥BD,∴∠DCE=90°=∠A.在△ABC和△CDE中，AB=CD, ∴.△ABC ∠A=∠DCE, ≌△CDE(ASA)..AC=CE.19.解：∠C=90°，.AC⊥BC.又DE⊥AB,AD=AC, .∠BDE=90°，EA平分∠CED.∠AEC=∠AED.:∠CED=∠B+∠BDE=32°+90 =12°，∠AEC=号∠CED=61.20.解：(1)如图所示 证明如下：由 B 作图可知AC=AE,:AD平分∠CAB,∴.∠CAD=∠EAD.在△ACD和△AED中， (AC=AE, ∠CAD=∠EAD,.△ACD≌△AED(SAS).(2)'△ACD≌△AED,.CD=ED=3, AD-AD. ∠ACD=∠AED=90..DELAB.∴Sm=子ABX DE=-合×10X3=15,21.解：选 ②BC=DE.证明如下：：∠1=∠2，∠AFE=∠CFD,∴.180°-∠1-∠AFE=180°-∠2 AC-AE, ∠CFD,即∠E=∠C.在△ABC和△ADE中，∠C=∠E,.△ABC≌△ADE(SAS). BC=DE, 22.解：能得到.理由如下：，∠DCB=100°，∠ADC=65°，∴.∠CAD=180°-∠DCB ∠CAD=∠E, ∠ADC=15°.：∠E=15°，∴.∠CAD=∠E.在△DCA和△BCE中，∠ACD=∠ECB, CD=CB. .△DCA≌△BCE(AAS),∴.AC=EC.:CB=CD,.AC-CB=EC-CD,即AB=DE. .测得的DE的长就是A,B两点间的距离.23.证明：(1)：DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC =∠BFA=90°.，AE=CF,.∴.AE+EF=CF十EF,即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE AB=CD, 中， .Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴.BF=DE.(2)由(1)知，BF=DE.在 AF=CE, ∠BFM=∠DEM, △BFM和△DEM中， ∠BMF=∠DME,.∴.△BFM≌△DEM(AAS)..MB=MD. BF=DE, 24.解：(1)全等.理由如下：根据作图过程，得OF=OE,OM=ON.在△OMF和△ONE中， OM-ON, ∠MOF=∠NOE,∴.△OMF≌△ONE(SAS).(2)OQ是∠AOB的平分线.理由如下：由 OF=OE, (1)知OE=OF,OM=ON,∴.OM-OE=ON-OF,即ME=NF.△OMF≌△ONE, ∠EMQ=∠FNQ, .∠OMF=∠ONE.在△QME和△QNF中，∠EQM=∠FQN,∴.△QME≌△QNF(AAS). ME=NF, (OE=OF, .EQ=FQ.在△QOE和△QOF中，OQ=OQ,∴.△QOE≌△QOF(SSS).∴.∠EOQ= EQ=FQ, ∠FOQ.∴.OQ是∠AOB的平分线.25.(1)解：SAS(2)证明：延长MD到点E,使得ED =MD,连接CE,NE.D是BC的中点，.BD=CD.在△BDM和△CDE中， BD=CD, ∠MDB=∠EDC,∴.△BDM≌△CDE(SAS).∴.BM=CE.DM⊥DN,.∠MDN= MD=ED, MD=ED, ∠EDN=90°.在△DMN和△DEN中，∠MDN=∠EDN,.△DMN≌△DEN(SAS) ND-ND, 97 ∴MN=NE.在△NEC中，NE<CE+CN,∴.MN<BM+CN.(3)解：延长AM到点N,使 得MN=AM,连接BN.由(1)知△BMN≌△CMA(SAS),∴.BN=CA,∠BNM=∠CAM. ∴AC∥BN.AC=AD,.BN=AD.AC∥BN,.∠BAC+∠ABN=180°.∠BAE= ∠CAD=90°，∴.∠BAC+∠EAD=180°..∠ABN=∠EAD.在△ABN和△EAD中， AB=EA, ∠ABN=∠EAD,.△ABN≌△EAD(SAS)..AN=DE.:MN=AM,∴.AN=2AM= BN=AD, 28..DE=28. 阶段综合评价（一） 1B2.B3.C4.A5.C6.C7.A8.C9.B10.D11.C12.C13.514.19 15.25°16.2[解析：过点P作P'E⊥AC于点E,则∠P'ED=∠A=90.由题意，得AD =2,∠PDP=90°，DP=DP,易证△PED≌△DAP(AAS),PE=AD=2,.当点E与 点C重合时，线段CP的值最小，为2]17.(1)解：：∠A,∠B,∠C的度数之比为4：3： 2,.设∠A=(4x)°，∠B=(3x)°，∠C=(2x)°.∠A十∠B十∠C=180°，.4x十3.x十2x= 180.解得x=20.∴.∠A=80°，∠B=60°，∠C=40°.(2)证明：在△ABC和△CDA中， AB=CD, BC=DA△ABC2△CDA(SS),∠B=∠D,18.解：S△c=BC·AE= AC=CA, 12cm,AE=3m∴BC=8cm又AD是中线DC-号C=号X8=4(cm,即BC 8cm,DC=4cm.19.解：(1)a=4,b=6,∴.b-a=2,a十b=10.a,b,c是△ABC的三 边，∴.2<c<10.又：三角形的周长是小于18的偶数，c=4或6.(2)当c=4或6时， △ABC的形状都是等腰三角形.20.解：DF⊥AB,∴.∠DFA=90°.又：∠A=35°， ∠AEF=180°-∠EFA-∠A=55°，∴∠DEC=∠AEF=55.又：∠D=42°，.∠ACD =180°-∠DEC-∠D=83°.21.(1)证明：：∠C=∠D=90°，.△ACB和△BDA是直角 BC=AD, 三角形.在Rt△ACB和Rt△BDA中， .Rt△ACB≌Rt△BDA(HL).(2)解：20° AB-BA, 22.解：BD⊥AE,.∠BDA=∠BDC=90.在△BDA和△BDC中， AD=CD, )∠BDA=∠BDC,.△BDA≌△BDC(SAS)..BA=BC.BC=15m,.AB=15m. BD=BD, 23.证明：如图， 延长BA,CE相交于点F.CE⊥BD,∴.∠BEC=∠BEF (∠2=∠1， =90°.在△BCE和△BFE中，BE=BE, .△BCE≌△BFE(ASA),.CE=EF, ∠BEC=∠BEF, CF=CE+EF=2CE.:∠BAC=90°，CE⊥BD,.∠BAD=∠CAF=90°，∠1+∠ADB =90°，∠1+∠F=90°，∴.∠F=∠ADB.在△ABD和△ACF中， ∠ADB=∠F, ∠BAD=∠CAF,∴△ABD≌△ACF(AAS),∴.BD=CF,∴.BD=2CE.24.解：(1)64° AB=AC, 12°(2)60°(3)∠B0C=90+号∠A.证明如下：OB平分∠ABC,0C平分∠ACB, ·∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB= (∠ABC+∠ACB)=号180-∠A)=90-2∠A.∠B0C=180-(∠0BC+ 98 ∠0CB)=180-(90°-号∠A）=90+7∠A.25.解：1)AC=BD(2)易证△A0C2 △BOD,∴.∠OAC=∠OBD.在△AOQ和△BPQ中，∠OAQ=∠OBD,∠AQO=∠BQP, .∠AOQ=∠BPQ.∠AOQ=40°，∴.∠BPQ=40°.∴.∠APD=180°-∠BPQ=140. (3)OM=ON,OM⊥ON.理由如下：易证△AOC≌△BOD.∴.∠OAC=∠OBD,AC=BD. :M,N分别为AC,BD的中点，AM=号AC,BN=合BD.÷AM=BN.在△AOM和 OA=OB, △BON中， ∠OAC=∠OBD,.△AOM≌△BON(SAS)..OM=ON,∠AOM=∠BON. AM=BN, :∠AOB=90°，即∠AOM+∠MOB=90°，∴.∠BON+∠MOB=90°，即∠MON=90°. .OM⊥ON. 第十五章综合评价 1.A2.B3.D4.C5.C6.C7.B8.A9.D10.D11.B12.D13.两个锐角 互余的三角形是直角三角形14.34°15.60 16417.(1)解：如图所示 (2)证明：：AB∥CD,.∠DFE=∠1=60°.∠DFE= ∠2十∠E,∠2=30°，.∠E=30°..∠2=∠E..CF=EF.∴.△FCE是等腰三角形. 18.解：.△BDE是等边三角形，.∠DBE=60°.BE⊥AC,∴.∠BEA=90°..∠A=90 ∠DBE=30.:∠C=∠ABC,∠C=180,∠A=75.19.解：1)A(-1,5),B(-1, 2 0),AB=5,AB∥y轴，5a=合×5X3=号.(2)如图， △ABC即为所求作.(3)A(1,5),B(1,0),C(4,3).20.解：由题意，得∠ABC=180 -80°-40°=60°，BC=10X2=20(n mile).:CD∥BE,∴∠DCB=∠CBE=40°.：∠ACD =20°，.∠ACB=∠DCB+∠ACD=60°...∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°..△ABC 是等边三角形.∴.AC=BC=20 n mile.答：货船到达点C处时与灯塔A的距离AC为 20 n mile.21.解：(1)如图， 直线EF即为所求.(2)：BD平分∠ABC, ∠ABD=∠FBC=24°.：EF垂直平分BC,∴.FB=FC.∴∠FCB=∠FBC=24 ∴.∠FDC=∠A+∠ABD=60°+24°=84°，∠DFC=∠FCB+∠FBC=48°，∴∠ACF= 180°-∠FDC-∠DFC=48°.22.(1)解：点P与点M关于OA对称，∴.ME=PE.同理 可得FN=PF..△PEF的周长为PE十PF+EF=ME+FN+EF=MN=15.(2)证明： :点P与点M关于OA对称，点P与点N关于OB对称，.PM⊥OA,PN⊥OB,PQ=MQ =合PM,PR=NR=号PN.:PM=PN.PQ=PROP平分∠AOB.23.I)解：设 ∠A=x°，则∠ACB=4∠A=4x.:CA=CB,∠B=∠A=x°.在△ABC中，∠A+∠B+ ∠ACB=180°，x十x十4x=180,解得x=30.,∠A=30°，(2)证明：：D是边AC的中点， DE⊥AC,∴.DE垂直平分AC.∴.AE=CE..∠ECA=∠A=30°.：∠ACB=4∠A=120°， .∠BCE=∠ACB-∠ECA=90°.又∠B=∠A=30,.BE=2CE.BE=2AE. 99