重难点专训01 导数中的公切线问题（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点专训01 导数的切线问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 切线方程及参数问题 3 题型2 利用切线求距离的最值问题 4 题型3 公切线问题 5 题型4 切线的条数问题 6 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 8 解题方法及技巧提炼 天津高考导数切线为高频基础必考题型，常作为大题第一小问，难度适中，侧重基础运算与逻辑辨析，核心分两类题型，解题套路固定。 一是在点处切线，该点必为切点。解题三步：求函数导函数、代入切点横坐标得切线斜率、用点斜式整理切线方程，是天津卷最基础考法，重在运算精准。 二是过点切线（高频易错），已知点未必是切点。需设切点坐标，联立切点在曲线、切线斜率等于导数值、切线过定点三个条件列方程求解，根据切点个数判断切线条数。 高分技巧：含参切线问题优先分离参数简化运算；遇到公切线问题，分别求两条曲线切线斜率与方程，利用斜率相等、截距相等列等式。 核心避坑点：严格区分 “在点” 与 “过点” 题型，杜绝默认定点为切点；整理方程化为整式标准式，规避步骤扣分。 技巧提炼 1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即. 2、曲线的切线问题（基础题） （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 4、已知和存在（）条公切线问题 第一步 设的切点 设的切点 求公切线的斜率 写出并整理切线 整理得： 整理得： 联立已知条件 消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 题型通法及变式提升 题型1 切线方程及参数问题 【典例1-1】（2025·天津和平·二模）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则实数（    ） A．2 B．0 C． D． 1、已知切点，求函数切线 若已知函数与切点，不知斜率。此时,利用点斜式写出切线方程 步骤1：求，得切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程. 2、已知斜率，求函数切线 若已知函数与斜率，不知切点。此时设切点，此时解出，再将代入解出,此时利用点斜式写出切线方程 步骤1：求导数，令，求解得； 步骤2：求，得切点； 步骤3：写切线方程. 求函数过某点的切线 若已知函数与平面上一点，不知切点与斜率。设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，解出切点. 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3，解得； 步骤5：将代入步骤3，得切线方程. 【典例1-2】（2026·天津北辰·二模）已知函数，，其中，，e是自然对数的底数 (1)若函数，求的单调递增区间； (2)若，且曲线在处的切线和曲线也相切，求的值； (3)已知（m为常数），设直线与曲线与分别交于，两点，若对任意及，均有，求的取值范围. 【变式1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·湖南·模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型2 利用切线求距离的最值问题 【典例2-1】（2026·天津·阶段检测）过点作的切线，切点为，以为直径的圆与轴交于另一点，则到的距离为（    ） A． B． C．1 D． 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 利用曲线的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离可能是曲线上的点到直线的距离最小值这一性质.先对曲线求导，令导数等于已知直线的斜率，求出切点坐标.再利用点到直线的距离公式计算该切点到直线的距离，即为所求的最小值.这种方法巧妙地将切线问题与距离问题相结合，通过导数找到关键的切点，从而解决距离最小值问题. 【典例2-2】（2025·天津·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·天津·阶段检测）已知直线为曲线在处的切线，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·天津·阶段检测）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型3 公切线问题 【典例3-1】（2026·天津·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 1、公切线问题 求函数和的公切线. 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为； 步骤2：求导数与，得函数的斜率 ，函数的斜率； 步骤3：函数的切线，函数的切线； 步骤4：化简得，； 步骤5：对比得，联立解方程得公切线. 2、已知存在公切线求参数范围 已知两曲线存在公切线求参数范围时，先根据公切线的条件列出关于参数的方程或不等式.通常是利用两曲线在切点处的导数相等以及切点坐标满足的关系来建立等式，然后将其转化为一个关于参数的函数问题.通过研究这个函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象，确定参数的取值范围.这类问题综合了切线问题和参数范围求解问题，对学生的综合运用知识能力要求较高 【典例3-2】（2026·天津·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【变式3-1】（2026·山东东营·模拟预测）已知，则函数与公切线斜率的最大值为_________． 【变式3-2】（2026·天津·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 题型4 切线的条数问题 【典例4-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 1、切线条数问题 判断过某点能作曲线的切线条数，关键在于将问题转化为方程根的个数问题.设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，再将已知点代入切线方程，得到一个关于切点横坐标的方程.通过研究这个方程根的个数，就能确定切线条数.通常会利用导数研究函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象来判断方程根的个数，体现了数形结合思想的重要性. 2、已知切线的数量求参数 若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. （1）参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得，求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量. （2）判别式法求参数范围：对于二次方程，判别式，由判别式得方程的解的数量. 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3； 步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围 【典例4-2】（2025·天津·三模）与曲线和圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式4-1】（2025·天津·三模）已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式4-2】（2026·天津·阶段检测）与曲线和圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 2．（2026·天津静海·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 3．（2026·天津·阶段检测）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性． 4．（2026·河北衡水·阶段检测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津武清·阶段检测）若函数的图象在点处的切线恰好与函数的图象切于点，则________________． 6．（2026·天津·模拟预测）已知抛物线在处的切线与圆交于A、B两点，则的面积为__________． 7．（2026·天津静海·阶段检测）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______． 8．（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 9．（2026·陕西渭南·阶段检测）已知函数，是的导函数． (1)求的值； (2)求曲线在处的切线方程； (3)求的最小值． 10．（2026·天津·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 创新提升 1．（2025·天津武清·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________. 2．（2025·天津河北·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 3．（2026·天津河东·一模）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的最小值； (3)函数，证明：． 4．（2025·天津·一模）设.对，用表示中的较大者.若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围为__________. 5．（2026·天津·开学考试）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 6．（2025·天津红桥·一模）已知函数（）. (1)设函数，若，求函数在（1，）处的切线方程； (2)若函数在（0，2）上是增函数，求的取值范围. 7．（2026·天津河西·一模）函数（其中，，）的图象如图所示，则在点处的切线方程为______． 8．（2025·天津·二模）已知为的导函数. (1)求在的切线方程； (2)讨论在定义域内的极值； (3)若在内单调递减，求实数的取值范围. 9．（2026·天津河东·一模）已知函数的图象在处的切线方程为，若恒成立，则实数的取值范围为 ____________. 10．（2025·天津河北·一模）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点（1，）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）已知函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 导数的切线问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 切线方程及参数问题 3 题型2 利用切线求距离的最值问题 7 题型3 公切线问题 9 题型4 切线的条数问题 12 重难专题分层过关练 16 巩固过关 16 创新提升 23 解题方法及技巧提炼 天津高考导数切线为高频基础必考题型，常作为大题第一小问，难度适中，侧重基础运算与逻辑辨析，核心分两类题型，解题套路固定。 一是在点处切线，该点必为切点。解题三步：求函数导函数、代入切点横坐标得切线斜率、用点斜式整理切线方程，是天津卷最基础考法，重在运算精准。 二是过点切线（高频易错），已知点未必是切点。需设切点坐标，联立切点在曲线、切线斜率等于导数值、切线过定点三个条件列方程求解，根据切点个数判断切线条数。 高分技巧：含参切线问题优先分离参数简化运算；遇到公切线问题，分别求两条曲线切线斜率与方程，利用斜率相等、截距相等列等式。 核心避坑点：严格区分 “在点” 与 “过点” 题型，杜绝默认定点为切点；整理方程化为整式标准式，规避步骤扣分。 技巧提炼 1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即. 2、曲线的切线问题（基础题） （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 4、已知和存在（）条公切线问题 第一步 设的切点 设的切点 求公切线的斜率 写出并整理切线 整理得： 整理得： 联立已知条件 消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 题型通法及变式提升 题型1 切线方程及参数问题 【典例1-1】（2025·天津和平·二模）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则实数（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可根据垂直满足的斜率关系求解. 【详解】， 则， 由可得，故， 由于两切线互相垂直，因此，所以， 故选：D. 1、已知切点，求函数切线 若已知函数与切点，不知斜率。此时,利用点斜式写出切线方程 步骤1：求，得切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程. 2、已知斜率，求函数切线 若已知函数与斜率，不知切点。此时设切点，此时解出，再将代入解出,此时利用点斜式写出切线方程 步骤1：求导数，令，求解得； 步骤2：求，得切点； 步骤3：写切线方程. 求函数过某点的切线 若已知函数与平面上一点，不知切点与斜率。设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，解出切点. 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3，解得； 步骤5：将代入步骤3，得切线方程. 【典例1-2】（2026·天津北辰·二模）已知函数，，其中，，e是自然对数的底数 (1)若函数，求的单调递增区间； (2)若，且曲线在处的切线和曲线也相切，求的值； (3)已知（m为常数），设直线与曲线与分别交于，两点，若对任意及，均有，求的取值范围. 【答案】(1)当时，单调递增区间为、；当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为、 (2) (3) 【详解】（1），则， 当时，令，得或， 故在和上单调递增， 当时，可得恒成立，故在上单调递增； 当时，令，得或，故在和上单增； 综上可得：当时，单调递增区间为、； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为、； （2）当 时，，则， ， ， 故曲线在处的切线方程为， 设此切线与曲线的切点为， 则，解得，从而， 即，即， 设，， ， ，∴在上单调递减， ∴在上有唯一解； （3）由题意可知：，， 所以，，∴， 设，则， 令，则 ， 即在单调递增，又当时， ；时， ， 所以存在，使得 ，∴，即， ∴在单调递减，单调递增， ∴ ， 设 为减函数， ， ∴当 时，，又，∴， ∵，设，则在单调递增， ∴ ，所以. 【变式1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 【变式1-2】（2026·湖南·模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，得， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为，其中， 即切线方程为. 整理可得， 又因为直线与曲线相切， 所以，. 设，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数在时取极小值， 且当时，. 综上所述，函数的值域为，所以实数的取值范围. 题型2 利用切线求距离的最值问题 【典例2-1】（2026·天津·阶段检测）过点作的切线，切点为，以为直径的圆与轴交于另一点，则到的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据导数的几何意义求出切点，从而可求出以为直径的圆的方程，进而可求出点的坐标，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由题意知，设切点为，所以切线方程为， 又切线过点， 所以，解得， 所以或，两点关于轴对称，则， ∴切线为或， 则以为直径的圆为或均交轴于， 所以到的距离. 故选：B． 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 利用曲线的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离可能是曲线上的点到直线的距离最小值这一性质.先对曲线求导，令导数等于已知直线的斜率，求出切点坐标.再利用点到直线的距离公式计算该切点到直线的距离，即为所求的最小值.这种方法巧妙地将切线问题与距离问题相结合，通过导数找到关键的切点，从而解决距离最小值问题. 【典例2-2】（2025·天津·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点，根据导数的几何意义计算即可求解. 【详解】令，则， 设该曲线在点处的切线为， 需求曲线到直线的距离最小，必有该切线的斜率为2， 所以，解得，则切点为， 故切线的方程为，即， 所以直线到直线的距离为， 即该曲线上的点到直线的最小距离为. 故选：C 【变式2-1】（2026·天津·阶段检测）已知直线为曲线在处的切线，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求得切线的方程，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，则，即切线的斜率为， 又由时，求得，即切点坐标为， 所以切线方程为，即， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离. 故选：D． 【变式2-2】（2026·天津·阶段检测）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到函数的图象与函数的图象关于直线对称，则问题转化为点到直线距离最小值的倍，求出过点的切线恰与平行时切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为， 又，即点在函数的图象上， 所以函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以这，两点之间距离的最小值等于点到直线距离最小值的倍， 由，则， 函数在点处的切线斜率为，令，解得，， 所以点到直线距离的最小值为， 所以这，两点之间距离的最小值为. 故选：D 题型3 公切线问题 【典例3-1】（2026·天津·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【答案】 【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为，结合导数的几何意义求出，设出另一条切线的两条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可. 【详解】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 1、公切线问题 求函数和的公切线. 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为； 步骤2：求导数与，得函数的斜率 ，函数的斜率； 步骤3：函数的切线，函数的切线； 步骤4：化简得，； 步骤5：对比得，联立解方程得公切线. 2、已知存在公切线求参数范围 已知两曲线存在公切线求参数范围时，先根据公切线的条件列出关于参数的方程或不等式.通常是利用两曲线在切点处的导数相等以及切点坐标满足的关系来建立等式，然后将其转化为一个关于参数的函数问题.通过研究这个函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象，确定参数的取值范围.这类问题综合了切线问题和参数范围求解问题，对学生的综合运用知识能力要求较高 【典例3-2】（2026·天津·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出，利用换元法把问题转化为有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出的取值范围． 【详解】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． 【变式3-1】（2026·山东东营·模拟预测）已知，则函数与公切线斜率的最大值为_________． 【答案】 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义写出切线方程，根据公切线的概念，表示出切线斜率，再构造函数，求函数的最大值即可. 【详解】设公切线与的切点为，与的切点为. 因为，. 所以公切线方程为， 也可以写成. 由， 所以（）. 设，， 则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即公切线的斜率. 【变式3-2】（2026·天津·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 【答案】 【详解】，. 设曲线与曲线在点处有公切线， 所以，即，解得，. 所以，正数的值为5. 题型4 切线的条数问题 【典例4-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】先求出切线方程，再将代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切线条数. 【详解】由题意， 设切点为， 所以切线方程为， 再将代入切线方程， 所以 ， 当时，满足条件， 当时，， 解得， 最后将切点代入，求出切线斜率 当时，，所以切线为， 当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论， 当，，此时切线为， 当，，此时切线为， 所以切线条数为条. 1、切线条数问题 判断过某点能作曲线的切线条数，关键在于将问题转化为方程根的个数问题.设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，再将已知点代入切线方程，得到一个关于切点横坐标的方程.通过研究这个方程根的个数，就能确定切线条数.通常会利用导数研究函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象来判断方程根的个数，体现了数形结合思想的重要性. 2、已知切线的数量求参数 若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. （1）参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得，求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量. （2）判别式法求参数范围：对于二次方程，判别式，由判别式得方程的解的数量. 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3； 步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围 【典例4-2】（2025·天津·三模）与曲线和圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义得到切线方程，然后根据直线与圆的位置关系列方程得到，构造函数，利用导数分析单调性得到零点个数即可得到切线条数. 【详解】设直线与曲线相切于点， 则的方程为，即． 圆C：，因为与圆相切，所以， 所以， 令，则， 令，得或， 进一步得到在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，，所以在区间上分别有1个零点， 所以这样的切线有3条． 故选：C. 【变式4-1】（2025·天津·三模）已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【分析】设切点为，利用导数，结合直线的点斜式方程求出切线的方程，联立切线方程和曲线方程，化简得方程，根据切线与曲线有且只有一个公共点，求出参数的值即可. 【详解】函数，对其求导得. 设切点为，则切线斜率为 又， 所以切线方程为， 化简得. 将切线方程和曲线方程联立得： 整理得， 因式分解得， 解得或， 因为切线与曲线有且只有一个公共点， 所以，解得， 此时切线方程为，对应唯一一条满足条件的直线， 故选：B. 【变式4-2】（2026·天津·阶段检测）与曲线和圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义可得直线的方程为，再根据直线与圆相切，可得，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，则， 所以直线的方程为，即， 而圆，即的圆心为，半径， 由于直线与圆相切，则，即， 设， 则， 由于方程的根为，即一个根在内，另一个根在内， 因此，令，得，解得或， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则，， 又时，，时，， 根据零点存在性定理，可知函数在，，上分别有一个零点， 所以满足条件的直线有3条. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1)(2)极小值为，无极大值 【详解】（1）当时，，故切点为. ，因此切线斜率为. 因此切线方程为，整理得. （2）函数的定义域为，. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取得极小值，极小值为，无极大值. 2．（2026·天津静海·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 【详解】（1）∵ ，函数定义域为， ∴ ，即切点坐标为. ， ∴ 切线斜率. 由点斜式得切线方程为，整理得或. （2）由(1)得， ∵ 对任意，恒成立， ∴ 的符号由二次函数的符号决定. 令，即，解得，. ∵ 二次函数开口向上， ∴ 当或时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 3．（2026·天津·阶段检测）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在与上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在与上单调递增. 【详解】（1）当时，，. ，所以. 所以切线方程为. （2）定义域为. . 当时，由可知与同号. 因此在与上，在上， 所以在与上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，由可知与同号. 因此在与上，在上， 所以在与上单调递增，在上单调递减. 综上可知：当时，在上单调递减，在与上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在与上单调递增. 4．（2026·河北衡水·阶段检测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处切线方程，再设出切点坐标，利用导数几何意义用表示并建立函数关系，利用导数求出最大值. 【详解】函数，求导得，则，而， 曲线在处的切线方程为，即， 设曲线在处的切线与曲线相切的切点为， 而，则且，于是， 解得，，即． 因此，令函数， 求导得，由，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以的最大值为. 5．（2026·天津武清·阶段检测）若函数的图象在点处的切线恰好与函数的图象切于点，则________________． 【答案】3 【分析】先求出导函数进而得出切线方程，再利用切线相同列式计算求解. 【详解】，则过点的切线方程为， 整理得①， ，则过点的切线方程为， 整理得②， 因为①②都是直线的方程，且①在轴上的截距为，②在轴上的截距为， 所以，即. 6．（2026·天津·模拟预测）已知抛物线在处的切线与圆交于A、B两点，则的面积为__________． 【答案】5 【详解】由题意得，，切线斜率，切点为，切线方程为，即. 直线与圆联立， 整理得，解得，. 到直线的距离为， 故 7．（2026·天津静海·阶段检测）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求参数的值即可. 【详解】由题可得：，所以曲线在点处的切线斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以,解得： 8．（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用求切线斜率，再求切线方程； （2） （ⅰ）有两个极值点等价于有两解，即有两解，令，在分析的单调性即可求解； （ⅱ）有两解，先求出满足的关系式，再令，不等式等价于，令函数，求导分析单调性再求最值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则， 而，所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以. （ⅱ）有两解，即，两边取对数得, 则当时，， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即 ，，于是. 9．（2026·陕西渭南·阶段检测）已知函数，是的导函数． (1)求的值； (2)求曲线在处的切线方程； (3)求的最小值． 【答案】(1)(2)（或等价形式）(3) 【分析】 （1）求的导函数，代入计算即可. （2） 利用二阶导数求出直线斜率，结合切点坐标用点斜式写切线方程； （3）由二阶导数判断一阶导数的单调性，找到一阶导数的零点确定的单调性，进而求得最小值. 【详解】（1）已知，则， 进而. （2）令，则. 则在处切线斜率. 根据（1）知，切点为. 由点斜式得直线方程 ，整理得切线方程. （3）由，因，故，即在上单调递增. 又，则当时，，单调递减; 当时，，单调递增. 故在处取最小值，，即最小值为. 10．（2026·天津·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 【答案】(1)(2)两个零点(3)3 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为． 创新提升 1．（2025·天津武清·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】如图画出函数的图象， 直线表示过点的直线，表示直线的斜率， ，，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为1， 如图，若与，有一个交点，则， ，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为， 如图，若与，有一个交点，则， 如图，当时，与有两个交点， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 2．（2025·天津河北·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 【答案】(1)(2)减区间为，增区间为(3)3 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，即可求切线； （2）利用导数值的正负的来判断函数的单调区间； （3）利用隐零点结合分离参变量法来求最值，并估算答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为，又， 所以函数在处的切线方程为. （2）函数的定义域为. 因为，所以， 令，解得，令，得. 所以的减区间为，增区间为. （3）因为对任意的，都有，所以， 令， 由（2）知，在上单调递增， ， 则在区间上存在唯一的零点，即， 所以当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 所以，又因为， 则 所以，所以整数的最大值为3. 3．（2026·天津河东·一模）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的最小值； (3)函数，证明：． 【答案】(1)；(2)0； (3)，由① 欲证明，只需要， 令， 令 在区间上单调递增，则，故； 则在区间上单调递增，只需证明， 由①可知， 由（2）可知， 只需证明， 化简为：成立即可，令， 则在区间上单调递增， 故，所以得证. 【详解】（1） ，，切线斜率为 故切线方程为，即. （2） ，令，可得， 当，；，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数的最小值. （3）略 4．（2025·天津·一模）设.对，用表示中的较大者.若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】设. 由得， 所以函数的图象与的图象恰有一个交点. 作出函数的图象，如图所示. 抛物线的顶点的横坐标为纵坐标为，所以. 当时，所以点是抛物线和对数函数图象的交点. 设抛物线的切点坐标为，. 所以切点坐标为，所以. 所以当时，函数的图象与的图象恰有一个交点. 由题得直线AB的斜率为. 当时，，所以. 当时，. 所以当时，函数的图象与的图象恰有一个交点. 综上，当或时，函数的图象与的图象恰有一个交点. 故答案为： 5．（2026·天津·开学考试）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)递减区间是；递增区间是， (2) 【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间； （2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，函数，可得， 因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值， 可得，即，解得，    所以，可得， 令，解得或． 当变化时，，的变化情况如下： －1 ＋ 0 － 0 ＋ 2 所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，． （2）解：由函数，， 则， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使得有三个零点，则满足，即，解得， 所以的取值范围为． 6．（2025·天津红桥·一模）已知函数（）. (1)设函数，若，求函数在（1，）处的切线方程； (2)若函数在（0，2）上是增函数，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）时，，则，所以切线斜率为， 又，所以切线方程为，即； （2）， 因为函数在上是增函数，所以在恒成立， 即在恒成立，因为，所以， 所以的取值范围为. 7．（2026·天津河西·一模）函数（其中，，）的图象如图所示，则在点处的切线方程为______． 【答案】 【详解】由题图且，则，可得， 又，可得，，而，则， 所以，则， 且，则， 综上，在处的切线方程为，整理得. 故答案为： 8．（2025·天津·二模）已知为的导函数. (1)求在的切线方程； (2)讨论在定义域内的极值； (3)若在内单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【详解】（1），，而， 故切线方程为：即. （2）设，其中， 则， 当时，，故在上为减函数，故无极值； 当时， 若，则，故在上为增函数； 若，则，故在上为减函数； 故有极大值其极大值为，无极小值. （3） 因为在内单调递减，则于恒成立， 故在恒成立即. 令，则. 令得，令得， 故在单调递减，单调递增. 所以，故. 所以. 9．（2026·天津河东·一模）已知函数的图象在处的切线方程为，若恒成立，则实数的取值范围为 ____________. 【答案】 【详解】解：，由题意，， ，不等式为，时不等式显然成立． 时，设，， 当时，，时，， 在和上递减，在上递增． 时，，所以，， 时，，显然，所以，， 综上． 故答案为：． 10．（2025·天津河北·一模）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点（1，）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）已知函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在（0，）递增，在递减；（Ⅲ）. 【详解】（Ⅰ）∵，定义域是， ∴，，， 故切线方程为，即； （Ⅱ）由（Ⅰ）， 令，解得，令，解得， 故在（0，）递增，在递减； （Ⅲ）由（Ⅱ）得的极大值是， 即的最大值是， ∵，∴， 令，解得或， 若，，不等式恒成立， 则时，恒成立， ①当即时，在上单调递增， 此时，令，得； ②当时，即时，在递减，在递增， 此时， 令，解得，不符合题意； ③当即时，在递减， 故， 令，解得，不符合题意 综上，实数的取值范围是． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $