第三章 导数及其应用（综合训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦导数核心概念与应用，通过基础计算、几何意义、单调性极值及新考法题型，系统覆盖一轮复习重点，强化知识逻辑与数学思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与计算|选择1-4、填空10|导数定义、运算法则、几何意义|从导数概念生成到运算法则推导，构建计算基础| |导数应用|选择5-6、填空11-14、解答16-17|极值点、单调区间、最值求解|以导数与函数性质关系为核心，形成“求导-分析-应用”逻辑链| |新考法与综合|选择7-9、填空12、解答18-20|图像分析、大小比较、恒成立证明|结合数学眼光（图像抽象）与思维（推理论证），体现知识迁移与创新应用|

第三章 导数及其应用（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则. 2．已知曲线为，则它在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 3．已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，取，则令，解得：，其中，即：和轴有无数个交点，所以A错误； B选项，取，则，令，得或，令，得， 故在和上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，，所以B正确； C选项，取，则函数定义域为，且，所以是偶函数，所以C错误； D选项，，由可得，由图知，D错误. 4．已知下列四个求导运算：①  ②  ③  ④．其中求导运算正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】对于①，，正确；对于②，，错误； 对于③，，正确；对于④，，错误. 所以求导运算正确的个数为2个. 5．若函数存在极大值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，函数定义域是， 存在极大值点，则存在正数解，且在此解右侧，在此解左侧，， 所以有两个不等的正数解， 所以，解得. 6．若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得. ∵ 函数的单调递减区间为，∴ 不等式的解集为， 即和是方程的两个根， 由韦达定理得，解得. ∴ . 7．【新考法】已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的图象，可得的递减区间为，，递增区间为， 所以当时，；当时，， 又由，可得或，所以． 8．【新考法】比较，，，，的大小关系，并按照从大到小的顺序排列结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，令， 则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，可得，即，又易知， 令，则 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，得到 所以. 9．已知函数，在其图象上任取两个不同的点，（），总能使得，则实数a的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数定义域为， 由等价于：，即：， 令，则题意等价于在上严格递增. 求导：，若严格递增，则必须有， 即，，对任意恒成立. 而，所以：， 再验证时：，等号仅在处成立， 因此在上严格递增，满足题意. 所以实数的取值范围为：. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知函数的导函数，且，则________． 【答案】 【详解】由函数的导函数，得（其中为常数）， 又，从而，得， 从而，所以. 11．若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】已知函数，则， 由于在处取得极大值，则，即，解得或， 当时，，则对任意的，都有，此时不存在极值点，不符合题意，舍去； 当时，，令，解得或， 当时，，函数在单调递增； 当时，，函数在单调递减， 此时在处取得极大值，符合题意， 综上所述，实数的值为. 12．【新考法】已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】因为，且，可得， 令，，可得， 则， 因为，即， 则，可知在定义域内单调递减， 又因为，则， 即，解得， 所以不等式的解集为. 13．若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的一个取值是______． 【答案】1（答案不唯一，任意大于0的实数均可） 【详解】∵函数， ∴在上能成立， ∴能成立， 由于的值域为， 所以即可. 14．若函数的减区间为，则函数的值域为______． 【答案】 【详解】因为，， 由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 因为，由. 此时，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，故满足题意. 此时， 所以函数的值域为. 15．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】函数，， 故函数是偶函数， 函数求导得， 当时，，故，则在上单调递增； 结合偶函数性质，在上单调递减； 已知，等价于，即， 恒成立，则只需， ，解得或， 故实数的取值范围是． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知函数在处取得极小值2． (1)求，的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)，(2)最大值为，最小值为 【详解】（1），则. 由题意知，即，解得. 此时， 当时，；当时，； 所以在处取得极小值，满足题意. 综上，，. （2）由（1）得 ，. ， 令，即，解得 (舍去). 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，在处取得最小值，为. 又，. 综上，函数在区间上的最大值为10，最小值为2. 17．（15分）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性． 【答案】(1)(2)当时，在上单调递减，在与上单调递增； 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在与上单调递增. 【详解】（1）当时，，. ，所以. 所以切线方程为. （2）定义域为. . 当时，由可知与同号. 因此在与上，在上， 所以在与上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，由可知与同号. 因此在与上，在上， 所以在与上单调递增，在上单调递减. 综上可知：当时，在上单调递减，在与上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在与上单调递增. 18．（15分）【新考法】已知函数 (1)时，判断在定义域的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)设，记的极小值点为，证明． 【答案】(1)在定义域上单调递增.(2)(3)略 【详解】（1）当时，函数，其定义域为. . 令，则. 令，得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 所以恒成立，所以在定义域上单调递增. （2）若恒成立， 则恒成立， 即，恒成立. 令， 则. 令，得或（舍去）. 又是增函数， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得最大值，最大值为. 故实数的取值范围是. （3）设，则，定义域为. . 令，则. 令，得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 又，，， 所以存在，使得， 即，即. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，所以. . 令，则在单调递减. 又， 所以，即 19．（15分）已知函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)(2)①；②略 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 令函数，由恰有两个极值点， 得方程有两个不等的正实根，即， 则有，解得，所以的取值范围是. ②由知，，且， 则 ， 要证，即证，就证， 令函数，求导得， 由函数在上都单调递减，得函数在上单调递减， 又，则，使，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，， 因此， 由函数在上单调递增，得当时，， 于是，即， 所以. 20．（16分）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若存在两个极值点，且． （i）求实数的取值范围； （ii）若满足，且，证明：． 【答案】(1)(2)（i）（ii）略 【详解】（1）当时，，则， 所以，又，故函数在点处切线方程为． （2）（i）因为，恒成立， 令，由题知存在两个极值点，等价于存在两个变号零点.    因为，则 当时，单调递减，此时最多一个零点，不合题意； 当时，令，得， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 由题意得，解得，    当时，因为， 当时，存在唯一，使得， 令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 则，所以当时，， 则当时，， 所以，当时，存在唯一，使得， 此时，单增，单减，单增． 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述，实数的取值范围为．     （法二：存在两个极值点，等价于存在两个变号零点. 即，令，所以在上单调递增，在上单调递减， .     此时，单增，单减， 单增． 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上，． 由（i）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，且， 又，不妨设，显然， 又，且， 则，即，所以， 则要证     只需证． 因为存在两个变号零点，所以， 得到， 令，则，又， 所以在上单调递增，在上单调递减，且有， 构造函数， 因为，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 又因为，且在上单调递减， 则，即， 所以，     又因为在上单调递减，所以， 即证．     由上知，所以． 则， 因为， 所以 则 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 导数及其应用（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D B C C B D D C 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12. 13． 1 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） （1），则. 由题意知，即，解得. 此时， 当时，；当时，； 所以在处取得极小值，满足题意. 综上，，.（6分） （2）由（1）得 ，. ， 令，即，解得 (舍去). 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，在处取得最小值，为.（12分） 又，. 综上，函数在区间上的最大值为10，最小值为2.（14分） 17．（15分） （1）当时，，. ，所以. 所以切线方程为.（4分） （2）定义域为. . 当时，由可知与同号. 因此在与上，在上， 所以在与上单调递增，在上单调递减.（7分） 当时，，所以在上单调递增. 当时，由可知与同号. 因此在与上，在上， 所以在与上单调递增，在上单调递减. 综上可知：当时，在上单调递减，在与上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在与上单调递增.（15分） 18．（15分） （1）当时，函数，其定义域为. . 令，则. 令，得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 所以恒成立，所以在定义域上单调递增.（5分） （2）若恒成立， 则恒成立， 即，恒成立. 令， 则. 令，得或（舍去）. 又是增函数， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得最大值，最大值为. 故实数的取值范围是.（10分） （3）设，则，定义域为. . 令，则. 令，得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 又，，， 所以存在，使得， 即，即. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，所以. . 令，则在单调递减. 又， 所以，即（15分） 19．（15分） （1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即.（4分） （2）函数的定义域为，求导得， 令函数，由恰有两个极值点， 得方程有两个不等的正实根，即， 则有，解得，所以的取值范围是.（9分） ②由知，，且， 则 ， 要证，即证，就证， 令函数，求导得， 由函数在上都单调递减，得函数在上单调递减， 又，则，使，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，， 因此， 由函数在上单调递增，得当时，， 于是，即， 所以.（15分） 20．（16分） （1）当时，，则， 所以，又，故函数在点处切线方程为．（3分） （2）（i）因为，恒成立， 令，由题知存在两个极值点，等价于存在两个变号零点.    因为，则 当时，单调递减，此时最多一个零点，不合题意； 当时，令，得， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 由题意得，解得， （6分）   当时，因为， 当时，存在唯一，使得， 令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 则，所以当时，， 则当时，， 所以，当时，存在唯一，使得， 此时，单增，单减，单增． 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述，实数的取值范围为．     （法二：存在两个极值点，等价于存在两个变号零点. 即，令，所以在上单调递增，在上单调递减， .     此时，单增，单减， 单增． 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上，．（9分） 由（i）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，且， 又，不妨设，显然， 又，且， 则，即，所以， 则要证     只需证． 因为存在两个变号零点，所以， 得到， 令，则，又， 所以在上单调递增，在上单调递减，且有， 构造函数， 因为，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 又因为，且在上单调递减， 则，即， 所以，     又因为在上单调递减，所以， 即证．     由上知，所以． 则， 因为， 所以 则（16分） 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 导数及其应用（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知曲线为，则它在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 4．已知下列四个求导运算：①  ②  ③  ④．其中求导运算正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．若函数存在极大值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 7．【新考法】已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．【新考法】比较，，，，的大小关系，并按照从大到小的顺序排列结果是（     ） A． B． C． D． 9．已知函数，在其图象上任取两个不同的点，（），总能使得，则实数a的取值范围为（） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知函数的导函数，且，则________． 11．若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________． 12．【新考法】已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为________． 13．若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的一个取值是______． 14．若函数的减区间为，则函数的值域为______． 15．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知函数在处取得极小值2． (1)求，的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 17．（15分）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性． 18．（15分）【新考法】已知函数 (1)时，判断在定义域的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)设，记的极小值点为，证明． 19．（15分）已知函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 20．（16分）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若存在两个极值点，且． （i）求实数的取值范围； （ii）若满足，且，证明：． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $