15.3.2.2含30∘ 角的直角三角形的性质-课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦含30°角的直角三角形性质及逆用，通过码头吊装机情境引入，衔接直角三角形和等边三角形知识，以测量、假设、证明活动构建学习支架，帮助学生理解性质推导过程。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过截长法、中线法等多种证明发展推理思维，结合台风中折断的树等生活实例强化应用意识。采用活动探究与典例精析结合的教学方法，小结明确要点，助力学生掌握知识，为教师提供结构化教学支持。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 15.3.2.2含30∘ 角的直角三角形 的性质 第十五章 轴对称 人教版八年级上册15.3.2.2含30°角的直角三角形的性质同步练习题 知识点核心：含30°角的直角三角形的核心性质（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）、性质的逆用、结合直角三角形内角和求边长与角度、性质在几何计算与证明中的应用、结合等边三角形综合推理 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则30°角所对的直角边是（） A. AC B. BC C. AB D. 无法确定 2. 在直角三角形中，若一个锐角为30°，斜边为10cm，则30°角对的直角边长为（） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 20cm 3. Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=8，则∠A的度数为（） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 下列关于含30°直角三角形性质说法正确的是（） A. 30°对的斜边是直角边的一半 B. 30°对的直角边是斜边的一半 C. 任意直角边等于斜边一半 D. 60°对的直角边是斜边一半 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=3，则斜边AB的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的________等于________的一半。 2. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=12cm，则BC=________cm。 3. 直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为________°。 4. Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=10，则∠A=________°。 5. 含30°角的直角三角形的两个锐角分别是________°和________°。 三、解答题（共60分） 1.（15分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，求BC的长。 2.（15分）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，求证：BD=¼AB。 3.（15分）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=12，求BE的长。 4.（15分）求证：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°。 参考答案与解析 一、选择题：1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 解析：本节核心定理：Rt△中，30°角所对直角边=½斜边，做题必须找准“30°角对应的直角边”，切勿混淆边的对应关系，是考试高频易错点。 二、填空题：1.直角边、斜边 2.6 3.30 4.30 5.30、60 解析：定理可逆用：直角三角形中，直角边为斜边一半 ⇒ 该直角边对角为30°，可快速求角度、边长。 三、解答题：1. 解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=½AB=½×16=8。 2. 证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=½AB，∠B=60°。∵CD⊥AB，∴∠BCD=30°，∴BD=½BC=¼AB。 3. 解：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴∠BAD=30°，AB=12，BD=6。∵DE⊥AB，∠B=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=½BD=3。 4. 证明：设Rt△ABC，∠C=90°，BC=½AB。取AB中点D，连接CD，得CD=AD=BD。∵BC=BD，∴△BCD为等边三角形，∠B=60°，∴∠A=30°。 情境引入 QING JING YIN RU 如图是码头的吊装机，起重臂AC与竖直方向的夹角为30°,此时货物B和驾驶舱C正好在同一水平线上，已知起重臂AC长10米.你能算出BC的长度吗? B A C 30° B A C 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如图，在Rt△ABC中，∠BCA =90°，如果∠A=30°，那么直角边 BC与斜边AB有什么关系呢? C B A 30° 活动一：测量 第一次 第二次 第三次 AB BC 活动二：大胆假设 活动三：结论证明 在Rt△ABC中，若∠A=30°，则BC＝AB. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 含 30° 角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D 即 BC = CD = BD = AB. 性质： 应用格式： 在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°， ∴ BC = AB. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明方法一：截长法 ) 证明：在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵∠B = 60°，BE = BC， ∴△BCE 是等边三角形. ∴∠BEC = 60°，BE = EC. ∵∠A = 30°， ∴∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30°= 30°. ∴ AE = EC. ∴ AE = BE = BC. ∴ AB = AE + BE = 2BC. ∴ BC = AB. E A B C 30° 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明方法二：中线法 证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD. ∵ CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， ∴ CD = AB=BD. A 30° B C D ∵∠BCA = 90°，且∠A = 30°， ∴∠B = 60°. ∴△CBD 为等边三角形. ∴ BC =BD= AB. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明方法三：倍长法 证明：在△ABC 中， ∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°， ∴∠B = 60°． 延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD， 则△ABD 是等边三角形． A B C D ∴ BC = BD = AB. 30° ) 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，若BC= AB，那么∠A＝30°吗？ C B A D 解: 如图，取线段AB的中点D，连接CD. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线, ∴CD= AB=BD. ∵BC= AB， ∴BC= BD= CD，即△BDC为等边三角形. ∴∠B= 60°. ∵∠A+∠B=90° ∴∠A=30°. 由此你能得出什么结论？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 01 02 互为逆命题 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 解： 在 Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°，∠A = 30°， 如图是码头的吊装机，起重臂AC与竖直方向的夹角为30°,此时货物B和驾驶舱C正好在同一水平线上，已知起重臂AC长10米.你能算出BC的长度吗? B A C 30° ∴BC= AC=5(m). 1. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面 处折断倒下，倒下的部分与地面成 角，这棵树在折 断前的高度为( ) B （第1题） A. B. C. D. 返回 中考考法 11 （第2题） 2. 如图，在中， ， ，的垂直平分线交 于点 ，连接.若，则 的长为 ( ) B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 母题教材P84练习 在中，若 ， 且，则 等于( ) D A. 2 B. 3 C. 9 D. 12 返回 中考考法 12 AB与BC,BD与BC分别有何数量关系？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，∠A=30°.求证: AB=4BD. 解：在Rt△ABC中，∵∠A=30°， ∴BC= AB. 又∠A+∠B=90°，∴∠B=60°. 在Rt△BCD中，∵∠B+∠BCD=90°， ∴∠BCD=90°－∠B=30°. 故BD=BC.又BC=AB， 则BD=AB，即AB=4BD. 重要模型和关系要熟记！ 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 D 解：(1)如图所示，AD即为所求； (2)在Rt△ABC中，∵， ∴ ∵AD平分， ∴∠DAC=∠BAD=∠B=30°， ∴CD= AD=3,AD=BD, ∴BG=AD=6. 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 其中一个是含 30° 角的直角三角形 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 ， 的面积为 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14 cm，求阴影部分 △ACF的面积. ∠B =∠C = ？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 证明：∵ AB = AC，∠BAC = 120°， ∴∠B =∠C = 30°. ∵ D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°，∠BAD =∠DAC = 60°. ∴ AB = 2AD. ∵ DE⊥AB，∴∠AED = 90°. ∴∠ADE = 30°，∴ AD = 2AE. ∴ AB = 4AE. ∴ BE = 3AE. 在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，求证：BE = 3AE. 三角形有哪些？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 三角形？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 典例精析 DIAN LI JING XI 例9 如图，果果在山下发现正前方山上有个电视塔，测得塔尖的仰角为15°. 小芳朝正前方笔直行走400 m，此时测得塔尖的仰角为30°.若小芳的眼睛离地面1.6m，你能算出这个电视塔塔尖离地面的高度吗? 解：在△ABD中,∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=15°， ∴∠BAD=∠B,∴AD=BD=400m, 在Rt△ADC中，∵∠ADC=30°， ∴AC= AD=200(m).. 故电视塔塔尖离地面的高度为200+1.6=201.6(m). （第4题） 4.将一副三角尺按如图所示方式叠放在一 起，若 ，则阴影部分的面积是 ___ . 【点拨】 , , . , . . 返回 中考考法 21 5.如图，的斜边轴，点的坐标是 ， ，则 ___. 4 （第5题） 返回 中考考法 22 6.［2025北师大附中期中］某市在旧城改造中，计划在一块如 图所示的 空地上种植草皮以美化环境.已知 ，， ，这种草皮每平方米 售价元，则购买这种草皮至少需要______元.（用含 的代数 式表示） 返回 中考考法 23 7.如图，在中， ， ， 中考考法 24 （1）作的垂直平分线，分别交，于点， ； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） 【解】如图所示， 即为所求. 中考考法 25 （2）求证：是 的中点. 【证明】 在中， ， ， . . 垂直平分，， . . . ，即是 的中点. 返回 中考考法 26 （第8题） 8. 如图，在中， 平分 交于点,过点作 交 于点,且平分.若 , 则 的长为( ) B A. 4 B. 6 C. 3 D. 8 返回 中考考法 27 （第9题） 9. ［2025洛阳期中］如图，在三角形 中，,，是三角形 内两点， 平分, .若 ,，则 的长度是 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 28 课堂小结 QING JING YIN RU 内容 注意 含 30°角的 直角三角形 的性质 要点 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半 找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边 前提条件：含 30° 角的直角三角形中 $