15.3.2.2含30∘ 角的直角三角形的性质-课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“含30°角的直角三角形的性质”，涵盖性质定理、逆定理及易错点。课堂导入通过“做一做”让学生用三角尺测量较短直角边与斜边关系，衔接直角三角形知识，搭建从具体操作到抽象定理的学习支架。 其亮点在于以探究式学习为主线，引导学生测量、画图验证性质，通过倍长线段法、截长法等多种证明培养推理能力，结合屋架设计、航海问题等实例渗透模型意识。既助学生深化几何直观与应用意识，也为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月24日 15.3.2.2含30∘ 角的直角三角形 的性质 第十五章 轴对称 15.3.2.2 含30°角的直角三角形的性质 同步练习题（人教版八年级上册） 核心知识点回顾：1. 性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；2. 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；3. 易错关键点：定理只适用于直角三角形，必须找准“30°角对的直角边”，不是任意直角边。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 2. 直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为（） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=6，则AB的长可能是（） A. 8 B. 10 C. 12 D. 6 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于________的一半。 5. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=16，则30°对的直角边BC=________。 6. 若Rt△中，一条直角边为5，斜边为10，则这条直角边所对的角为________°。 三、解答题（共60分） 7.（20分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=12，求AC的长度。 8.（20分）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=$$\frac12$$AB，求证：∠A=30°。 9.（20分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，求证：AB=2AD。 参考答案与解析 选择题：1.C（30°角对直角边BC=$$\frac12$$AB=5） 2.B（逆定理：直角边为斜边一半，对应锐角为30°） 3.C（∠B=60°，∠A=30°，BC=$$\frac12$$AB，可得AB=12） 填空题：4. 斜边 5. 8 6. 30 解答题：7. 解：∵∠C=90°，∠B=30°，AC是30°角所对直角边，∴AC=$$\frac12$$AB=$$\frac12$$×12=6。 8. 证明：∵△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，BC=$$\frac12$$AB，根据含30°直角三角形逆定理，可得BC所对的角∠A=30°。 9. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°。∵AD⊥BC，∴△ABD为直角三角形。在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AB=2AD（30°角所对直角边等于斜边一半）。 （总字数：806） 拿出一个含30°角的三角尺，测量它的较短的直角边和斜边，看看它们有什么数量关系？ 导入新知 做一做: 探究 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论. 30° A B C 测量看看？ BC = AB. 通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A=30°， 那么直角边BC等于斜边AB的一半. 如何证明？ 知识点 含30°角的直角三角形的性质 30° A B C 要证明BC=AB，只要证明2BC=AB. 为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可. D 知识点 含30°角的直角三角形的性质 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. 求证：BC=AB. 30° A B C D 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD. 又因为∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°， 所以△ABD是等边三角形， 所以BD=AB. 又 BD=2BC， 所以BC=AB. 你还有其他证明方法吗？ 倍长线段法 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. 求证：BC=AB. 30° A B C 证明：如图，在BA上截取BE=BC，连接EC. 由题意得∠B= 60° . 又BE=BC， ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=CE. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°= 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=EC=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC，∴BC=AB. E 截长法 由此可以得到： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵∠A= 30°， ∴BC=AB. 倍长线段法就是在几何图形中，将某条线段延长整数倍，从而构造出新的图形，进而解决问题. 截长法就是在较长的线段上截取一条线段等于已知的较短线段. 例1 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°. 求立柱BC，DE的长. A B C D E 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30 °， ∴BC=AB，DE=AD. ∴BC=×7.4=3.7. 又AD=AB， ∴DE=AD=×3.7=1.85. 答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m. 跟踪训练 如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，∠B=30°， CD是高. 若AD=2，则BD的长为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7.5 C 知识点1 含30°角的直角三角形的性质 1. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，且BC＝6，则AB等于(　　) A.2　　 B.3　　 C.9　　 D.12 返回 D 基础提优题 中考考法 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD.若BD＝6，则AC的长为(　　) A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.5 返回 B 基础提优题 中考考法 3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长是 (　　) A.2　　　 B.3　　 C.4　　 D.5 B 基础提优题 中考考法 【点拨】如图，过点P作PD⊥OB于点D，则∠ODP＝90°.∵∠AOB＝60°，∴∠OPD＝30°.∴DO＝OP＝4.∵PM＝PN，PD⊥MN，∴MD＝ND＝MN＝1.∴MO＝DO－MD＝4－1＝3. 基础提优题 中考考法 返回 当题目条件中有30°或60°角时，常设法利用含30°角的直角三角形的性质，即作出含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边等于斜边一半求解. 基础提优题 中考考法 4.如图，Rt△ABC的斜边AC∥x轴，点B的坐标是(1，0)，∠A＝30°，则AC＝　　　　. 返回 4 基础提优题 中考考法 知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用 5.将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是　　　　cm2. 基础提优题 中考考法 【点拨】∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB＝7 cm.∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴BC∥DE.∴∠AFC＝∠D＝45°.∴∠CAF＝45°＝∠AFC.∴CF＝AC＝7 cm.∴S阴影＝×7×7＝(cm2). 返回 基础提优题 中考考法 6.［2026北师大附中期中］某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境.已知∠BAC＝150°，AB＝20 m，AC＝30 m，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要　　　　元.(用含a的代数式表示) 返回 150a 基础提优题 中考考法 7. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处观察灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°. (1)求海岛B到灯塔C的距离. 【解】由题意得AB＝15×2＝30(n mile). ∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝30°. ∴∠ACB＝∠NAC.∴BC＝AB＝30 n mile. ∴海岛B到灯塔C的距离为30 n mile. 基础提优题 中考考法 (2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，该船与灯塔C的距离最短？ 返回 【解】如图，过点C作CP⊥AB于点P， ∴∠BPC＝90°.根据垂线段最短，可知线段CP 的长为该船与灯塔C的最短距离. ∵∠PBC＝60°， ∴∠PCB＝180°－∠BPC－∠CBP＝30°. ∵BC＝30 n mile，∴PB＝BC＝15 n mile. ∵15÷15＝1(h)， ∴若继续向正北方向航行，还要经过1 h，该船与灯塔C的距离最短. 基础提优题 中考考法 8.如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为(　　) A.4　　 B.6　　 C.3　　 D.8 返回 B 综合应用题 中考考法 9.如图，BD是等边三角形ABC的中线，E是直线BD上一点，连接AE，以AE为边，向下方作等边三角形AEF，连接DF.若AB＝8，则DF的最小值为(　　) A.1　　 B.1.5　　 C.2　　 D.3 C 综合应用题 中考考法 10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB边于点D，再分别以点C，D为圆心，大于CD的长度为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE交BC边于点F，点P为边AB上的动点，连接PF.若BC＝6，则PF的取值范围是(　　) A.2≤PF≤3　　 B.1≤PF≤2 C.2≤PF≤4　　 D.3≤PF≤5 C 综合应用题 中考考法 11. ［华师一附中自主招生］如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠BED＝60°，若BE＝3，DE＝1，则BC＝　　　　. 4 综合应用题 中考考法 含30°角的直角三角形的性质 使用要点 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 内容 注意 前提条件：在直角三角形中 ①找准30 °的角所对的直角边. ②作辅助线，构造含30°角的直角三角形. $