湖南株洲市炎陵县第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 炎陵县一中高一下期末数学试卷，以函数、几何、统计等知识为载体，通过实际情境（如赋分制统计）和创新概念（如凹凸性），考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数、统计百分位数、立体几何表面积|基础概念与空间想象结合| |多选题|3/18|向量运算、概率独立性|多角度辨析向量关系与事件概率| |填空题|3/15|三角求值、测量问题、立体几何表面积|实际测量与空间几何计算融合| |解答题|5/77|复数、统计（频率分布直方图）、解三角形、立体几何（二面角）、函数凹凸性|统计题结合赋分制情境，函数题引入琴生不等式培养创新意识|

炎陵县第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试（2026.7） 数 学 试 题 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30的第70百分位数是（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 3．已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 4．在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知角满足，角的终边与角的终边关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 8．对任意实数表示不超过的最大整数，如，关于函数，有下列命题：①是奇函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数有两个不同的零点，其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法中正确的有（    ） A．与垂直的单位向量为 B．已知在上的投影向量为且，则 C．若非零向量，满足，则与的夹角是 D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 10．某中学高一（3）班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示.在班级里随机选一人，事件 “选到男生”， 事件“选到女生”，事件“选到团员”，则（    ） 团员 非团员 合计 男生 15 10 25 女生 12 8 20 合计 27 18 45 A． B． C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 11．已知函数的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（    ） A．是函数的一个周期 B． C．不等式的解集为， D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象所对应的函数是偶函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则=________. 13．如图，为测量武汉防汛纪念碑的高度及取景点与之间的距离（在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点，且三点共线），华中师大一附中研究性学习小组同学在三点处测得顶点的仰角分别为，若米，则纪念碑的高度为______米，取景点与之间的距离为______米． 14．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，若在四棱锥内挖掉一个体积最大的圆柱，则剩余几何体的表面积等于______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知复数.为虚数单位. (1)若为实数，求的值； (2)若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 16．某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定、、、、共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分.等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的化学成绩中随机抽取名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中的值；并估计这名学生原始成绩的平均分； (2)现用分层随机抽样的方法，从这名学生的原始成绩在区间，，的学生中抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求这人原始成绩均在的概率； (3)用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（结果保留整数）. 17．已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 18．如图，在三棱柱中，，为中点，侧面为矩形．    (1)求证：； (2)若，四棱锥的体积为，求侧棱与底面所成角； (3)令，若，求二面角的正弦值的取值范围． 19．某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异.通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数.对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）.小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数. (1)设函数，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)试判断在上的凹凸性，并说明理由； (3)设，且，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 炎陵县第一中学2025-2026学年高一下学期期末 数 学 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A C D C B BC BD 题号 11 答案 ABD 12． 13． ； . 14． 15．（1）已知，故， 由题知为实数，故虚部， 解得. （2）易知 ， 由题知在复平面上对应的点在第二象限，故 ， 解得， 即的取值范围为. 16．（1）由频率分布直方图可知，组距为， 则， 解得， 即， 所以， 这名学生原始成绩的平均分为： 分. （2）原始成绩在区间，，的频率分别为： ，，， 对应的人数分别为人，人，人， 采用分层随机抽样抽取人，抽样比为. 则在区间，，中抽取的人数分别为人，人，人， 记抽取的人中，成绩在的人为，其余人为. 从人中随机抽取人， 总的基本事件数为， 设“这人原始成绩均在”为事件， 则事件包含的基本事件数为. 所以， （3）由题意可知，等级及以上（含等级）的排名占比为， 即需要估计原始分的前的分数线， 由直方图可知，成绩在的频率为，成绩在的频率为， 因为，所以等级及以上的原始分分数线位于区间内， 设原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上， 则， 解得， 所以， 因为结果保留整数，且分数需不少于该值， 所以估计该校本次化学成绩原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上. 17．（1）由， ， 由，； （2），由正弦定理得①， 又②， 联立①②解得，， ． 18．(1)取中点，连接、、，    由题知，，则，又，则， ∵平面，∴平面． ∵平面．∴． （2）∵，为中点，∴， ∵，∴点到三顶点距离相等，∴点在底面的射影为的外心． ∵为直角三角形，为斜边中点， ∴平面，∴即为侧棱与底面所成角， 又∵，∴ 由， ∴，又∵，∴． ∴侧棱与底面所成角为． （3）由（1）知平面．平面，    ∴平面平面． ∵平面平面， 过作于，则平面，平面， 过作于，连接， 则即为二面角的平面角． ∵， ∴，，中，，得． ∴． ∵，∴，∴． ∴二面角的正弦值的取值范围． 19．（1）已知，所以在上单调递增. 要使不等式恒成立，即不等式恒成立， 即， 所以，即. ①当时，因为，所以，所以； ②当时，，又，所以，则，所以. 综上，实数的取值范围是. (2) 因为，， 所以，故判断在上为凹函数， 证明如下： ，可知， 则 ， 所以在上为凹函数. （3）令. 由（2）可知在上为凹函数， 所以在上为凹函数. 由， 得. 由琴生不等式可得， 即， 可得，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $