第一章勾股定理 单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学勾股定理单元卷，融合文化传承与现实应用，覆盖定理定义、逆定理及综合应用，适配单元复习，提升数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|勾股数、图形面积计算等|赵爽弦图体现文化传承| |填空题|6/24|实际应用检验、古代数学问题|葛藤缠绕问题渗透空间观念| |解答题|10/综合分|折叠探究、现实情境计算|台风影响海港（推理能力）、等分积周线（创新应用）|

第一章勾股定理单元测试题2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题,每小题4分，共40分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．6，9，12 B．﹣9，40，41 C．9，12，13 D．7，24，25 2．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　） A．50 B．16 C．25 D．41 3．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．10m B．17m C．18m D．20m 4．若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则下列对△ABC的形状描述最确切的是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．如图铁路上A、B两点相距40千米，C、D为铁路两边的两个村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米，现在要在铁路旁修建一个候车点E，使得C、D两村到该候车点的距离相等．则候车点E应距A点（　　） A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 6．如图，北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，求（a+b）2的值． 7．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支铅笔的长度可能是（　　） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 8．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 9．已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（　　） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1，S2大小无法确定 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将它的锐角A翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．欲检验画框的两边是否垂直．若测得两边长分别为60cm和32cm，对角线为68cm，则该画框　 　 __________（填“合格”或“不合格”）． 12．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的▇填上适当的数字为：　 　 ． 13．一艘小船上午7点从某港口出发，它以10海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以15海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距 　 　 海里． 14．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，且DF＝6，则BE的长为　 　 ． 15．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是　 　 尺． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，点F在AB边上，过点D作DE⊥BC，垂足是E，∠FED＝∠B，∠FDE＝∠DFE．下列结论：①2∠CDE＝∠A；②BC＝BF+CD；③△DEF是等边三角形；④过点D作DG⊥DE，交AB边于点G，若G是AF的中点，则FD⊥AD．其中正确的是 　 　 ．（填写序号） 三．解答题（共10小题） 17．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数． 18．如图正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识回答问题． （1）判断△ABC是什么形状三角形？并说明理由； （2）求△ABC的面积； （3）试求点A到BC的距离． 19．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB． （1）求CD，AD的值； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 20．古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC．人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面BE的距离为1.5m（绳子一直是直的） （1）若AB＝7.5m，AE＝15.5m，求从定滑轮C到D点的绳长； （2）若BE的长为12m，CD比BC长6.5m，求桥面的宽AB． 21．如图，某居民小区有一块四边形空地ABCD，小道AC和CE把这块空地分成了△ABC、△ACE和△CDE三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知∠B＝90°，∠CAD＝90°，AB＝12米，BC＝16米，AE＝15米． （1）求四边形ABCE的面积； （2）小明和小林以相同的速度同时从点E出发，分别沿E→A→C和E→D→C两条不同的路径散步，结果两人同时到达点C，求线段DE的长度． 22．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”． （1）如图1，在△ABC中，AB＝BC，且BC≠AC，请你在图1中作出△ABC的一条“等分积周线”； （2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由． （3）如图2，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB＝4，BC＝10，CD＝6．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”； （4）如图3，在△ABC中，AB＝BC＝7cm，AC＝10cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由． 23．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 24.【问题探究】（1）如图1，在长方形中，，点在边上，连接，点为的中点，过点作交于点，延长交于点N，点F与点A关于所在直线对称，连接、，求的面积； 【问题解决】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在四边形中，米，米，校学生会计划在边上找一个点E（足够张），在边、上分别取点M、N，使得垂直平分，取点关于的对称点，将区域规划为活动区，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区，为了节省搭建材料，你帮助校学生会计算出安全文化宣传长廊（即周长）的最小值． 25．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是直线BC上两动点，且∠DAE＝45°．热爱探究的小明将△ABD沿AD折叠，得△ADF，连接EF，得到新的△DEF，如图2．请继续探究并解决下列问题： （1）如图2，此时∠DFE＝ 　 　 ； （2）如图3，当动点E在线段BC上，动点D在线段CB延长线上时，小明将△ABD沿AD对折，得△AFD，连接FE，其它条件不变，得到新的△DEF，如图4．请求出此时∠DFE的度数，并说明理由； （3）拓展：如图5，在等边△ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，可知当AD＝BE时，线段DE、AD、EB构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是 　 　 （直接写出答案）． 参考答案 第一章勾股定理单元测试题2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共11小题） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．6，9，12 B．﹣9，40，41 C．9，12，13 D．7，24，25 【解答】解：A、不是，因62+92≠122； B、不是，因为﹣9不是正整数； C、不是，因为92+122≠132； D、是，因为72+242＝252．且7、24、25是正整数． 故选：D． 2．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　） A．50 B．16 C．25 D．41 【解答】解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25， ∴CD2+BD2＝BC2＝25， ∴阴影部分的面积＝25+25＝50， 故选：A． 3．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．10m B．17m C．18m D．20m 【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝5m，AB＝12m， ∴AC13（m）， ∴这棵树原来的高度＝BC+AC＝5+13＝18（m）． 即：这棵大树在折断前的高度为18m． 故选：C． 4．若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则下列对△ABC的形状描述最确切的是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0， 根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0， ∴（a﹣b）2＝0，即a＝b， ∴|a2+b2﹣c2|＝0，即a2+b2﹣c2＝0， ∵a＝b， ∴△ABC是等腰三角形， ∵a2+b2＝c2， ∴根据勾股定理知△ABC是直角三角形， 综上，△ABC是等腰直角三角形， 故选：C． 5．如图铁路上A、B两点相距40千米，C、D为铁路两边的两个村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米，现在要在铁路旁修建一个候车点E，使得C、D两村到该候车点的距离相等．则候车点E应距A点（　　） A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【解答】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到候车点E的距离相等， ∴AD2+AE2＝BE2+BC2， 故242+x2＝（40﹣x）2+162， 解得：x＝16， 则候车点E应距A点16km． 故选：B． 6．如图，在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，求（a+b）2的值． 【解答】解：∵大正方形的面积是15，小正方形的面积是1， ∴四个直角三角形面积和为15﹣1＝14，即4ab＝14， ∴2ab＝14，a2+b2＝15， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝15+14＝29． 【解答】解：若a＝4，b＝10， 则a3﹣ab＝43﹣4×10＝64﹣40＝24． 故选：B． 7．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支铅笔的长度可能是（　　） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm， 在Rt△ABC中：AC15（cm）， 则这支铅笔的长度大于15cm． 故选：D． 8．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接AD， ∵以A为圆心，AB的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D， ∴AD＝AB＝3， ∴DE， ∴CD＝CE﹣DE＝3， 故选：B． 9．已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（　　） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1，S2大小无法确定 【解答】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b， ∴该直角三角形的斜边为c， ∴c2＝a2+b2， ∴c2﹣a2﹣b2＝0， ∴S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc， ∵S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc， ∴S1＝S2， 故选：C． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将它的锐角A翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【解答】解：根据题意可知CD＝3， 设DE＝AE＝x， 则CE＝4﹣x， 在Rt△ECD中，DE2＝EC2+CD2， 即x2＝（4﹣x）2+9， 解得x． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．欲检验画框的两边是否垂直．若测得两边长分别为60cm和32cm，对角线为68cm，则该画框　合格　 （填“合格”或“不合格”）． 【解答】解：∵602+322＝4624＝682， ∴画框两边与对角线构成直角三角形， ∴画框的两边垂直； 故答案为：合格． 12．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的▇填上适当的数字为：　6　 ． 【解答】解：斜边的长：25米，少走：7+24﹣25＝6米． 13．一艘小船上午7点从某港口出发，它以10海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以15海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距 　25　 海里． 【解答】解：如图， 由题意可知，∠AOB＝90°，OA＝10×（9﹣7）＝20（海里），OB＝15×（9﹣8）＝15（海里）， 根据勾股定理得：AB25（海里）， 即9点时两艘小船相距25海里， 故答案为：25． 14．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，且DF＝6，则BE的长为　4　 ． 【解答】解：∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处， ∴∠AFE＝∠B＝90°，AB＝AF＝8，BE＝FE． 在△ADF中， ∵AF2+DF2＝62+82＝100＝102＝AD2， ∴△ADF是直角三角形，∠AFD＝90°． ∴D，F，E在一条直线上． 设BE＝x，则EF＝x，DE＝6+x，EC＝10﹣x， 在Rt△DCE中，∠C＝90°， ∴CE2+CD2＝DE2， 即 （10﹣x）2+82＝（6+x）2． ∴x＝4． ∴BE＝4； 故答案为：4． 15．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是　25　 尺． 【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×3＝15（尺）， 因此葛藤长为25（尺）． 故答案为：25． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，点F在AB边上，过点D作DE⊥BC，垂足是E，∠FED＝∠B，∠FDE＝∠DFE．下列结论：①2∠CDE＝∠A；②BC＝BF+CD；③△DEF是等边三角形；④过点D作DG⊥DE，交AB边于点G，若G是AF的中点，则FD⊥AD．其中正确的是 　①②④　 ．（填写序号） 【解答】解：①在△ABC中，AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∵∠A+∠C+∠B＝180°， ∴∠A+2∠C＝180°， ∵DE⊥BC， ∴△DCE是直角三角形， ∴∠CDE+∠C＝90°， ∴2∠CDE+2∠C＝180°， ∴2∠CDE＝∠A， 故结论①正确； ②∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝∠DEB＝90°， ∴∠BEF+∠FED＝∠DEB＝90°， ∵∠FED＝∠B， ∴∠BEF+∠B＝90°， 在△BEF中，∠EFB＝180°﹣（∠BEF+∠B）＝90°， ∴∠EFB＝∠DEC＝90°， ∵∠FDE＝∠DFE， ∴DE＝EF， 在△DEC和△EFB中， ， ∴△DEC≌△EFB（AAS）， ∴CD＝BE，CE＝BF， ∴BC＝CE+BE＝BF+CD， 故结论②正确； ③不妨假设△DEF是等边三角形， ∴∠FED＝60°， ∵∠FED＝∠B， ∴∠B＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， 依题意得：△ABC不一定是等边三角形， ∴假设△DEF是等边三角形是错误的， 故结论③不正确； ④∵DG⊥DE， ∴∠EDG＝90°， ∵∠EFB＝90°， ∴∠EDG＝∠EFB＝90°， ∵∠FDE＝∠DFE， ∴∠EDG﹣∠FDE＝∠EFB﹣∠DFE， ∴∠GDF＝∠GFD， ∴GD＝GF， ∵点G是AF的中点， ∴GF＝GA， ∴∠GDA＝∠A， ∴∠ADF＝∠GDF+∠GDA＝∠GFD+∠A， 在△DAF中，∠GFD+∠A+∠ADF＝180°， ∴2∠ADF＝180°， ∴∠ADF＝90°， ∴DF⊥AD， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 三．解答题（共10小题） 17．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数． 【解答】解： 连接AC，∵AB＝BC＝2，且∠ABC＝90°， ∴且∠CAB＝45°， 又∵AD＝1，CD＝3， ∴AD2+AC2＝CD2 ∴∠CAD＝90°， ∴∠A＝∠CAD+∠CAB＝135°． 18．如图正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识回答问题． （1）判断△ABC是什么形状三角形？并说明理由； （2）求△ABC的面积； （3）试求点A到BC的距离． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB； 在Rt△AEC中，AC； 在Rt△BDC中，BC； ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形． （2）∵△ABC是直角三角形， ∴S△ABC26； （3）∵∠B是直角， ∴A到BC的距离AB． 19．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB． （1）求CD，AD的值； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB且CB＝3，BD，故△CDB为直角三角形， ∴在Rt△CDB中，CD， 在Rt△CAD中，AD． （2）△ABC为直角三角形． 理由：∵AD，BD，∴AB＝AD+BD5， ∴AC2+BC2＝42+32＝25＝52＝AB2， ∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形． 20．古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC．人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面BE的距离为1.5m（绳子一直是直的） （1）若AB＝7.5m，AE＝15.5m，求从定滑轮C到D点的绳长； （2）若BE的长为12m，CD比BC长6.5m，求桥面的宽AB． 【解答】解：（1）过点D作DF⊥BC于点F， 由题意知：∠ABC＝90°，BC＝AB＝7.5m， ∵AE＝15.5m， ∴BE＝AE﹣AB＝8m， 由题意可知：四边形BEDF是矩形， ∴DF＝BE＝8m，DE＝BF＝1.5m， ∴CF＝BC﹣BF＝6m， 在Rt△CDF中， CD10（m）， ∴定滑轮C到D点拉着的绳长为10m； （2）由（1）知DF＝BE＝12m，DE＝BF＝1.5m， ∴CF＝BC﹣BF＝（AB﹣1.5）m， ∵CD比BC长6.5m， ∴CD＝BC+6.5＝（AB+6.5）m， 在Rt△CDF中， ∵CF2+DF2＝CD2， ∴（AB﹣1.5）2+122＝（AB+6.5）2， ∴AB＝6.5m， ∴桥面的宽AB长为6.5m． 21．如图，某居民小区有一块四边形空地ABCD，小道AC和CE把这块空地分成了△ABC、△ACE和△CDE三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知∠B＝90°，∠CAD＝90°，AB＝12米，BC＝16米，AE＝15米． （1）求四边形ABCE的面积； （2）小明和小林以相同的速度同时从点E出发，分别沿E→A→C和E→D→C两条不同的路径散步，结果两人同时到达点C，求线段DE的长度． 【解答】解：（1）．已知∠B＝90°，∠CAD＝90°，AB＝12米，BC＝16米，AE＝15米， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC20（米）， ∵∠CAD＝90°， 在直角三角形ACE中，由勾股定理得：CE25（米）， ∴△ACE是直角三角形，且∠CAE＝90°， ∴四边形ABCE的面积为： S△ABC+S△AEC AB×BCAC×AE 12×1620×15 ＝96+150 ＝246（平方米）； （2）依题意，ED+DC＝EA+AC＝15+20＝35（米）， 设DE＝x米，则CD＝（35﹣x）米， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD2＝AC2+AD2， ∴（35﹣x）2＝202+（15+x）2， 解得：x＝6， 即线段DE的长度为6米． 22．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”． （1）如图1，在△ABC中，AB＝BC，且BC≠AC，请你在图1中作出△ABC的一条“等分积周线”； （2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由． （3）如图2，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB＝4，BC＝10，CD＝6．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”； （4）如图3，在△ABC中，AB＝BC＝7cm，AC＝10cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由． 【解答】解：（1）∵AB＝BC， ∴△ABC为等腰三角形， 则由等腰三角形的“三线合一”可得，作线段AC的中垂线BD， ∴AD＝CD， ∴，AB+AD＝BC+CD， 如图所示，BD即为所求： （2）不能， 理由：如图2， 若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC， ∴AD＝BD， ∵AC≠BC， ∴AD+AC≠BD+BC， ∴过点C不能画出一条“等分积周线”； （3）证明：连接AE、DE，设BE＝x，如图： ∵EF垂直平分AD， ∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF， ∵∠B＝∠C＝90°，AB＝4，BC＝10，CD＝6， ∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出： AB2+BE2＝CE2+DC2，即42+x2＝（10﹣x）2+62， 解得：x＝6， ∴BE＝6，CE＝4， ∴AB+BE＝CE+DC，S△ABE＝S△DCE， ∴S四边形ABEF＝S△ABE+S△AEF， S四边形DCEF＝S△DEF+S△DCE， ∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF， AF+AB+BE＝DF+EC+DC， ∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”； （4）如图4，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝7cm，在BC上取一点E，使得BE＝2cm， 作直线EF，则EF是△ABC的“等分积周线”， 理由：由作图可得：AF＝AC﹣FC＝10﹣7＝3（cm）， 在CB上取一点G，使得CG＝AF＝3cm，则有AB+AF＝CF+CG， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， 在△ABF和△CFG中 ， ∴△ABF≌△CFG（SAS）， ∴S△ABF＝S△CFG， 又易得BE＝EG＝2cm， ∴S△BFE＝S△EFG， ∴S△EFC＝S四边形ABEF， AF+AB+BE＝CE+CF＝12cm， ∴EF是△ABC的“等分积周线”． 23．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km， ∴AB500（km）， 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km； （2）海港C受台风影响， 理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABCAC•BCCE•AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响； （3）以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D，F， 则CD＝CF＝260km时，正好影响C港口， 在Rt△CDE中， ∵ED100（km）， ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 24.【问题探究】（1）如图1，在长方形中，，点在边上，连接，点为的中点，过点作交于点，延长交于点N，点F与点A关于所在直线对称，连接、，求的面积； 【问题解决】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在四边形中，米，米，校学生会计划在边上找一个点E（足够张），在边、上分别取点M、N，使得垂直平分，取点关于的对称点，将区域规划为活动区，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区，为了节省搭建材料，你帮助校学生会计算出安全文化宣传长廊（即周长）的最小值． 解：（1）连接，如图． 点P为的中点，， 点E与点B关于所在直线对称， 又点F与点A关于所在直线对称， 与关于所在直线对称， 与的面积相等． 四边形为矩形， ， 点E到的距离等于的长， ， ， 即的面积为15． （2）取点关于所在直线的对称点，连接交于点，如图． 垂直平分， 点与点关于所在直线对称． 又点D与点F关于所在直线对称， 与关于所在直线对称， 米，即的长为定值， 当的值最小时，的周长最小．              点A与点关于所在直线对称， ， 即当点E位于点处时，取得最小值， 此时点F、M、N分别位于点处． ， ， 点A与点关于BC所在直线对称，米， 米， 米． 又米， 米，                                  即的最小值为130米， （米）， 安全文化宣传长廊（即周长）的最小值为180米． 25．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是直线BC上两动点，且∠DAE＝45°．热爱探究的小明将△ABD沿AD折叠，得△ADF，连接EF，得到新的△DEF，如图2．请继续探究并解决下列问题： （1）如图2，此时∠DFE＝ 　90°　 ； （2）如图3，当动点E在线段BC上，动点D在线段CB延长线上时，小明将△ABD沿AD对折，得△AFD，连接FE，其它条件不变，得到新的△DEF，如图4．请求出此时∠DFE的度数，并说明理由； （3）拓展：如图5，在等边△ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，可知当AD＝BE时，线段DE、AD、EB构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是 　120°　 （直接写出答案）． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵将△ABD沿AD折叠，得△ADF，连接EF， ∴∠BAD＝∠DAF，AB＝AF，∠B＝∠AFD＝45°， ∴AF＝AC， ∵∠DAE＝∠DAF+∠FAE＝45°， ∴∠FAE＝45°﹣∠DAF， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠EAC＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAC＝45°﹣∠BAD， ∴∠FAE＝∠EAC， ∵AE＝AE， ∴△AEF≌△AEC（SAS）， ∴∠C＝∠AFE＝45°， ∴∠DFE＝45°+45°＝90°， 故答案为：90°； （2）由折叠得：△AFD≌△ABD， ∴FD＝BD，∠AFD＝∠ABD， ∵AB＝AC， ∴AF＝AC， ∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB， ∴∠FAE＝∠EAC， ∵AE＝AE， ∴△AFE≌△ACE（SAS）， ∴∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°， ∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°； （3）等边△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝∠B＝∠BAC＝60°， 将△CBE绕点C顺时针旋转60°得△CAF， 则CE＝CF，BE＝AF，∠BCE＝∠ACF，∠B＝∠CAF＝60°， ∵∠DCE＝30°， ∴∠BCE+∠ACD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ACF+∠ACD＝∠DCF＝30°＝∠DCE， ∵CD＝CD，CE＝CF， ∴△CDE≌△CDF， ∴DE＝DF， ∵线段DE、AD、EB构成一个等腰三角形，AD＝BE， ∴线段DF、AD、AF构成一个等腰三角形，∠DAF为此等腰三角形顶角， ∴∠DAF＝∠DAC+∠CAF＝60°+60°＝120°， 即此时等腰三角形顶角的度数是120°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/28 11:44:42；用户：陈老师；邮箱：dzcjh@qq.com；学号：1374551 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $