1.1《认识特殊平行四边形》分层作业 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册“认识特殊平行四边形”同步练，以“基础巩固-思维进阶-中考衔接”分层设计，覆盖定义、性质及综合应用，适配新授课知识内化与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|特殊平行四边形定义、性质及从属关系|以选择填空为主，强化概念辨析（如菱形邻边相等判定），培养几何直观| |进阶思维题|性质综合应用（对角线计算、折叠问题）|含解答题，需推理与运算结合（如菱形对角线求边长），发展推理意识| |中考链接题|中考综合能力（证明、动态几何）|选用中考真题（如菱形中证明线段相等），提升应用意识与空间观念|

北师大版九年级上册 第1章 同时平行四边形 1.1认识特殊平行四边形 本节知识点总结 1. 特殊平行四边形与平行四边形的关系：菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们都具有平行四边形的所有性质。 2. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直。 3. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。 基本性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。 4. 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 基本性质：正方形兼具菱形和矩形的所有性质，四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直。 5. 从属关系： 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 特殊平行四边形的识别与判断 1．（2024-2025九年级上·北京朝阳·期中）下列四边形中，是菱形的是（　　） A．有一组邻边相等的四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形 C．有一个角是直角的平行四边形 D．四条边都相等的四边形 2．（2024秋·上海闵行·单元测）下列说法正确的是（　　） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是正方形 3．（2024-2025九年级上·广东广州·月考）下列条件中，能判定一个平行四边形是正方形的是（　　） A．有一组邻边相等 B．有一个角是直角 C．对角线互相垂直 D．有一组邻边相等且有一个角是直角 题型02 菱形的概念与基本性质 4．（2024秋·江苏苏州·单元测）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）菱形ABCD中，若AB = 5，则菱形的周长为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 6．（2024秋·山东济南·月考）菱形的两条对角线长分别为6和8，则下列说法正确的是（　　） A．菱形的面积为48 B．菱形的边长为10 C．菱形的对角线互相垂直 D．以上都不对 题型03 矩形的概念与基本性质 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期中）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 8．（2024秋·湖南长沙·单元测）矩形ABCD中，若∠A = 90°，则下列说法错误的是（　　） A．∠B = 90° B．∠C = 90° C．∠D = 90° D．只有∠A是直角 9．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12，则对角线长为________。 题型04 正方形的概念与基本性质 10．（2024秋·河北石家庄·单元测）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．四条边相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 11．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．四条边都相等 D．对角线互相平分 12．（2024秋·辽宁沈阳·月考）正方形的边长为4，则它的对角线长为（　　） A．4 B．4√2 C．8 D．8√2 题型05 三种特殊平行四边形的概念辨析 13．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）下列说法正确的是（　　） A．菱形是特殊的矩形 B．矩形是特殊的菱形 C．正方形是特殊的菱形 D．平行四边形是特殊的菱形 14．（2024秋·天津南开·单元测）下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形。其中对角线相等的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 15．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）下列说法中，正确的个数有（　　） ① 正方形一定是矩形；② 正方形一定是菱形； ③ 菱形一定是正方形；④ 矩形一定是正方形。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06 从属关系判断 16．（2025·成都·期末）如图，集合M表示平行四边形，集合N表示矩形，集合P表示菱形，集合Q表示正方形，则它们之间的关系正确的是（　　） 17．（2024-2025九年级上·福建福州·期末）下列关系图中，能正确表示平行四边形、矩形、菱形、正方形关系的是（　　） 18．（2024秋·江西南昌·期中）用"一定""不一定""一定不"填空： （1）菱形________是平行四边形； （2）平行四边形________是菱形； （3）正方形________是矩形； （4）矩形________是正方形。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 2．（2024秋·上海浦东·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A．AC⊥BD B．OA = OC C．AC = BD D．AB = BC 3．（2024-2025九年级上·广东深圳·期末）矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若∠AOB = 60°，AB = 6，则AC的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2024秋·江苏南京·期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的个数是（　　） ① AC = BD；② AC⊥BD；③ OA = OB；④ ∠OAB = 45° A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·期末）下列说法：① 有一组邻边相等的矩形是正方形；② 有一个角是直角的菱形是正方形；③ 对角线相等的菱形是正方形；④ 对角线互相垂直的矩形是正方形。其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024秋·山东青岛·期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将其折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（　　） A． B． C． D． （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为________，面积为________。 8．（2024秋·湖南长沙·期末）矩形的两条对角线的夹角为120°，较短边长为5，则对角线长为________，较长边长为________。 9．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）正方形的对角线长为6，则它的边长为________，面积为________。 10．（2024秋·河北唐山·期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AB = 4，则AC = ________，BD = ________。 11．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）如图，矩形ABCD中，E是BC中点，AE = AD = 2，则AB的长为________。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁大连·期末）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AB = 5，AC = 6，求BD的长和菱形的面积。 13．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD = 120°，AB = 4，求矩形对角线的长和BC的长。 三、中考链接题 1．（2024·北京·中考）如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，BE = DF，连接CE，CF。求证：CE = CF。 2．（2024·广东·中考）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AD = 2，∠AOB = 60°，则AB的长为________。 3．（2024·江苏苏州·中考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，则阴影部分的面积为________。 4．（2024·浙江杭州·中考）在菱形ABCD中，∠A = 60°，AB = 4，则BD的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 5．（2024·湖北武汉·中考）如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，则∠BED的度数为________。 6．（2024·四川成都·中考）如图，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，点E在BC上，且AE平分∠BAC，则CE的长为（　　） A． B．2 C． D．3 7．（2024·陕西·中考）在菱形ABCD中，对角线AC = 8，对角线BD = 6，则菱形的周长为（　　） A．20 B．24 C．28 D．40 8．（2024·重庆·中考）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，． （1）求证：； （2）求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第1章 同时平行四边形 1.1认识特殊平行四边形 本节知识点总结 1. 特殊平行四边形与平行四边形的关系：菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们都具有平行四边形的所有性质。 2. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直。 3. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。 基本性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。 4. 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 基本性质：正方形兼具菱形和矩形的所有性质，四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直。 5. 从属关系： 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 特殊平行四边形的识别与判断 1．（2024-2025九年级上·北京朝阳·期中）下列四边形中，是菱形的是（　　） A．有一组邻边相等的四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形 C．有一个角是直角的平行四边形 D．四条边都相等的四边形 【答案】B 【分析】根据菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 【详解】解： A. 错误，必须是平行四边形且有一组邻边相等； B. 正确，这是菱形的定义； C. 错误，这是矩形的定义； D. 错误，四条边相等的四边形是菱形，但定义要求从平行四边形出发。 故选：B。 2．（2024秋·上海闵行·单元测）下列说法正确的是（　　） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 【详解】解： A. 错误，必须是平行四边形； B. 正确，这是矩形的定义； C. 错误，对角线相等的平行四边形才是矩形； D. 错误，四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形。 故选：B。 3．（2024-2025九年级上·广东广州·月考）下列条件中，能判定一个平行四边形是正方形的是（　　） A．有一组邻边相等 B．有一个角是直角 C．对角线互相垂直 D．有一组邻边相等且有一个角是直角 【答案】D 【分析】根据正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 【详解】解： A. 只能判定是菱形； B. 只能判定是矩形； C. 只能判定是菱形； D. 既有一组邻边相等（菱形特征），又有一个角是直角（矩形特征），符合正方形定义。 故选：D。 题型02 菱形的概念与基本性质 4．（2024秋·江苏苏州·单元测）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】平行四边形都具有对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质；菱形特有的性质是四条边相等、对角线互相垂直。 【详解】解： A、B、C都是所有平行四边形共有的性质； D. 对角线互相垂直是菱形特有的性质，一般平行四边形不具有。 故选：D。 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）菱形ABCD中，若AB = 5，则菱形的周长为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】菱形的四条边都相等，周长 = 边长 × 4。 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = BC = CD = DA = 5， ∴周长 = 5 × 4 = 20。 故选：C。 6．（2024秋·山东济南·月考）菱形的两条对角线长分别为6和8，则下列说法正确的是（　　） A．菱形的面积为48 B．菱形的边长为10 C．菱形的对角线互相垂直 D．以上都不对 【答案】C 【分析】菱形的对角线互相垂直，这是菱形的基本性质。 【详解】解： A. 菱形面积 = × 6 × 8 = 24，不是48； B. 边长 = = 5，不是10； C. 正确，菱形的对角线互相垂直，这是基本性质。 故选：C。 题型03 矩形的概念与基本性质 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期中）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】平行四边形都具有对边平行相等、对角相等、对角线互相平分的性质；矩形特有的性质是四个角都是直角、对角线相等。 【详解】解： A、B、D都是所有平行四边形共有的性质； C. 对角线相等是矩形特有的性质，一般平行四边形不具有。 故选：C。 8．（2024秋·湖南长沙·单元测）矩形ABCD中，若∠A = 90°，则下列说法错误的是（　　） A．∠B = 90° B．∠C = 90° C．∠D = 90° D．只有∠A是直角 【答案】D 【分析】矩形的四个角都是直角。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。 D选项说只有∠A是直角，错误。 故选：D。 9．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12，则对角线长为___24_____。 【答案】24 【分析】矩形对角线相等且互相平分，夹角60°时，较短边与两条对角线的一半构成等边三角形。 【详解】解：∵矩形对角线相等且互相平分， ∴两条对角线的一半与较短边构成三角形， 又∵夹角为60°， ∴这个三角形是等边三角形， ∴对角线的一半 = 12， ∴对角线长 = 24。 故答案为：24。 题型04 正方形的概念与基本性质 10．（2024秋·河北石家庄·单元测）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．四条边相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】正方形兼具菱形和矩形的性质，菱形没有对角线相等的性质，矩形有。 【详解】解： A. 菱形和正方形都有四条边相等； B. 菱形和正方形的对角线都互相垂直平分； C. 正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等； D. 菱形和正方形的对角线都平分一组对角。 故选：C。 11．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．四条边都相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】正方形兼具矩形和菱形的性质，矩形没有四条边都相等的性质，菱形有。 【详解】解： A. 矩形和正方形四个角都是直角； B. 矩形和正方形对角线都相等； C. 正方形四条边都相等，矩形对边相等但邻边不一定相等； D. 矩形和正方形对角线都互相平分。 故选：C。 12．（2024秋·辽宁沈阳·月考）正方形的边长为4，则它的对角线长为（　　） A．4 B．4√2 C．8 D．8√2 【答案】B 【分析】正方形对角线 = 边长 × √2。 【详解】解：正方形的对角线与两条边构成等腰直角三角形， 由勾股定理：对角线 = √(4² + 4²) = √32 = 4√2。 故选：B。 题型05 三种特殊平行四边形的概念辨析 13．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）下列说法正确的是（　　） A．菱形是特殊的矩形 B．矩形是特殊的菱形 C．正方形是特殊的菱形 D．平行四边形是特殊的菱形 【答案】C 【分析】正方形既是特殊的菱形，又是特殊的矩形；菱形和矩形都是特殊的平行四边形。 【详解】解： A. 错误，菱形和矩形是不同的特殊平行四边形； B. 错误； C. 正确，正方形有一组邻边相等（菱形特征），所以是特殊的菱形； D. 错误，菱形是特殊的平行四边形，反过来不对。 故选：C。 14．（2024秋·天津南开·单元测）下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形。其中对角线相等的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【分析】矩形和正方形的对角线相等；平行四边形和菱形的对角线不一定相等。 【详解】解： ① 平行四边形：对角线互相平分，不一定相等； ② 菱形：对角线互相垂直平分，不一定相等； ③ 矩形：对角线相等且互相平分； ④ 正方形：对角线相等且互相垂直平分。 对角线相等的是③④。 故选：C。 15．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）下列说法中，正确的个数有（　　） ① 正方形一定是矩形；② 正方形一定是菱形； ③ 菱形一定是正方形；④ 矩形一定是正方形。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形；但菱形和矩形不一定是正方形。 【详解】解： ① 正确，正方形有一个角是直角，是特殊的矩形； ② 正确，正方形有一组邻边相等，是特殊的菱形； ③ 错误，菱形不一定有直角，不一定是正方形； ④ 错误，矩形不一定邻边相等，不一定是正方形。 正确的有2个。 故选：B。 题型06 从属关系判断 16．（2025·成都·期末）如图，集合M表示平行四边形，集合N表示矩形，集合P表示菱形，集合Q表示正方形，则它们之间的关系正确的是（　　） 【答案】A 【分析】正方形既是矩形的子集，又是菱形的子集；矩形和菱形都是平行四边形的子集。 【详解】解：从属关系为： 平行四边形包含矩形和菱形，正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，因此B正确。 故选：B。 17．（2024-2025九年级上·福建福州·期末）下列关系图中，能正确表示平行四边形、矩形、菱形、正方形关系的是（　　） 【答案】A 【分析】矩形和菱形都是特殊的平行四边形，正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形。 【详解】解： 平行四边形范围最大，包含矩形和菱形； 矩形和菱形有公共部分，公共部分就是正方形（既是矩形又是菱形）。 故选：A。 18．（2024秋·江西南昌·期中）用"一定""不一定""一定不"填空： （1）菱形___一定_____是平行四边形； （2）平行四边形____不一定____是菱形； （3）正方形_____一定___是矩形； （4）矩形____不一定____是正方形。 【答案】（1）一定；（2）不一定；（3）一定；（4）不一定 【分析】根据从属关系判断：特殊的一定属于一般的，一般的不一定是特殊的。 【详解】解： （1）菱形是特殊的平行四边形，所以一定是平行四边形； （2）平行四边形不一定有一组邻边相等，所以不一定是菱形； （3）正方形有一个角是直角，所以一定是矩形； （4）矩形不一定邻边相等，所以不一定是正方形。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】判定特殊平行四边形时，前提必须是平行四边形，再加上特殊条件。 【详解】解： A. 错误，必须是平行四边形且对角线相等才是矩形； B. 错误，必须是平行四边形且对角线互相垂直才是菱形； C. 正确，对角线相等的平行四边形是矩形； D. 错误，必须是平行四边形且对角线垂直且相等才是正方形。 故选：C。 2．（2024秋·上海浦东·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A．AC⊥BD B．OA = OC C．AC = BD D．AB = BC 【答案】C 【分析】菱形的性质：四条边相等，对角线互相垂直平分，但对角线不一定相等。 【详解】解： A. 正确，菱形对角线互相垂直； B. 正确，菱形对角线互相平分； C. 错误，菱形对角线不一定相等； D. 正确，菱形四条边相等。 故选：C。 3．（2024-2025九年级上·广东深圳·期末）矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若∠AOB = 60°，AB = 6，则AC的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】矩形对角线相等且互相平分，∠AOB = 60°时，△AOB是等边三角形。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA = OB = OC = OD（矩形对角线相等且互相平分）， ∵∠AOB = 60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA = AB = 6， ∴AC = 2OA = 12。 故选：D。 4．（2024秋·江苏南京·期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的个数是（　　） ① AC = BD；② AC⊥BD；③ OA = OB；④ ∠OAB = 45° A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】正方形兼具矩形和菱形的所有性质：对角线相等、垂直、互相平分，对角线平分对角。 【详解】解： ① 正确，正方形对角线相等（矩形性质）； ② 正确，正方形对角线互相垂直（菱形性质）； ③ 正确，对角线相等且互相平分，所以OA = OB； ④ 正确，对角线平分直角，所以∠OAB = 45°。 四个都正确。 故选：D。 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·期末）下列说法：① 有一组邻边相等的矩形是正方形；② 有一个角是直角的菱形是正方形；③ 对角线相等的菱形是正方形；④ 对角线互相垂直的矩形是正方形。其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】这四个都是正方形的判定方法：在矩形基础上加菱形特征，或在菱形基础上加矩形特征，都能得到正方形。 【详解】解： ① 矩形有一个直角，再加一组邻边相等（菱形特征），就是正方形，正确； ② 菱形邻边相等，再加一个直角（矩形特征），就是正方形，正确； ③ 菱形邻边相等，对角线相等（矩形特征），就是正方形，正确； ④ 矩形有直角，对角线互相垂直（菱形特征），就是正方形，正确。 四个都正确。 故选：D。 6．（2024秋·山东青岛·期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将其折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】折叠后折痕垂直平分AC，利用相似三角形或勾股定理求解。 【详解】解：AC = = 5，OC = ， 折痕EF垂直平分AC， ∴AF=CF， 在Rt△CDF中， CF2=(AD-CF)2+CD2 ∴CF2=(4-CF)2+32 解得CF= 在Rt△COF中， CF2=OF2+OC2 ∴= OF2+ ∴OF= ， EF = 2 × OF = 故选：A。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为_____5___，面积为_____24___。 【答案】5；24 【分析】菱形对角线互相垂直平分，边长用勾股定理求；面积 = 对角线乘积的一半。 【详解】解：∵菱形对角线互相垂直平分， ∴两条对角线的一半分别为3和4， 边长 = √(3² + 4²) = 5； 面积 = ½ × 6 × 8 = 24。 故答案为：5；24。 8．（2024秋·湖南长沙·期末）矩形的两条对角线的夹角为120°，较短边长为5，则对角线长为___10_____，较长边长为________。 【答案】10；5 【分析】夹角120°时，另一个夹角60°，较短边与对角线一半构成等边三角形。 【详解】解：∵矩形对角线相等且互相平分，夹角120°， ∴另一个夹角为60°，较短边与对角线一半构成等边三角形， ∴对角线的一半 = 5，对角线长 = 10； 较长边 = = = 5。 故答案为：10；5。 9．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）正方形的对角线长为6，则它的边长为____3____，面积为____18____。 【答案】3；18 【分析】正方形对角线 = 边长 × ，面积 = 。 【详解】解：设边长为a， 由勾股定理：a² + a² = 6²， 2a² = 36，a² = 18， a = 3； 面积 = a² = 18。 故答案为：3；18。 10．（2024秋·河北唐山·期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AB = 4，则AC = ____4____，BD = ____4____。 【答案】4；4 【分析】∠ABC = 60°且AB = BC，所以△ABC是等边三角形，AC = AB；再用勾股定理求BD。 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB = BC， 又∵∠ABC = 60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AC = AB = 4，OA = 2， 在Rt△AOB中，OB = = = 2， ∴BD = 2OB = 4。 故答案为：4；4。 11．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）如图，矩形ABCD中，E是BC中点，AE = AD = 2，则AB的长为________。 【答案】 【分析】AE = AD = BC = 2，E是BC中点，所以BE = 1，在Rt△ABE中用勾股定理。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD = BC = 2， ∵E是BC中点，∴BE = 1， 在Rt△ABE中，AB = = = 。 故答案为：。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁大连·期末）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AB = 5，AC = 6，求BD的长和菱形的面积。 【答案】BD = 8，面积 = 24 【分析】菱形对角线互相垂直平分，先求OA，再用勾股定理求OB，最后得BD和面积。 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA = ½AC = 3，OB = ½BD， 在Rt△AOB中，由勾股定理： OB = = = = 4， ∴BD = 2OB = 8； 菱形面积 = × AC × BD = × 6 × 8 = 24。 13．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD = 120°，AB = 4，求矩形对角线的长和BC的长。 【答案】对角线长 = 8，BC = 4√3 【分析】∠AOD = 120°，则∠AOB = 60°，△AOB是等边三角形，对角线 = 2AB。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA = OB = OC = OD， ∵∠AOD = 120°，∴∠AOB = 60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA = AB = 4， ∴AC = BD = 2OA = 8； 在Rt△ABC中，BC = = = = 4。 三、中考链接题 1．（2024·北京·中考）如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，BE = DF，连接CE，CF。求证：CE = CF。 【答案】见详解 【分析】利用菱形四边相等、对角相等，证明△BCE ≌ △DCF。 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC = DC，∠B = ∠D， 在△BCE和△DCF中： BC = DC， ∠B = ∠D， BE = DF， ∴△BCE ≌ △DCF（SAS）， ∴CE = CF。 2．（2024·广东·中考）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AD = 2，∠AOB = 60°，则AB的长为________。 【答案】 【分析】∠AOB = 60°，△AOB是等边三角形，AB = OA，再用勾股定理。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA = OB，∠BAD = 90°， ∵∠AOB = 60°，∴△AOB是等边三角形， ∴AB = OA = OB，BD = 2OB = 2AB， 在Rt△ABD中，AB² + AD² = BD²， AB² + 4 = 4AB²， 3AB² = 4，AB² = ， ∴AB = 3．（2024·江苏苏州·中考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，则阴影部分的面积为____2____。 【答案】2 【分析】利用平行线间距离相等，△AFC与△ABC同底等高，面积相等。 【详解】解：连接BF， ∵四边形ABCD和EFGB都是正方形， ∴BF∥AC（正方形对角线平行）， ∴△AFC与△ABC同底等高， S△AFC = S△ABC = × 2 × 2 = 2。 4．（2024·浙江杭州·中考）在菱形ABCD中，∠A = 60°，AB = 4，则BD的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 【答案】B 【分析】∠A = 60°，AB = AD，所以△ABD是等边三角形，BD = AB。 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = AD， 又∵∠A = 60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD = AB = 4。 故选：B。 5．（2024·湖北武汉·中考）如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，则∠BED的度数为____45°____。 【答案】45° 【分析】AB = AE，∠BAE = 150°，等腰三角形求底角，再减45°。 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形， ∴AB = AD = AE，∠BAD = 90°，∠DAE = 60°， ∴∠BAE = 90° + 60° = 150°， 在△ABE中，AB = AE， ∴∠AEB = (180° - 150°) ÷ 2 = 15°， ∴∠BED = ∠AED - ∠AEB = 60° - 15° = 45°。 6．（2024·四川成都·中考）如图，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，点E在BC上，且AE平分∠BAC，则CE的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用角平分线性质，过E作EF⊥AC，EF = BE，再用面积法或相似。 【详解】解：过E作EF⊥AC于F， ∵AB = 3，BC = 4， ∴AC = 5， ∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，EF⊥AC， ∴EF = BE，设CE = x，则BE = 4 - x = EF， S△AEC = × AC × EF = × 5 × (4 - x)， 又S△AEC = × CE × AB = × x × 3， ∴5(4 - x) = 3x，20 - 5x = 3x，8x = 20，x = 。 故选：C。 7．（2024·陕西·中考）在菱形ABCD中，对角线AC = 8，对角线BD = 6，则菱形的周长为（　　） A．20 B．24 C．28 D．40 【答案】A 【分析】菱形对角线互相垂直平分，用勾股定理求边长。 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA = 4，OB = 3， 边长AB = = 5， 周长 = 4 × 5 = 20。 故选：A。 8．（2024·重庆·中考）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】 证明见解析 【解析】 （1）根据正方形的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，可得，最后利用全等三角形的判定即可得证； （2）根据等边对等角可得，，由等边三角形的性质可得，最后代入计算可得出答案． 【解答】 （1）解：证明：四边形为正方形， ，， 为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ，， ， ，， 又， ， 的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $