专题1.1认识特殊平行四边形 （九大题型+过关检测） （小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以菱形、矩形、正方形为核心，通过“定义-性质-应用”逻辑链，构建“模块通关-专题攻坚-压轴突破”三阶训练体系，提炼对称性、旋转等解题方法，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模块1-3|1典例+3变式|定义结合性质计算边角|从特殊平行四边形定义出发，推导边角关系，形成计算模型| |模块4|1典例+3变式|利用定义与全等证明|以定义为依据，结合全等/等腰三角形性质，构建证明思路| |模块5-6|1典例+3变式|对称性质判断类型与条数|从轴对称、中心对称概念出发，分析图形对称特征| |微专题1-2|1典例+3变式|确定对称中心/旋转角度|结合中心对称图形性质，提炼对称中心确定及旋转角度计算方法| |压轴一|1典例+3变式|对称性解决最短路径|运用轴对称转化路径，培养空间观念与模型意识|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.1认识特殊平行四边形 》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 菱形定义下的边角计算 模块6求图形对称轴的具体条数 模块2 矩形定义下的边角计算 微专题1确定中心对称图形的对称中心 模块3 正方形定义下的边角计算 微专题2求旋转重合的最小角度 模块4 利用特殊的平行四边形的定义进行证明 压轴1 利用对称性解决最短路径问题 模块5 判断图形的对称性类型 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 【知识点1菱形】 1.定义:有一组邻边目等的平行四边形叫作菱形. 2.轴对称性:是轴对称图形有2条对称轴. 对称轴分别是:两条对角线在的直线. 3.中心对称性:是中心对称图形对称中心条对角线的交点 旋转重合:绕中心至少旋转180°能与原图形重合. [知识点2 矩形】 1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 2.轴对称性:是轴对称图形有2条对称轴. 对称轴分别是:两条对角线所在的直线， 3.中心对称性:是中心对称图形对称中心题条对角线的交点 旋转重合:绕中心至少旋转180°能与原图形重合. 【知识点3 正方形】 1.定义:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 2.轴对称性:是轴对称图形有4条对称轴. 对称轴分别是:两条对角线所在的直线，以及连一组对边中点的直线 3.中心对称性:是中心对称图形对称中心条对角线的交点 旋转重合:绕中心至少旋转0°能与原图形重合. 模块通关·举一反 三 【模块一】菱形定义下的边角计算 【典例1】如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质得，，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1-1】．在菱形中，，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的每一条对角线平分一组对角是解本题的关键． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴； 故选：B． 【变式1-2】如图，在菱形中，点分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解． 【详解】解：、分别是、的中点，， 是的中位线， ， 菱形的周长=4×6=24． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键． 【变式1-3】．如图，菱形的周长是，那么这个菱形的对角线的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质已知菱形的边长等于4cm，证明△ABC为等边三角形即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，且周长为16cm， ∴AB=CB=4cm， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC=4cm， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形四边相等的性质是解题的关键． 【模块二】矩形定义下的边角计算 【典例2】将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ） A． B． C． D．25 【答案】C 【分析】根据折叠的性质及含30的直角三角形的性质即可求解． 【详解】∵折叠 ∴，AB=AB’ ∵CD∥AB ∴ ∴ ∴AE=EC， ∴DE=EB’ ∵=3DE=DE+EC= DE+AE ∴AE=2DE ∵ ∴= 故选C． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知矩形的性质、折叠的特点及含30的直角三角形的性质． 【变式2-1】如图，在长方形中，，，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的性质：对边相等，四个角都是直角；可知：CB=AD=5，以及平面直角坐标系中点的坐标变化即可得出点A的坐标． 【详解】∵四边形ABCD是长方形 ∴CB=AD=3 ∴点B（-1-3，-1）即B（-4，-1） ∵AB=5 ∴点A（-4，-1+5），即A（-4，4） 故选：C 【点睛】本题主要考查了长方形的性质以及平面直角坐标系中点的变化规律，熟练的掌握长方形对边相等，四个角都是直角的性质是解题的关键． 【变式2-2】如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要使其面积为矩形面积的一半，平行四边形ABCD的高必须是矩形宽的一半，根据直角三角形中30°的角对的直角边等于斜边的一半，可知这个平行四边形的最小内角等于30°． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底BC， ∴平行四边形ABCD的高AE是矩形宽AB的一半． 在Rt△ABE中，， ∴∠ABC=30°． 故选：B． 【点睛】本题考查考查矩形的性质，平行四边形的面积公式和基本性质，含30°角的直角三角形．平行四边形的面积等于底×高． 【变式2-3】．如图，在矩形中，O为中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是中点且，则下列结论正确的个数为（   ） （1）；（2）；（3）是等边三角形；（4）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，在利用等边对等角可得，进而可得，从而判断是等边三角形，则（3）正确；设，则，利用等边三角形的性质及勾股定理可得（1）正确；进而可得（2）错误；利用三角形的面积公式及矩形的面积公式即可判断（4）正确，进而可求解． 【详解】解：，点点G是中点， ， ， ， ， 是等边三角形，故（3）正确； 设，则， 在中，， ， O为中点， ， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ， ，故（1）正确； ，， ，故（2）错误； ，， ，故（4）正确， 则结论正确的个数有3个， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的特征、等边三角形的判定及性质等腰三角形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【模块三】正方形定义下的边角计算 【典例3】如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A．75° B．55° C．15° D．25° 【答案】A 【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， 在中，，， ∴， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式3-1】如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ） A．22.5° B．25° C．23° D．20° 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=∠BCA=45°； △ACE中，AC=AE， 则：∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°； ∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°． 【点睛】考点：正方形的性质． 【变式3-2】如图正方形ABCD中以CD为边向外作等边三角形CDE，连接AE、AC，则∠CAE度数为(　　) A．15° B．30° C．45° D．20° 【答案】B 【分析】由正方形的性质可知∠CAD的度数,由等边三角形的性质可知∠CDE的度数,由角度变形求出∠DAE的度数即可求出∠CAE． 【详解】∵四边形ABCD为正方形, ∴DA=DC,∠CAD=45°,∠ADC=90°． ∵△CDE为等边三角形, ∴DE=DC,∠CDE=60°, ∴DA=DE,∠ADE=90°+60°=150°, ∴∠DAE=∠DEA,∴∠DAE=(180°﹣150°)=15°, ∴∠CAE=45°﹣15°=30°． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形和等边三角形的性质,关键在于角度的推导和变化． 【变式3-3】已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得，然后利用等腰三角形的性质求得的度数，从而求得的度数，利用三角形的内角和求得的度数． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 故选． 【点睛】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得有关角的度数，难度不大． 【模块四】利用特殊的平行四边形的定义进行证明 【典例4】如图，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN＝BM．      【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质可证得 ，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形， ∴AC＝CM， NC ＝BC，∠ACM＝∠BCN＝90°，∠MCN＝∠NCM ∠ACN＝∠BCM ， ∴△ACN≌△MCB（SAS） ∴AN＝BM 【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定定理． 【变式4-1】如图，菱形中，过点分别作边，上的高，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质和垂直的定义证明，得到结论． 【详解】证明：∵是菱形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【变式4-2】如图，在正方形中，是边上的一点，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接． 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】连接AF，根据对称得：△ABE≌△AFE，再由HL证明Rt△AFG≌Rt△ADG，可得结论． 【详解】证明：连接， 四边形是正方形， ，， 点关于直线的对称点为， ∴△ABE≌△AFE， ，， ， 在和中， ，， ∴Rt△AFG≌Rt△ADG(HL)， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键． 【变式4-3】如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF． 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC＝AB＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝DF 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠EAG＝∠FCG， 在△AEG和△CFG中， ， ∴△AEG≌△CFG（AAS）， ∴EG＝FG， 在△DGE和△DGF中， ， ∴△DGE≌△DGF（SSS）， ∴∠DGE＝∠DGF． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【模块五】判断图形的对称性类型 【典例5】如图，在的方格纸中，将向右平移4个单位长度得到,关于直线对称的图形为，将绕点旋转得. （1）在方格纸中画出、和； （2）在、和中，哪两个三角形成轴对称？ （3）在、和中，哪两个三角形成中心对称？ 【答案】（1）见解析；（2）和；（3）△ABC和 【分析】（1）根据平移的性质、轴对称的性质以及旋转的性质画图即可； （2）根据轴对称的定义，观察图形解答即可； （3）根据中心对称的定义，观察图形解答即可； 【详解】（1）如图，、和即为所求； （2）根据轴对称的定义，和成轴对称； （3）根据中心对称的定义，△ABC和成中心对称； 【点睛】本题考查了平移作图、轴对称作图、旋转作图，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、旋转的性质以及中心对称的定义是解答本题的关键． 【变式5-1】下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称的定义，即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称和中心对称的知识，解题的关键是学会判断轴对称图形和中心对称图形． 【变式5-2】下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 【变式5-3】在我国古代的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有较高的艺术价值，下列窗棂的图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心轴对称图形，故此选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合． 【模块六】求图形对称轴的具体条数 【典例6】下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． (1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴． (2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． (3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出对称轴即可； （2）根据要求画出图形即可； （3）根据要求画出图形即可． 【详解】（1）如图①中，直线m即为所求； （2）如图②中，图形即为所求； （3）如图③中，图形即为所求． 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式6-1】正方形既是__________图形，又是__________图形，它有__________条对称轴，对称中心是__________． 【答案】 轴对称 中心对称 4 对角线交点 【分析】依据正方形的轴对称性，即可得到结论． 【详解】解：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴，对称中心是对角线交点． 故答案为：轴对称，中心对称，4，对角线交点． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形以及轴对称的性质，解决问题的关键是掌握正方形的性质． 【变式6-2】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 【详解】 A选项图形有2条对称轴； B选项图形有2条对称轴； C选项图形有3条对称轴； D选项图形有1条对称轴； 所以，C选项图形的对称轴最多． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 【变式6-3】试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填入表格中． 正多边形的边数 3 4 5 6 7 8 对称轴的条数 根据上表，请就一个正n边形对称轴的条数作一猜想． 【答案】3，4，5，6，7，8  n 【分析】正多变形都是轴对称图形，其对称轴为任意边上的垂直平分线. 【详解】正三角形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有3条边，故有3条对称轴； 正四边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有4条边，故有4条对称轴； 正五边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有5条边，故有5条对称轴； 正六边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有6条边，故有6条对称轴； 正七边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有7条边，故有7条对称轴； 正八边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有8条边，故有8条对称轴； 由以上规律可得：正n边形，就有n条对称轴. 【点睛】理解轴对称图形的含义，通过轴对称图形的含义寻找对称轴. 专题攻坚·多题归一 【微专题一】确定中心对称图形的对称中心 【典例7】如图是两个等边三角形拼成的四边形． 这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心对称图形？若是，指出对称中心． 若旋转后能与重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请一一指出． 【答案】这个图形是旋转对称图形，对称中心为的中点；个，点，点，的中点 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义得出即可； （2）利用△ACD旋转后能与△ABC重合，结合图形得出旋转中心． 【详解】解：这个图形是旋转对称图形，对称中心为的中点； 个，旋转中心可以为：点，点，的中点． 【点睛】本题考查了旋转对称图形、中心对称图形的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转对称图形、中心对称图形的性质． 【变式7-1】如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（　　） A．点C B．点D C．线段BC的中点 D．线段FC的中点 【答案】D 【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案． 【详解】解：两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC的中点． 故选：D． 【点睛】本题比较容易，考查识别图形的中心对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（ ） A．（3，-1 ） B．（-2，-1） C．（2，-1） D．（-1，3） 【答案】A 【分析】连接对应点AA1，CC1，根据对应点的连线经过对称中心可知，两条线的交点就是对称中心E点，在坐标系内确定其坐标即可. 【详解】解：连接对应点AA1，CC1， 则两条连线的交点就是E点，由图可知E（3，-1）， 故选择A. 【点睛】本题考查了中心对称的性质. 【变式7-3】如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】找出两组对应点，然后连接每组对应点，则两组对应点连线的交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 点A与点C是对应点，点D与点E是对应点，线段AC与DE相交于点B， 所以点B是对称中心． 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的对称中心的找法，找出其中的两组对应点，然后连线是解决此类问题的关键． 【微专题二】求旋转重合的最小角度 【典例8】如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形顺时针旋转，一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少是 （  　） A．60° B．72° C．75° D．90° 【答案】B 【分析】用圆周角除5得到每个顶点之间的角度，即为旋转后重合的角度 【详解】360°÷5=72° 故至少旋转72°后能够重合 故选：B 【点睛】本题是旋转的考查，解题关键是求解出顶点间的夹角 【变式8-1】如图是一个等边三角形，若将它绕着它的中心O旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】根据旋转的性质与等边三角形的特点进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵它们都是旋转角，而它们的和为360°， ∴至少将它绕中心顺时针旋转，才能使等边三角形旋转后与自身重合． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转对称图形的性质，解答此题的关键熟练掌握等边三角形的特性． 【变式8-2】把图中的交通标示图案绕着它的中心旋转一定的角度后与自身重合，则这个旋转的角度至少是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形的对称性，用除以3计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴旋转的角度是的整数倍， ∴旋转的角度至少是． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键． 【变式8-3】把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转α度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．生活中的旋转对称图形有很多，善于捕捉生活中的这些美丽的图形，积累素材，可以为今后设计图案打下基础，下列正多边形，绕其中心旋转一定角度后与自身重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，即可作出判断． 【详解】解：A、最小旋转角度； B、最小旋转角度； C、最小旋转角度； D、最小旋转角度； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是D． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 利用对称性解决最短路径问题 【典例9】如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则点到两点距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【详解】解：∵矩形中，，，． ∴设高为，∴，即：， ∴动点在与平行且与距离是3的直线上运动， 如图，作关于直线的对称点，连接，，∴则的长就是所求的最短距离， 在中，∵，，∴， 即：的最小值为，故选：B． 【变式9-1】如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中，∴，，∴，， ∵，∴，故答案为： 【变式9-2】如图，正方形边长为6，、是边的三等分点，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【详解】解∶作点关于的对称点，连接，交于，连接，如下图：    则得长度即为所求．由题可知会落在上，、是边的三等分点， ，， ∴在中，的最小值是．故答案为：． 【变式9-3】如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，过点作的平行线交的延长线于点. 则四边形是平行四边形，∴， ∵为边的中点，∴，∴ ∵，∴， ∴四边形的周长的最小值 ，故选C． 通关检测·实战演练 1.下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意； C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2.雪花、风车、剪纸…．展示着中心对称、轴对称的美，我们利用对称的知识，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，哪一个图形的对称性与其他图形的对称性不同（    ） A．扇形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．矩形 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形； B、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2.国旗上的五角星需要旋转多少度后才能与自身重合？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合． 故选D． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 3.下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念，即可求解． 【详解】解：选项A的图形是轴对称图形，对称轴如下图： 选项B、C、D的图形都不是轴对称图形， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 4.下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴． 思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有______条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴． 当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？ 【答案】图见解析；3,4,5,6，n；圆，有无数条对称轴． 【详解】试题分析：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义可得只有第一个图形不是轴对称图形；作出各图形的对称轴，归纳规律即可． 试题解析： 3,4,5,6，n；圆，有无数条对称轴． 考点：轴对称图形． 5.如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形是正方形，是正三角形可得，即可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵是正三角形， ∴， ∴． 故选：B． 6.如图，在菱形中，点为边的中点，且，则的大小为 度． 【答案】120 【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，从而得到△ABD是等边三角形，即可求解． 【详解】：如图，连接BD， 在菱形中，AD=AB， ∵点为边的中点，且， ∴DE垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴AD=BD=AB， ∴△ABD是等边三角形， ∴ ， ∴． 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的性质和判定是解题的关键． 7.如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年青岛版数学九年级上册期末综合培优检测试题 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是设出未知数使用勾股定理建立方程． 连接，设，则有，先由勾股定理求解出，再表示出，，再由勾股定理求解x的值，即可求解的长． 【详解】解：连接，如图， 设，则有， 在中，， 在中，， 在中，， ∵，即， 在中，， 即，解得， ∴． 故选：C． 8.如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【难度】0.85 【来源】贵州省六盘水市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，由正方形的性质可知，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，，即， 在中，， 故选：A ． 9.如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的比例和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， 由折叠知，垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10..点是菱形的对角线上的动点，，，是中点， 的最小值（    ） .A． B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则， ，当点，点，点三点共线时，有最小值为， ，且四边形是菱形，， ，是等边三角形，,，， 在中，，故的最小值为．故选：A． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.1认识特殊平行四边形 》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 菱形定义下的边角计算 模块6求图形对称轴的具体条数 模块2 矩形定义下的边角计算 微专题1确定中心对称图形的对称中心 模块3 正方形定义下的边角计算 微专题2求旋转重合的最小角度 模块4 利用特殊的平行四边形的定义进行证明 压轴1 利用对称性解决最短路径问题 模块5 判断图形的对称性类型 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 【知识点1菱形】 1.定义:有一组邻边目等的平行四边形叫作菱形. 2.轴对称性:是轴对称图形有2条对称轴. 对称轴分别是:两条对角线在的直线. 3.中心对称性:是中心对称图形对称中心条对角线的交点 旋转重合:绕中心至少旋转180°能与原图形重合. [知识点2 矩形】 1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 2.轴对称性:是轴对称图形有2条对称轴. 对称轴分别是:两条对角线所在的直线， 3.中心对称性:是中心对称图形对称中心题条对角线的交点 旋转重合:绕中心至少旋转180°能与原图形重合. 【知识点3 正方形】 1.定义:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 2.轴对称性:是轴对称图形有4条对称轴. 对称轴分别是:两条对角线所在的直线，以及连一组对边中点的直线 3.中心对称性:是中心对称图形对称中心条对角线的交点 旋转重合:绕中心至少旋转0°能与原图形重合. 模块通关·举一反 三 【模块一】菱形定义下的边角计算 【典例1】如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】．在菱形中，，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在菱形中，点分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．如图，菱形的周长是，那么这个菱形的对角线的长是（    ） A． B． C． D． 【模块二】矩形定义下的边角计算 【典例2】将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ） A． B． C． D．25 【变式2-1】如图，在长方形中，，，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式2-3】．如图，在矩形中，O为中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是中点且，则下列结论正确的个数为（   ） （1）；（2）；（3）是等边三角形；（4）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【模块三】正方形定义下的边角计算 【典例3】如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A．75° B．55° C．15° D．25° 【变式3-1】如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ） A．22.5° B．25° C．23° D．20° 【变式3-2】如图正方形ABCD中以CD为边向外作等边三角形CDE，连接AE、AC，则∠CAE度数为(　　) A．15° B．30° C．45° D．20° 【变式3-3】已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【模块四】利用特殊的平行四边形的定义进行证明 【典例4】如图，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN＝BM．      【变式4-1】如图，菱形中，过点分别作边，上的高，，求证：． 【变式4-2】如图，在正方形中，是边上的一点，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接． 求证：． 【变式4-3】如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 【模块五】判断图形的对称性类型 【典例5】如图，在的方格纸中，将向右平移4个单位长度得到,关于直线对称的图形为，将绕点旋转得. （1）在方格纸中画出、和； （2）在、和中，哪两个三角形成轴对称？ （3）在、和中，哪两个三角形成中心对称？ 【变式5-1】下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-3】在我国古代的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有较高的艺术价值，下列窗棂的图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【模块六】求图形对称轴的具体条数 【典例6】下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． (1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴． (2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． (3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 【变式6-1】正方形既是__________图形，又是__________图形，它有__________条对称轴，对称中心是__________． 【变式6-2】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填入表格中． 正多边形的边数 3 4 5 6 7 8 对称轴的条数 根据上表，请就一个正n边形对称轴的条数作一猜想． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】确定中心对称图形的对称中心 【典例7】如图是两个等边三角形拼成的四边形． 这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心对称图形？若是，指出对称中心． 若旋转后能与重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请一一指出． 【变式7-1】如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（　　） A．点C B．点D C．线段BC的中点 D．线段FC的中点 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（ ） A．（3，-1 ） B．（-2，-1） C．（2，-1） D．（-1，3） 【变式7-3】如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【微专题二】求旋转重合的最小角度 【典例8】如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形顺时针旋转，一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少是 （  　） A．60° B．72° C．75° D．90° 【变式8-1】如图是一个等边三角形，若将它绕着它的中心O旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【变式8-2】把图中的交通标示图案绕着它的中心旋转一定的角度后与自身重合，则这个旋转的角度至少是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转α度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．生活中的旋转对称图形有很多，善于捕捉生活中的这些美丽的图形，积累素材，可以为今后设计图案打下基础，下列正多边形，绕其中心旋转一定角度后与自身重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 利用对称性解决最短路径问题 【典例9】如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则点到两点距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D．8 【变式9-1】如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【变式9-2】如图，正方形边长为6，、是边的三等分点，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．    【变式9-3】如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 通关检测·实战演练 1.下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2.雪花、风车、剪纸…．展示着中心对称、轴对称的美，我们利用对称的知识，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，哪一个图形的对称性与其他图形的对称性不同（    ） A．扇形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．矩形 2.国旗上的五角星需要旋转多少度后才能与自身重合？（    ） A． B． C． D． 3.下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4.下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴． 思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有______条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴． 当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？ 5.如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 6.如图，在菱形中，点为边的中点，且，则的大小为 度． 7.如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 8.如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 9.如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 10..点是菱形的对角线上的动点，，，是中点， 的最小值（    ） .A． B．2 C．4 D．8 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $