3.3幂函数同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学幂函数同步练，分基础、拔高、创新三层，覆盖概念到综合应用，梯度合理，适配新授课巩固与提升，培养数学抽象、推理及表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|幂函数定义、图像、定义域等基础概念|题1-4直接考查解析式求解与图像变换，题5-7结合简单应用，夯实基础| |B级|单调性、奇偶性、比较大小等综合性质|题8-13通过构造函数、结合二次函数图像等，提升问题解决能力| |C级|图像分析、证明与恒成立等创新应用|题15用定义法证明单调性及解决恒成立问题，发展逻辑推理与数学表达|

3.3幂函数 A级　基础练习 1.已知幂函数f(x)=xα(α是常数)的图象经过点(4,2),则α的值为(　　) A.- B. C.-2 D.2 2.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 3.已知a=1.,b=(,c=,则(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b 4.已知f(x)为幂函数,则函数g(x)=f(x)+1的图象经过的定点坐标为　　　　　.  5.已知幂函数f(x)满足=4,则f()=　　　　　.  6.若幂函数y=(m为整数)的定义域为R,则m的值为　　　　　.  7.已知幂函数f(x)=(3m2-m+1)x9m-2的图象不经过原点. (1)求m的值; (2)若a≠0,试比较f(a)与f(a2+1)的大小. B级　拔高提升 8.(2026湖南阶段练习)若0<a<b<1,则(　　) A.aa<ba,bb<ab B.ba<aa,bb<ab C.ba<aa,ab<bb D.aa<ba,ab<bb 9.已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则函数f(x)=xa和g(x)=xb在第一象限的图象可能为(　　) 10.(2026安徽马鞍山期中)已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,),下列说法中正确的是(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)的定义域是[0,+∞) C.f(x)的值域是[0,+∞) D.f(x)在定义域上单调递减 11.(2026上海交大附中期中)已知k∈Z,设幂函数y=的图象关于原点中心对称,且与x轴及y轴均无交点,则k的值为　　　　　.  12.已知幂函数f(x)经过点(9,3),则不等式f(x2-x+1)<1的解集为　　　　　.  13.(2026广东深圳期中)已知幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|,那么αβ=　　　　　.  C级　创新练习 14.(2026上海曹杨中学期中)如图所示是函数y=(m,n为互素的正整数)的图象,则(　　) A.m,n是奇数,且<1 B.m,n是偶数,且>1 C.m是偶数,n是奇数,且>1 D.m是偶数,n是奇数,且<1 15.(2026山东菏泽期中)已知f(x)=(a2-5a+7)为幂函数. (1)求a的值和f(x)的解析式; (2)用定义法证明:f(x)在(0,+∞)上是减函数; (3)①若f()≥1,求实数m的取值范围; ②若cf(x)>恒成立,求实数c的取值范围.参考公式:. 答案： 1.B　因为幂函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),所以2=4α,所以α=,故选B. 2.B　y=的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位长度得到的,即为选项A,将y=-1的图象作关于x轴的对称变换后即为选项B. 3.A　b=0.,c==1., ∵>0,函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,且1.2>>1.1,∴1.>1.,即a>b>c. 4.(1,2)　因为幂函数的图象过定点(1,1),即有f(1)=1, 所以g(1)=f(1)+1=2,即g(x)的图象经过定点(1,2). 5.　设幂函数的解析式为f(x)=xa,=4⇒3a=4, 所以f()=. 6.1　若幂函数y=(m为整数)的定义域为R,则-m2+2m>0,解得0<m<2,而m是整数,则只能m=1,此时y=x,符合题意. 7.解 (1)因为f(x)是幂函数,所以3m2-m+1=1,解得m=0或m=. 当m=0时,f(x)=x-2的图象不经过原点,符合题意; 当m=时,f(x)=x的图象经过原点,不符合题意, 所以m=0. (2)由(1)得f(x)=x-2,f(x)在(0,+∞)上单调递减. 又f(x)=x-2为偶函数,所以f(a)=f(|a|), 又a2+1-|a|=(|a|-)2+>0,所以a2+1>|a|, 所以f(a2+1)<f(|a|),所以f(a2+1)<f(a). 8.D　构造函数g(x)=xa,h(x)=xb,因为0<a<b<1, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(a)<g(b),即aa<ba.因为0<a<b<1,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以h(a)<h(b),即ab<bb.故选D. 9.B　因为二次函数y=ax2+bx的图象开口向上, 所以a>0,又对称轴在y轴右侧,则->0, 所以b<0,则在第一象限,根据幂函数的单调性可得f(x)=xa单调递增,g(x)=xb单调递减.故选B. 10.D　∵幂函数y=f(x)的图象过点(4,),设f(x)=xα,∴4α=,即22α=2-1,得2α=-1,α=-, ∴f(x)=,其定义域为(0,+∞),故B错误; ∵定义域关于原点不对称,∴f(x)为非奇非偶函数,故A错误; ∵定义域为(0,+∞),f(x)=>0,∴f(x)的值域是(0,+∞),故C错误; ∵α=-<0,∴f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减,故D正确.故选D. 11.1或3或5　由题意,令k2-6k<0,解得0<k<6, 因为k∈Z,所以k=1,2,3,4,5,分别对应函数y=x-5,y=x-8,y=x-9,y=x-8,y=x-5,显然y=x-8不满足条件,其他三个函数满足条件,所以k的值为1或3或5. 12.(0,1)　设幂函数f(x)=xa,由题意得9a=3,解得a=,故f(x)=,f(1)=1,则f(x2-x+1)<1,即为f(x2-x+1)<f(1),根据f(x)=在区间[0,+∞)上单调递增,则有0≤x2-x+1<1,解得0<x<1,故解集为(0,1). 13.1　点A(1,0),B(0,1),|BM|=|MN|=|NA|, 所以M(),N(),分别代入y=xα,y=xβ, 因为=()α,=()β,()αβ=[()α]β=()β=,所以αβ=1. 14.D　观察图象得,函数y=在(0,+∞)上单调递增,则>0,当0<x<1时,>x,则0<<1,故BC错误;函数y=的图象关于y轴对称,则m是偶数,n是奇数,故A错误,D正确.故选D. 15.(1)解 因为f(x)=(a2-5a+7)为幂函数,则a2-5a+7=1,解得a=2或a=3,则f(x)=. (2)证明由(1)知,f(x)=,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=, 因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减. (3)解 ①由(2)知,f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(1)=1, 因为f()≥1,所以f()≥f(1), 则 由①'解得m>2或m<-; 由②'解得-3≤m<2,故可得-3≤m<-,即实数m的取值范围为[-3,-). ②因为cf(x)>恒成立,即恒成立,也即c>恒成立,令g(x)=,当且仅当,即x=2时等号成立,则g(x)max=, 所以c>,则实数c的取值范围是(,+∞). 1 学科网（北京）股份有限公司 $