精品解析：吉林长春市九台区2025-2026学年度第二学期七年级期末数学测试

2025～2026学年度第二学期七年级期末测试 （数学学科） 数学试卷共6页，包括三道大题，共24道小题．全卷满分120分．考试时间为110分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 木工师傅准备钉一个三角形木架，已有两根长为2和5的木棒，木工师傅应该选择如下哪根木棒（　　） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 5. 如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如果不等式组有且仅有3个整数解，那么m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若关于的方程的解是，则______． 10. 已知，用含的代数式表示，则___________． 11. 如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 ________度． 12. 如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为______ ． 13. 若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最大整数a是____________． 14. 如图，已知四边形是正方形，点在上，将绕点逆时针旋转一定角度后与重合，再将沿向右平移后与重合．给出下面四个结论： ①旋转的角度为； ②连接，则是等腰直角三角形； ③若，连接，当点为中点时，则的面积等于8； ④． 上述结论中，所有正确的结论序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程． 16. 解方程组： 17. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 18. 图①、②、图③均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点和的顶点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的边与网格线交于点，画出，使与关于所在的直线成轴对称，并确定点的对称点． （2）在图②中画出，使与关于点成中心对称． （3）在图③中，点在网格线上，且不在格点上，在线段上确定点，使． 19. “星耀舞台”是力旺中学的传统活动．在准备阶段，需要根据节目个数和所计划的节目表演时长（不包含报幕、串场等时间）进行安排．如果每个节目表演3分钟，则所有节目表演完还剩下7分钟；如果每个节目表演4分钟，则所有节目表演完比计划表演时长超出4分钟．求此次“星耀舞台”一共有多少个节目？ 20. 如图，在中，是边上的中线，点为的中点． （1）用尺规作出边上的高线． （2）若，，求__________度． （3）若的面积为10，，则__________． 21. 已知关于、的方程组若的值为非负数，的值为正数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当为何负整数时，不等式的解集为． 22. 【问题呈现】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为180°．初中阶段我们如何证明此结论的正确性呢？ 【问题解决】小明受到实验方法2的启发，形成了证明该结论的想法：实验2的拼接方法直观上看，是把和移动到的两侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质，进行“等角转化”就可以解决问题了． 如图1，过的顶点A作边的平行线，请你证明的内角和为； 【迁移应用】健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中． （1）若，，求的度数： （2）若，，则的度数为___． 23. 【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 （1）在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要 元；若在乙商店购买，共需要 元；（均用含m的代数式表示） （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 24. 在中，，，，将绕着边的中点顺时针旋转得到，点是边上的一点，，如图①动点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒． （1）__________；__________度； （2）当点不与点重合时，求的长；（用含的代数式表示） （3）当将四边形的周长分成两部分时，求的值； （4）如图②，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结、，当与的边平行时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期七年级期末测试 （数学学科） 数学试卷共6页，包括三道大题，共24道小题．全卷满分120分．考试时间为110分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程，根据定义判断． 【详解】解：A．，只含有一个未知数，且未知数的次数是1，是整式方程，因此是一元一次方程，符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元一次方程，不合题意； C．，未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不合题意； D．不是整式方程，不是一元一次方程，不合题意； 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、它是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、它不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； C、它是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、它是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 3. 已知，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，理解并掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】、不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号方向发生改变，故，选项错误． 、不等式两边同时加上相同的数，不等号方向不发生改变，故，选项正确． 、不等式两边同时除以一个小于零的数，不等号方向发生改变，故，选项错误． 、当时，，当时，当时，无法判断和的大小，选项错误． 故选． 4. 木工师傅准备钉一个三角形木架，已有两根长为2和5的木棒，木工师傅应该选择如下哪根木棒（　　） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】设第三边长为xcm， 由三角形三边关系定理可知，5﹣2＜x＜5+2 3＜x＜7， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 5. 如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理计算边a与边c的夹角，根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】解：在左图中，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等，且是边a与边c的夹角， ∴． 6. 如果不等式组有且仅有3个整数解，那么m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式组恰好有3个整数解，可得这三个整数是5、6、7，即可求解. 【详解】∵不等式组恰好有3个整数解， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解题意是关键. 7. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【解析】 【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的旋转性质可得，,，因为等边对等角，所以；又因为的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，所以即可求解． 【详解】解：在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、， ∴，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若关于的方程的解是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知方程的解求参数，将方程的解代入原方程，求解未知数即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故答案为：． 10. 已知，用含的代数式表示，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数，然后利用一元一次方程的解法求解． 把x看作已知数表示出y即可． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 ________度． 【答案】150 【解析】 【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为，据此求出α即可． 【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为， ∴， 解得． 故答案为：150． 【点睛】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 12. 如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质得到，，进而计算即可． 【详解】解：∵在中，，将沿射线平移后得到， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最大整数a是____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，先利用整体的思想求出，从而可得：，然后根据已知，可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 解得，， ∴满足题意的最大整数a是2， 故答案为：2． 14. 如图，已知四边形是正方形，点在上，将绕点逆时针旋转一定角度后与重合，再将沿向右平移后与重合．给出下面四个结论： ①旋转的角度为； ②连接，则是等腰直角三角形； ③若，连接，当点为中点时，则的面积等于8； ④． 上述结论中，所有正确的结论序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、平移性质等知识，由旋转性质数形结合即可得到①②正确；再由①②结论即可得到③错误；结合平移性质及平行线的性质即可得到④正确；熟练掌握旋转性质是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是正方形，点在上，将绕点逆时针旋转一定角度后与重合， 数形结合得到旋转得到，即旋转的角度为，①正确； 连接，如图所示： 旋转的角度为， ，，则连接，则是等腰直角三角形，②正确； 如图所示： ，点为中点， ， 在中，由勾股定理可得， 是等腰直角三角形， 的面积等于，③错误； ，即， 又将沿向右平移后与重合，则， ，④正确； 综上所述，上述结论中，所有正确的结论序号是①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解方程组： 解：①×2，得： 6＋2y＝12③ ②＋③，得： 7＝21， ＝3　　　　 把＝3代入①，得： 3×3＋＝6， ＝﹣3　　 ∴ 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键． 17. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】． 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由①得， 由②得， 故此不等式组的解集为：． 18. 图①、②、图③均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点和的顶点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的边与网格线交于点，画出，使与关于所在的直线成轴对称，并确定点的对称点． （2）在图②中画出，使与关于点成中心对称． （3）在图③中，点在网格线上，且不在格点上，在线段上确定点，使． 【答案】（1） 如图，和点即为所求． （2） 如图，即为所求． （3）如图， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图可得与网格线的交点为点． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）连接并延长，交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接并延长，交于点，则点即为所求． 19. “星耀舞台”是力旺中学的传统活动．在准备阶段，需要根据节目个数和所计划的节目表演时长（不包含报幕、串场等时间）进行安排．如果每个节目表演3分钟，则所有节目表演完还剩下7分钟；如果每个节目表演4分钟，则所有节目表演完比计划表演时长超出4分钟．求此次“星耀舞台”一共有多少个节目？ 【答案】此次“星耀舞台”一共有11个节目 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．设此次“星耀舞台”一共有个节目，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设此次“星耀舞台”一共有个节目． 根据题意得：， 解得：， 答：此次“星耀舞台”一共有11个节目． 20. 如图，在中，是边上的中线，点为的中点． （1）用尺规作出边上的高线． （2）若，，求__________度． （3）若的面积为10，，则__________． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据垂线的尺规作图方法进行作图即可； （2）直接根据三角形外角的性质解答即可； （3）先根据是中点，的面积为10得出的面积，再根据是边上的中线得出的面积，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：是中点，的面积为10， ， ， 是边上的中线， ． ， ，是边上的高线， ， ． 21. 已知关于、的方程组若的值为非负数，的值为正数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当为何负整数时，不等式的解集为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．（1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可；（2）不等式变为，根据不等式的解集为求出，即可求出m的范围是，再求出负整数m即可． 【详解】解：（1）解方程组得：， 的值为非负数，的值为正数， ， 解得：， 即的取值范围是：； （2）， ， 不等式的解为， ， ， ， ， 为负整数， ． 22. 【问题呈现】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为180°．初中阶段我们如何证明此结论的正确性呢？ 【问题解决】小明受到实验方法2的启发，形成了证明该结论的想法：实验2的拼接方法直观上看，是把和移动到的两侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质，进行“等角转化”就可以解决问题了． 如图1，过的顶点A作边的平行线，请你证明的内角和为； 【迁移应用】健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中． （1）若，，求的度数： （2）若，，则的度数为___． 【答案】 问题解决：证明：， ，， ， ， 即三角形的内角和为； 迁移应用：（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． 〖问题解决〗根据平行线的性质和平角的定义，即可证明结论； 〖迁移应用〗（1）过点作，由平行线的性质，得出，，即可求出的度数； （2）根据平行线的性质，得出，，即可得到答案． 【详解】〖问题解决〗略 〖迁移应用〗（1）如图，过点作， ， ， ， ， ， （2）， ，， ， ， ， ， ， ， ． 23. 【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 （1）在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要 元；若在乙商店购买，共需要 元；（均用含m的代数式表示） （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 【答案】（1） A款运动盲盒销售单价为10元，B款运动盲盒销售单价为8元. （2） ；. （3） 当时，去甲商店更合算. 【解析】 【分析】（1）设某商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价为x元，B款盲盒的销售单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）分别求出在甲商店购买和在乙商店购买的所需费用； （3）根据甲商店购买方式更合算，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设在无促销活动时，A款盲盒的销售单价为x元，B款盲盒的销售单价为y元，由题意得：， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单价为8元； 【小问2详解】 解：依题意得： 在甲商店购买，共需要（元）， 在乙商店购买，共需要（元）， 【小问3详解】 ∵去甲商店更合算， ∴， 解得， ∵， ∴， 答：当购买A款盲盒的数量在时，去甲商店购买方式更合算． 24. 在中，，，，将绕着边的中点顺时针旋转得到，点是边上的一点，，如图①动点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒． （1）__________；__________度； （2）当点不与点重合时，求的长；（用含的代数式表示） （3）当将四边形的周长分成两部分时，求的值； （4）如图②，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结、，当与的边平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1）， （2）当点在边上运动（不与点重合）时，；当点在边上运动（不与点重合）时， （3）9或15 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，； （2）根据题意分类，当点在边上运动（不与点重合）时，当点在边上运动（不与点重合）时，列代数式即可； （3）根据题意得到四边形的周长，分类讨论当时，当时，列方程即可得到结论； （4）当时，如图，当时，如图，根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：将绕着边的中点顺时针旋转得到△， ，； 【小问2详解】 解：当点在边上运动（不与点重合）时， 当点在边上运动（不与点重合）时， 【小问3详解】 解：由题意得：四边形的周长， ，， ∴当将四边形的周长分成两部分时，在上， 当时， 则， 解得， 当时， 则， 解得 综上所述，或； 【小问4详解】 解：点与点关于直线成轴对称， 点、点都在对称轴上， △与△关于直线成轴对称， ， 如图2，交于点，且点在上， ， ∵， ， ， 如图3，，且点在上， ， ； 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $