精品解析：吉林省长春市九台区2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷

2024-2025学年吉林省长春市九台区七年级（下） 期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 2. 宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（ ） A. 函数 B. 有理数 C. 代数式 D. 方程 3. 三角形一边上的中线把原三角形分成两个（   ） A. 形状相同的三角形 B. 面积相等的三角形 C. 直角三角形        D. 周长相等的三角形 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用加减法解方程组，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　） A. B. C. D. 6. 从多边形的一个顶点引对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 在乡村振兴建设中，某村欲利用两种边长相等的正多边形地砖来铺设地面，美化公园．现已购买了一部分正方形地砖，还需购买另一种正多边形地砖搭配使用才能铺满地面，则购买的正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 8. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ） A. 周长变大 B. 面积变大 C. 外角和增加 D. 六边形的内角和为 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知关于x的方程的解是，则a的值为______． 10. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 11. 某种药品每片为，说明书上写着：每日用量，包括和，分3次服用．设某人一次服用x片，那么x应满足的不等式是______． 12. 如图，四边形四边形，若，，，则________ 13. 如图，在一块长为30米，宽为16米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，这块草地的绿地面积为______平方米． 14. 如图，在中，点D，F是上两点，点E，G分别是上的点，将和分别沿着折叠，使点B和点C均与点A重合，若，，下列结论中正确的有______． 的周长为10； ； ，； 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程组：． 16. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 17. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 18. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长度． 19. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N、O均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： （1）在图1中，画出图中向下平移3格后的； （2）在图2中，画出图中关于直线对称的； （3）在图3中，画出图中关于点O成中心对称的． 20. 星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 21. 如图，在中，，是边上的高． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 22. 如图，三角尺中，，，．将三角尺向右平移得到三角尺．分别连接，，． （1）线段、、的数量关系是______，位置关系是______； （2）求证：； （3）直接写出与的数量关系是______． 23. 在中，点B，C分别是，上一点，和的角平分线交于点 （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系______． 24. 如图1，在长方形中，．点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，点Q从点C出发，以的速度沿方向运动到点C停止，连接、；若P、Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒，的面积为． （1）当时，_________；当时，_________． （2）当点P和点Q相遇时，求t的值． （3）当时，用含t的代数式表示S． （4）如图2，在点P和点Q不重合的情况下，连接，当以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是长方形的面积的时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年吉林省长春市九台区七年级（下） 期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键 根据三角形具有稳定性判断． 【详解】解：A、平行四边形是四边形不具有稳定性，不符合题意； B、三角形具有稳定性，符合题意； C、五边形不具有稳定性，不符合题意； D、六边形不具有稳定性，不符合题意． 故选：B． 2. 宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（ ） A. 函数 B. 有理数 C. 代数式 D. 方程 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数学常识和方程的概念，利用题干中的信息结合数学常识解答即可． 【详解】解：∵用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”， 又∵含有未知数的等式是方程， ∴“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的方程． 故选：D． 3. 三角形一边上的中线把原三角形分成两个（   ） A. 形状相同的三角形 B. 面积相等的三角形 C. 直角三角形        D. 周长相等的三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等． 【详解】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【点睛】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线． 先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 在数轴上表示解集，如图： 故选：C． 5. 用加减法解方程组，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加减法解一元二次方程，由②①即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】解：②①得： ， 故选：B． 6. 从多边形的一个顶点引对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形对角线分割三角形的个数问题，根据从边形的一个顶点出发，可以将多边形分为个三角形，进行求解即可． 【详解】解：设多边形有条边，由题意，得：， ∴； 故选：B． 7. 在乡村振兴建设中，某村欲利用两种边长相等的正多边形地砖来铺设地面，美化公园．现已购买了一部分正方形地砖，还需购买另一种正多边形地砖搭配使用才能铺满地面，则购买的正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除，任意几种多边形能否进行镶嵌，看它们能否组成的角．分别各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断． 【详解】解：A、正五边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； B、正七边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； C、正八边形每个内角是，，能密铺，符合题意． D、正九边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； 故选：C 8. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ） A. 周长变大 B. 面积变大 C. 外角和增加 D. 六边形的内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理、外角和定理、三角形三边关系定理是解题的关键 根据三角形两边之和大于第三边即可得出新图形的周长变小即可判断选项A；裁去一个角后面积变小即可判断选项B；任意多边形的外角和都是即可判断选项C；根据多边形内角和定理计算判断选项D． 【详解】解：A、∵，周长变小，故此选项不符合题意； B、将五边形沿虚线裁去一个角，得到的六边形的面积变小，故此选项不符合题意； C、任意多边形的外角和都是，所以外角和不变，故此选项不符合题意； D、六边形的内角和为，故此选项符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知关于x的方程的解是，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出a的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得， 解得， 故答案为：． 10. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 11. 某种药品每片为，说明书上写着：每日用量，包括和，分3次服用．设某人一次服用x片，那么x应满足的不等式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的相关知识，根据次服用的剂量可得，由此能得到x应满足的不等式了． 【详解】解：根据题意，得， 化简，得． 故答案为：． 12. 如图，四边形四边形，若，，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等图形，四边形的内角和，根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得的度数，进一步可得的度数．解题的关键是掌握全等图形的性质：全等图形的对应边相等，对应角相等． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在一块长为30米，宽为16米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，这块草地的绿地面积为______平方米． 【答案】435 【解析】 【分析】利用平移道路的方法得出草地的绿地面积=（30-1）×（16-1），进而得出答案． 【详解】解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：（30-1）×（16-1）=435． 故答案为：435． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积． 14. 如图，在中，点D，F是上两点，点E，G分别是上的点，将和分别沿着折叠，使点B和点C均与点A重合，若，，下列结论中正确的有______． 的周长为10； ； ，； 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由折叠得，，则，可判断①正确；因为，所以，可判断②错误；因为，，所以，，可判断③正确；由，，求得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 此题重点考查三角形内角和定理、翻折变换的性质、三角形的周长等知识，推导出，，并且求得是解题的关键． 【详解】解：将和分别沿着折叠，点B和点C均与点A重合， ，， ， ， 的周长为10， 故①正确； ， ， 故②错误； 由折叠得，， ，， 故③正确； ，， ， ， 故④正确， 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解是． 16. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为； 将不等式组的解集表示在数轴上如图： ． 17. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】数学书最多还可以摆90本 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键，设数学书还可以摆x本，根据书架上摆放数学书和语文书的总厚度不超过，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设数学书还可以摆x本， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为 答：数学书最多还可以摆90本． 18. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． （1）由旋转的性质可得，即可得解； （2）由旋转的性质可得，，即可得解． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可得：， ∴； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可得：，， ∴． 19. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N、O均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： （1）在图1中，画出图中向下平移3格后的； （2）在图2中，画出图中关于直线对称的； （3）在图3中，画出图中关于点O成中心对称的． 【答案】（1） 如图：即为所作， （2） 如图，即为所作， （3） 如图，即为所作， 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换、轴对称变换，画中心对称图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据成中心对称的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【答案】小峰打扫了． 【解析】 【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 答：小峰打扫了． 21. 如图，在中，，是边上的高． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、直角三角形的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由题意得，，由角平分线的定义得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ， 是的角平分线， ， 是边上的高， ， ． 22. 如图，三角尺中，，，．将三角尺向右平移得到三角尺．分别连接，，． （1）线段、、的数量关系是______，位置关系是______； （2）求证：； （3）直接写出与的数量关系是______． 【答案】（1）， （2） 证明：如图，延长， 由平移知，， ， 由平移知，， ， 由平移知，， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）由平移的性质，可得到，； （2）由题意，结合平移，得到，则，同理有，结合三角尺中直角，得到结果； （3）由，得，结合图形得，，化简整理可得到结果． 【小问1详解】 解：将三角尺向右平移得到三角尺， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 23. 在中，点B，C分别是，上一点，和的角平分线交于点 （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得到，，继而利用三角形内角和代入计算即可； 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和得出，结合，代入求解即可； 根据角平分线的定义得到，，，，继而推出，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【详解】， ， 和的角平分线交于点P， ，， ； 和的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， 解得：， ； 和的角平分线交于点P， ，， 和的角平分线交于点Q， ，， ， ， 同理：， 故答案为：． 24. 如图1，在长方形中，．点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，点Q从点C出发，以的速度沿方向运动到点C停止，连接、；若P、Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒，的面积为． （1）当时，_________；当时，_________． （2）当点P和点Q相遇时，求t的值． （3）当时，用含t的代数式表示S． （4）如图2，在点P和点Q不重合的情况下，连接，当以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是长方形的面积的时，直接写出t的值． 【答案】（1）； （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）先根据和求出，，再求出的值即可； （2）根据P、Q的运动速度求出t的值即可； （3）分两种情况进行讨论：当，即、Q相遇前，当，即、Q相遇后，点Q到达点B前，根据三角形面积公式求出结果即可； （4）分三种情况讨论：当，即、Q相遇前，当，即、Q相遇后，当，点Q从点B向点C运动的过程中，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：当时，，， ∴， 当时，，， ∴． 【小问2详解】 解：， 解得：， 即当点P和点Q相遇时，t的值为． 【小问3详解】 解：当，即、Q相遇前， ， ∴； 当，即、Q相遇后，点Q到达点B前， ， ∴； 综上分析可知：． 【小问4详解】 解：四边形的面积为， ∴以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是：， 当，即、Q相遇前， ， 则， 解得：； 当，即、Q相遇后，点Q到达点B前， ， 则， 解得：； 当，点Q从点B向点C运动的过程中， ， 则， 解得：； 综上分析可知：当或或时，四边形APQD的面积是长方形的面积的． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，方程思想与分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $