培优专练+三年真题03基本不等式的培优模型-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式的八大培优模型，涵盖积定和最小、和定积最大、加减与系数配凑、1的代换及恒成立求参等核心考点，按考点-题型-真题逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、分层训练帮助学生构建解题框架。 讲义采用模型建构与真题驱动教学法，如实际应用建模最值模型中，引导学生将米勒问题转化为函数最值问题，培养数学眼光与模型意识。设置基础巩固、能力提升、高考真题三层练习，配合解题技巧总结，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供系统资源。

培优专练+三年真题03基本不等式的培优模型 【考点一】积定和最小 【考点五】基础1的代换模型（标准型） 【考点二】和定积最大 【考点六】变式1的代换模型（带系数约束） 【考点三】加减配凑定值模型 【考点七】恒成立求参数范围模型 【考点四】系数配凑定值模型 【考点八】实际应用建模最值模型 【题型一】积定和最小 1.（2025·全国·模拟预测）已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由x，y均为正数，则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故选：D. 2．（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当即时等号成立. 故选：C. 3.（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 4.（2026·北京昌平·一模）当时，函数的最小值为_____． 【答案】 【分析】由基本不等式进行求解． 【详解】因为，所以，等号成立时，， 故函数的最小值为． 【题型二】和定积最大 1．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 2．（2026·甘肃陇南·一模）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据题意，利用基本不等式，代入计算，即可求解. 【详解】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 3．（2025·山西吕梁·模拟预测）若且，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式可得：， 所以，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为； 故选：B 4.（2025·海南·一模）已知，且，则xy的最大值为_____________. 【答案】1 【分析】直接利用基本不等式即可. 【详解】因，则，所以， 当且仅当时等号成立， 则xy的最大值为. 故答案为： 【题型三】加减配凑定值模型 1.（2026·云南昆明·模拟预测）函数（）的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解． 【详解】由题得， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 则函数（）的最小值为12． 2．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 3．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 【题型四】系数配凑定值模型 1.（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】先化简，再利用基本不等式求最值，并验证等号成立的条件. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 2.（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【分析】通过换“1”法，再通过基本不等式求解即可. 【详解】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9. 3．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 4．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用基本不等式将等式变形化简，解不等式即可得出结果. 【详解】由可得， 因为实数，，所以， 因此可得，即， 解得或（舍）， 当且仅当时，即时，等号成立, 所以的最小值为6. 5．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 6．（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 7.（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 【答案】 【详解】因为， 则， 则的最小值是，当且仅当时取等号． 8.（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 9．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______． 【答案】0 【详解】已知，则， ， ， ， 设，则，， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为0． 10.（多选）（2026·江苏南京·模拟预测）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可得，进而可判断A；根据基本不等式“1”的妙用计算可判断B；根据基本不等式计算可判断C；利用换元法结合二次函数性质计算可判断D. 【详解】对于A选项，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A选项不正确； 对于B选项，因为， 当且仅当时取等号，所以B选项正确； 对于C选项，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C选项正确； 对于D选项，因为，，， 所以， 又因为，所以，所以D选项正确. 【题型五】基础1的代换模型（标准型） 1．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 2．（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【详解】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，则的最小值为______. 【答案】6 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 故答案为：6 4．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知，，，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】利用代换1法,结合基本不等式求最小值即可. 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时取等号. 故答案为：. 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是_____． 【答案】/0.25 【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 【题型六】变式1的代换模型（带系数约束） 1．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 【答案】C 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值. 【详解】由，得， 当且仅当时取等号得出最小值4， 故选：C. 2．（2025·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由题，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因由题设及基本不等式， , 当且仅当，即时取等号. 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用1的代换，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故选：B. 4.（2026·河南开封·模拟预测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】4 【详解】， ， ， ， ， 当且仅当，即，结合得时等号成立， 的最小值为4． 5.（2026·安徽六安·模拟预测）设，则的最小值为____________． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故答案为：4 6．（2026·四川成都·模拟预测）已知均为正数，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用“1的代换”构造乘积形式，化简后运用均值不等式求最小值. 【详解】由均为正数，且， 则， 当且仅当，解得时等号成立. 【题型七】恒成立求参数范围模型 1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 2．（多选）（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将恒成立，转化为恒成立，再利用基本不等式得到 ，转化为恒成立，逐项判断. 【详解】解：因为正实数，且为自然数， 所以， 则恒成立，即恒成立， 两边同乘，则， 而， ， 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则恒成立， A.当时，，不成立； B.当时，，成立； C.当时，，成立； D.当时，，不成立， 故选：BC 3．（多选）（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ， 令，则可化为， 令，则， 化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，， 故，故即， 得到，则的最小值为，故D错误. 故选：AC 【题型八】实际应用建模最值模型 1．（2025·湖南·模拟预测）1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（   ） A．64 B．32 C． D． 【答案】D 【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由题意得知是锐角，且，而， ， 所以， 而， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，此时最大， 故选：D 2．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 3．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】设商品原价为， 对于甲：最终价格为； 对于乙：最终价格为； 所以甲、乙方案结果相同， 对于丙：最终价格为； 由均值不等式，，所以方案丙的最终价格高于甲、乙， 对于丁：最终价格为：，该式存在负项，所以明显小于其他方案的结果，综上，提价最多的是方案丙 4．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数） 【答案】821 【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案., 【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒. 1小时内通过的车辆数 . 根据基本不等式（），， 当且仅当时等号成立.所以， 即该城市道路通行能力的最大值约为821. 故答案为：821. 5．（2026·山东聊城·二模）某夏令营在区域内活动，三个内角满足． (1)求的最小值； (2)夏令营活动组织者要求在点集合，设小明从点出发准时到达点的概率为，小红从点出发准时到达点的概率为，两人是否准时到达点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达点的概率为0.52，至少有一人准时到达点的概率为0.76，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 【分析】（1）先设三边，利用正弦定理把角条件转成边的关系，再代入余弦定理表示出 ，最后用基本不等式求最小值。 （2）按独立事件的概率公式列方程组，先求出 和 ，再由,求出 . 【详解】（1）设的内角的对边分别为 由，根据正弦定理，得，即， 由余弦定理，得， 因为，所以， 当，即时，上式等号成立， 此时，，于是，， 因此，的最小值为． （2）设事件“小明准时到达A点”，事件“小红准时到达A点”，则，． 由题意，即， 化简，得①, ，即， 化简，得②,由①②，得， 所以．故的值为0.2． 一、单选题 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 二、填空题 3．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 5．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 6．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 故答案为：2． 【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 7．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 8．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    三、解答题 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 【答案】(1) (2) 法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，    则,令， 同理令，且，则， 设矩形周长为,由对称性不妨设，， 则，易知 则令, 令，解得， 当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增， 则， 故,即. 当时,,且，即时等号成立，矛盾，故, 得证. 法二：不妨设在上，且，    依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0， 则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设， 直线的方程为， 则联立得， ，则 则， 同理， 令，则，设， 则，令，解得， 当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增， 则， ， 但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故. 法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线, 矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于. 设 , 根据对称性不妨设 . 则 , 由于 , 则 . 由于 , 且 介于 之间, 则 . 令 , ,则,从而 故 ①当时, ②当 时,由于,从而, 从而又, 故,由此 ， 当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.   . 【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可； （2）法一：设矩形的三个顶点，且，分别令，，且，利用放缩法得，设函数，利用导数求出其最小值，则得的最小值，再排除边界值即可. 法二：设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可. 法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明. 【详解】（1）设,则，两边同平方化简得， 故. （2）略 【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可. 10．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)严格单调递减 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则， 因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而， 故在点处的切线方程为. 而，故， 故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③+④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题03基本不等式的培优模型 【考点一】积定和最小 【考点五】基础1的代换模型（标准型） 【考点二】和定积最大 【考点六】变式1的代换模型（带系数约束） 【考点三】加减配凑定值模型 【考点七】恒成立求参数范围模型 【考点四】系数配凑定值模型 【考点八】实际应用建模最值模型 【题型一】积定和最小 1.（2025·全国·模拟预测）已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 2．（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 3.（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 4.（2026·北京昌平·一模）当时，函数的最小值为_____． 【题型二】和定积最大 1．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2026·甘肃陇南·一模）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 3．（2025·山西吕梁·模拟预测）若且，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 4.（2025·海南·一模）已知，且，则xy的最大值为_____________. 【题型三】加减配凑定值模型 1.（2026·云南昆明·模拟预测）函数（）的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 2．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 3．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【题型四】系数配凑定值模型 1.（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 2.（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 3．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 6．（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7.（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 8.（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 9．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______． 10.（多选）（2026·江苏南京·模拟预测）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型五】基础1的代换模型（标准型） 1．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 2．（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，则的最小值为______. 4．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知，，，则的最小值为________． 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是_____． 【题型六】变式1的代换模型（带系数约束） 1．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 2．（2025·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 4.（2026·河南开封·模拟预测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 5.（2026·安徽六安·模拟预测）设，则的最小值为____________． 6．（2026·四川成都·模拟预测）已知均为正数，且，则的最小值为______. 【题型七】恒成立求参数范围模型 1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 【题型八】实际应用建模最值模型 1．（2025·湖南·模拟预测）1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（   ） A．64 B．32 C． D． 2．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 3．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数） 5．（2026·山东聊城·二模）某夏令营在区域内活动，三个内角满足． (1)求的最小值； (2)夏令营活动组织者要求在点集合，设小明从点出发准时到达点的概率为，小红从点出发准时到达点的概率为，两人是否准时到达点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达点的概率为0.52，至少有一人准时到达点的概率为0.76，求的值． 一、单选题 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 5．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 6．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______． 7．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 8．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 三、解答题 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 10．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 1 学科网（北京）股份有限公司 $