解题大招03 巧用基本不等式破解最值的十六大题型（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以基本不等式为核心，构建“知识点-题型-方法”三维体系，通过十六大题型系统提炼构造、代换、消元等解题策略，培养数学思维与问题求解能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个核心知识点|梳理基本不等式及变形、均值定理、不等式链|从基础公式到定理再到推广，形成概念生成-原理推导-应用拓展链条| |题型|16大题型（含典例及跟踪训练）|提炼对勾型构造、常数代换、双换元等十六类转化策略|题型从基础到复杂，对应不同条件下的最值求解，实现方法迁移与逻辑推理|

解题大招03 巧用基本不等式破解最值的十六大题型 知识点01 一个重要不等式和基本不等式 1.一个重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； 2.基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 简称为“一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形： (1)a＋b≥2，常用于求和的最小值； (2)ab≤2，常用于求积的最大值； (3)（沟通两和与两平方和的不等关系式） (4)（沟通两积与两平方和的不等关系式） (5)（沟通两积与两和的不等关系式）. 知识点02 均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 知识点03 基本不等式链及基本不等式的推广 1.基本不等式链：≥ ≥≥（其中a,b均为正数）； 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2.基本不等式的推广： 对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即 （当且仅当时，等号成立）． 题型01 对勾型 对勾型：，此类代数式的最值往往直接利用基本不等式求得，但要注意能否取到等号. 【典例1】（25-26高三下·云南楚雄·月考）下列说法正确的是（  ） A．函数的最小值是2 B．函数的最小值为4 C．“”是“”的充分不必要条件 D．不等式与有相同的成立条件 【跟踪训练】 1. （24-25高一上·江西吉安·阶段练习）若，，则的最小值是（       ） A． B． C．4 D．2 2．下列函数的最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 题型02 添加常数构造对勾型 对于形如,则转化为分母的线性关系:,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值. 【典例2】（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【跟踪训练】 1．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 2．已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 题型03 和定求积型 如果两个正数a,b之和为定值S，即=S，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值是 (简记：和定积最大). 【典例3】（25-26高三上·贵州·月考）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【跟踪训练】 1. （24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，，，则的最大值为（       ） A． B．4 C．6 D．8 2. （25-26高三上·浙江绍兴·阶段练习已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（       ） A．36 B．4 C．16 D．9 题型04 积定求和型 如果两个正数a,b之积为定值p，即，那么当且仅当a＝b时，a+b有最小值2(简记：积定和最小). 【典例4】（2026河北沧州高三下联考）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2025·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数满足，则的最小值是（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 2.（2025·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，，且，则的最小值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型05 分式型 求分式型函数的最值时，常利用分离常数法和倒数法求解，若分子次数低于分母次数，则常常作商；若分子次数高于分母次数，则往往分离常数，凑成“对勾”型，再利用基本不等式求得最值. 对于一些较为复杂的分式，往往先换元，再考虑作商或分离常数. 【典例5-1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数在上的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例5-2】（2025·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知，函数的最大值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】 1（25-26高二下·云南玉溪·期中）函数的最小值为________. 2．（2026·湖南长沙·一模）已知数列是公比大于0的等比数列，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 题型06 根式型 对于根式型的最值问题，主要策略有三： (1)换元法；（2）进根号；（3）平方法. 【典例6-1】函数(的最大值为 . 【典例6-2】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，则的最大值为 ． 【跟踪训练】 1．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）函数的最大值为 2. （24-25高一上·北京四中月考）若,则的最大值为 . 题型07 常数代换型 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值. 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 【典例7-1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 【典例7-2】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 2（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 题型08 凑配加常数代换型 有些题型不能直接用常数代换法求解，但适当配凑后，便可利用常数代换法转化求解. 【典例8】（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·陕西榆林·月考）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 2.（2025·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 题型09 有和有积无常数型 这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy,此时只需两边同时除以xy，便可转化为常数代换型求其最值. 【典例9】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知，下列选项错误的是（   ） A．且 B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2025广东大湾区高三二联）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（多选）（2025·河北·模拟预测）已知正实数、满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．存在、满足 题型10 有和有积有常数型 这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy+d，此时往往利用基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值． 【典例10】(多选)（25-26高三上·吉林四平·期末）已知，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2025·云南·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 2．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 题型11 多元分式型 对于多元分式型，往往通过构造分母达到分离的目的，常见构造策略有：（1）换元构造；（2）常数代换;(3)配方构造. 【典例11】（2025·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（       ） A．11 B．9 C．8 D．6 【跟踪训练】 1．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 2．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 题型12 代入消元型 对于涉及给出条件的多元代数式，求其最值的一种常见策略是：利用已知条件将其中一个元用其他元表示，再代入相应代数式，通过消元构造出基本不等式的条件，再求其最值. 【典例12】（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【跟踪训练】 1．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 题型13 双换元型 双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况． 具体操作如下：如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简． 【典例12】（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【跟踪训练】 1．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知正实数满足且，则的最小值为 2．（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（    ） A．12 B．16 C．20 D．26 题型14 待定系数法型 出现结构形式，通常用待定系数法，再利用基本不等式求解最值问题. 【典例14】为正整数，求的最小值为 . 【跟踪训练】 1．已知x，y，z为正实数，则的最大值为 A．1 B．2 C． D． 题型15 因式分解型 含有这类结构的式子，有时也可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合基本不等式求最值. 【典例15】设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪训练】 1．已知，，且，则的最小值是________ 2．（25-26高三下·云南昆明·月考）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型16 不少于三个数的均值型（拓展） 基本不等式的推广： 对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即（当且仅当时，等号成立）． 有时可利用此基本不等式求不少于三个数的积或和的最值. 【典例16】（2025高三·全国·竞赛）已知正数满足，则的最小值为_____． 【跟踪训练】 1．（25-26高三·全国·二轮复习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·竞赛）正实数满足，则的最大值为_____． 1．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 2 （25-26高三上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末），，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 5．（25-26高三上·重庆·月考）若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 7．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 9．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·江苏·月考）对于任意的，，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 12．（2026·新疆·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（多选）（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 14．(多选)（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知，，，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是2 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是9 15.已知为正实数，且，则的最大值为 16．（25-26高三上·天津和平·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 17.若实数满足，则的最大值为 . 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招03 巧用基本不等式破解最值的十六大题型 知识点01 一个重要不等式和基本不等式 1.一个重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； 2.基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 简称为“一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形： (1)a＋b≥2，常用于求和的最小值； (2)ab≤2，常用于求积的最大值； (3)（沟通两和与两平方和的不等关系式） (4)（沟通两积与两平方和的不等关系式） (5)（沟通两积与两和的不等关系式）. 知识点02 均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 知识点03 基本不等式链及基本不等式的推广 1.基本不等式链：≥ ≥≥（其中a,b均为正数）； 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2.基本不等式的推广： 对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即 （当且仅当时，等号成立）． 题型01 对勾型 对勾型：，此类代数式的最值往往直接利用基本不等式求得，但要注意能否取到等号. 【典例1】（25-26高三下·云南楚雄·月考）下列说法正确的是（  ） A．函数的最小值是2 B．函数的最小值为4 C．“”是“”的充分不必要条件 D．不等式与有相同的成立条件 【答案】A 【详解】对于A，显然，所以由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，故函数的最小值是2，故A正确； 对于B，由，得，则. 当且仅当，即时，等号成立，显然等号不能成立，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当时，等号成立； 当时，，解得，所以“”是“”的充要条件,故C错误； 对于D，当时，成立；当时，成立，故D错误. 【跟踪训练】 1. （24-25高一上·江西吉安·阶段练习）若，，则的最小值是（       ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【详解】由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A. 2．下列函数的最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A. ,当时，，所以最小值为不是2，A错误； 对于B. ， 所以时， 即，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B错误. 对于C. ，当且仅当，此方程无解，则的最小值取不到2，C错误； 对于D,，因为， 所以， 当且仅当，即时，有最小值2，满足，D正确； 故选：D. 题型02 添加常数构造对勾型 对于形如,则转化为分母的线性关系:,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值. 【典例2】（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【跟踪训练】 1．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 2．已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【详解】因为， 当且仅当即时取等号； 故最大值为， 故选：D. 题型03 和定求积型 如果两个正数a,b之和为定值S，即=S，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值是 (简记：和定积最大). 【典例3】（25-26高三上·贵州·月考）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【详解】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 【跟踪训练】 1. （24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，，，则的最大值为（       ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】因为所以，从而． 当且仅当时等号成立. 故选：B 2. （25-26高三上·浙江绍兴·阶段练习已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（       ） A．36 B．4 C．16 D．9 【答案】D 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”. 故选：D. 题型04 积定求和型 如果两个正数a,b之积为定值p，即，那么当且仅当a＝b时，a+b有最小值2(简记：积定和最小). 【典例4】（2026河北沧州高三下联考）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 【跟踪训练】 1.（2025·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数满足，则的最小值是（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】由均值不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是2. 故选：B. 2.（2025·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，，且，则的最小值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为， 所以，，当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 题型05 分式型 求分式型函数的最值时，常利用分离常数法和倒数法求解，若分子次数低于分母次数，则常常作商；若分子次数高于分母次数，则往往分离常数，凑成“对勾”型，再利用基本不等式求得最值. 对于一些较为复杂的分式，往往先换元，再考虑作商或分离常数. 【典例5-1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数在上的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时函数在上的最小值是2. 故选：C 【典例5-2】（2025·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知，函数的最大值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先换元，再运用基本不等式求解. 【详解】令，则， 所以， 当且仅当等号成立. 故选：B. 【跟踪训练】 1（25-26高二下·云南玉溪·期中）函数的最小值为________. 【答案】3 【详解】，， 由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立. 2．（2026·湖南长沙·一模）已知数列是公比大于0的等比数列，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可设等比数列的公比为， 则，当且仅当即时取等号， 故的最小值为. 题型06 根式型 对于根式型的最值问题，主要策略有三： (1)换元法；（2）进根号；（3）平方法. 【典例6-1】函数(的最大值为 . 【答案】 【详解】设（t>0），则. ∴=≤. 当且仅当,即时取“=”号.故当时，. 【典例6-2】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】记，则，求最大值 【跟踪训练】 1．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）函数的最大值为 【答案】1 【详解】∵,∴,∴ 当且仅当,即时取“＝”号此时1. 2. （24-25高一上·北京四中月考）若,则的最大值为 . 【答案】6 【详解】. 当且仅当，即时，取等号.此时. 题型07 常数代换型 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值. 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 【典例7-1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 【答案】D 【详解】两边同时除以，得到， ， 当且仅当，即，时等号成立. 【典例7-2】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 【跟踪训练】 1．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 2（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 题型08 凑配加常数代换型 有些题型不能直接用常数代换法求解，但适当配凑后，便可利用常数代换法转化求解. 【典例8】（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·陕西榆林·月考）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故选：A． 2.（2025·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由条件可知，， 所以 ， 当，即，结合条件 ， 可知时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D 题型09 有和有积无常数型 这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy,此时只需两边同时除以xy，便可转化为常数代换型求其最值. 【典例9】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知，下列选项错误的是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，所以，即， 同理可得，则，故A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 所以，即，故B正确； 由A可知：，可得，不等式两边同时加上，可得， 又，所以，故C正确； 由可得， 当且仅当时，即时等号成立，所以，故D错误， 故选：D． 【跟踪训练】 1.（2025广东大湾区高三二联）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 2．（多选）（2025·河北·模拟预测）已知正实数、满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．存在、满足 【答案】AC 【详解】由正实数、满足得， 又因为，解得，故A选项正确； 由已知条件及得，解得， 当且仅当时，即当时，取等号，故B选项错误； 由已知条件及得，解得， 当且仅当时，即当时，取等号，故C选项正确； 由得， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项错误． 故选：AC． 题型10 有和有积有常数型 这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy+d，此时往往利用基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值． 【典例10】(多选)（25-26高三上·吉林四平·期末）已知，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A，因为，所以 由，可得，解得， 又，当且仅当时，等号成立， 而，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 选项B，由，利用基本不等式， 由得， 则， 当且仅当时，等号成立，解得， 即，当且仅当时，等号成立，故B正确； 选项C，，又， 所以，由， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，由配方得， 则，即， 可解得，又， 所以，因为，故D不正确； 故选：ABC. 【跟踪训练】 1．（2025·云南·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【详解】由题得，因为，所以，同理， 将条件变形为， 则， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为28. 故选：C. 2．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 【答案】D 【详解】因为a，b为正数，且 所以， 即，解得，所以； 当且仅当时取等号，ab的最小值为9. 故选：D. 题型11 多元分式型 对于多元分式型，往往通过构造分母达到分离的目的，常见构造策略有：（1）换元构造；（2）常数代换;(3)配方构造. 【典例11】（2025·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（       ） A．11 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【详解】，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立. 故选：A 【跟踪训练】 1．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 2．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 题型12 代入消元型 对于涉及给出条件的多元代数式，求其最值的一种常见策略是：利用已知条件将其中一个元用其他元表示，再代入相应代数式，通过消元构造出基本不等式的条件，再求其最值. 【典例12】（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【答案】D 【分析】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值. 【详解】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为， 【跟踪训练】 1．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 题型13 双换元型 双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况． 具体操作如下：如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简． 【典例12】（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，所以， 令，所以， 因为，所以 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为.故选：C. 【跟踪训练】 1．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【详解】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 2．（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（    ） A．12 B．16 C．20 D．26 【答案】BCD 【详解】因为，所以，，所以. 令得， 由，，得，，则. 因为，，当且仅当，时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 又，，同时成立，所以，则, 且，时，. 故选：BCD. 题型14 待定系数法型 出现结构形式，通常用待定系数法，再利用基本不等式求解最值问题. 【典例14】为正整数，求的最小值为 . 【答案】4 【详解】由题意知，引入参数k，使之满足 , 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为4. 【跟踪训练】 1．已知x，y，z为正实数，则的最大值为 A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以的最大值为，选C. 题型15 因式分解型 含有这类结构的式子，有时也可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合基本不等式求最值. 【典例15】设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】因为，为正实数，且， 令，，则，则， 当且仅当，即，时取等号 【跟踪训练】 1．已知，，且，则的最小值是________ 【答案】7 【详解】方法一：因为，故，解得， 故，当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立．故选：C． 2．（25-26高三下·云南昆明·月考）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】因为正实数满足，即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立，联立可得， 所以当时，取最大值，， 故选：A 题型16 不少于三个数的均值型（拓展） 基本不等式的推广： 对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即（当且仅当时，等号成立）． 有时可利用此基本不等式求不少于三个数的积或和的最值. 【典例16】（2025高三·全国·竞赛）已知正数满足，则的最小值为_____． 【答案】16 【详解】设，整理可得：， 即，由均值不等式可得：， 当且仅当时，等号成立. 所以，即. 令，则不等式变为， 即， 因为，所以， 所以，即，． 综上所述，的最小值为16，当时取到． 【跟踪训练】 1．（25-26高三·全国·二轮复习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设球的半径为，正四棱锥的底面边长为，高为， 因为球的体积为，所以球的半径， 由勾股定理得，， 两式相减得，则， 所以正四棱锥的体积， 所以 ，等号成立时， 则该正四棱锥体积的最大值是. 2．（2025高三·全国·竞赛）正实数满足，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】， 则， 所以， 于是， 等号成立时. 所以的最大值为. 1．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】由于，故，当且仅当，即时取等号， 故选：B 2 （25-26高三上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末），，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，， 则，，即， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 4．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 5．（25-26高三上·重庆·月考）若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正数满足，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 若不等式恒成立，则， 解得，所以实数的范围是. 故选：C． 6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 7．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 8．（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 【答案】A 【详解】由题意可知，即，则， 由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号， 则，所以，当且仅当，即时取等号， 综上所述，当时，取得最小值. 9．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即， 所以，当且仅当，即时取等号. 10．（25-26高三上·江苏·月考）对于任意的，，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 即的最大值为，故选：D. 11．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得， 所以，所以，当且仅当时等号成立，即当或时取等号， 当时，所以的最大值为2. 故选：A. 12．（2026·新疆·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，此时，不合要求，舍去； 当时，，即，不合要求，舍去； 故，， ，解得， 又，故， 又， 令，则， 故， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，当从负数一侧趋向于0时，趋向于， 所以的取值范围为. 故选：C 13．（多选）（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】， ，解得， 指数函数单调递增， ，即，故A正确； 由基本不等式得， 两边平方得，解得，当且仅当时等号成立，故B错误； ， ， 当且仅当时取等号， ，故C正确； ，则， ， 由于函数的图象开口向上，对称轴， 故的最小值为，则，故D正确． 14．(多选)（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知，，，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是2 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是9 【答案】AC 【详解】由于，，，故， 对于A， ，故取不到2，故A错误； 对于BC， 由，，可得，故，当且仅当，即时取到等号，故，故的最大值是，B正确，的最大值是，C错误； 对于D， ，当且仅当，即时取到等号，故的最小值是9，D正确， 故选：AC 15.已知为正实数，且，则的最大值为 【答案】． 【详解】 2.若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________． 详解　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·2＝3×2． 当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为． 16．（25-26高三上·天津和平·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 17.若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由，得， 设，其中. 则，从而， 记，则， 不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $