第03讲复数的概念与运算（知识清单+4典例精讲+4方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

第03讲复数的概念与运算 （知识清单+4典例精讲+4方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 复数的乘法运算、复数的模 单项选择题 5 复数的除法运算、共轭复数 单项选择题 5 复数的加减运算、复数的模 单项选择题 5 复数的乘法运算、共轭复数的性质 单项选择题 5 复数的除法运算、共轭复数概念 单项选择题 5 复数的混合运算、复数的模 单项选择题 5 【知识点01】复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数的实部，b是复数的虚部，i为虚数单位. (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复数 (3)复数相等： a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数： a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (5)复数的模： 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 【例1】已知复数（）是纯虚数，求实数的值。 【知识点02】复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 【例2】已知复数，求：（1）复平面内对应点的坐标；（2）复数的模；（3）向量的坐标。 【知识点03】复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法： ＝i(c＋di≠0). (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即，. 【例3】计算的值。 【题型一】复数的概念辨析与分类 【例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【例2】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知a，b都是实数，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【例3】（2026·重庆渝中·模拟预测）若复数满足，则的虚部为______. 【变式1】（2026·河南新乡·三模）复数的实部为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式2】（2026·河北保定·三模）复数的实部与虚部的和为（    ） A． B． C． D．3 【变式3】（2026·宁夏银川·三模）已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为________. 【题型二】复数的几何意义应用 【例4】（2026·云南昆明·二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【例5】（多选）（2024·湖北荆州·三模）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【例6】（2024·安徽·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________. 【变式1】（2026·湖南郴州·模拟预测）若复数z满足，则复平面内表示复数z的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）若复数，则下列选项正确的有（   ） A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【变式3】（2025·云南昆明·模拟预测）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第_____象限.（填“一、二、三、四”中的一个） 【题型三】复数的四则运算 【例7】（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【例8】（多选）（2026·山东日照·二模）设为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例9】（2026·四川遂宁·模拟预测）设、为共轭复数，若，，则__________ . 【变式1】（2026·四川资阳·模拟预测）已知是虚数单位，，则复数z的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2026·山东菏泽·二模）已知复数，则下列结论正确的有（   ） A．的虚部是 B．的共轭复数是 C．在复平面内对应的点在第一象限 D． 【变式3】（2026·浙江·三模）在复平面内，i为虚数单位，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是_____. 【题型四】复数的综合应用 【例10】（2026·贵州贵阳·二模）若复数z满足（其中i是虚数单位），则（   ） A． B． C．2 D． 【例11】（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知复数，其中，是虚数单位，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为纯虚数，则 D．若，则 【例12】（2026·福建泉州·模拟预测）对于复数，，定义♥为的实部.若，♥，则可以为____________.（写出一个满足条件的答案） 【变式1】（2026·青海西宁·二模）已知复数，若，则（   ） A． B． C．4 D． 【变式2】（多选）（2026·湖南永州·三模）已知复数，则（    ） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根 【变式3】（2026·山东菏泽·一模）已知复数，. (1)当时，求； (2)设，记（表示复数z的虚部）.将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求的单调递增区间. 【解题大招01】纯虚数、实数的快速判定技巧 【例1】已知复数（），求：（1）为实数时的值；（2）为纯虚数时的值。 【解题大招02】复数模的简化计算技巧 【例2】已知复数，，求的值。 【解题大招03】复数除法“分母实数化”快速运算技巧 【例3】计算的值，用快速技巧求解。 【解题大招04】复数综合题“分步拆解”技巧 【例4】已知复数（）的共轭复数为纯虚数，求的值及。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 3．（2026·河北保定·二模）已知，其中是实数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．14 B．16 C．20 D．24 二、多选题 5．（2025·山东聊城·模拟预测）若为虚数单位，，点在幂函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江西宜春·一模）已知复数，其中，是虚数单位，则（   ） A．当时，为纯虚数 B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 7．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若为实数，且复数为纯虚数，则的值为______． 四、解答题 8．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）若为虚数单位，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林延边·三模）若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆．下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 4．（2026·福建龙岩·三模）已知复数满足，则（   ） A． B．在复平面内所对应的点在第三象限 C．若，则的最大值为 D．和是方程在复数范围内的两个根 三、填空题 5．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列（为虚数单位），则的前项和为___________． 6．（2026·安徽铜陵·模拟预测）在复平面中，已知，，复数，对应的点分别为，，且满足，则的最大值为______． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·山西运城·二模）设正数，分别是复数的实部、虚部，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 2．（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖南浙江·模拟预测）若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．若复数满足，则的最小值为 三、填空题 4．（2026·广东茂名·一模）已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________. 四、解答题 5．（2024·河北·模拟预测）（1）在复数范围内解方程； （2）设，且，证明：； （3）设复数数列满足：，且对任意正整数，均有.证明：对任意正偶数，均有. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲复数的概念与运算 （知识清单+4典例精讲+4方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 复数的乘法运算、复数的模 单项选择题 5 复数的除法运算、共轭复数 单项选择题 5 复数的加减运算、复数的模 单项选择题 5 复数的乘法运算、共轭复数的性质 单项选择题 5 复数的除法运算、共轭复数概念 单项选择题 5 复数的混合运算、复数的模 单项选择题 5 【知识点01】复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数的实部，b是复数的虚部，i为虚数单位. (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复数 (3)复数相等： a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数： a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (5)复数的模： 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 【例1】已知复数（）是纯虚数，求实数的值。 解析：根据纯虚数的定义（实部为0，虚部不为0）分步求解： 第一步，由纯虚数实部为0，得，因式分解得，解得或； 第二步，由纯虚数虚部不为0，得，因式分解得，解得且； 第三步，综合得（验证：当时，，为纯虚数，符合题意）。 答案： 【知识点02】复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 【例2】已知复数，求：（1）复平面内对应点的坐标；（2）复数的模；（3）向量的坐标。 解析：结合复数几何意义及模的公式求解： （1）由，实部，虚部，故复平面内对应点的坐标为； （2）代入模的公式，； （3）向量与复数一一对应，坐标为。 答案：（1）；（2）；（3） 【知识点03】复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法： ＝i(c＋di≠0). (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即，. 【例3】计算的值。 解析：采用分母实数化方法，乘以分母的共轭复数，分步化简： 第一步，分母实数化：； 第二步，化简分子：（注意）； 第三步，化简分母：； 第四步，整理得：。 答案： 【题型一】复数的概念辨析与分类 【例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 【例2】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知a，b都是实数，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据复数的运算列出方程计算即可. 【详解】因为，所以，所以，则． 【例3】（2026·重庆渝中·模拟预测）若复数满足，则的虚部为______. 【答案】 【详解】由可得， 则， 故的虚部为. 【变式1】（2026·河南新乡·三模）复数的实部为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】，故所求实部为. 【变式2】（2026·河北保定·三模）复数的实部与虚部的和为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】将复数进行化简写成的形式，实部为，虚部为，进行计算即可． 【详解】由可知：实部为2，虚部为1，故和为3． 【变式3】（2026·宁夏银川·三模）已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为________. 【答案】 【详解】由于，，，，故每四个连续的项之和为， ，则， 由于，，故，所以. 【题型二】复数的几何意义应用 【例4】（2026·云南昆明·二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，所以. 【例5】（多选）（2024·湖北荆州·三模）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【答案】BD 【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D. 【详解】复数的实部为，虚部为， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 对于A：若为纯虚数，则，解得，故A错误； 对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确； 对于C：若在复平面内对应的点在直线上， 所以，解得或，故C错误； 对于D：令，即，不等式组无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：BD. 【例6】（2024·安徽·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可. 【详解】由题意得，，解得， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】（2026·湖南郴州·模拟预测）若复数z满足，则复平面内表示复数z的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】，则，则，复平面内表示复数z的点位于第二象限. 【变式2】（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）若复数，则下列选项正确的有（   ） A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ACD 【分析】对 A ，先对复数 分母有理化化简得到标准形式，再利用复数模长公式计算模长；对 B ，根据共轭复数定义（实部不变、虚部变号），由化简后的直接写出其共轭复数，判断正误；对 C ，先代入化简后的，计算并化简，再与相加，判断结果是否为实数；对 D ，计算得到新复数，根据复数与复平面内点的一一对应关系，写出对应点坐标，判断所在象限. 【详解】由题意， 对于A：，故A正确； 对于B： 的共轭复数为，故B错误： 对于C：，为实数，故C正确； 对于D：，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 【变式3】（2025·云南昆明·模拟预测）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第_____象限.（填“一、二、三、四”中的一个） 【答案】一 【分析】先设，再根据复数相等列方程，解得，最后根据复数几何意义得到答案. 【详解】设，故，则 解得，，故在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限. 故答案为：一. 【题型三】复数的四则运算 【例7】（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故. 故选：D 【例8】（多选）（2026·山东日照·二模）设为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据共轭复数的定义可判断A；举反例可判断B；根据虚数单位的性质可判断C；根据复数的除法以及复数模的公式可判断D. 【详解】设复数，则共轭复数， 对于A：若，则虚部， 此时，，故，A正确； 对于B：取，则，但，B错误； 对于C：由得，复数范围内解得，C正确； 对于D：对，化简得，故，D错误. 【例9】（2026·四川遂宁·模拟预测）设、为共轭复数，若，，则__________ . 【答案】 【分析】设，则，进而可得，得到，可得，再结合模长公式求解． 【详解】设，则， 所以，则，可得， 因为，且， 所以，故，故，则． 【变式1】（2026·四川资阳·模拟预测）已知是虚数单位，，则复数z的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数四则运算求得，进而求得的共轭复数. 【详解】依题意，， 所以， 所以. 【变式2】（多选）（2026·山东菏泽·二模）已知复数，则下列结论正确的有（   ） A．的虚部是 B．的共轭复数是 C．在复平面内对应的点在第一象限 D． 【答案】BCD 【详解】已知复数，先化简： . A：的虚部为，不是，A错误. B：的共轭复数，B正确. C：对应复平面内点，在第一象限，C正确. D：，，，所以，D正确. 【变式3】（2026·浙江·三模）在复平面内，i为虚数单位，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是_____. 【答案】 【详解】复平面上的向量加法与复数加法法则一致，即对应坐标相加， 因为， 所以对应的复数是. 【题型四】复数的综合应用 【例10】（2026·贵州贵阳·二模）若复数z满足（其中i是虚数单位），则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由可得， 即， 故. 【例11】（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知复数，其中，是虚数单位，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为纯虚数，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对A，若，则，则，错误； 对B，，正确； 对C，若为纯虚数，则，解得，正确； 对D，若，则，解得或，错误. 【例12】（2026·福建泉州·模拟预测）对于复数，，定义♥为的实部.若，♥，则可以为____________.（写出一个满足条件的答案） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【详解】设，则，因此 ， 因为♥，所以，所以 ， 题目要求写一个满足的条件所以令，解得. 【变式1】（2026·青海西宁·二模）已知复数，若，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】结合复数的乘方求出，进而求出，结合复数的几何意义求解即可. 【详解】因为，，，所以. ， 所以. 【变式2】（多选）（2026·湖南永州·三模）已知复数，则（    ） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根 【答案】AD 【分析】根据复数除法的运算得到，再由复数的相关知识逐一判断即可． 【详解】解：， ，故A正确； 的虚部为，故B错误； 在复平面内对应的点为，位于第三象限，故C错误； 方程的根为， 是方程的一个根，故D正确． 【变式3】（2026·山东菏泽·一模）已知复数，. (1)当时，求； (2)设，记（表示复数z的虚部）.将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法求解即可； （2）利用复数的乘法及三角函数图象的变换求出，再由正弦型三角函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时， 所以. （2）因为，所以 ， 所以， 将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得， 令， 解得， 所以的单调递增区间是 【解题大招01】纯虚数、实数的快速判定技巧 【例1】已知复数（），求：（1）为实数时的值；（2）为纯虚数时的值。 解析：严格套用快速判定技巧，分步求解，避免失误： （1）为实数 ⇔ 虚部为0，即； 因式分解得，解得或（无需额外验证，虚部为0即可满足实数条件）。 （2）为纯虚数 ⇔ 实部为0且虚部不为0； ① 实部为0：，解得或； ② 虚部不为0：，解得且； 综合①②，得（验证：当时，，为纯虚数，符合题意）。 答案：（1）或；（2） 易错注意：判断纯虚数时，务必验证“虚部不为0”，避免误将代入（此时虚部为0，为实数，非纯虚数）。 【解题大招02】复数模的简化计算技巧 【例2】已知复数，，求的值。 解析：套用简化公式，无需化简，直接计算模的比值，步骤更简洁： 第一步，计算：代入基础公式，； 第二步，计算：代入基础公式，； 第三步，套用简化公式：（分母有理化，化简结果）。 答案： 易错注意：简化公式仅适用于“模的乘除”，不适用于模的加减（即），避免误用公式。 【解题大招03】复数除法“分母实数化”快速运算技巧 【例3】计算的值，用快速技巧求解。 解析：严格套用3步技巧，简化运算步骤： 第一步，找共轭：分母的共轭复数为； 第二步，算分母：（直接套用公式，无需展开）； 第三步，化简分子：； 代入，合并实部、虚部：； 最后约分：（化为标准形式）。 答案： 易错注意：分子展开时，注意符号运算（负负得正），避免出现的错误（正确应为）。 【解题大招04】复数综合题“分步拆解”技巧 【例4】已知复数（）的共轭复数为纯虚数，求的值及。 解析：按分步拆解技巧求解，思路清晰，避免失误： 第一步，化简复数（分母实数化）： ； 第二步，求共轭复数：共轭复数虚部符号相反，即； 第三步，根据“为纯虚数”的条件求解： 纯虚数需满足“实部为0且虚部不为0”，即； 解得（验证：时，，为纯虚数，符合题意）； 第四步，求：将代入，得，故。 答案：， 易错注意：共轭复数的虚部符号易混淆，牢记“共轭复数，实部不变，虚部变号”，避免将的虚部仍写为。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先进行复数的除法运算，再根据共轭复数的概念得到，进而由复数的乘法运算，即可得出结果. 【详解】因为 所以 所以. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 3．（2026·河北保定·二模）已知，其中是实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，解得. . 4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．14 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以，故. 二、多选题 5．（2025·山东聊城·模拟预测）若为虚数单位，，点在幂函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由幂函数定义求出，代入点求出，利用复数的四则运算判断各项. 【详解】由幂函数定义可知，，得，A错误. 将点代入幂函数，得，B正确. 因，C正确. 由，D错误. 故选：BC. 6．（2026·江西宜春·一模）已知复数，其中，是虚数单位，则（   ） A．当时，为纯虚数 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【详解】对A：当时，，故A错误； 对B：当时，，故B正确； 对C：当时，，此时，故C正确； 对D：当时，， 所以 ，故D正确. 三、填空题 7．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若为实数，且复数为纯虚数，则的值为______． 【答案】2 【分析】由纯虚数的概念知，实部为0，虚部不为0，取交集即可得的值. 【详解】由纯虚数的概念知，可得 故答案为：2 四、解答题 8．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数值域即可求解. 【详解】（1）设， ，，且， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， ； （3），设， 则， ，， . 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）若为虚数单位，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， ，. 2．（2026·吉林延边·三模）若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， 则复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 二、多选题 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆．下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 【答案】ACD 【详解】，A正确；，B错误； 依题意方程的个根在复平面内对应的点九等分单位圆， 已知是其中一个根，则个根的幅角依次为， 即根为， 当时，有，C正确； 当时，有，D正确. 4．（2026·福建龙岩·三模）已知复数满足，则（   ） A． B．在复平面内所对应的点在第三象限 C．若，则的最大值为 D．和是方程在复数范围内的两个根 【答案】ABD 【分析】根据复数的运算、几何意义以及复数的模求解即可. 【详解】. 选项A：. 选项B：在复平面内所对应的点在第三象限. 选项C：若，则在以点为圆心，1为半径的圆上，原点到圆心的距离为， 因此圆上点到原点的最大距离为. 选项D：解方程，判别式， 根为 正好是和，因此二者是方程的两个根. 三、填空题 5．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列（为虚数单位），则的前项和为___________． 【答案】 【分析】利用复数的乘方运算化简数列的通项，再利用分组求和法，结合等差、等比数列的前项和公式求解. 【详解】数列中，， 显然数列为等比数列，是等差数列， 所以. 6．（2026·安徽铜陵·模拟预测）在复平面中，已知，，复数，对应的点分别为，，且满足，则的最大值为______． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，由，分析得是边长为的等边三角形，写出坐标再利用数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题. 【详解】因为复数对应的点为，且， 所以是边长为的等边三角形，为坐标原点，设， 则的坐标为或， 因为，，则， 当时， ， 令，由辅助角公式得， ，故， 因此， 故取得最大值：； 当时， ， 令，由辅助角公式得， ，故， 因此，故取得最大值：； 综上所述，的最大值为. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·山西运城·二模）设正数，分别是复数的实部、虚部，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据复数的乘法可得，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】依题意得， 因为，所以， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 2．（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点对应的复数求出其坐标，再利用等边三角形的性质求出点的坐标，最后根据复数的几何意义得到点对应的复数，进而求出其虚部. 【详解】已知点对应的复数为，根据复数的几何意义，所以点的坐标为. 所以向量.又因为为等边三角形， 所以，且. 又因为，所以，即. 设，则. 又因为 而，联立方程组可得 或. 由题可知点在第二象限，所以即点的坐标为. 即点对应的复数为.所以虚部为. 故选：C. 二、多选题 3．（2026·湖南浙江·模拟预测）若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】BCD 【详解】 . 对于A：，A错误. 对于B：，B正确. 对于C：在复平面内对应的点为，位于第四象限，C正确. 对于D：表示复数在复平面内对应单位圆上的点，表示单位圆上的点到点的距离. 点到原点的距离为，所以单位圆上的点到点的最小距离为，D正确. 三、填空题 4．（2026·广东茂名·一模）已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________. 【答案】 【分析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程的两复根为，，根据条件可得边长之间关系式，进而得解. 【详解】根据题意设方程的两虚根为，，为实数， 方程的两根在复平面上对应的点分别为和，轴， 又是等边三角形，高为2，则， 解得，则； 则. 故答案为． 四、解答题 5．（2024·河北·模拟预测）（1）在复数范围内解方程； （2）设，且，证明：； （3）设复数数列满足：，且对任意正整数，均有.证明：对任意正偶数，均有. 【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）将方程因式分解，借助求根公式即可求； （2）方法一，设复数的代数形式，计算即可；方法二，设复数的三角形式，计算即可； （3）将已知化简可得，利用等比数列通向公式即可求出，结合等比数列求和公式即可证明. 【详解】（1）由得，即， 由解得， 由，利用二次方程求根公式得，即， 所以的根为，，. （2）方法一：证明：由，， 可设，，. 所以 ； ， 故. 方法二： 选学内容方法 由，且， 可设，. 则，， 则 （3）由于，且对任意正整数，均有，故 整理得， 解得. 因此，故 进而由得， ① 因为为偶数， 又 利用①得 所以对任意正偶数，均有. 【点睛】关键点点睛：本题（3）的关键是将已知变形求出，将问题转化成数列问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $