14.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦角的平分线的判定定理，通过集贸市场选址的实际问题导入，衔接前课时性质定理，交换题设与结论引导学生猜想，构建性质与判定互逆关系的学习支架。 亮点在于“猜想—证明—应用”完整探究链，培养几何直观与推理能力，如证明三角形内心时综合运用性质与判定，拓展旁心提升空间观念，帮助学生建立模型意识，为教师提供清晰教学脉络和丰富实例。

AI 生成 教案：14.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定 课题 14.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十四章 教学方法 探究发现、讲练结合、启发引导、类比迁移 教学用具 多媒体课件、直尺、圆规、三角板 教材分析 本节课是人教版八年级上册第十四章"全等三角形"第三节"角的平分线"第2课时。前一课时学生已经学习了角平分线的性质定理——角平分线上的点到角两边的距离相等，并从尺规作图（SSS原理）的探究中初步感知了"互逆"的数学思想。本节课在此基础上，将性质定理的题设和结论交换，引导学生探究角平分线的判定定理——到角两边距离相等的点在角的平分线上。教材以证明为主线，通过"猜想—证明—应用"的完整探究过程，帮助学生建立性质与判定的互逆关系，为后续学习三角形内心、旁心等概念奠定基础。 学情分析 学生在前一课时已经掌握了角平分线的性质定理及其应用，对性质定理的证明思路（AAS证全等）和几何语言书写已经很熟悉。学生已经学习了（斜边、直角边）判定直角三角形全等的方法，为本节课判定定理的证明提供了工具。但学生对"互逆命题"的概念还比较陌生，将性质定理的题设和结论交换后是否正确、如何证明，是本节课学生需要突破的思维障碍。此外，判定定理的条件"到角两边距离相等"中"距离"是垂线段，学生容易忽略垂直条件，需要教师重点强调。 一、核心素养目标 1. 几何直观 通过角的平分线性质定理的逆命题探究，直观感受"性质"与"判定"的互逆关系。在分析集贸市场选址问题中，通过几何图形直观判断"到公路和铁路距离相等的点"的位置，发展空间观念和几何直观感知能力。 2. 推理能力 经历从"交换性质定理的题设和结论"到"提出猜想"再到"用证明判定定理"的完整探究过程。在证明三角形三条角平分线交于一点的过程中，综合运用判定定理进行两次推理，培养严谨的逻辑推理能力和规范的几何证明书写习惯。 3. 应用意识 能运用角平分线的判定定理解决实际问题，如集贸市场选址问题。能运用判定定理完成教材P51练习中的证明题，体会判定定理在几何证明中的应用价值。通过三角形内心和旁心的拓展探究，感受数学知识在实际中的应用。 4. 模型观念 建立角平分线判定定理的几何模型：两距离相等 → 点在角平分线上。理解性质与判定是互逆的两个模型，形成"性质正向用、判定反向用"的模型化思维。建立三角形内心模型——三条角平分线交于一点，该点到三边距离相等。 二、教学重难点 教学重点 1. 理解并掌握角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 2. 能用证明角平分线的判定定理。 3. 理解角平分线性质与判定的互逆关系，建立"性质⇌判定"的双向思维。 4. 能运用判定定理进行规范的几何证明，解决实际问题。 5. 理解三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等。 教学难点 1. 理解角平分线性质与判定的互逆关系，区分两个定理的适用情境——"已知平分线用性质，求证平分线用判定"。 2. 灵活运用判定定理进行证明，特别是从"到角两边距离相等"推出"点在角平分线上"的推理方向。 3. 理解三角形三条角平分线交于一点的证明思路——两次使用判定定理。 4. 理解到三角形三边所在直线距离相等的点有4个（内心和3个旁心），拓展空间想象能力。 三、教学过程 环节一：情境导入（3分钟） 【教师活动】同学们，上节课我们学习了角平分线的性质定理——角平分线上的点到角两边的距离相等。在生活中有很多需要用到角平分线知识的问题。我们来看一个实际问题。 【教师活动】如图，有一个集贸市场，它要建在S区，要求到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m。这个集贸市场应建在何处？请同学们思考。 【学生活动】到公路和铁路的距离相等，说明这个点必须在公路和铁路所成角的平分线上。同时离交叉处500m，就是以交叉处为圆心、500m为半径的圆上。所以集贸市场应建在角平分线与圆的交点处。 【教师活动】分析得非常好！你的思路是：到两边距离相等 → 点在角平分线上。这是从"距离相等"推出"点在平分线上"。而上节课我们学的是反过来——点在平分线上 → 到两边距离相等。这两个命题的题设和结论正好互换了！ 【教师活动】那么，交换角平分线性质定理的题设和结论，得到的新命题还是正确的吗？这就是我们今天要研究的问题——角的平分线的判定。 【知识点】情境导入：集贸市场选址问题 问题：在S区建集贸市场，到公路和铁路距离相等，离交叉处500m。 分析思路：到两边距离相等 → 点在角平分线上 → 作角平分线 → 在角平分线上截取500m处。 核心问题：交换性质定理的题设和结论，得到的命题正确吗？ 引出课题：角的平分线的判定。 【设计意图】从集贸市场选址的实际问题出发，自然引出"到角两边距离相等的点是否在角平分线上"这一核心问题。通过将性质定理的题设和结论交换，引出"判定"的概念，激发学生的探究欲望，体现实用性和数学中的互逆思想。 【过渡语】交换性质定理的题设和结论，得到的命题正确吗？让我们一起来探究。 环节二：探究新知（12分钟） 一、提出猜想 —— 交换题设和结论 【教师活动】上节课我们学习的角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等。它的题设是"点在角的平分线上"，结论是"点到角两边的距离相等"。 【教师活动】现在，我们把题设和结论交换，得到：到角两边距离相等的点在角的平分线上。这个命题正确吗？请同学们先猜想。 【学生活动】我猜想这个命题是正确的。因为从实际的集贸市场问题来看，到两边距离相等的点确实应该在角平分线上。 【教师活动】猜想不能代替证明。我们需要用严格的几何证明来验证这个命题。请同学们按照证明几何命题的一般步骤来操作。 【知识点】提出猜想 交换题设和结论： 性质定理：点在角的平分线上 → 点到角两边的距离相等。 猜想（判定）：到角两边距离相等的点 → 点在角的平分线上。 即：交换性质定理的题设和结论，看是否成立。 【设计意图】通过交换性质定理的题设和结论来提出猜想，培养学生"互逆命题"的意识。这是数学中常见的探究方法——从已知定理出发，研究其逆命题是否成立。 二、证明判定定理 ——证全等 【教师活动】已知：如图，点P在的内部，于点D，于点E，且。求证：点P在的平分线上。 【教师活动】请同学们思考：要证明点P在的平分线上，即要证明什么？ 【学生活动】要证明=。即证明射线OP是的平分线。 【教师活动】正确！那么如何证明=呢？ 【学生活动】可以证明。在和中，（已知），（公共边），=（垂直定义），所以（）。因此=，即点P在的平分线上。 【教师活动】证明过程非常规范！注意这里用的是判定——斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。因为OP是公共斜边，是直角边，所以用。 【教师活动】这样我们就证明了：到角两边距离相等的点在角的平分线上。这就是角平分线的判定定理。 【知识点】角平分线的判定定理 定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 已知：点P在内部，于D，于E，。 求证：点P在的平分线上。 证明：在和中， （已知）， （公共边）， = （垂直定义）， （）， = ， 点P在的平分线上。 【设计意图】判定定理的证明是本节课的核心。通过证明两个直角三角形全等，得出角相等的结论，从而证明点在角平分线上。注意与性质定理的区别：性质定理用AAS证明，判定定理用证明，两者证明方法不同，体现了性质和判定的对称性。 【知识要点】性质定理与判定定理的对比性质定理（正向）：点在角平分线上 → 到角两边的距离相等（AAS证明）判定定理（反向）：到角两边的距离相等 → 点在角平分线上（证明）两个定理的证明方法不同：性质用AAS，判定用。两个定理的推理方向相反：性质是"由平分线得距离相等"，判定是"由距离相等得平分线"。 【过渡语】判定定理证明完毕，我们来看看它的几何语言如何书写。 三、判定定理的几何语言 【教师活动】判定定理的几何语言书写和性质定理一样简洁，但推理方向相反。请同学们注意区分。 【知识点】角平分线判定定理的几何语言 如图，于点D， 于点E， ， 点P在的平分线上。 （到角两边距离相等的点在角的平分线上） 对比性质定理的几何语言： 如图，OP是的平分线， 点P在OP上， 于点D，于点E， 。 【易错防范】判定定理使用的注意事项注意一：条件中必须包含"垂直"——，，否则PD和PE不是"距离"。注意二：结论是"点在角平分线上"，不是"线段相等"——推理方向与性质定理相反。注意三：点P必须在的内部，否则结论不一定成立。注意四：区分性质和判定——已知平分线求距离用性质，已知距离相等证平分线用判定。 【设计意图】几何语言的对比书写，帮助学生建立性质和判定的双重视角。强调"垂直"条件的必要性，因为"距离"必须是垂线段长度。 【过渡语】判定定理和性质定理是什么关系呢？让我们来归纳总结。 四、归纳总结 —— 性质与判定的互逆关系 【教师活动】性质定理和判定定理的题设和结论正好互换，我们把这样的两个命题称为互逆命题。性质定理和判定定理之间的关系是互逆关系。 【教师活动】我们可以这样理解：角的平分线就是到角两边距离相等的所有点的集合。也就是说，一个点如果在角平分线上，那么它到角两边的距离相等（性质）；反过来，如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点就在角平分线上（判定）。 【学生活动】所以"角的平分线"和"到角两边距离相等的点的集合"是同一个概念！ 【教师活动】总结得非常到位！性质定理和判定定理合在一起，说明角的平分线可以看作到角两边距离相等的所有点的集合。 【知识点】性质与判定的互逆关系 性质定理：角平分线上的点 → 到角两边的距离相等。 判定定理：到角两边的距离相等 → 点在角平分线上。 综合结论： 角的平分线 = 到角两边距离相等的点的集合。 即：点在角平分线上 ⇌ 点到角两边的距离相等。 性质与判定互为逆定理，构成"双向等价"关系。 【规律总结】性质与判定的应用选择当题目已知"角平分线"条件时，优先使用性质定理（正向推理）。当题目要求"证明某点在角平分线上"时，使用判定定理（反向推理）。口诀：已知平分用性质，求证平分用判定。两个定理合在一起，实现了"点在平分线上"与"距离相等"的相互转化。 【设计意图】归纳总结性质和判定的互逆关系，帮助学生建立"双向等价"的思维模型。将角的平分线定义为"到角两边距离相等的点的集合"，从集合的角度深化对概念的理解。 【过渡语】掌握了判定定理，我们回到导入环节的集贸市场问题，现在可以完整解答了。 环节三：例题精讲（13分钟） 一、针对训练1 —— 导入问题解答（集贸市场选址） 【教师活动】回到导入环节的集贸市场问题。在S区建一个集贸市场，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m。这个集贸市场应建在何处？请同学们用判定定理完整解答。 【学生活动】解：公路和铁路相交构成一个角，设交点为O。要使集贸市场到公路和铁路的距离相等，根据角平分线的判定定理，集贸市场应在公路和铁路所成角的平分线上。又因为离交叉处500m，所以集贸市场应在以O为圆心、500m为半径的圆上。因此，集贸市场应建在角平分线与圆的交点处。 【教师活动】解答完整！注意这里用了判定定理——由"距离相等"推出"在角平分线上"。这是判定定理在实际问题中的典型应用。 【解答】解：设公路和铁路的交点为O，公路和铁路构成。集贸市场到公路和铁路的距离相等，由角平分线的判定定理，集贸市场在的平分线上。又集贸市场离交叉处500m，故集贸市场在以O为圆心、500m为半径的圆上。因此，集贸市场应建在的平分线与以O为圆心、500m为半径的圆的交点处。 【知识点】针对训练1 解题要点 问题：到公路和铁路距离相等，离交叉处500m。 关键步骤： (1) 由判定定理，到两边距离相等 → 点在角平分线上。 (2) 离交叉处500m → 在以O为圆心、500m为半径的圆上。 (3) 取角平分线与圆的交点。 方法提炼：判定定理 + 圆的定义 = 确定点的位置。 【设计意图】将导入环节的问题作为针对训练，首尾呼应，让学生体会判定定理的实际应用价值。从"猜想"到"证明"再到"应用"，完成完整的探究闭环。 【过渡语】接下来我们看教材P51的练习，进一步巩固判定定理的应用。 二、针对训练2 —— 教材P51练习1 【教师活动】如图，，，垂足分别为B、E，且。求证：FD平分。 【教师活动】请同学们分析：要证明FD平分，即证明什么？ 【学生活动】要证明FD平分，即证明点D到的两边BF和EF的距离相等。由已知条件，即，所以DB是点D到BF的距离；即，所以DE是点D到EF的距离。我们需要证明。 【教师活动】分析思路很清晰！那么如何证明呢？ 【学生活动】由已知，如果能证明，就可以得到。在和中，=，=（对顶角相等），（已知），所以（AAS）。因此。又，，由角平分线的判定定理，点D在的平分线上，即FD平分。 【教师活动】证明思路非常清晰！先用AAS证明得，再用判定定理得FD平分。两步推理，环环相扣。 【解答】证明：，，=。在和中，=，=（对顶角相等），（已知），（AAS）。。又，，点D到的两边距离相等。由角平分线的判定定理，点D在的平分线上，即FD平分。 【知识点】针对训练2 解题要点 已知：，，。 求证：FD平分。 关键步骤： (1) 证（AAS）→ 。 (2) ， → 点D到两边距离相等。 (3) 由判定定理 → FD平分。 方法提炼：全等三角形 + 判定定理 = 证明角平分线。 【方法归纳】证明"某射线平分某角"的常用思路思路一：证明该射线上的点到角两边的距离相等（用判定定理）。思路二：证明该射线分得的两角相等（用全等或角的计算）。思路三：综合运用性质和判定——先得距离相等，再证点在平分线上。本题用的是思路一：先证（距离相等），再用判定定理得出结论。 【设计意图】教材P51练习1是判定定理的典型应用。先通过全等证明距离相等，再用判定定理推出角平分线结论。这种"先证全等得距离相等，再用判定得平分线"的套路，是几何证明中的常见模式。 【过渡语】判定定理不仅可以用于证明单一角的平分线，还可以用于证明更复杂的结论。我们来看教材中的例题。 三、例题 —— 三角形三条角平分线交于一点 【教师活动】如图，的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 【教师活动】请同学们思考：BM是的平分线，点P在BM上，由性质定理可以得到什么？ 【学生活动】因为BM平分，点P在BM上，过点P分别作于D，于E，于F。由角平分线的性质定理，。 【教师活动】很好！同理，CN是的平分线，点P在CN上，可以得到什么？ 【学生活动】由角平分线的性质定理，。 【教师活动】综合两个结论，。这就证明了点P到三边的距离相等。 【教师活动】进一步思考：由，即点P到的两边AB和AC的距离相等，根据判定定理，点P在的平分线上吗？ 【学生活动】是的！因为，，且，由角平分线的判定定理，点P在的平分线上。 【教师活动】所以三角形的三条角平分线BM、CN、AP都经过点P，即三角形的三条角平分线交于一点。这个点叫做三角形的内心。 【教师活动】内心到三角形三边的距离相等，这个距离就是三角形内切圆的半径。 【解答】证明：过点P作于D，于E，于F。BM平分，点P在BM上，（角平分线的性质）。CN平分，点P在CN上，（角平分线的性质）。。即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。又，，，由判定定理，点P在的平分线上。三角形的三条角平分线交于点P。 【知识点】三角形三条角平分线的性质 结论一：三角形的三条角平分线交于一点，该点称为三角形的内心。 结论二：内心到三角形三边的距离相等。 结论三：以内心为圆心、内心到三边距离为半径的圆是三角形的内切圆。 证明思路： (1) 由性质定理，P在BM上 → 。 (2) 由性质定理，P在CN上 → 。 (3) 综合得 。 (4) 由判定定理， → P在的平分线上。 (5) 故三条角平分线交于一点P。 【知识要点】三角形内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。性质：内心到三角形三边的距离相等。位置：内心一定在三角形内部。应用：内心是三角形内切圆的圆心。证明方法：先用性质定理得两次距离相等，再用判定定理得第三边平分线过该点。注意：该证明综合运用了性质定理（正向）和判定定理（反向）。 【设计意图】三角形内心是判定定理的重要应用。通过"性质定理得，再用判定定理得第三条平分线也过P"，完美展示了性质与判定的综合运用。学生需要理解"先用性质得距离相等，再用判定得平分线"的推理脉络。 【过渡语】三角形的三条角平分线交于一点，那么到三角形三边所在直线距离相等的点，除了内心还有别的吗？ 四、拓展探究 —— 到三角形三边所在直线距离相等的点 【教师活动】我们已经知道，三角形的内心到三边的距离相等。那么，到三角形三边所在直线距离相等的点，除了内心还有其他点吗？ 【教师活动】请同学们思考：三角形的一个内角的平分线与另外两个外角的平分线是否也交于一点？ 【学生活动】考虑的内角平分线与的外角平分线、的外角平分线，它们应该交于一点。这个点到AB、AC、BC所在直线的距离也相等。 【教师活动】分析得很好！三角形有三个内角，每个内角可以与另外两个外角组合，因此共有3个这样的交点，称为旁心。加上内心，到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个——1个内心和3个旁心。 【知识点】拓展探究：到三角形三边所在直线距离相等的点 共有4个点： 1个内心：三条内角平分线的交点（在三角形内部）。 3个旁心：一条内角平分线与两条外角平分线的交点（在三角形外部）。 每个旁心到三角形三边所在直线的距离相等。 以旁心为圆心可作三角形的旁切圆（与一边和另外两边的延长线相切）。 【易错防范】内心与旁心的区别内心：三条内角平分线交点，在三角形内部，到三边距离相等。旁心：一条内角平分线与两条外角平分线交点，在三角形外部。注意：题目说"到三角形三边所在直线的距离相等"时，答案有4个（内心+3个旁心）。如果题目说"到三角形三边的距离相等且点在三角形内部"，则只有内心1个。 【设计意图】拓展探究是为了拓展学生的思维，不要求所有学生都掌握。通过"内心+旁心"的拓展，让学生感受数学的对称美和完整性，培养空间想象能力。 【过渡语】教材P51还有一道练习，我们继续来巩固。 五、针对训练3 —— 教材P51练习2 【教师活动】如图，的外角和的平分线BF、CG相交于点P。求证：点P在的平分线上。 【教师活动】请同学们分析：要证明点P在的平分线上，根据判定定理，需要证明什么？ 【学生活动】需要证明点P到的两边AB和AC的距离相等。过点P作PJ⊥AB于J，PH⊥AC于H，PI⊥BC于I。需要证明PH=PJ。 【教师活动】很好！那么如何利用已知条件BF、CG是外角平分线来证明PH=PJ呢？ 【学生活动】因为BF平分，点P在BF上，由角平分线的性质，PI=PJ。因为CG平分，点P在CG上，由角平分线的性质，PI=PH。所以PJ=PI=PH。由判定定理，点P在的平分线上。 【教师活动】证明思路非常清晰！这道题和前面的内心证明类似，都是先用性质定理得距离相等，再用判定定理得平分线结论。 【解答】证明：过点P作PJ⊥AB于J，PH⊥AC于H，PI⊥BC于I。BF平分，点P在BF上，PJ=PI（角平分线的性质）。CG平分，点P在CG上，PI=PH（角平分线的性质）。PH=PJ。又PJ⊥AB，PH⊥AC，由角平分线的判定定理，点P在的平分线上。 【知识点】针对训练3 解题要点 已知：BF平分，CG平分，BF与CG交于点P。 求证：点P在的平分线上。 关键步骤： (1) 过P作PJ⊥AB，PH⊥AC，PI⊥BC。 (2) 由性质定理，BF平分 → PI=PJ。 (3) 由性质定理，CG平分 → PI=PH。 (4) 得 PH=PJ。 (5) 由判定定理 → 点P在的平分线上。 方法提炼：辅助线（向三边作垂线）+ 性质定理 + 判定定理。 【设计意图】教材P51练习2是外角平分线交点的证明，与内心证明类似，但涉及的是外角平分线。这道题巩固了"性质+判定"的综合运用模式，同时为拓展探究中的旁心概念做了铺垫。 【过渡语】通过以上例题和练习，我们综合运用了性质和判定定理。现在来提炼归纳一下。 六、提炼归纳 —— 性质与判定互逆关系图 【教师活动】通过本节课的学习，我们完整地掌握了角平分线的性质和判定。两个定理的题设和结论互换，构成互逆关系。 【知识点】提炼归纳：性质与判定互逆关系 角的平分线 = 到角两边距离相等的点的集合。 性质定理（正向）：点在角平分线上 → 到角两边距离相等（AAS证明） 判定定理（反向）：到角两边距离相等 → 点在角平分线上（证明） 应用口诀：已知平分用性质，求证平分用判定。 三角形内心：三条角平分线交点，到三边距离相等。 三角形旁心：一条内角平分线与两条外角平分线交点（共3个）。 到三角形三边所在直线距离相等的点共4个。 【规律总结】性质与判定的综合应用模式模式一：单独用性质——已知平分线，求距离相等。模式二：单独用判定——已知距离相等，证平分线。模式三：性质+判定串联——先用性质得距离相等，再用判定得另一条平分线。模式四：判定+性质串联——先用判定得平分线，再用性质得距离相等。核心思想：性质与判定实现了"平分线"与"距离相等"的相互转化。 【设计意图】提炼归纳环节帮助学生建立完整的知识框架。通过互逆关系图，直观展示性质与判定的对称关系。四种应用模式覆盖了性质和判定的所有组合方式，帮助学生形成系统化的解题策略。 【过渡语】下面进入课堂练习环节，通过随堂演练来巩固本节课的知识。 环节四：课堂练习（14分钟） 一、随堂演练1 —— 选择题（直角三角板摆放） 【教师活动】第1题。如图，将直角三角板按如图所示的方式摆放，则点M一定在（ ）。 A.在的平分线上 B.在 AC 边的高上 C.在 AB 边的中线上 D.以上都正确 【教师活动】请同学们观察图形：两个直角三角板的直角顶点重合于点M，三角板的直角边分别落在角的两边上。点M到角的两边的距离有什么特点？ 【学生活动】点M到角的两边的距离就是两个三角板的直角边，由于是同样的三角板，这两个距离相等。由角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以点M一定在角的平分线上。 【教师活动】分析正确！这道题将实际生活中的三角板摆放问题转化为角平分线判定定理的几何问题，体现了数学建模的思想。 【答案】点M一定在角的平分线上。解析：由直角三角板的摆放，点M到角两边的距离相等（都是直角三角板的直角边），由角平分线的判定定理，点M在角的平分线上。 【知识点】随堂演练1 解题要点 已知：直角三角板如图摆放，直角顶点重合于点M。 关键：点M到角两边的距离 = 三角板直角边长度 → 相等。 由判定定理 → 点M在角平分线上。 方法提炼：实际问题 → 几何模型 → 判定定理。 【设计意图】第1题将生活情境与数学知识结合，考查学生从实际问题中抽象出几何模型的能力。通过三角板摆放，隐式地给出了"到角两边距离相等"的条件，需要学生识别。 二、随堂演练2 —— 选择题（内心求角度） 【教师活动】第2题。如图，点O是内一点，且点O到三边AB、BC、CA的距离相等。若，则的度数为（ ）。 A.B. C.D. 【教师活动】点O到三边距离相等，根据判定定理，点O在三个角的平分线上吗？ 【学生活动】是的！点O到三边AB、BC、CA的距离相等，由判定定理，点O在、、的平分线上，即点O是三角形的内心。 【教师活动】正确！那么如何求呢？ 因为O是内心，OB平分，OC平分。---(+)=-(-)=-(-)=-×=-=。 计算正确！内心求角度问题常用的公式是+，同学们可以验证一下：+×=+=。 。解析：点O到三边距离相等，由判定定理，O为内心，即OB平分，OC平分。-(+)=-(-)=-(-)=。或直接用公式+。 【知识点】随堂演练2 解题要点 已知：O到三边AB、BC、CA距离相等，。 关键步骤： (1) 由判定定理 → O是三条角平分线交点（内心）。 (2) - - (3) = - ( + ) (4) = - ( - ) (5) = - × = 。 公式：内心相关角+。 第2题将判定定理与角度的计算结合，考查了"由距离相等→内心→角度计算"的推理链。内心角度公式+是常考结论，需要学生掌握。 三、随堂演练3 —— 填空题（面积比） 【教师活动】第3题。如图，点O是内一点，且点O到三边AB、BC、CA的距离相等。若AB=5，BC=7，AC=9，则::=______。 【教师活动】点O到三边距离相等，设这个距离为h。三角形OAB、OAC、OBC的面积如何表示？ =·AB·h=×5×h，=·AC·h=×9×h，=·BC·h=×7×h。所以::=5:9:7。 【教师活动】非常好！因为O到三边距离相等，三个小三角形的面积比就等于它们底边的比。 ::=5:9:7。解析：设O到三边距离为h，则=·AB·h=×5×h，=·AC·h=×9×h，=·BC·h=×7×h。::=5:9:7。 【知识点】随堂演练3 解题要点 已知：O到三边距离相等，AB=5，BC=7，AC=9。 关键步骤： (1) 设O到三边距离为h。 (2) = ·AB·h = ×5×h。 (3) = ·AC·h = ×9×h。 (4) = ·BC·h = ×7×h。 (5) 面积比 = 底边比 = 5:9:7。 方法提炼：内心到三边距离相等 → 面积比 = 底边比。 【设计意图】第3题将"到三边距离相等"与面积比结合，考查了"高相等时面积比=底边比"这一基本结论。题目简洁但思维含量高。 四、随堂演练4 —— 综合证明题 【教师活动】第4题。如图，已知，，求证：AE平分。 【教师活动】要证明AE平分，需要证明什么？ 【学生活动】需要证明点E到的两边AC和AF的距离相等。或者证明=。 【教师活动】请同学们根据已知条件，尝试写出完整的证明过程。 【学生活动】由，在中，----=。所以，即。又因为，在中，--。需要进一步分析…… 【教师活动】继续思考：是外角，它与哪些角有关系？ 【学生活动】是的外角，所以=+，即=+，得。同理，也可以通过其他外角关系求得。如果能证明=，则AE平分。 【教师活动】思路正确！利用三角形外角性质，逐步推算出两个角相等，从而证明AE平分。 【解答】证明：是的外角，=+，即=+，。同理可证。=，即AE平分。 【知识点】随堂演练4 解题要点 已知：，。 求证：AE平分。 关键步骤： (1) 利用三角形外角性质：=+。 (2) =+ → 。 (3) 同理得。 (4) = → AE平分。 方法提炼：外角性质 + 角度计算 = 证明角平分线。 【设计意图】第4题是一道综合题，通过三角形外角性质进行角度计算，最终证明角相等，从而得出平分线结论。这道题考查了学生综合运用几何知识的能力。 【过渡语】四道随堂演练覆盖了判定定理的多种应用场景。现在我们来回顾本节课的主要内容。 环节五：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，本节课我们学习了角的平分线的判定定理。请同学们从以下几个方面回顾本节课的收获。 【学生活动】我理解了角平分线判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。证明方法是用证明。 【学生活动】我掌握了判定定理的几何语言书写：两个垂直条件+距离相等→点在角的平分线上。 【学生活动】我理解了性质与判定的互逆关系：性质是"平分线→距离相等"，判定是"距离相等→平分线"。角的平分线就是到角两边距离相等的点的集合。 【学生活动】我知道了三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做内心，内心到三角形三边的距离相等。 【学生活动】我了解了到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个——1个内心和3个旁心。 【学生活动】我学会了综合运用性质和判定定理：先用性质得距离相等，再用判定得另一条平分线。 【教师活动】同学们总结得非常全面！本节课的核心是角平分线的判定定理，以及性质与判定的互逆关系。请同学们课后完成以下作业： 1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题。 【知识点】课堂小结：角的平分线的判定 一、判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 证明方法： 几何语言：，， → 点P在的平分线上。 二、性质与判定的关系：互逆定理 性质：点在平分线上 → 距离相等（AAS） 判定：距离相等 → 点在平分线上（） 三、三角形内心：三条角平分线交点，到三边距离相等。 四、旁心：一条内角平分线与两条外角平分线交点（共3个）。 五、应用口诀：已知平分用性质，求证平分用判定。 【设计意图】课堂小结采用学生自主回顾的方式，从判定定理、互逆关系、内心、旁心、应用口诀五个方面全面梳理本节课的知识体系。最后配合知识结构图，帮助学生建立完整的知识网络。 四、板书设计 14.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定 一、判定定理（证明） 到角两边距离相等的点在角的平分线上。 已知：，， 求证：P在平分线上 证明：（） 二、性质与判定的互逆关系 三、几何语言 性质（正向）：平分线→距离相等 判定（反向）：距离相等→平分线 角的平分线=到角两边距离 相等的点的集合 判定：，， P在平分线上 性质：OP平分，P在OP上 ， 四、三角形内心 五、旁心与拓展 三条角平分线交于一点（内心） 内心到三边距离相等 证明：性质+判定综合运用 到三边所在直线距离相等的点： 1个内心（内部）+ 3个旁心（外部） 共4个点 六、随堂演练 七、课堂小结 练1：三角板摆放→判定→角平分线 练2：→内心→ 练3：::=5:9:7 练4：外角性质+角度计算→证平分线 已知平分用性质 求证平分用判定 性质+判定串联使用 八、课后作业 教材课后习题 练习册本课时习题 五、教学反思 1. 回顾情境导入环节，从集贸市场选址的实际问题出发，自然引出"到角两边距离相等的点是否在角平分线上"这一核心问题。这个导入方式是否有效激发了学生的学习兴趣？学生是否能从实际问题中抽象出几何模型，并意识到"交换性质定理的题设和结论"这一探究方向？ 2. 在探究判定定理的过程中，学生是否能够自主地提出"交换性质定理的题设和结论"这一猜想？用证明判定定理时，学生是否能够正确识别出和的全等条件（斜边，直角边）？与性质定理的AAS证明相比，学生是否能理解两种证明方法的不同之处？ 3. 判定定理的几何语言书写，学生是否掌握了"两个垂直条件+距离相等→点在平分线上"的规范格式？与性质定理的几何语言对比书写时，学生是否能清晰地分辨两者的推理方向差异？易错防范中强调的"垂直条件"和"点在角内部"是否被学生充分理解？ 4. 性质与判定的互逆关系归纳，学生是否真正理解了"角的平分线就是到角两边距离相等的点的集合"这一实质？"已知平分用性质，求证平分用判定"的口诀是否帮助学生建立了正确的应用选择策略？ 5. 三角形内心的证明——先用性质定理得，再用判定定理得第三条平分线也过点P——学生是否能够理解这种"性质+判定串联"的推理模式？这种综合运用对学生的逻辑推理能力要求较高，是否需要在教学中增加更多的引导？ 6. 拓展探究中"到三角形三边所在直线距离相等的点有4个（内心+3个旁心）"这一结论，学生是否能够理解？旁心的概念对部分学生来说可能比较抽象，教学中是否需要更直观的图形演示？ 7. 四道随堂演练的难度梯度是否合理？第1题（三角板摆放→判定）作为情境题是否降低了学生的畏难情绪？第2题（内心求角度）和第3题（面积比）是否巩固了内心相关结论？第4题（外角性质+角度计算）作为综合题，学生完成情况如何？ 8. 本节课的教学脉络是否清晰：情境导入→提出猜想→证明→几何语言→性质与判定互逆关系→针对训练→内心例题→旁心拓展→随堂演练→课堂小结。板书设计是否清晰地呈现了判定定理、互逆关系、内心旁心等核心知识结构？课后作业布置是否合理？ 9. 与第1课时（性质定理）的衔接是否自然？学生是否能够将两个课时的知识整合为一个完整的"角平分线"知识体系？从整体的"性质⇌判定"双向视角，学生是否建立了更深刻的几何思维能力？ 学科网（北京）股份有限公司 $