精品解析：贵州遵义清华中学2025-2026学年高三下学期第四次素养测试数学试卷

遵义清华中学高2026届高三第四次素养测试试卷数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，集合， 所以， 故选：D. 2. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则计算即得. 【详解】由，可得. 故选：C. 3. 已知向量，若，则实数（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量线性运算的坐标表示求出，再根据平面向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 即，解得. 故选：D. 4. 某系统通过摄像头识别手势，准确率为．若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的乘法公式及对立事件即可求解． 【详解】若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的对立事件为三次都识别正确， 所以至少有一次识别错误的概率为， 故选：A． 5. 已知是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性推出4是函数的一个周期，利用周期性和奇偶性即可求得答案. 【详解】因是定义在上的奇函数，则， 又，则， 故，即，则， 故4是函数的一个周期， 于是. 故选：A. 6. 已知为正项的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的应用和等比数列的通项公式求得，结合等比数列前n项求和公式计算即可求解. 【详解】因为与的等差中项为，所以， 设等比数列的公比为， 又，得，解得或（舍去）， 则. 故选：C. 7. 底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ） A. 28 B. 58 C. 56 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个正四棱锥的体积公式即可求解，也可用一个棱台公式求解体积. 【详解】方法一（割补法）：由于相似比为，而截去的正四棱锥的高为， 所以原正四棱锥的高为， 所以原正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为. 方法二：（台体的体积公式）棱台的体积为. 故选：C. 8. 若为锐角，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式与同角三角函数的关系化简得出只关于的式子，即可解得答案. 【详解】为锐角， ， 即， 解得， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得2分或4分，有选错的得0分． 9. 甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7场，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（ ） A. 得分的中位数甲比乙要小 B. 两人的平均数相同 C. 两人得分的极差相同 D. 得分的方差甲比乙小 【答案】BCD 【解析】 【分析】由中位数，极差的概念即可判断AC，由平均数、方差计算公式可分别判断BD. 【详解】对于A，甲的得分中位数是5，乙的得分中位数是5，故A错误； 对于B，甲的得分平均数是，乙的得分平均数是，故B正确； 对于C，甲的得分极差是，乙的得极差是，故C正确； 对于D，甲的得分方差是， 乙的得方差是，故D正确. 故选：BCD. 10. 过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 当的倾斜角为时， C. 当垂直于轴时，弦长最小 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由抛物线方程可判断A,利用抛物线定义结合几何图形运算可判断BCD． 【详解】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确； 如图根据抛物线的定义可知：，， 由，故B正确； 设，则， 同理可得：， 所以， 此时取到最小值，故C正确； 由上可得：，故D错误； 故选：ABC 11. 设，函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 点为函数图象的对称中心 C. 存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D. 函数至少有一个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据可判断B，利用导函数的性质与图象，结合零点存在性定理可判断ACD. 【详解】由题意，，， 因为对，有， 所以点为函数图象的对称中心，故B正确； 函数的导函数，， ①当时，恒成立，此时函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ②当时，，则方程有唯一解， 当时，，当时，，所以函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ③当时，由，得，即， 因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 此时，函数有两个极值点， 又时，，时，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点； 综上所述，当时，函数为减函数，故A错误， 当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在点处的切线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据切点处的导数等于切线斜率，然后点斜式可得. 【详解】因为，所以切线斜率，所以切线方程为. 故答案为： 13. 已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件，利用余弦定理能够求出，再由双曲线定义可以推导出，从而求出该双曲线的离心率． 【详解】设，又，， 中，由余弦定理有， 即，解得， 则，， 由双曲线定义， 解得．∴双曲线的离心率． 故答案为：． 14. 已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. 【详解】由，， ， ， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以当时，取最小值的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. 【小问2详解】 因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 16. 新高考按照“3＋1＋2”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科.某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取10名（包含考生甲和考生乙）进行调查.假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响. （1）求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率； （2）已知抽取的这10名考生中，女生有4名，从这10名考生中随机抽取5名，记X为抽取到的女生人数，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件， 结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解. （2）由题意可得，所有可能取值为分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解. 【小问1详解】 考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科， 共有 种， 其中考生选择了地理作为再选科目， 共有 种， 故考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率. 【小问2详解】 由题意可得， 所有可能取值为0，1，2，3，4  ， ，    ，. 故的分布列为： 故. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为底面是正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意有，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，构建合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，正方形的边长为，则， 在中，，， 因为，所以， 在中，设为与的交点，则， 所以，故是等边三角形，， 由（1）知平面平面，且交线为，过作于， 而平面，则平面 ， 在中，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立如图空间直角坐标系， 所以，，，，， 因为在上，且，所以， 因为底面且，可得， 平面的法向量，，， 所以，取，则， 平面的法向量，，， 所以，取，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）由参变量分离法可得，构造函数，其中，利用导数求出其值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题可知，函数的定义域为， 当时，，则， 令，得，由可得，由可得， 故当时，函数的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 由题可知，对于任意，恒成立，则， 设，其中，则， 设，则， 当时，，所以在上单调递减， 又，所以当时，，即在上单调递减， 又，则当时，，即. 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率，且以短轴为直径的圆与直线相切． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，若直线的斜率都存在且不为0，将的斜率分别记为，求． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合即可求出； （2）分情况讨论，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，联立得到，再求得，代入化简即可. 【小问1详解】 由题意得， 又以短轴为直径的圆与直线相切， 原点到直线的距离为， 又，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，， 当过点的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有一个交点，不合题意，舍去； 当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为， 设，联立， 消去整理得， ，解得， 且， 而直线的斜率为，直线的斜率为， ， 又， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义清华中学高2026届高三第四次素养测试试卷数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4. 某系统通过摄像头识别手势，准确率为．若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知为正项的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ） A. 28 B. 58 C. 56 D. 8. 若为锐角，，则（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得2分或4分，有选错的得0分． 9. 甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7场，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（ ） A. 得分的中位数甲比乙要小 B. 两人的平均数相同 C. 两人得分的极差相同 D. 得分的方差甲比乙小 10. 过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 当的倾斜角为时， C. 当垂直于轴时，弦长最小 D. 11. 设，函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 点为函数图象的对称中心 C. 存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D. 函数至少有一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在点处的切线方程是___________. 13. 已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为_______. 14. 已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 16. 新高考按照“3＋1＋2”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科.某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取10名（包含考生甲和考生乙）进行调查.假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响. （1）求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率； （2）已知抽取的这10名考生中，女生有4名，从这10名考生中随机抽取5名，记X为抽取到的女生人数，求X的分布列与数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率，且以短轴为直径的圆与直线相切． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，若直线的斜率都存在且不为0，将的斜率分别记为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $