精品解析：贵州遵义市道真仡佬族苗族自治县金星中学等校2026届高三下学期开学学科核心素养训练数学试题

高三数学学科核心素养训练 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式确定集合，再根据交集的概念求. 详解】由， 所以． 故选：A 2. 若，则z的虚部为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 3i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求得复数z，即可得到其虚部. 【详解】依题意得，所以z的虚部为3. 故选：B. 3. 已知平面向量满足与的夹角为，则（ ） A. 18 B. -18 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由与的夹角为，得， 所以. 4. 已知点，点，则原点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，， 而，则，即， 在中，原点到直线的距离为. 5. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的定义求出，由勾股定理求出焦距，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆的定义知，则. 设焦距为， 由题可知，，即，解得. 所以椭圆的离心率为. 6. 已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由，则，即， 则曲线在点处的切线方程为，即， 联立，得， 则，解得. 7. 在中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 则，由正弦定理得，， 又，则，即， 所以， 则时，取得最小值20，即的最小值为. 8. 在高为5的正三棱台中，，分别为侧棱，的中点，记平面、平面、平面交于点，则三棱台与三棱锥的体积之差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建系并标出点，分别求平面、平面、平面法向量，根据线面关系求点的坐标，再结合台体、锥体的体积公式运算求解. 【详解】因为，则， 设的重心分别为， 可知为正三棱台的高，即， 则三棱台的体积. 取的中点，过点与平行的直线与交于点， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 可得，，， 因为分别为侧棱，的中点，则， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设，则，， 由题意可得：，解得， 即，则三棱锥的体积； 所以三棱台与三棱锥的体积之差为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有一组数据为5，8，7，9，11，7，7，10，则正确的命题有（ ） A. 这组数据的众数为7 B. 这组数据的平均数为8.5 C. 这组数据的方差为 D. 这组数据的60%分位数为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据众数，平均数，方差及百分位数的定义计算判断各个选项即可. 【详解】这组数据中的7出现了3次，次数最多，故众数为7，A正确； 这组数据的平均数为，B错误； 这组数据的方差，C正确； 这组数据从小到大为5，7，7，7，8，9，10，11，由，得这组数据的60%分位数为8，D正确． 10. 已知函数对任意的恒成立，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据赋值法及奇偶函数的定义逐项计算判断. 【详解】对于B，令，则，解得，B正确； 对于A，令，则，即，解得，A错误； 对于C，由选项A得，因此函数不是偶函数，C错误； 对于D，令，则，则， 令，则 ，因此为奇函数，D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 当的最小正周期为时， B. 当在上单调时， C. 当在上恰有两个零点时， D. 当时，在上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得出的解析式，由周期公式可知A错误，再由整体代换法结合正弦函数单调性、零点可判断BC，代入，由图象法可求得值域. 【详解】易知函数 ； A，当的最小正周期为时，可知，解得，即A错误； B，当时，可知， 若在上单调，则需满足，解得，B正确； C，结合B中分析可知当在上恰有两个零点时,需满足，解得，即C正确； D，当时可知，若，则, 所以，可知在上的值域为，即D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 则. 13. 已知点为坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，且到的准线的距离为10，则的面积为__________． 【答案】8 【解析】 【详解】由抛物线，则准线方程为， 因为到的准线的距离为10，所以，即， 则抛物线，即， 将代入抛物线方程可得，即， 则的面积为. 14. 如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第1个圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字），且这5个数字之积为0，然后将这5个数字排成一个5位数，则共有______种情况（在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况）． 【答案】2304 【解析】 【详解】因为这5个数字之积为0，并排成一个5位数， 所以第4个圆的上方位被选， 则左方位有种选择，右方位有种选择，下方位有种选择，正中位有种选择， 且0不能在万位上， 先排万位有种，剩下的有， 所以共有种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正三棱柱中，D是棱AC的中点，． （1）证明：平面． （2）求直线BD与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，进而利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：因为是正三棱柱，D是AC的中点， 所以，易得平面ABC，平面ABC， 所以，因平面， 所以平面． 【小问2详解】 取BC的中点O，的中点M，连接AO，OM， 易得，而平面ABC，则平面ABC，而， 以O为坐标原点，以OB，OM，OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线BD与平面所成的角为， 则， 故直线BD与平面所成角的正弦值为． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：数列是等比数列． （2）求的通项公式． （3）已知求数列的前2n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与的关系式，得到与的关系式，再利用等比数列定义证明即可； （2）由（1）得出数列的通项公式； （3）利用分组求和以及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 证明：当时，，解得＝6， 当时，由，可得， 两式相减得，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可知，即． 【小问3详解】 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 故 ． 17 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负判断函数单调性； （2）转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）结合（2）可得，进而证明即可求证. 【小问1详解】 当时，，，则， 令，得，令，得， 所以函数上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由，则对于恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，则的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，则， 所以， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 则，即，得证. 18. 某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量（数量匹配工作量，避免不足或闲置），保障图书整理效率，对应规则及往期统计数据如下表： 日借阅总量/本 日启用推车数量/辆 4 8 14 20 26 往期统计数据显示，该图书馆日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95． （1）求该图书馆一个工作日的日启用推车数量的期望． （2）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05，如概率降低后，日借阅总量不高于300本的概率为0.10，据此求解以下问题： （i）求未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率．（，结果精确到0.01） （ii）该图书馆拟调整推车启用方案：日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车；日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车．若每辆推车单日运维成本相同，该调整方案能否降低日均运维成本？请说明理由． 【答案】（1）13.4 （2）（i）0.85（ii）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出每一段的概率，再利用期望公式求解； （2）（i）利用二项分布分析求解即可；（ii）分别求出方案中日启用推车数量的数学期望分析比较即可得结论. 【小问1详解】 题意得， ， 故. 【小问2详解】 （i）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后， 日借阅总量不高于600本的概率降低0.05，得， 设未来10个工作日中，日借阅总量不高于600本的天数为，则， 所以， 故未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率约为0.85． （ii）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后， 日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05， 得， ， 此时日启用推车数量的数学期望为： ， 若日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车，日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车， 则此时日启用推车数量的数学期望为： 因为，所以调整方案能降低日均运维成本． 19. 已知双曲线上的点与坐标原点之间距离的最小值为2，点在上，且． （1）求的标准方程． （2）过点的直线交于异于顶点的，两点，且，，设的左、右顶点分别为，直线与交于点． （ⅰ）证明：点在定直线上． （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得a值，根据，可得t值，将P点坐标代入方程，可得，即可得答案. （2）（ⅰ）设出直线AB的方程，与双曲线联立，结合韦达定理，可得表达式，求出直线AD和直线BE的方程，消y可得关于x的表达式，化简整理，即可得证 （ⅱ）根据（ⅰ）设出H点坐标，进而可得所需向量坐标，根据向量夹角公式，结合条件，代入计算，即可得证. 【小问1详解】 因为双曲线上的点与坐标原点之间距离的最小值为2，所以， 因为点在上，且， 所以，解得，即， 将点P坐标代入双曲线可得，解得 所以的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）证明：由题意，设直线AB的方程为， 联立，得， 则， 又，则， 所以，， 联立，得， 则， 所以 ， 所以点在定直线上. （ⅱ）证明：设，则，， 所以， ， 因为在直线上，所以， 因为为的根，不妨令， 则，所以， 则， 所以， 所以 ， 则， 所以，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学学科核心素养训练 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则z的虚部为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 3i 3. 已知平面向量满足与的夹角为，则（ ） A. 18 B. -18 C. D. 4. 已知点，点，则原点到直线距离为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（ ） A 18 B. 16 C. 12 D. 8 7. 在中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 8. 在高为5的正三棱台中，，分别为侧棱，的中点，记平面、平面、平面交于点，则三棱台与三棱锥的体积之差为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有一组数据为5，8，7，9，11，7，7，10，则正确的命题有（ ） A. 这组数据的众数为7 B. 这组数据的平均数为8.5 C. 这组数据的方差为 D. 这组数据的60%分位数为8 10. 已知函数对任意的恒成立，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 11. 已知函数，则（ ） A. 当最小正周期为时， B. 当上单调时， C. 当在上恰有两个零点时， D. 当时，在上的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 已知点为坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，且到的准线的距离为10，则的面积为__________． 14. 如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第1个圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字），且这5个数字之积为0，然后将这5个数字排成一个5位数，则共有______种情况（在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正三棱柱中，D是棱AC中点，． （1）证明：平面． （2）求直线BD与平面所成角的正弦值． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：数列是等比数列． （2）求的通项公式． （3）已知求数列的前2n项和． 17. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）证明：． 18. 某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量（数量匹配工作量，避免不足或闲置），保障图书整理效率，对应规则及往期统计数据如下表： 日借阅总量/本 日启用推车数量/辆 4 8 14 20 26 往期统计数据显示，该图书馆日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95． （1）求该图书馆一个工作日的日启用推车数量的期望． （2）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05，如概率降低后，日借阅总量不高于300本的概率为0.10，据此求解以下问题： （i）求未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率．（，结果精确到0.01） （ii）该图书馆拟调整推车启用方案：日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车；日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车．若每辆推车单日运维成本相同，该调整方案能否降低日均运维成本？请说明理由． 19. 已知双曲线上的点与坐标原点之间距离的最小值为2，点在上，且． （1）求的标准方程． （2）过点的直线交于异于顶点的，两点，且，，设的左、右顶点分别为，直线与交于点． （ⅰ）证明：点在定直线上． （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $