第02讲 有理数加减运算（核心知识+5易错辨析+11典例精讲+课后作业）2026-2027学年七年级数学上册秋期复习+ 期考讲义专项（人教版）

本讲义系统梳理有理数加减运算核心知识，从加法法则（同号、异号、与0相加）到运算律（交换律、结合律及简便技巧），再到减法法则（转化为加法）及混合运算（统一形式、运算顺序），构建层层递进的学习支架。 资料通过5个易错辨析（如异号相加符号判断、减法变加法符号转换）和11类典例（含实际应用、新定义问题），培养学生运算能力与应用意识。课中助力教师突破难点，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第02讲 有理数加减运算（核心知识+5易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【知识点01】有理数加法法则 有理数加法是有理数运算的基础，核心是先定符号，再算绝对值，分三种情况运算： 1.同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 示例：， 2.异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；若两数绝对值相等，和为0。 示例：，， 3.一个数与0相加：仍得这个数。 示例：， 【知识点02】有理数加法运算律 用于简化多位数加法运算，改变运算顺序不改变结果，适配复杂计算题。 1.加法交换律：，交换两个加数的位置，和不变。 2.加法结合律：，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。 常用简便运算技巧（考试必考）：① 相反数结合（和为0优先合并）；② 同号归类结合；③ 小数、分数凑整结合；④ 分母相同的分数优先结合；⑤ 整数、小数、分数分开结合，最大程度简化计算。 【知识点03】有理数减法法则 核心公式： 减法统一转化为加法运算，口诀：减号变加号，减数变相反数。 解读：所有有理数减法，都可以改成被减数加上减数的相反数，由此有理数加减运算可统一为加法运算。 示例：， 【知识点04】有理数加减混合运算 1.统一形式：将所有减法转化为加法，写成省略加号和括号的和的形式（代数和形式），是有理数加减混合运算的标准格式。 示例： 2.运算顺序：无括号时，从左至右依次运算；可灵活运用加法运算律简便计算；有括号先算括号内（原文遗漏核心规则）。 3.读法规范： 可读作“正3、正2、负5、负1的和”（代数和读法，规范数学读法），也可读作通俗读法“3加2减5减1”。 易错点1：异号两数相加符号判断错误 错误示例： 错误原因：混淆同号、异号加法规则，异号相加不是绝对值相加，是大绝对值减小绝对值。 正确解法： 避坑口诀：同号相加绝对值加，异号相加绝对值减，符号跟着大数走。 易错点2：减法变加法时，符号转换不彻底 错误示例： 错误原因：减去一个负数，只改了减号，没有将减数变为相反数。 正确解法： 核心提醒：减法变加法，两个符号同时变：减号→加号，减数→相反数。 易错点3：省略括号的和的形式符号混乱 错误示例：化简 错误原因：最后一项减负数，未正确转化为加正数。 正确解法： 避坑技巧：逐个处理符号，不跳步，避免漏变号。 易错点4：滥用运算律、随意凑数出错 错误示例： 错误原因：私自合并后面两个数，忽略运算符号归属， 不属于。 正确解法： 核心规则：数字前面的符号是数字的一部分，凑整结合必须连带符号一起移动。 易错点5：与0相关的运算失误 典型错误：、 标准纠错：① 任何数加0仍得原数：，即；② 0减去一个数，结果为这个数的相反数：，即。 补充遗漏考点：互为相反数的两个数相加和为0，反之，和为0的两个数互为相反数。 【题型一】有理数加法运算 【例1】．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查有理数加法，熟练掌握有理数加法法则，是解题的关键． （1）运用有理数加法法则计算： （2）运用有理数加法法则计算： （3）运用有理数加法法则计算： （4）通分，运用有理数加法法则计算： （5）任何数与0相加还得原数： （6）通分，运用有理数加法法则计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 【变式2】．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则．各个小题均根据有理数的加法法则：同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，和取绝对值较大加数的符号，大绝对值减去小绝对值，任何数与0相加仍得这个数，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式． 【变式3】．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型二】有理数加法中的符号问题 【例2】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数加法的相关概念. 根据有理数加法的相关概念逐一判断即可. 【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误， 故选：C. 【例3】．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可． 【详解】解：的值是负数， a与b的值中至少有一个是负数． 故选：D． 【变式1】．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）若且a，b异号，，则a_______0． 【答案】 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法法则，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行判断即可． 【详解】解：∵且a，b异号，， ∴； 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·周测）与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 【答案】 负 正 负 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键． 根据有理数的加法法则，“同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，当绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”逐一计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：负正 负 【变式3】．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 【答案】 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，再结合，，可得答案. 【详解】解：由题意可得：，， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算中的符号确定，掌握“绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同”是解本题的关键. 【题型三】有理数加法在生活中的应用 【例4】．（25-26七年级上·天津河北·期末）我国市冬季某一天的温差为，并且这一天最低气温为，那么这一天的最高气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法应用，解题的关键是正确的列式计算；用最低气温加上温差即可得解． 【详解】解：这一天的最高气温是， 故选：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】根据北京时间比莫斯科时间早5小时解答即可． 【详解】解：小丽的通话时间范围是北京时间； 小红的通话时间范围（莫斯科时间）换算为北京时间是至次日． 两人共同通话时间范围为北京时间， 选项中只有在此范围内， 故这个时刻可以是北京时间． 【变式2】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）一种零件的长度在图纸上标为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过_________． 【答案】 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】根据标注的意义，最大不超过标准长度加上允许的正偏差，计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得，加工要求的最大长度为． 【变式3】．（25-26七年级上·广东中山·期末）一只机器狗从起点出发，在一条南北走向的直线道路上来回跑动，规定从起点出发向南跑动记为正数，向北跑动记为负数．该机器狗跑动的各段情况依次为：，，，，，，，（单位：米）． (1)求该机器狗跑动的总路程； (2)请问该机器狗最终处于起点的什么位置？ 【答案】(1)机器狗跑动的总路程是550米 (2)机器狗最终的位置位于起点的北方10米处 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法混合运算，绝对值，掌握相应的运算法则是关键． （1）求出各段路程的绝对值，再求出它们的和，即可作答； （2）理解题意，求出各段路程的和，即可作答． 【详解】（1）解： （米） 答：机器狗跑动的总路程是550米． （2）解： （米） 答：机器狗最终的位置位于起点的北方10米处． 【题型四】有理数加法运算律 【例5】．（25-26七年级上·河北沧州·期中）嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查有理数的加法运算律，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键；要使计算简便，应选择分母与已知分数相同的选项，从而利用结合律先计算同分母分数之和，然后问题可求解． 【详解】解：∵原式为， 若，则先计算， 再计算，过程简便； 其他选项分母均不同，无法直接简化计算； ∴■中应填； 故选D． 【例6】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，仿照题例使用拆项法解答即可求解，掌握拆项法是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 【变式2】．（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 【变式3】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型五】有理数的减法运算 【例7】．（25-26七年级上·四川乐山·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的减法运算，利用有理数减法法则将减法转化为加法后计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 【例8】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)19 (2)1 (3) (4) (5) (6)35 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算． （1）去括号，把减法转化成加法计算即可． （2）去括号，把减法转化成加法计算即可． （3）直接进行运算即可． （4）直接进行运算即可． （5）直接进行运算即可． （6）去括号，把减法转化成加法计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【例9】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 【变式1】．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题根据有理数减法法则，将原式转化为有理数加法运算，计算得到结果即可． 【详解】解：． 【变式2】．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】根据有理数的减法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)2 (3)11 (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)0 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，解题的关键是按照有理数减法的计算法则进行计算． 根据减一个数等于加上这个数的相反数来计算各题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：； （9）解：； （10）解：． 【题型六】有理数减法的实际应用 【例10】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）大连某景区当日最高气温，最低气温，这天最高气温比最低气温高（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数减法的实际应用 【详解】解：， 即这天最高气温比最低气温高． 【例11】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图是北京某天的天气预报图，那么早晚温差为___________． 【答案】9 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数的减法运算，用一天的最高气温减去该天的最低气温即为温差． 【详解】解：． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）我县2026年1月19日至22日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月19日 1月20日 1月21日 1月22日 最高气温 最低气温 其中温差最大的一天是（    ） A．1月19日 B．1月20日 C．1月21日 D．1月22日 【答案】D 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数的减法，解题的关键是熟练掌握有理数减法中负号的运算． 根据温差最高气温最低气温，分别计算四天的温差，再比较大小得出结果．用到有理数的减法运算与大小比较的知识点． 【详解】解：∵1月19日温差： 1月20日温差： 1月21日温差： 1月22日温差： 又∵ ∴温差最大的一天是1月22日 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）珠穆朗玛峰的海拔为，吐鲁番盆地最低点的海拔为．那么，珠穆朗玛峰最高点比吐鲁番盆地最低点高多少米？ 【答案】米 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法的实际应用，用珠峰的高度减去吐鲁番的高度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：， 答：珠穆朗玛峰最高点比吐鲁番盆地最低点高米． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明家蔬菜大棚内的温度是，此时棚外的温度是．棚内温度比棚外温度高多少摄氏度？ 【答案】27摄氏度 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，结合题意列出减法算式进行求解即可． 【详解】解：， 答：棚内温度比棚外温度高27摄氏度． 【题型七】有理数的加减混合运算 【例12】．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】先去括号化简原式，再按顺序计算得到结果即可． 【详解】解：原式 ． 【例13】．（24-25七年级上·北京·期中）把算式写成代数和的形式：______． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数加减混合运算；将算式中的减法运算转化为加法运算，写成代数和的形式即可． 【详解】解：算式写成代数和的形式：， 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 【答案】C 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减法，求得横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和是关键． 先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值． 【详解】解：根据题意可知，所有数的和为：， 则横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和为， ， 则内圈中剩下数字为， 1，，，，7，已经确定位置， 或， 或， 故选：C． 【变式2】．（24-25七年级上·北京·期中）把算式写成代数和的形式：______． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数加减混合运算；将算式中的减法运算转化为加法运算，写成代数和的形式即可． 【详解】解：算式写成代数和的形式：， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减．根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： 【题型八】省略加号和括号的形式 【例14】．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查有理数加减混合运算，需利用有理数减法法则，将减法转化为加法后，省略加号和括号得到结果． 【详解】解： ． 故选D． 【例15】．（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成省略加号的和的形式，并把它读出来． 【答案】；读作“、负、负、、负1的和”，也可读作“减减加减1” 【知识点】有理数的加减混合运算、省略加法和括号的形式 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数加减混合运算中，先把加减法统一成加法后，再写成省略加号和括号的和的形式，再用两种方式读出即可． 【详解】解： 读作“、负、负、、负1的和”，也可读作“减减加减1”． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）把写成省略加号和括号的形式______． 【答案】 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先将减法转化为加法，再省略加号和括号即可得到省略形式． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题主要考查了省略加号的和的形式，熟记省略加号的和的形式书写是解本题的关键． 直接写成省略加号的和的形式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·单元测试）计算 (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型九】有理数加减中的简便运算 【例16】．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先写成省略括号和加号的形式，然后同分母的先相加进行简便运算． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A 【例17】．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 【答案】1 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【例18】．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算：．李华的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 李华发现自己的答案和同学们的不一样 (1)请指出他从第_______步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程． 【答案】(1)四 (2)解题过程见解析 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】（1）根据计算过程逐步判断即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可． 本题考查了有理数的加减，熟练掌握有理数的加减的运算法则及运算顺序是解此题的关键． 【详解】（1）解：根据计算，判断第四步出现了错误， 故答案为：四． （2）解：原式 ． 【变式1】．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：________． 【答案】50 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式两项两项合并正好得50个1，最后计算结果即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：50． 【变式2】．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】（1）利用有理数的加法运算律求解即可； （2）首先统一成加法，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （3）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 【题型十】有理数加减混合运算的应用 【例19】．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据气温上升为正、下降为负列出算式，再依据有理数加减法法则计算即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【例20】．（25-26七年级上·河南许昌·期末）小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 【答案】1024 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数的加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据有理数的加减运算规则，将收入视为正数，支出视为负数，计算所有收支后的净变化，再与原始金额相加． 【详解】原始金额为1000元，收入80元和30元，支出45元、23元和18元， 因此剩余零钱为： （元）． 故答案为1024． 【例21】．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19 (2)910个 (3)301个 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】（1）根据表格中每天生产玩偶与计划数量的差值，找出最多和最少的一天，再计算差值； （2）先求出前三天生产玩偶与计划数量的差值总和，再加上前三天计划生产的数量； （3）先求出着一周生产玩偶与计划数量的差值总和，再计算平均每天的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个， 则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． 【变式1】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）《九章算术》“均输”章有类似算题：今有粮囤，先存入粟米48斛，取出25斛，又存入32斛，再取出17斛，若以存入为加、取出为减，则最终粮囤中粟米的变化量为（   ） A．增加48斛 B．增加38斛 C．减少38斛 D．减少16斛 【答案】B 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，根据存入为加、取出为减，计算净变化量即可． 【详解】解：∵存入为加，取出为减， ∴变化量 ． ∴变化量为增加38斛， 故选B． 【变式2】．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）一个水利勘察队，第一天沿江向下游走，第二天又向下游走，第三天向上游走，第四天向上游走，这时勘察队在出发点的上游___________． 【答案】314 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】此题主要考查了有理数的加法的应用，正确理解题意，根据题意列出算式是解题的关键．假设向上游走为正，向下游走为负，首先根据题意可得算式，再求解即可． 【详解】解：假设向上游走为正，向下游走为负，由题意得： ， ∴这时勘察队在出发点的上游处， 故答案为：314． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.1升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【答案】(1)接完第5批客人后，该驾驶员在公司的东边6千米处 (2)在这个过程中共耗油2升 (3)在这个过程中该驾驶员共收到车费49.6元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义，解题的关键是熟练运用正负数的意义，掌握有理数加法及乘法运算法则． （1）根据有理数加法运算法则，结合正负数的意义即可求出答案； （2）先求出所行驶路程总和，然后再求耗油量； （3）根据题意分别求每批客人的运费，从而求解． 【详解】（1）解： 答：接完第5批客人后，该驾驶员在公司的东边6千米处； （2）（升） 答：在这个过程中共耗油2升； （3）只有第1，3，5批客人超出， （元）， 答：在这个过程中该驾驶员共收到车费49.6元． 【题型十一】加减混合运算新定义问题 【例22】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）规定表示不超过的最大整数，则______． 【答案】 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数的减法运算 【详解】解： 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出和的值，再利用有理数减法法则计算最终结果． 【详解】解：∵， ； ∵， ∴； ∴， 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】根据题干提供的信息列式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；结果为这个数的绝对值 (2)9 (3)交换律适用，结合律不适用 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算 【分析】（1）根据已知运算法则即可得到规律； （2）根据规律求解即可； （3）对于交换律，利用规律证明即可，对于结合律，可举例子求解． 【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与进行运算时，结果为这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：交换律适用，结合律不适用， 设同号时， 则，，故； 设异号时， 则，，故； 设中，则，，故， ∴交换律适用； 对于结合律，不成立， 举例子，设， 则，，结果不同 故对于结合律不适用． 1. 核心本质 有理数加减运算的本质是符号运算+绝对值运算，所有减法都能转化为加法，最终统一为有理数加法运算，突破了小学正数运算的局限。 2. 运算两步核心步骤 第一步：定符号（严格依据加减法则判断正负，符号优先）； 第二步：算绝对值（同号相加、异号相减，纯数值运算）； 补充遗漏：有括号先算括号内，多层括号从内到外计算。 3. 解题通用流程 遇减法→变加法（两变：减变加、减数变相反数）→写成代数和形式→利用运算律简便计算→核对符号与结果。 4. 必记解题原则 不跳步、先判号、后算数，符号优先是有理数运算正确率的核心；灵活运用运算律简化计算；终极易错兜底：所有加减运算统一为加法运算，不存在独立减法。同时牢记特殊结论：0加任意数得原数、0减任意数得相反数、相反数相加为0。 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东梅州·期末）我国某城市某天早晨气温，中午上升了，傍晚又下降了，那么傍晚的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的加减混合运算的应用，根据气温上升用加法、下降用减法的规则列出算式计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2．（25-26七年级上·福建漳州·期末）两个有理数的和为，其中一个数是，则另一个数是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的应用、有理数加法运算 【分析】本题考查互为相反数的有理数的性质，互为相反数的两个数和为，求另一个数只需取已知数的相反数即可． 【详解】解：两个有理数的和为 这两个数互为相反数 其中一个数是 另一个数是的相反数，即 故选：A． 3．已知有理数，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、有理数加法运算、有理数加法中的符号问题、有理数的减法运算 【分析】需先根据a、b的符号判断各表达式的正负与a、b的大小关系，再通过作差比较四个数的大小． 【详解】解：∵有理数，， ∴， 作差比较可得：，故； ，故； ，故， 是最大的数． 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式． 直接根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下表记录了某公司2025年四个季度的盈亏情况（记盈利为正，单位：百万），根据表的数据，该公司2025年的利润可表示为（   ） 时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 盈利 31.5 27.8 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查正负数的实际应用．将四个季度的盈亏数值相加得到全年利润，利用正负数的加法法则化简即可． 【详解】解：∵盈利记为正，亏损记为负，全年利润为四个季度盈亏情况的总和， ∴全年利润， 故选：C． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】小明通过重新排列和分组项，简化了计算过程，运用了加法交换律改变项的顺序，并运用加法结合律改变分组． 【详解】解： ， 通过加法交换律，将 与 交换位置， 可得：原式， 再通过加法结合律，分组为 ， 该同学运用了加法交换律和结合律． 故选：C． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一只蜗牛从数轴的原点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（   ） A． B．50 C． D．51 【答案】D 【知识点】有理数加减中的简便运算、数轴上的规律探究 【分析】本题主要考查了数轴及数字的变化类，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键．数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律列式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 8．（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 二、填空题 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）当时，（1）______；（2）_____． 【答案】 0 14 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，根据加减运算法则直接计算即可． 【详解】解：； ； 故答案为：0；14． 10．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）某日早晨气温是，到中午时气温上升了，则中午的气温是___________． 【答案】3 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据有理数加法法则，计算上升后的气温，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：∵某日早晨气温是，到中午时气温上升了， ∴中午的气温是， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某大米包装袋上标有“净含量：”的标识，即标准质量为，上下偏差不超过就符合标准，则该袋大米符合标准质量的可以是______．（写出一个即可） 【答案】10（答案不唯一） 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】先统一质量单位，根据标识含义求出符合标准的质量取值范围，在范围内任选一个值作答即可． 【详解】解：， 最小合格质量为，最大合格质量为， ∴该袋大米符合标准的质量范围为， ∴该袋大米符合标准质量的可以是． 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）的值为_____． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，有理数的加减混合运算，先理解以此类推，得，故把原式整理得，再运算括号内的加减运算，最后运算乘法，即可作答． 【详解】解：依题意， 以此类推，得， 则 ． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0（答案不唯一） 【知识点】有理数加法运算 【分析】根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知， ，满足题意． 三、解答题 14．（23-24七年级上·北京丰台·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1)7 (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1)3 (2)4 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】（1）根据有理数加减法从左往右计算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2） 16．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5)4 (6) 【知识点】有理数加法运算律、省略加法和括号的形式 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法的运算律，熟练掌握上述法则与运算律是解题的关键． （1）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （2）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （3）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （4）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算； （5）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （6）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 18．（25-26七年级上·广西河池·期末）2025年9月3日的盛大阅兵式上，空中梯队的直升机编队飞越天安门广场上空，其中26架直升机组成了巨大的“80”字样，以纪念抗战胜利80周年． (1)阅兵仪式上，一架执行摄影任务的直升机先在海拔米的高度飞行，为了避开气流，它先上升了米，随后又下降了米．请问此时直升机的海拔高度是多少米？ (2)另一架直升机在执行任务时，从海拔米的高度开始下降，先下降了米后，又下降了米．请问它现在的飞行高度是多少米？ 【答案】(1)此时直升机的海拔高度是850米 (2)直升机现在的飞行高度是2500米 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减运算，解题的关键是掌握正负数的实际意义和有理数加减运算法则． （1）根据正负数的实际意义，列出算式，利用有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据正负数的实际意义，列出算式，利用有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：记上升为正，下降为负，则 （米） 答：此时直升机的海拔高度是850米； （2）解： （米） 答：直升机现在的飞行高度是2500米． 19．（25-26七年级上·陕西西安·期末）快递员某天早晨从配送站出发，沿南北走向的一条笔直道路送货（规定向北为正，向南为负），他这天上午送货时的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． (1)该快递员最后到达的地方在配送站的哪个方向？距离配送站有多远？ (2)若快递员送完最后一单货物后返回配送站，求他这天上午行驶的总路程． 【答案】(1)该快递员最后到达的地方在配送站的南面，距离配送站有1千米 (2)他这天上午行驶的总路程为42千米 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了有理数的加法的实际应用． （1）把所有的数据相加即可； （2）把所有数据的绝对值相加求出送货路程，再加上从最后位置返回配送站的路程即可． 【详解】（1）解：（千米）． 所以该快递员最后到达的地方在配送站的南面，距离配送站有1千米． （2）解：（千米）， 所以他这天上午行驶的总路程为42千米． 20．（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 【答案】(1)，， (2)少万人 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】分别计算出各天的人数即可求解． 【详解】（1）解：∵日：； 日：； 日：； ∴； ∴月日的客流量比月日的客流量少万人； 日：； 日：； 日：； 日：； 日：； ∵， ∴日的客流量最多，日的客流量最少； 故答案为：， （2）解：∵， ∴月日的客流量比月日的客流量少万人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 有理数加减运算（核心知识+5易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【知识点01】有理数加法法则 有理数加法是有理数运算的基础，核心是先定符号，再算绝对值，分三种情况运算： 1.同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 示例：， 2.异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；若两数绝对值相等，和为0。 示例：，， 3.一个数与0相加：仍得这个数。 示例：， 【知识点02】有理数加法运算律 用于简化多位数加法运算，改变运算顺序不改变结果，适配复杂计算题。 1.加法交换律：，交换两个加数的位置，和不变。 2.加法结合律：，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。 常用简便运算技巧（考试必考）：① 相反数结合（和为0优先合并）；② 同号归类结合；③ 小数、分数凑整结合；④ 分母相同的分数优先结合；⑤ 整数、小数、分数分开结合，最大程度简化计算。 【知识点03】有理数减法法则 核心公式： 减法统一转化为加法运算，口诀：减号变加号，减数变相反数。 解读：所有有理数减法，都可以改成被减数加上减数的相反数，由此有理数加减运算可统一为加法运算。 示例：， 【知识点04】有理数加减混合运算 1.统一形式：将所有减法转化为加法，写成省略加号和括号的和的形式（代数和形式），是有理数加减混合运算的标准格式。 示例： 2.运算顺序：无括号时，从左至右依次运算；可灵活运用加法运算律简便计算；有括号先算括号内（原文遗漏核心规则）。 3.读法规范： 可读作“正3、正2、负5、负1的和”（代数和读法，规范数学读法），也可读作通俗读法“3加2减5减1”。 易错点1：异号两数相加符号判断错误 错误示例： 错误原因：混淆同号、异号加法规则，异号相加不是绝对值相加，是大绝对值减小绝对值。 正确解法： 避坑口诀：同号相加绝对值加，异号相加绝对值减，符号跟着大数走。 易错点2：减法变加法时，符号转换不彻底 错误示例： 错误原因：减去一个负数，只改了减号，没有将减数变为相反数。 正确解法： 核心提醒：减法变加法，两个符号同时变：减号→加号，减数→相反数。 易错点3：省略括号的和的形式符号混乱 错误示例：化简 错误原因：最后一项减负数，未正确转化为加正数。 正确解法： 避坑技巧：逐个处理符号，不跳步，避免漏变号。 易错点4：滥用运算律、随意凑数出错 错误示例： 错误原因：私自合并后面两个数，忽略运算符号归属， 不属于。 正确解法： 核心规则：数字前面的符号是数字的一部分，凑整结合必须连带符号一起移动。 易错点5：与0相关的运算失误 典型错误：、 标准纠错：① 任何数加0仍得原数：，即；② 0减去一个数，结果为这个数的相反数：，即。 补充遗漏考点：互为相反数的两个数相加和为0，反之，和为0的两个数互为相反数。 【题型一】有理数加法运算 【例1】．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2】．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【题型二】有理数加法中的符号问题 【例2】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【例3】．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【变式1】．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）若且a，b异号，，则a_______0． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·周测）与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 【变式3】．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 【题型三】有理数加法在生活中的应用 【例4】．（25-26七年级上·天津河北·期末）我国市冬季某一天的温差为，并且这一天最低气温为，那么这一天的最高气温是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）一种零件的长度在图纸上标为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过_________． 【变式3】．（25-26七年级上·广东中山·期末）一只机器狗从起点出发，在一条南北走向的直线道路上来回跑动，规定从起点出发向南跑动记为正数，向北跑动记为负数．该机器狗跑动的各段情况依次为：，，，，，，，（单位：米）． (1)求该机器狗跑动的总路程； (2)请问该机器狗最终处于起点的什么位置？ 【题型四】有理数加法运算律 【例5】．（25-26七年级上·河北沧州·期中）嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 【例6】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【变式2】．（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【题型五】有理数的减法运算 【例7】．（25-26七年级上·四川乐山·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【例8】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【例9】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）计算：______． 【变式2】．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【题型六】有理数减法的实际应用 【例10】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）大连某景区当日最高气温，最低气温，这天最高气温比最低气温高（     ） A． B． C． D． 【例11】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图是北京某天的天气预报图，那么早晚温差为___________． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）我县2026年1月19日至22日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月19日 1月20日 1月21日 1月22日 最高气温 最低气温 其中温差最大的一天是（    ） A．1月19日 B．1月20日 C．1月21日 D．1月22日 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）珠穆朗玛峰的海拔为，吐鲁番盆地最低点的海拔为．那么，珠穆朗玛峰最高点比吐鲁番盆地最低点高多少米？ 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明家蔬菜大棚内的温度是，此时棚外的温度是．棚内温度比棚外温度高多少摄氏度？ 【题型七】有理数的加减混合运算 【例12】．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例13】．（24-25七年级上·北京·期中）把算式写成代数和的形式：______． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 【变式2】．（24-25七年级上·北京·期中）把算式写成代数和的形式：______． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·期末）计算： 【题型八】省略加号和括号的形式 【例14】．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【例15】．（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成省略加号的和的形式，并把它读出来． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）把写成省略加号和括号的形式______． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·单元测试）计算 (1)； (2)． 【题型九】有理数加减中的简便运算 【例16】．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【例17】．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 【例18】．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算：．李华的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 李华发现自己的答案和同学们的不一样 (1)请指出他从第_______步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程． 【变式1】．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：________． 【变式2】．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) (3) (4) 【变式3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【题型十】有理数加减混合运算的应用 【例19】．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（    ） A． B． C． D． 【例20】．（25-26七年级上·河南许昌·期末）小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 【例21】．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【变式1】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）《九章算术》“均输”章有类似算题：今有粮囤，先存入粟米48斛，取出25斛，又存入32斛，再取出17斛，若以存入为加、取出为减，则最终粮囤中粟米的变化量为（   ） A．增加48斛 B．增加38斛 C．减少38斛 D．减少16斛 【变式2】．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）一个水利勘察队，第一天沿江向下游走，第二天又向下游走，第三天向上游走，第四天向上游走，这时勘察队在出发点的上游___________． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.1升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【题型十一】加减混合运算新定义问题 【例22】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）规定表示不超过的最大整数，则______． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【变式2】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 【变式3】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 1. 核心本质 有理数加减运算的本质是符号运算+绝对值运算，所有减法都能转化为加法，最终统一为有理数加法运算，突破了小学正数运算的局限。 2. 运算两步核心步骤 第一步：定符号（严格依据加减法则判断正负，符号优先）； 第二步：算绝对值（同号相加、异号相减，纯数值运算）； 补充遗漏：有括号先算括号内，多层括号从内到外计算。 3. 解题通用流程 遇减法→变加法（两变：减变加、减数变相反数）→写成代数和形式→利用运算律简便计算→核对符号与结果。 4. 必记解题原则 不跳步、先判号、后算数，符号优先是有理数运算正确率的核心；灵活运用运算律简化计算；终极易错兜底：所有加减运算统一为加法运算，不存在独立减法。同时牢记特殊结论：0加任意数得原数、0减任意数得相反数、相反数相加为0。 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东梅州·期末）我国某城市某天早晨气温，中午上升了，傍晚又下降了，那么傍晚的气温是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建漳州·期末）两个有理数的和为，其中一个数是，则另一个数是(    ) A． B． C． D． 3．已知有理数，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下表记录了某公司2025年四个季度的盈亏情况（记盈利为正，单位：百万），根据表的数据，该公司2025年的利润可表示为（   ） 时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 盈利 31.5 27.8 A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 7．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一只蜗牛从数轴的原点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（   ） A． B．50 C． D．51 8．（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 二、填空题 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）当时，（1）______；（2）_____． 10．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）某日早晨气温是，到中午时气温上升了，则中午的气温是___________． 11．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某大米包装袋上标有“净含量：”的标识，即标准质量为，上下偏差不超过就符合标准，则该袋大米符合标准质量的可以是______．（写出一个即可） 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）的值为_____． 13．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 三、解答题 14．（23-24七年级上·北京丰台·阶段检测）计算： (1)； (2) 15．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ (1) ； (2) 16．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．（25-26七年级上·广西河池·期末）2025年9月3日的盛大阅兵式上，空中梯队的直升机编队飞越天安门广场上空，其中26架直升机组成了巨大的“80”字样，以纪念抗战胜利80周年． (1)阅兵仪式上，一架执行摄影任务的直升机先在海拔米的高度飞行，为了避开气流，它先上升了米，随后又下降了米．请问此时直升机的海拔高度是多少米？ (2)另一架直升机在执行任务时，从海拔米的高度开始下降，先下降了米后，又下降了米．请问它现在的飞行高度是多少米？ 19．（25-26七年级上·陕西西安·期末）快递员某天早晨从配送站出发，沿南北走向的一条笔直道路送货（规定向北为正，向南为负），他这天上午送货时的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． (1)该快递员最后到达的地方在配送站的哪个方向？距离配送站有多远？ (2)若快递员送完最后一单货物后返回配送站，求他这天上午行驶的总路程． 20．（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $