第十四章 全等三角形 单元复习+小测（核心知识+8易错辨析+18典例精讲）2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学全等三角形单元复习讲义通过知识框架图系统梳理核心内容，涵盖全等三角形概念、性质、五大判定定理、角平分线性质与判定及五大基本模型，用对比列表呈现判定定理适用条件与易错点，构建“概念-性质-判定-应用”的递进知识脉络。 讲义亮点在于“易错-模型-应用”三维练习设计，8个易错点辨析直指SSA误用等问题，18个典例涵盖倍长中线等模型，如测量池塘距离的SAS应用题型培养推理能力与模型意识，基础题巩固方法，综合题提升迁移能力，助力教师实施分层教学。

第十四章 全等三角形 单元复习+小测 （核心知识+8易错辨析+18典例精讲） 【知识点01】全等三角形相关概念 1. 全等形：能够完全重合的两个图形，形状、大小完全相同。 2. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形，记作 △ABC ≌ △DEF。 ✅ 书写规范：对应顶点必须写在对应位置，是后续找对应边、对应角的基础。 3. 对应元素：能够重合的顶点为对应顶点，能够重合的边为对应边，能够重合的角为对应角。常见隐藏对应元素：公共边、公共角、对顶角。 【知识点02】全等三角形的性质 1. 基本性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 2. 拓展性质：全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线相等，且周长相等、面积相等。 ⚠️ 关键提醒：周长相等、面积相等的两个三角形不一定全等，只能作为全等的必要不充分条件。 【知识点03】三角形全等的五大判定定理 适用于所有三角形的4种判定： 1. SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 2. SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（核心：角必须为两边夹角）。 3. ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（核心：边必须为两角夹边）。 4. AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 仅适用于直角三角形的1种判定： 5. HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 ❌ 绝对不能判定全等的两种情况： 1. AAA（三角对应相等）：仅能证明三角形相似，形状相同、大小不一定相同； 2. SSA（两边及其中一边对角相等）：无法确定三角形唯一性，不能判定全等。 【知识点04】角平分线的性质与判定 1. 角平分线的性质 内容：角平分线上的点到角两边的垂线段距离相等。 几何语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。 2. 角平分线的判定 内容：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上。 ⚠️ 核心定义：角平分线中的“距离”专指垂线段的长度，斜线段长度不适用定理。 【知识点05】全等三角形常见基本模型 掌握模型可快速提取全等条件，简化解题思路： 1. 平移模型：三角形沿直线平移得到全等三角形； 2. 翻折（轴对称）模型：沿公共边、公共角翻折重合； 3. 旋转模型：绕公共顶点旋转一定角度重合； 4. 一线三垂直模型：直角共线，构造直角三角形全等； 5. 倍长中线模型：延长三角形中线，构造全等转化线段关系。 易错1：全等书写不规范，找错对应关系 错误问题：书写全等三角形时，对应顶点顺序混乱，导致后续对应边、对应角判断错误。 正确做法：严格按照图形重合顺序书写，保证对应顶点、边、角一一对应。 易错2：混淆SAS与SSA，误用判定定理 错误问题：只要看到两边一角相等，就直接判定三角形全等。 核心辨析：SAS的角是两边夹角，是唯一固定的；SSA的角是一边的对角，可画出两种不同三角形，无法判定全等。 易错3：HL定理适用范围混淆 错误问题：对普通三角形使用HL判定全等。 核心辨析：HL仅适用于直角三角形，非直角三角形只能用SSS、SAS、ASA、AAS判定。 易错4：角平分线定理遗漏垂直条件 错误写法：∵OP平分∠AOB，∴PD=PE。 错误原因：缺少“两边垂直”的核心条件，非垂线段长度不相等，推理不成立。 易错5：误将面积、周长相等判定为全等 错误认知：面积或周长相等的三角形一定全等。 核心辨析：同底等高的三角形面积相等，但形状可不同；周长相等的三角形边长组合不一定相同，均无法判定全等。 易错6：全等判定条件罗列不完整 高频错误：仅用两组角相等（AA）判定全等，忽略对应边相等的条件。 核心辨析：AA只能证明三角形相似，必须补充一组对应边相等，才能判定全等。 易错7：主观识图，默认线段、角度相等 错误问题：凭借视觉观察，默认图形中线段、角度相等，未通过题干或推理证明。 核心规则：几何证明中，所有相等关系必须有依据，禁止目测猜想。 易错8：忽略图形隐藏全等条件 高频漏用条件：公共边相等、公共角相等、对顶角相等，此类隐藏条件是多数全等题的解题关键。 【题型一】全等三角形及其性质 1．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，点E在边上，若，则线段的长是 _______． 【答案】15 【知识点】全等三角形的性质 【分析】由全等三角形的性质推出，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【答案】(1)其他对应边：和，和；其他对应角：和，和 (2)线段和线段的长度分别为和 【知识点】全等三角形的概念、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边是解此题的关键． （1）根据，和是对应角可得到两个三角形中对应相等的三边和三角； （2）根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；其他对应角：和，和． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴线段和线段的长度分别为和． 【题型二】SSS判定三角形全等 4．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用证明三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ，，， ， 故选：A． 5．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据题意，可利用判定两个三角形全等，从而判断两个三角形的对应角相等，对应边上的中线相等，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等， 则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等． 故两人的说法都正确， 故选：C． 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在一个平分角的仪器中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是这个角的平分线．其原理是通过判定，得到，其中判定这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质．直接根据判定即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故选：D． 7．（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·河南商丘·期末）商丘的风筝活动丰富多彩，既包括市民在公园休闲放飞，也涵盖学校美育实践和文旅节庆中的非遗展示，体现了风筝文化在日常生活和教育传承中的活力，图1是市民在“商丘好人”主题公园放风筝的图片，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由， 【答案】(1) 证明：在和中， ∴； (2) 正确；理由： 由（1）得， ∴， 即平分， 所以小华的发现是正确的． 【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，然后根据角平分线定义即可得出结论． 【题型三】SAS判定三角形全等 9．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知，，则的依据是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是根据已知条件准确找出判定三角形全等所需的边和角． 已知，，且为与的公共边，因此满足两边及其夹角对应相等，可依据判定两三角形全等． 【详解】解：在和中， ∴ （）． 故选：． 10．（25-26八年级上·河北张家口·期末）要测量池塘两端点A，B间的距离，现有如下两种测量方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（    ） 方案Ⅰ：如图1． ①在平地上取一点O； ②连接，并延长到C，D两点，使，； ③连接，测量的长即可． 方案Ⅱ：如图2． ①在平地上取一点O； ②连接，在的延长线上取一点C，使； ③测量的长即可． A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质． 对于方案Ⅰ：通过构造，，结合对顶角相等的条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，实现通过测量长度来间接得到长度的目的．对于方案Ⅱ：原始条件仅和，无法证明三角形全等． 【详解】解：方案Ⅰ：理由：在和中， ， ， ，故Ⅰ可行； 方案Ⅱ：仅和，无法证明三角形全等． 故选：A． 11．如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    【答案】/边角边 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·广东东莞·期末）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；②沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；④测得的长为，那么河的宽度是________． 【答案】12 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，证明即可解答． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 故答案为12． 13．（2025·云南丽江·一模）如图，，，．求证：． 【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】由，得到，结合已知条件，即可得证． 14．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知点B，D在上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得，再由推出，然后根据证明； （2）由（1），根据全等三角形对应边相等可得结论． 【详解】（1）证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴． 15．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图1，点O在射线上，点 C 在线段上，点D在线段上，，，连接，． (1)求证：； (2)判断，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，将两根长度相等的木棍，的一端固定在点O处，．与是两根弹力绳，将弹力绳的端点A，E固定，弹力绳的另外两个端点 C，D 始终在木棍， 上，且保持（假设弹力绳始终处于绷直状态）．若增加了，与原来相比，的度数增大了还是减少了?增大或减少多少度?（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)； (3)减少10度． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，证明是解答本题的关键． （1）根据证明即可证明结论成立； （2）由可得，结合三角形外角的性质即可求出，和三者间的数量关系； （3）根据（2）的结论，结合三角形外角的性质可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴增加了，则减少10度． 【题型四】ASA(AAS)判定三角形全等 16．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，，垂足分别为D，E，．下列选项中，可以直接作为判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】由判定，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以直接作为判定的依据是． 17．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若点F是的中点时，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出，证明，可得，则，然后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 18．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带___________去． 【答案】③ 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故答案为：③． 19．如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中成立的有______（填写正确结论的序号）． ①；②；③平分． 【答案】①②③ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】由“”可证，可得，，，即可求解． 【详解】解：平分， ， ，， ， 又， ， ，，， 平分，故①②③正确． 20．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，． (1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由； (2)若用纸面积为30，求的用纸面积． 【答案】(1) 解：正确； 理由：，，， ， 在与中， ， ， ，即测得的长就是的长； (2)30 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，线段和差问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质； （1）由得，利用证明，得； （2）先利用证明，得，由（1）知，进而得，利用证明，根据用纸面积为30，求的用纸面积． 【详解】（1）略 （2）（2）由（1）可知， ，， 在与中， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ． 21．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形的对角线相交于点，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，可得，即可求证； （2）根据，可得，，从而得到，即可求证． 【详解】（1）证明：，， ， ， 在和中， ， ． （2）证明：由（1）得， ，， ， ， 平分． 【题型五】HL判定三角形全等 22．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在的两边上，取，分别过点，作，的垂线，交点为，连接，则，用到的判定方法为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，，可得，然后通过“”即可证明，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴用到的判定方法为， 故选：． 23．（25-26八年级上·河南南阳·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放两个含角的三角板，使得短直角边分别在上，长直角边上的刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用HL证全等（HL）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用证明即可． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴； 故选C． 24．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，准确添加辅助线是解题的关键． 连接，证明，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，于点C，点E在上，且．要根据“”证明，需再添加的条件为___________． 【答案】 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得已有一条直角边对应相等，要根据“”证明，则需要两个直角三角形的斜边对应相等，据此可得答案． 【详解】解：添加的条件为，证明如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 26．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】利用即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 27．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，于E，于F，，．求证：． 【答案】证明：，， ， 又，， ， ， ． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据题意证明，得到，即可得证． 【题型六】添加条件使三角形全等 28．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】已知，为公共角，根据全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：已知，是公共角； A、，无法判定三角形全等，不符合题意； B、，无法判定三角形全等，不符合题意； C、， 则， ∴ ，符合题意； D、，无法判定三角形全等，不符合题意； 29．（24-25八年级上·云南德宏·期末）傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据题意可得，据此结合全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：根据题意可得， 添加条件时，结合，不可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件时，结合，不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件时，则，即，结合，不可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件时，结合，可以利用证明，故D符合题意； 30．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，已知，添加一个条件_________，能判定． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定； 根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴添加可利用判定， 添加可得，利用判定， 添加可利用判定， 添加可利用判定， 故答案为：（或或或）． 31．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，． 请补充一个条件，使≌． 【答案】补充条件：或或或或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：①补充条件：，理由如下： 在和中， ， ∴≌； ②补充条件：，理由如下： 在和中， ， ∴≌； ③补充条件：，理由如下： 在和中， ， ∴≌； ④补充条件：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌； ⑤补充条件：，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴≌． 【题型七】灵活选用判定方法证全等 32．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，用纸板挡住了部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定方法（、、、等）是解题的关键． 根据图中露出的部分，确定直角三角形的两个角及其夹边，再依据全等三角形的判定定理逐一判断选项． 【详解】解：已知该三角形为直角三角形，且露出了一个锐角、直角以及这两个角所夹的一条边． 选项（）： ∵图中露出了直角、一个锐角，以及这两个角所夹的一条边，满足两角及其夹边对应相等的条件 ∴可以依据判定全等，故项正确，符合题意． 选项（）： ∵图中未提供两角及其中一角的对边的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 选项（）： ∵图中未提供两条边及其夹角的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 选项（）： ∵图中未提供三条边的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 故选：． 33．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定条件，可确定三角形的形状和大小，即可． 【详解】解：A、只给出三个角，没有边，不能确定大小，该选项不符合题意； B、已知两角及夹边，满足判定，能确定唯一三角形，符合题意； C、由，不能确定唯一三角形，该选项不符合题意； D、由，不能确定唯一三角形，该选项不符合题意； 故选：B． 34．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）下列条件，能判定两个直角三角形全等的是__________（填序号即可）． ① 两个锐角对应相等；② 两条直角边对应相等；③ 斜边和一直角边对应相等；④ 一锐角和斜边对应相等；⑤ 一锐角和一直角边对应相等． 【答案】②③④⑤ 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据每个条件逐一判断是否满足全等条件即可． 【详解】解：①：两个锐角对应相等，缺少边的对应关系，不能判定两个直角三角形全等，故①错误； ②：两条直角边对应相等，且夹角为直角，符合“边角边”定理，能判定两个直角三角形全等，故②正确； ③：斜边和一直角边对应相等，符合“斜边直角边”定理，能判定两个直角三角形全等，故③正确； ④：一锐角和斜边对应相等，又因直角相等，符合“角角边”定理，故④正确； ⑤：一锐角和一直角边对应相等，又因直角相等，符合“角角边”或“角边角”定理，故⑤正确； 故答案为：②③④⑤． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）回答下列问题，并说明理由． (1)有两条边分别相等的两个直角三角形是否全等？ (2)有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形是否一定全等？ 【答案】(1)是 (2)是 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握判定方法是关键． （1）根据全等三角形的判定方法求解即可； （2）根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】（1）解：有两条边分别相等的两个直角三角形全等， 如图所示，是直角三角形，， 当或时，运用斜边直角边可判定全等； 当时，运用边角边可判定全等； 故有两条边分别相等的两个直角三角形全等， ∴答案为：是； （2）解：有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形一定全等， 如图所示，， 当或时，运用角边角可判定全等； 当或或或时，运用角角边可判定全等； 故有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形一定全等； ∴答案为：是． 【题型八】结合尺规作图的全等问题 36．（23-24八年级上·福建福州·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（） A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、∵，能唯一确定三角形，本选项符合题意； B、∵，不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； C、∵，不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； D、∵不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； 故选：A． 37．（22-23八年级上·湖南怀化·期末）根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定方法逐项判断即得答案. 【详解】解：A、∵，，，而，∴不能画出三角形； B、∵，，，而不是的夹角，∴不能画出唯一的三角形； C、∵，，，且是的夹边，∴根据角边角可判断能画出唯一的三角形； D、∵，，只有一个角和一条边，∴不能画出唯一的三角形； 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的判定，正确理解题意、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键，常见的一般三角形的判定方法有：，如果是直角三角形，还有. 38．（23-24八年级上·全国·单元测试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的 ②当，时，可得到形状唯一确定的 ③当，时，可得到形状唯一确定的 其中所有正确结论的序号是______________． 【答案】②③/③② 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案． 【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误． 如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以②正确． 如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以③正确． 综上：②③正确． 故答案为：②③ 【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键． 39．如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等． 【答案】满足条件的三角形有4个，如图所示：（只要画出一种即可） 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定方法画出图形即可． 【题型九】倍长中线模型 40．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定及性质；延长至，使，由判定，由三角形的三边关系得，即可求解． 【详解】解：延长至，使， 是边上的中线， ， ， （）， ， ， ， ， 故选：A． 41．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 延长至点，使得，连接，证明，得到，再结合三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 整理得． 故选：B． 42．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 43．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：延长到点，使，连接． 为的中线， 在和中， ） 在中，根据三角形的三边关系，得，即 (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题． （1）倍长中线至使，连接，利用证明，得到，再在中运用三角形三边关系推导出； （2）由（1）的全等结论得，结合三角形三边关系，代入及边长数值，计算得出的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知： 所以，即． 【题型十】旋转模型 44．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的证明、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可； 【详解】∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∴， ∵点、、在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 45．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________． 【答案】1 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论． 【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF， 由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS）， ∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°， ∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°， ∴D、E、F三点共线， 又∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD（SSS）， ∴， ∵AB=CD=AE=BC+DE，， ∴DF=CD=1， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 46．（22-23八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【答案】【基本模型】； 【模型运用】：结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 故答案为：； 【拓展延伸】：． 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）； （3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）略 （3）结论：． 理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则， ，，，， 又， ， ， 又， ， 、、三点共线， 在和中，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。 47．（2025八年级上·北京·专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】问题发现：根据题目条件证，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵， ∴， 又∵, ∴（SAS）， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：，； 拓展探究：成立． 理由如下：设与相交于点，如图1所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，依然成立． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键． 【题型十一】垂线模型 48．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 49．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 50．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 【答案】(1) (2)点之间的距离是定值6，理由见解析 (3)12 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点C作轴于点D，利用直角三角形的两个锐角互余可得，证明，于是可得，，进而即可求出点C的坐标； （2）连接，先证，再证，于是可得； （3）连接，过点C作轴于点F，同（1）可证，推出，，再证，可得，再证，可得，则，由此求出，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 如图，过点C作轴于点D， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的坐标为． （2）解：点之间的距离是定值6，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点C作轴于点F， 同（1）可证， ，， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 51．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 【题型十二】全等三角形综合问题 52．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 53．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）图中三个叠放在一起的三角形纸板被墨水污染损坏了一部分，想要重新作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形纸板，下列说法错误的是（   ） A．只能作出三角形①，② B．作出三角形①的依据可以是 C．作出三角形②的依据只能是 D．作出三角形③的依据是 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：三角形①知道三个角的大小，知道两条边的大小，可利用，，作图； 三角形②知道两个角的大小，且知道这两个角的夹边的大小，可利用作图； 三角形③只知道一个角的大小，不能作出与③完全相同的三角形； ∴说法错误的是， 故选：． 54．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【答案】1或4 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】设运动的时间为，由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当△△，则有，同样可得出的方程，可求出的值． 【详解】解：设运动的时间为，分两种情况： ①当，时，， ，， ， ， ， ， 点从点出发在线段上以的速度向点运动， ； ②当，时，， 由题意得：， 解得：， 综上，经过或，与全等． 55．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 【答案】斜坡上一点的竖直高度为2米 【知识点】全等三角形综合问题、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用竖直线段的平行关系找到相等的角，结合已知直角和边相等的条件证明三角形全等． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴(米)． 答：斜坡上一点的竖直高度为2米． 【题型十三】角平分线的性质定理 56．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处． 57．（22-23八年级上·吉林·期末）如图，平分，，则点D到的距离为__________． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理 【详解】解：∵平分，， ∴点D到的距离． 58．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的性质定理 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，结合，可得结论. 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴． （2）解：， 理由如下： ∵，     ∴． ∵，，   ∴． 【题型十四】角平分线的判定定理 59．（25-26八年级上·福建福州·期末）在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．重心 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】A 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角平分线上，可得到三边距离相等的点是三条角平分线的交点． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴点P是三条角平分线的交点， 故选A． 60．（25-26八年级上·福建莆田·期末）两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为，由题意得，且，，根据角平分线的判定定理可证平分，从而得到答案． 【详解】解：如图，作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为， 由题意得，且，， ∴平分，即点在外角的平分线上． 故选：B． 61．（24-25八年级·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 【题型十五】尺规作图 62．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，按尺规作图的要求作一个角等于已知角，其中的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定．利用基本作图得到，，则根据“”可判断 【详解】解：根据作图过程可知，， 在和中 ， ∴， ∴， 即． 故选：D． 63．（2025八年级上·全国·专题练习）根据下列语句用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，并完成证明． 已知：如图，．求作：，使． (1)以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； (2)已知射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； (3)以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； (4)作射线．则即为所求． 证明：连接，． 在与中， ， （___________）， ___________． 即． 在与中， ， ， ． 即． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)，，， 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据题目中的语句按步骤作图即可； （2）根据题目中的语句按步骤作图即可； （3）根据题目中的语句按步骤作图即可； （4）根据“边边边”的证明方法可证明与全等，由此可得结论． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：如图即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）证明：连接，． 在与中， ， ， ． 即． 故答案为：，，，． 64．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，求作，使． 【答案】画图见详解． 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作图——作三角形 【分析】本题考查的是几何作图，灵活运用圆的半径相等的性质是解题的关键．根据圆的半径相等的性质得到、，进而作出三边相等的． 【详解】解：首先作射线，并在上取线段，再分别以、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，然后连接、，即可得到． 如图所示，即为所求． 65．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，已知线段a及，求作，使，，，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】 如图，就是所求作的三角形． 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查了用尺规作三角形，熟练掌握用尺规作三角形是解题的关键．先作，，则，然后在射线和上分别截取和，再连接即可． 66．（26-27八年级上·全国·课前预习）如图，已知，线段，求作，使得． 作法： （1）作线段___________； （2）在的同旁，作___________，作___________，与交于点___________，故就是所求作的三角形． 【答案】 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，先截取线段，在的同旁，再作两个角等于已知角，交于点C，可得答案． 【详解】先在射线上截取，在的同旁，作，作，与交于点C，故就是所求作的三角形． 故答案为：c，． 67．（25-26八年级上·福建南平·期中）下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：点到、两边距离相等， 点在的角平分线上， 由作法可知，选项C中 为 的角平分线，选项A、B、D均不符合题意． 68．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积______． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，过作于点，由作图可知，平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 69．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【实践操作】如图，是四边形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接求证：． 【答案】(1) 射线即为所求； (2) 证明：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）证明即可． 70．（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，与中，，、分别是的角平分线． (1)请你在原图中作出两个三角形的角平分线和(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明)； (2)若请你证明． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查角平分线的尺规作图以及三角形全等的判定定理． （1）依据角平分线的尺规作图方法和步骤，通过两次画弧确定角平分线的位置； （2）先利用判定定理证明，推导出，再结合角平分线的定义得到，最后通过判定定理证明． 【详解】（1）解：如图所示，线段、即为所求． （2）解：，，， ， ， 、分别是、的角平分线， ，， ， 在和中，， ． 【题型十六】角平分线性质的实际应用 71．（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 72．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 73．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有________处． 【答案】4 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线和外角平分线的交点，作图可知． 【详解】 解：如图 故答案为：4． 【题型十七】角平分线性质与判定综合 74．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，的平分线交边于点E，在边取点D，使，连接，则的大小 __________（度）． 【答案】18 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】如图，延长到F，首先得到平分，然后证明出平分，可得，由三角形外角的性质，可得，，继而求得答案． 【详解】解：如图，延长到F， ∵在中，，， ∴，， ∴ ∴平分， 又∵的平分线交边于点E， ∴点E到边，，的距离相等， ∴点E在的平分线上，即平分， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴得： ∴ ． 故答案为：18． 【点睛】考查三角形外角的性质以及角平分线的性质和判定定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 75．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为______． 【答案】/64度 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键．连接，过C作于点F，作于点E，作于点G，根据角平分线性质得到，，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 【详解】如图，在x轴和y轴上取点N、P，连接，过C作于点F，作于点E，作于点G， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，． ∴． 故答案为：． 76．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键． 过点D作于点F，根据证得，进而证得，根据角平分线定理证明即可． 【详解】证明：如图，过点D作于点F， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分． 77．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，的角平分线相交于点P．求证： (1)点P到三边的距离相等； (2)的三条角平分线交于一点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是掌握角平分线的判定定理和性质定理． （1）作，由角平分线的性质，可得，即可证得结论； （2）由（1）可知，根据角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）证明：作于点D，于点E，于点F， ∵的角平分线相交于点P， ∴根据角平分线的性质可得，， 即， 所以点P到三边的距离相等； （2）解：根据（1）可知， 又∵， ∴点P在的角平分线上， 又∵的角平分线相交于点P， 所以的三条角平分线交于一点． 78．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． (2) 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，，，且， ， ， ， ， 故的面积为32． 【题型十八】全等与角平分线综合 79．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，点为的中点，平分，． (1)求证：平分． (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：如图，作交于点， 点为的中点， ， 平分，，， ， ， 又，即， 点在的平分线上， 即平分； (2) 解：猜想：， 证明如下， 由（1）可知，， 又， （）， ， 同理可得，，， ， ． 【知识点】用HL证全等（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查线段中点的定义，角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）作交于点，根据线段中点的定义和角平分线的性质，易证，再根据角平分线的判定即可求证； （2）利用“”，易证，，从而，，进而根据，可证． 【详解】（1）略 （2）略 80．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知于点，于点，，相交于点，． (1)写出图中所有全等三角形并证明； (2)求证：点在的平分线上． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形的性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定条件是解题关键． （1）利用垂直得到直角，结合对顶角相等及，先证得，再结合公共角和直角，证明． （2）由得，结合与，根据角平分线判定定理证得结论． 【详解】（1）解：，，证明如下： ，， , ， ， ， ， 即， ， . （2）证明：由（1）知，可得， 又，， 点在的平分线上． 81．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． (1)如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 【答案】(1) 证明：如图1中， 在和中， ， ， ； (2) 是，理由：如图2中，过点作于，于． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 则是的角平分线． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识． （1）根据证明，可得结论； （2）过点作于，于．证明，可得结论． 82．（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，将的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的角平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出； （3）根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，即，根据三角形外角的性质得到，即，则，根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； （2）解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ； （3）解：∵点在的角平分线上， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴ ∵是的外角， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 1. 两大核心知识模块 一是全等三角形：掌握1组性质（对应边角相等）、5大判定定理，规避SSA、AAA两大判定陷阱； 二是角平分线：熟记性质与判定定理，牢记“垂直距离”核心条件。 2. 一条核心解题主线 初中几何线段、角度等量证明，三角形全等是核心解题工具，可实现边角关系的转化与迁移。 3. 两大答题规范要求 ① 书写规范：全等三角形对应顶点位置对齐； ② 推理规范：每一步结论必有依据，条件完整、定理对应准确。 4. 核心数学思想 转化思想：通过全等将未知线段、角度转化为已知条件； 建模思想：识别平移、翻折、旋转等基础全等模型，快速破题。 5. 考场避坑重点 区分直角三角形与普通三角形判定规则，分清夹角与对角，不主观臆断图形条件，完整罗列推理依据。 一、单选题 1．某学校内有三条主干道，分别连接教学楼A、实验楼B、图书馆C，形成了一个如图所示的三角形区域，学校计划在这个三角形区域内修建一个校园超市，要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可得， A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； B选项中角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； C选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“”能判定全等，故本选项符合题意； D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意． 3．如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解题的关键．由，，又因为，即可由判定两三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 4．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 5．下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义，形状和大小都相同的图形才是全等图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、全等图形必须形状和大小都相同，故 A正确； B、两个圆只有半径相同时才全等，故 B错误； C、形状相同但大小不同的图形不全等，故C错误； D、面积相等但形状不同的三角形不全等，故D错误． 故选：A． 6．如图，已知，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若添加， ∴． 7．如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先过点E作，根据角平分线的性质得出，得到，根据全等三角形的性质从而得到，即可解答． 【详解】解：过点E作，如图 ∴ ∵平分，且E是的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的尺规作图、过直线外一点作垂线的尺规作图、得出平分且，再结合角平分线的性质以及三角形的全等相关性质逐一判断即可． 【详解】解：根据作图可知：平分且， ∵， ∴，故A正确； ∵， 在与中， ， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故D正确； ∵，但不一定平分， 不一定成立，故C错误，满足题意． 二、填空题 9．如图，结合三角形全等的判定条件，用尺规作的依据是_______． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形的判定定理，由作图可得，，，从而即可推出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：，，， ∴， 故用尺规作的依据是， 故答案为：． 10．如图，，，添加条件__________，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 【详解】解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 11．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若的面积为，那么四边形的面积为______． 【答案】 【分析】过作于点，，根据角平分线性质可得，，证明，，所以，，又的面积为，即，最后通过四边形的面积为即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴四边形的面积为． 12．如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是______cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意；当BC=BN=1时，三角形是唯一的；当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的． 【详解】如图，当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意， 此时； 故答案为：； 当BC=BN=1时，三角形是唯一的； 当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形的存在个数，熟练掌握三角形的基本作图是解题的关键． 13．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，，动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持，若点的运动时间为，则当______ 秒时，与全等． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定及动点问题的分类讨论，根据动点的位置分情况讨论，结合全等条件列出方程求解． 【详解】解：∵动点的速度为，运动时间为， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴与全等有两种对应情况： ①当时，需． 若在线段上，则， 由，解得； 若在的延长线上，则， 由，解得； ②当时，需． 若在线段上，则，解得(舍去)； 若在的延长线上，则，解得； 综上，当或或秒时，与全等． 故答案为：4或8或． 14．如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 【答案】8 【分析】延长交于点F，证明，得，再证明，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 15．如图所示，已知，．求证： 【答案】见解析 【详解】证明：法一： 连接 在和中 法二： 连接 在和中 ， 即. 法三： 连接，设交于点 在和中 在和中 16．如图，已知点E，F在线段上，且，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 【分析】由证明，进而得出结论． 【详解】略 17．如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】(1)见详解 (2)是锐角三角形 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：、和如图所示： （2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 18．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 19．如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点 (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在中，，于点E， ， 在和中， ， ∴， (2)证明：连接， 由（1）得：， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ； (3)4 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）连接，由全等三角形的性质得，再利用“”证明即可； （3）利用全等三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）得：， ∴， ． 20．【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 【答案】(1)B (2)1（或3或5或7或9或11） (3)，理由如下： 延长至点E使，连接，如图， 同理可证， ∴，， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (4)8 【分析】（1）根据边角边的证明方法即可得到； （2）根据三角形三边的关系先得到的范围，再由，且边的长度为奇数，这一条件求解即可； （3）同理可证，可得，再由，转化边的关系求解角度的关系即可； （4）添加辅助线，延长至点G使，连接，同理可证明，再证明，由此可得，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴的理由是B； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在中，， 即，即 ∵边的长度为奇数，且， ∴的长可能为1或3或5或7或9或11； （3）解：略 （4）解：延长至点G使，连接，如图， 同理可知， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，则， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 单元复习+小测 （核心知识+8易错辨析+18典例精讲） 【知识点01】全等三角形相关概念 1. 全等形：能够完全重合的两个图形，形状、大小完全相同。 2. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形，记作 △ABC ≌ △DEF。 ✅ 书写规范：对应顶点必须写在对应位置，是后续找对应边、对应角的基础。 3. 对应元素：能够重合的顶点为对应顶点，能够重合的边为对应边，能够重合的角为对应角。常见隐藏对应元素：公共边、公共角、对顶角。 【知识点02】全等三角形的性质 1. 基本性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 2. 拓展性质：全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线相等，且周长相等、面积相等。 ⚠️ 关键提醒：周长相等、面积相等的两个三角形不一定全等，只能作为全等的必要不充分条件。 【知识点03】三角形全等的五大判定定理 适用于所有三角形的4种判定： 1. SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 2. SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（核心：角必须为两边夹角）。 3. ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（核心：边必须为两角夹边）。 4. AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 仅适用于直角三角形的1种判定： 5. HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 ❌ 绝对不能判定全等的两种情况： 1. AAA（三角对应相等）：仅能证明三角形相似，形状相同、大小不一定相同； 2. SSA（两边及其中一边对角相等）：无法确定三角形唯一性，不能判定全等。 【知识点04】角平分线的性质与判定 1. 角平分线的性质 内容：角平分线上的点到角两边的垂线段距离相等。 几何语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。 2. 角平分线的判定 内容：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上。 ⚠️ 核心定义：角平分线中的“距离”专指垂线段的长度，斜线段长度不适用定理。 【知识点05】全等三角形常见基本模型 掌握模型可快速提取全等条件，简化解题思路： 1. 平移模型：三角形沿直线平移得到全等三角形； 2. 翻折（轴对称）模型：沿公共边、公共角翻折重合； 3. 旋转模型：绕公共顶点旋转一定角度重合； 4. 一线三垂直模型：直角共线，构造直角三角形全等； 5. 倍长中线模型：延长三角形中线，构造全等转化线段关系。 易错1：全等书写不规范，找错对应关系 错误问题：书写全等三角形时，对应顶点顺序混乱，导致后续对应边、对应角判断错误。 正确做法：严格按照图形重合顺序书写，保证对应顶点、边、角一一对应。 易错2：混淆SAS与SSA，误用判定定理 错误问题：只要看到两边一角相等，就直接判定三角形全等。 核心辨析：SAS的角是两边夹角，是唯一固定的；SSA的角是一边的对角，可画出两种不同三角形，无法判定全等。 易错3：HL定理适用范围混淆 错误问题：对普通三角形使用HL判定全等。 核心辨析：HL仅适用于直角三角形，非直角三角形只能用SSS、SAS、ASA、AAS判定。 易错4：角平分线定理遗漏垂直条件 错误写法：∵OP平分∠AOB，∴PD=PE。 错误原因：缺少“两边垂直”的核心条件，非垂线段长度不相等，推理不成立。 易错5：误将面积、周长相等判定为全等 错误认知：面积或周长相等的三角形一定全等。 核心辨析：同底等高的三角形面积相等，但形状可不同；周长相等的三角形边长组合不一定相同，均无法判定全等。 易错6：全等判定条件罗列不完整 高频错误：仅用两组角相等（AA）判定全等，忽略对应边相等的条件。 核心辨析：AA只能证明三角形相似，必须补充一组对应边相等，才能判定全等。 易错7：主观识图，默认线段、角度相等 错误问题：凭借视觉观察，默认图形中线段、角度相等，未通过题干或推理证明。 核心规则：几何证明中，所有相等关系必须有依据，禁止目测猜想。 易错8：忽略图形隐藏全等条件 高频漏用条件：公共边相等、公共角相等、对顶角相等，此类隐藏条件是多数全等题的解题关键。 【题型一】全等三角形及其性质 1．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，点E在边上，若，则线段的长是 _______． 3．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【题型二】SSS判定三角形全等 4．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在一个平分角的仪器中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是这个角的平分线．其原理是通过判定，得到，其中判定这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 8．（25-26八年级上·河南商丘·期末）商丘的风筝活动丰富多彩，既包括市民在公园休闲放飞，也涵盖学校美育实践和文旅节庆中的非遗展示，体现了风筝文化在日常生活和教育传承中的活力，图1是市民在“商丘好人”主题公园放风筝的图片，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由， 【题型三】SAS判定三角形全等 9．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知，，则的依据是（  ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河北张家口·期末）要测量池塘两端点A，B间的距离，现有如下两种测量方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（    ） 方案Ⅰ：如图1． ①在平地上取一点O； ②连接，并延长到C，D两点，使，； ③连接，测量的长即可． 方案Ⅱ：如图2． ①在平地上取一点O； ②连接，在的延长线上取一点C，使； ③测量的长即可． A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 11．如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    12．（25-26八年级上·广东东莞·期末）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；②沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；④测得的长为，那么河的宽度是________． 13．（2025·云南丽江·一模）如图，，，．求证：． 14．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知点B，D在上，，，．求证： (1)； (2)． 15．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图1，点O在射线上，点 C 在线段上，点D在线段上，，，连接，． (1)求证：； (2)判断，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，将两根长度相等的木棍，的一端固定在点O处，．与是两根弹力绳，将弹力绳的端点A，E固定，弹力绳的另外两个端点 C，D 始终在木棍， 上，且保持（假设弹力绳始终处于绷直状态）．若增加了，与原来相比，的度数增大了还是减少了?增大或减少多少度?（直接写出结果） 【题型四】ASA(AAS)判定三角形全等 16．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，，垂足分别为D，E，．下列选项中，可以直接作为判定的依据是（　　） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若点F是的中点时，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 18．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带___________去． 19．如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中成立的有______（填写正确结论的序号）． ①；②；③平分． 20．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，． (1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由； (2)若用纸面积为30，求的用纸面积． 21．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形的对角线相交于点，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【题型五】HL判定三角形全等 22．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在的两边上，取，分别过点，作，的垂线，交点为，连接，则，用到的判定方法为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·河南南阳·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放两个含角的三角板，使得短直角边分别在上，长直角边上的刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定方法是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 25．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，于点C，点E在上，且．要根据“”证明，需再添加的条件为___________． 26．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 27．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，于E，于F，，．求证：． 【题型六】添加条件使三角形全等 28．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·云南德宏·期末）傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 30．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，已知，添加一个条件_________，能判定． 31．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，． 请补充一个条件，使≌． 【题型七】灵活选用判定方法证全等 32．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，用纸板挡住了部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 34．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）下列条件，能判定两个直角三角形全等的是__________（填序号即可）． ① 两个锐角对应相等；② 两条直角边对应相等；③ 斜边和一直角边对应相等；④ 一锐角和斜边对应相等；⑤ 一锐角和一直角边对应相等． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）回答下列问题，并说明理由． (1)有两条边分别相等的两个直角三角形是否全等？ (2)有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形是否一定全等？ 【题型八】结合尺规作图的全等问题 36．（23-24八年级上·福建福州·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（） A．，， B．， C．，， D．，， 37．（22-23八年级上·湖南怀化·期末）根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 38．（23-24八年级上·全国·单元测试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的 ②当，时，可得到形状唯一确定的 ③当，时，可得到形状唯一确定的 其中所有正确结论的序号是______________． 39．如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等． 【题型九】倍长中线模型 40．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 42．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 43．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【题型十】旋转模型 44．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 45．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________． 46．（22-23八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 47．（2025八年级上·北京·专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【题型十一】垂线模型 48．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 49．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 50．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 51．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【题型十二】全等三角形综合问题 52．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 53．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）图中三个叠放在一起的三角形纸板被墨水污染损坏了一部分，想要重新作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形纸板，下列说法错误的是（   ） A．只能作出三角形①，② B．作出三角形①的依据可以是 C．作出三角形②的依据只能是 D．作出三角形③的依据是 54．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 55．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 【题型十三】角平分线的性质定理 56．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 57．（22-23八年级上·吉林·期末）如图，平分，，则点D到的距离为__________． 58．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【题型十四】角平分线的判定定理 59．（25-26八年级上·福建福州·期末）在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．重心 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 60．（25-26八年级上·福建莆田·期末）两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 61．（24-25八年级·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【题型十五】尺规作图 62．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，按尺规作图的要求作一个角等于已知角，其中的依据是（   ） A． B． C． D． 63．（2025八年级上·全国·专题练习）根据下列语句用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，并完成证明． 已知：如图，．求作：，使． (1)以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； (2)已知射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； (3)以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； (4)作射线．则即为所求． 证明：连接，． 在与中， ， （___________）， ___________． 即． 在与中， ， ， ． 即． 64．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，求作，使． 65．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，已知线段a及，求作，使，，，不写作法，保留作图痕迹． 66．（26-27八年级上·全国·课前预习）如图，已知，线段，求作，使得． 作法： （1）作线段___________； （2）在的同旁，作___________，作___________，与交于点___________，故就是所求作的三角形． 67．（25-26八年级上·福建南平·期中）下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． 68．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积______． 69．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【实践操作】如图，是四边形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接求证：． 70．（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，与中，，、分别是的角平分线． (1)请你在原图中作出两个三角形的角平分线和(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明)； (2)若请你证明． 【题型十六】角平分线性质的实际应用 71．（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 72．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 73．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有________处． 【题型十七】角平分线性质与判定综合 74．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，的平分线交边于点E，在边取点D，使，连接，则的大小 __________（度）． 75．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为______． 76．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 77．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，的角平分线相交于点P．求证： (1)点P到三边的距离相等； (2)的三条角平分线交于一点． 78．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【题型十八】全等与角平分线综合 79．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，点为的中点，平分，． (1)求证：平分． (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 80．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知于点，于点，，相交于点，． (1)写出图中所有全等三角形并证明； (2)求证：点在的平分线上． 81．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． (1)如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 82．（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，将的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的角平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由； (3)求的度数． 1. 两大核心知识模块 一是全等三角形：掌握1组性质（对应边角相等）、5大判定定理，规避SSA、AAA两大判定陷阱； 二是角平分线：熟记性质与判定定理，牢记“垂直距离”核心条件。 2. 一条核心解题主线 初中几何线段、角度等量证明，三角形全等是核心解题工具，可实现边角关系的转化与迁移。 3. 两大答题规范要求 ① 书写规范：全等三角形对应顶点位置对齐； ② 推理规范：每一步结论必有依据，条件完整、定理对应准确。 4. 核心数学思想 转化思想：通过全等将未知线段、角度转化为已知条件； 建模思想：识别平移、翻折、旋转等基础全等模型，快速破题。 5. 考场避坑重点 区分直角三角形与普通三角形判定规则，分清夹角与对角，不主观臆断图形条件，完整罗列推理依据。 一、单选题 1．某学校内有三条主干道，分别连接教学楼A、实验楼B、图书馆C，形成了一个如图所示的三角形区域，学校计划在这个三角形区域内修建一个校园超市，要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 4．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 6．如图，已知，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 7．如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，结合三角形全等的判定条件，用尺规作的依据是_______． 10．如图，，，添加条件__________，可以根据“”得到． 11．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若的面积为，那么四边形的面积为______． 12．如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是______cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是______． 13．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，，动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持，若点的运动时间为，则当______ 秒时，与全等． 14．如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 三、解答题 15．如图所示，已知，．求证： 16．如图，已知点E，F在线段上，且，，．求证：． 17．如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 18．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 19．如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点 (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 20．【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $