专题07 二次函数y=ax²和y=a (x-h)²+k的图象和性质（五大题型20道题）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以二次函数顶点式图象性质为主线，通过从基础到综合的层级设计，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |y=ax²的图象和性质|4题|点坐标判断、函数值比较、图象辨析|从最基础的二次函数形式切入，建立图象与系数关系| |y=ax²+k的图象和性质|4题|函数值计算、参数判断、顶点坐标求解|在y=ax²基础上添加常数项k，理解上下平移对顶点的影响| |y=a(x-h)²的图象和性质|4题|图象识别、顶点位置判断、对称轴应用|引入顶点横坐标h，掌握左右平移对对称轴的作用| |y=a(x-h)²+k的图象和性质|4题|函数值大小比较、对称轴求解、参数取值|整合h和k，形成完整顶点式，强化顶点与最值关系| |二次函数图象的平移|4题|平移规律应用、顶点坐标变化、平移路径描述|系统梳理平移法则，实现不同形式二次函数的转化|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题07 二次函数y=ax²和y=a（x-h）²+k的图象和性质 （五大题型20道题） 目录 知识点一y=ax²的图象和性质 1 知识点二y=ax²+k的图象和性质 4 知识点三y=a（x-h）²的图象和性质 7 知识点四y=a（x-h）²+k的图象和性质 9 知识点五二次函数图象的平移 10 知识点一y=ax²的图象和性质 1．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 2．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 3．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 4．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． （1） _______； _______； （2）求直线的函数表达式； （3）当 时， 的取值范围为_____． 【答案】（1）； （2）； （3） 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 知识点二y=ax²+k的图象和性质 5．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得 6．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 7．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 8．已知二次函数．    （1）该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； （2）补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … （3）若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 【答案】（1）轴，； （2），，图象见解析； （3）． 【分析】（）根据表格中得数据可得对称轴，根据解析式可求出顶点坐标； （）把的值代入解析式，即可得到的值； （）根据性质即可得出结论； 本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：轴，； （2）当时，； 当时，； 故答案为：，； 利用描点法作出的函数图象如下所示：    （3）∵， ∴抛物线开口向下，在轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 知识点三y=a（x-h）²的图象和性质 9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 10．抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置． 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 11．若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过计算二次函数在各点的函数值，比较，，的大小． 【详解】解：对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴． 故答案为：． 12．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】（1） （2）抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 知识点四y=a（x-h）²+k的图象和性质 13．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线的性质，点离对称轴越远，对应的函数值越小，比较三点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴． 14．二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】二次函数顶点式的对称轴为直线，直接根据顶点式即可得出结果． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故选：A． 15．在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 16．已知抛物线． （1）判断点是否在此抛物线上． （2）若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）点在此抛物线上 （2），理由： ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）略 知识点五二次函数图象的平移 17．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是． 18．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 19．已知二次函数的图象向右平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则__________（填“”或“”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后抛物线的解析式，然后利用抛物线的增减性即可得到结论． 【详解】解：原函数， 向右平移两个单位后的解析式为， 则抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵点，在抛物线上，， 且在对称轴左侧时，随的增大而减小， ． 故答案为：． 20．试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线？如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？试说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】将抛物线向下平移2个单位可得到抛物线；将抛物线向上平移4个单位可得到抛物线；函数的图象开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律和型二次函数的性质，上下平移遵循“上加下减常数项”的规律，再根据二次项系数的符号判断开口方向，直接确定对称轴和顶点坐标即可． 【详解】解：已知原抛物线解析式为，要得到抛物线，对比原解析式可知常数项减2，因此将向下平移2个单位即可得到． 要得到抛物线，对比原解析式可知常数项加4，因此将向上平移4个单位即可得到． 对于函数，二次项系数，因此图象开口向下． 对称轴为直线，即轴． 将代入解析式，得，因此顶点坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题07 二次函数y=ax²和y=a（x-h）²+k的图象和性质 （五大题型20道题） 目录 知识点一y=ax²的图象和性质 1 知识点二y=ax²+k的图象和性质 2 知识点三y=a（x-h）²的图象和性质 3 知识点四y=a（x-h）²+k的图象和性质 3 知识点五二次函数图象的平移 4 知识点一y=ax²的图象和性质 1．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 4．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． （1） _______； _______； （2）求直线的函数表达式； （3）当 时， 的取值范围为_____． 知识点二y=ax²+k的图象和性质 5．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 6．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 8．已知二次函数．    （1）该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； （2）补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … （3）若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 知识点三y=a（x-h）²的图象和性质 9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 10．抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 11．若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 12．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 知识点四y=a（x-h）²+k的图象和性质 13．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 14．二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 15．在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 16．已知抛物线． （1）判断点是否在此抛物线上． （2）若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 知识点五二次函数图象的平移 17．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 18．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 19．已知二次函数的图象向右平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则__________（填“”或“”）； 20．试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线？如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？试说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $