专题06 二次函数的概念（三大题型12道题）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数概念的实际应用、形式识别与参数求解，以12道题构建从具体到抽象的概念理解链条，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |列二次函数关系式|4题（含实际情境应用题）|结合销售、运动等实际情境抽象函数关系|从实际问题到数学模型，体现概念的应用价值| |二次函数的识别|4题（含选择、填空、解答）|判断函数是否为二次函数及系数识别|深化对二次函数形式特征的理解，培养推理意识| |根据定义求参数|4题（含综合应用题）|利用定义求参数值及相关计算（如等腰三角形周长）|从概念本质出发解决问题，强化定义的严谨性|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题06 二次函数的概念（三大题型12道题） 目录 知识点一列二次函数关系式 1 知识点二二次函数的识别 3 知识点三根据二次函数的定义求参数 5 知识点一列二次函数关系式 1．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 2．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 3．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 4．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： （2）设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 【答案】（1）， （2）设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米 【分析】本题考查了根据题意列二次函数关系式，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）根据矩形的面积公式即可列出函数关系式，根据矩形的两条边都为正数即可确定自变量的取值范围； （2）根据设计费为24000元得到矩形面积为12平方米，据此列出方程，解方程即可﹒ 【详解】（1）解：∵矩形一边长为米，周长为16米, ∴矩形的另一边为米， ∴，其中， 即， ； （2）解：能，理由如下： 当设计费能达到24000元时，矩形面积为（平方米）， 即， 解得﹒ 答：设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米﹒ 知识点二二次函数的识别 5．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 6．二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：二次函数的一次项是，则一次项系数是， 故选：A． 7．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答． 根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 8．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【答案】（2），（3）是二次函数 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 知识点三根据二次函数的定义求参数 9．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 10．已知二次函数可化为的形式，则的值是（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 11．若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为______． 【答案】10或11 【分析】本题考查了二次函数的概念和三角形三边关系，根据二次函数的特点，得到，且，求得后，再根据三角形三边关系确定三角形周长． 【详解】解：由题意，得，且， 由得， 解得，， ∵， ∴， ． ①若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为； ②若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为． 故答案为：． 12．已知函数（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】（1） （2），纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题06 二次函数的概念（三大题型12道题） 目录 知识点一列二次函数关系式 1 知识点二二次函数的识别 2 知识点三根据二次函数的定义求参数 2 知识点一列二次函数关系式 1．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 3．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 4．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： （2）设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 知识点二二次函数的识别 5．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 7．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 8．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 知识点三根据二次函数的定义求参数 9．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 10．已知二次函数可化为的形式，则的值是（    ） A． B．3 C． D．5 11．若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为______． 12．已知函数（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $