考点05 求二次函数解析式3考点4题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“三式优选-待定系数-变换规则”为主线，系统构建求二次函数解析式的方法体系，强化从数学视角分析问题的抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三种形式应用|例1-3+变式5|三式优选法（见顶点设顶点式等）、系数快速求解|从形式概念（一般式/顶点式/交点式）到待定系数法，形成“条件-形式-求解”推理链| |图形变换|例5-6+变式5|平移口诀（左加右减等）、对称旋转规则（a变号等）|以顶点式为核心，建立图形变换与解析式参数的对应模型| |几何综合|例3+变式4|几何性质求关键点坐标（如面积、对称轴）|融合几何直观与代数表达，体现数学语言的跨学科应用| |最值问题|例4+变式4|顶点式最值法（a符号定最值类型）|结合二次函数性质，强化模型意识与问题转化能力|

考点05 求二次函数解析式 考点一：二次函数解析式的三种核心形式 一般式：（，为常数） 适用场景：已知抛物线图像上任意三点坐标（无顶点、无交点等特殊条件），是最通用的形式，可转化为其他两种形式。 例1：已知二次函数图像过点、、，求其解析式。 解：设解析式为（），代入三点坐标，列三元一次方程组： 代入，化简得：，解得。 验证：，符合二次函数定义。 最终解析式：。 顶点式：（，为抛物线顶点坐标） 适用场景：已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最值，再补充1个普通点坐标，可快速求解，也是图形变换的首选形式。通过配方法可将一般式转化为顶点式，配方法核心是通过配方将二次项和一次项整理为完全平方式，再整理常数项，这是新教材重点要求掌握的技能。 例2：已知抛物线顶点为，且过点，求其解析式，并转化为一般式。 解：设解析式为（），代入点： ，即，解得。 顶点式解析式：，展开整理为一般式：。 交点式（两根式）：（，为抛物线与x轴交点的横坐标） 适用场景：已知抛物线与x轴的两个交点坐标，再补充1个普通点坐标，简化计算，避免解三元一次方程组。 例3：已知抛物线与x轴交于、，且过点，求其解析式。 解：设解析式为（），代入点： ，即，解得。 最终解析式：（可直接保留交点式，也可整理为一般式）。 考点二：待定系数法 本质：通过设出对应形式的解析式，代入已知点坐标（或隐含条件），列出方程（组），求解系数（或），最终还原解析式。 关键核心：无论哪种形式，必须保证（否则不是二次函数，沦为一次函数），这是新教材中判断二次函数的核心前提，也是解题中易忽略的验证点。 例4：（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 考点三：图形变换求解析式 核心原则：图形变换仅改变抛物线的位置（或开口方向），不改变开口大小，因此的绝对值不变（对称、旋转时的符号可能改变） 例5：把抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位，求平移后的解析式。 解：根据平移口诀“左加右减自变量，上加下减常数项”，向右平移2个单位，自变量变为；向下平移1个单位，常数项减1。 平移后解析式：，整理为一般式：。 例6：求抛物线关于x轴对称的解析式。 解：关于x轴对称，顶点变为，变号（由2变为-2）。 解析式：，整理为一般式：。 题型一：由函数的基本形式求解析式 核心技巧：见顶点设顶点式，见交点设交点式，无特殊点设一般式；代入点时，优先代入（求）、（求交点），简化计算。 1.“三式”优选法：快速确定解析式形式，节省解题时间——三点→一般式；顶点/对称轴/最值→顶点式；x轴两交点→交点式；图形变换→优先顶点式。 2.系数快速求解法：一般式优先代求，再代另外两点解二元一次方程组；顶点式直接代入顶点，再代一点求；交点式直接代入两交点，再代一点求，避免复杂计算。 易错点1：顶点式符号错误（最高频易错） 错例：顶点，设（符号错误）；或顶点，设（符号错误）。 正解：顶点式中，括号内为，即顶点横坐标为、纵坐标为，正确写法为、。 易错点2：交点式符号错误 错例：与x轴交于、，设（符号错误）。 正解：交点式为，则为，则为，正确写法为。 易错点3：忽略（二次函数定义） 错例：解得，仍认为解析式是二次函数（实际为一次函数）。 正解：无论哪种形式，必须保证，若解得，需重新检查点坐标或设式是否正确，这是新教材中判断二次函数的核心前提，也是解题中易忽略的验证点。 【例1】（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）已知二次函数的图象经过点，顶点坐标是，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【详解】解：设这个二次函数的表达式为， ∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为，拱桥的最高点B到水面的距离为．求抛物线的表达式． 【答案】 【详解】解：由题意可知，顶点坐标， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， 则抛物线的表达式． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象经过，，三点， 代入已知点坐标，得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【答案】 【详解】解：函数图像经过原点和点， ， 解得：， 二次函数的解析式为． 【变式1-4】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【详解】解：由题知，设这个二次函数的表达式为， 将，，代入，得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 【变式1-5】（25-26九年级上·广西崇左·月考）求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过，，，求函数解析式； (2)抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：二次函数图象经过点， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：由题意设解析式为， 将代入，则， 解得：， 所以函数解析式为． 题型二：利用图形变换求二次函数的解析式 核心技巧：平移用“左加右减自变量，上加下减常数项”，优先用顶点式计算；对称、旋转重点关注的符号和顶点坐标的变化，绕顶点旋转180°仅变的符号，顶点不变。 拓展：绕原点旋转180°，顶点和均变号，中考考查较少，可作为补充掌握。 图形变换“口诀+原则”法：平移记“左加右减（x），上加下减（常数）”；对称、旋转记“顶点变，a变号（视情况），开口大小不变”；绕顶点旋转180°仅变a的符号，顶点不变。 易错点1：平移方向混淆 错例：向左平移2个单位，写成（左减右加，混淆口诀）；向上平移3个单位，写成（上加下减混淆）。 正解：“左加右减”仅针对自变量，向左加、向右减；“上加下减”针对常数项，向上加、向下减，与无关。 易错点2：对称变换忘记变的符号 错例：求关于x轴对称的解析式，写成（未变的符号）。 正解：关于x轴、原点对称时，抛物线开口方向反向，因此必须变号；只有关于y轴对称时，开口方向不变，不变，正确解析式为。 易错点3：旋转变换混淆旋转中心 错例：题目要求“绕顶点旋转180°”，却按“绕原点旋转180°”求解，导致顶点坐标错误。 正解：中考绝大多数旋转变换考查“绕顶点旋转180°”，此时顶点坐标不变，仅变号；绕原点旋转需同时改变顶点坐标和的符号，需看清题目要求。 【例2】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知抛物线（m为常数）经过点．将该抛物线向右平移5个单位长度得到新抛物线，求平移后的抛物线的函数表达式． 【答案】（或） 【详解】解：将点代入中，得， 解得， 原抛物线的函数表达式为， ∴平移后的抛物线的函数表达式为（或）． 【变式2-1】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，以点为顶点的抛物线交y轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设该抛物线解析式为， ∵点在该抛物线的图象上， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为； （2）解：∵将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点， ∴平移后的抛物线的顶点在x轴上， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 【变式2-2】（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到， 即平移后的抛物线的解析式为． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数，其顶点为，且图象经过． (1)求a，b，c的值： (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：已知二次函数，其顶点为，且图象经过， ∴，则， ， 解得，； （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， ∵平移后，图象经过原点， ∴将抛物线向下平移3个单位得到，． 【变式2-4】（2026·山东淄博·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)D为抛物线的顶点，将抛物线沿射线平移一定距离，得到抛物线与直线有且仅有一个交点． ①求抛物线对应的函数表达式； ②若过点的直线交抛物线于、两点，过点、垂直于直线的垂线交直线于两点．证明． 【答案】(1) (2)①，②见解析 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， 得 解得 ∴． （2）解：①由（1）得， 整理得， ∵D为抛物线的顶点， ∴， ∵将抛物线沿射线平移一定距离，得到抛物线 ∴设抛物线：， ∴， 则， ∵与直线有且仅有一个交点． ∴， 解得， ∴抛物线：， 即， ②证明：∵过点的直线交抛物线于、两点， ∴设过点的直线为， ∵过点、垂直于直线的垂线交直线于两点． 则， 依题意，得， ∴， 则， 故， ∵，， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式2-5】（2026·辽宁铁岭·二模）我们将任意二次函数的图象关于直线作轴对称翻折，翻折前后的函数图象整体称为“翻折函数”，直线以上部分称为“上翻折函数”，直线以下部分称为“下翻折函数”（“上翻折函数”， “下翻折函数”均包括与直线的交点）．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在x轴负半轴，B在x轴正半轴），与y轴交于C点，且． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2，当时，取其“下翻折函数”， ①求出“下翻折函数”的表达式； ②若点P，Q在“下翻折函数”上，，点Q的横坐标为，且，求的最大值； (3)在图2的基础上，当时，已知，直线与“上翻折函数”有2个不同交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴点，点，， 将点A、B、C坐标代入中， 得，解得， ∴二次函数表达式为； （2）解：①当，“下翻折函数”分为3段， 第1段，即，二次函数表达式为； 第2段，即，二次函数的表达式为； 第3段，即，二次函数的表达式为． 根据x的取值，得到不同范围下，“下翻折函数”的表达式 综上所述，“下翻折函数”的表达式为； ②∵，且即， ∴将代入中，得， ∴， 设直线的表达式，则，解得， ∴直线的表达式， 如图2，过点P作x轴的平行线，交于点N，设点P为，， 则， 又∵点N在直线上， ∴将代入， 可得， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，； （3）解：或． 如图2，画出草图，当时，“上翻折函数”分为3段， 第1段，即，二次函数表达式为； 第2段，即，点，点， 设二次函数的表达式为，得，解得， ∴二次函数的表达式为； 第3段，即，二次函数的表达式为； ∴“上翻折函数”的表达式为， ①当与“第2段”相切时有两个交点，联立， 整理，得， 则，解得，此时直线与段也有一个交点； ②当与点C重合时，仅有一个交点，将点代入中，解得； ③当经过点时，解得，此时恰好也过点，与图象有三个交点． 综上所述，或． 题型三：几何图形综合型 核心技巧：先根据几何性质求关键点坐标（如等腰三角形两腰相等、直角三角形勾股定理、平行四边形对边平行且相等），再代入设出的解析式求解。 拓展考法：结合面积条件求点坐标，再求解析式，需注意点的坐标符号（x轴上/下、y轴左/右的符号差异），这是中考几何与代数融合的常见考法，也是压轴题的核心考查方向之一。 【例3】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6． (1)直接写出两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴，即 ∵的面积为6， ∴，即， ∴， ∴ （2）解：将点代入， 则， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 【变式3-1】（25-26九年级下·内蒙古赤峰·月考）如图1是正在施工中的校门门洞的截面，该截面为轴对称图形，它是由矩形和抛物线L构成，其中，，过抛物线上的最高点E向作垂线，垂足为F，交于点G，． 施工中需要有关数据，设计师给出以下三种建立平面直角坐标系的方案： ①如图2，以G为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴； ②如图3，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴； ③如图4，以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴． 如果你是建筑的决策者，你会选择哪一个建立平面直角坐标系的方案，并根据你所选的方案完成以下问题： (1)直接写出点D，E的坐标； (2)求该抛物线对应的函数表达式； (3)根据施工需要，在两侧各增加一根立柱，，K，N分别为，的中点，求这3根立柱的总长度． 【答案】(1)方案①：D点坐标为，E点坐标为；方案②：D点坐标为，E点坐标为；方案③：， (2)方案①：；方案②：；方案③： (3)方案①：17米；方案②：17米；方案③：17米 【详解】（1）解：方案①： 以G为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴， ∵四边形是矩形，，，，E是抛物线上的最高点， ∴，， ∴D点坐标为，E点坐标为． 方案②： 以点A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴， ∵四边形是矩形，，，，E是抛物线上的最高点， ∴，， ∴D点坐标为，E点坐标为． 方案③： 以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴， ∵四边形是矩形，，，，E是抛物线上的最高点， ∴，， ∴， ∴D点坐标为，E点坐标为． （2）解：方案①： ∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入表达式，可得， ∴抛物线的解析式为． 方案②： ∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入顶点式可得， ∴抛物线的解析式为． 方案③： ∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入顶点式，可得， ∴抛物线对应的函数表达为． （3）解：方案①： ∵，F是中点， ∴， ∵K是中点，N是中点， ∴， ∴K的横坐标为，则H的纵坐标为，即， N的横坐标为2，则M的纵坐标为，即， ∴3根立柱的总长度为． 方案②： ∵，F是中点， ∴， ∵K，N分别为，的中点， ∴， ∴K点的横坐标为2，则H的纵坐标为，即， N点的横坐标为6，则M的纵坐标为，即， ∴3根立柱的总长度为． 方案③： ∵，F是中点， ∴， ∵K，N分别为，的中点， ∴， ∴K点的横坐标为2，则H的纵坐标为，即， N点的横坐标为6，则M的纵坐标为，即， ∴3根立柱的总长度为． 【变式3-2】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）综合与实践课上，某数学兴趣小组学习了新定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，围绕该定义进行了相关探究． 【探究1】 若抛物线与抛物线能围成“月牙线”． (1)求出抛物线与轴的交点和，的值； (2)请直接写出此时“月牙线”上点的横坐标的取值范围． 【探究2】 图1是某地文旅景区水幕电影景观实物图．为实现美观的笑脸形月牙水幕效果，以水面的喷水口为原点，原点与水柱落点处所在直线为轴，垂直于水面的直线为轴、建立如图2的平面直角坐标系．两条抛物线形喷泉同时从原点喷出、一条抛物线形水柱经过点，另一条抛物线形水柱经过点，同时落在水面一点处．在两条抛物线围成的“月牙线”区域内设计一个面积最大的长方形水幕电影影像（长方形各边分别平行于坐标轴）．为了达到最佳观影效果，要求该水幕电影影像完整呈现在“月牙线”区域内，且竖直高度与水平宽度的比是． (3)求出这两条抛物线的解析式； (4)求该长方形水幕电影影像的长和宽． 【答案】(1)抛物线与轴的交点为、，， (2)“月牙线”上点的横坐标的取值范围为 (3)两条抛物线的解析式为、 (4)矩形的长为，则宽为 【详解】（1）解：对于抛物线， 当时，即， 解得或， 故当、时，抛物线， 得，解得， ∴抛物线与轴的交点为、，，； （2）解：∵抛物线、与轴的交点为、， ∴“月牙线”上点的横坐标的取值范围为； （3）解：根据题意， 设顶点靠上的抛物线表达式为， 顶点靠下的抛物线表达式为， 根据题意，可得经过点，，， 可得，解得， ∴， 根据题意，可得经过点，，， 可得，解得， ∴， 故两条抛物线的解析式为、； （4）解：假设矩形的长为，则宽为， ∵， ∴靠下的抛物线顶点为，对称轴为直线， ∴矩形边所在直线为， ∴点坐标为， 将点代入， 得， 化简得， 解得或（舍去）， ∴矩形的长为，则宽为． 【变式3-3】（2026·湖北黄冈·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果点P是抛物线的顶点，求的面积； (3)点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． ①当时，如果该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； ②记矩形的周长为l，当时，直接写出l关于m的函数解析式． 【答案】(1) (2)3 (3)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过和， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点为， ∵，， ∴． （3）解：①∵点P在该抛物线上，其横坐标为， 当时，，即， ∵点A在x轴上，其横坐标为m， ∴． ∵点A为对称中心构造矩形PQMN， ∴， ∴， 当该抛物线的顶点在矩形的边上时，如图1，， 解得，， ∵， ∴， ∴当该抛物线的顶点在矩形的边上时，． ②当时，点M和点N重合， 化简得，解得：，， ∵， ∴， 当时，如图2所示， ∵，， ∴； 当时，如图3所示， ∵，， ∴； 综上所述，．     【变式3-4】（2026·吉林四平·模拟预测）抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作y轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为f．求f关于t的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 抛物线过点， ， ． （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 顶点， 点在抛物线上，横坐标为，且在对称轴左侧， ， 对称轴，垂足为， ， ， ， ， ． （3）解： 点为抛物线与轴交点， ， 点在第四象限， 且 ， 解得：， 抛物线弧的最高点与最低点需分情况讨论： 当时，弧在对称轴左侧，抛物线单调递减， 最高点为，最低点为， 矩形的高为， ； 当时，弧包含顶点，且， 最高点为，最低点为， 矩形的高为， ； 当时，弧包含顶点，且， 最高点为，最低点为， 矩形的高为， ． 综上所述： 题型四：最值型求解析式 核心技巧：最值即为顶点纵坐标，结合对称轴（或顶点横坐标），设顶点式，再代入1个普通点求；注意的符号：有最小值，有最大值。 拓展：结合直线、定线段求最值相关的解析式，可借助平行线相切、导数几何意义等方法辅助求解（供拓展，贴合新教材延伸要求）。 【例4】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线在第一象限内的一点，连接．设点的横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】(1)． (2)；． 【详解】（1）解：抛物线过，代入得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：由解析式得， 设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 点在第一象限抛物线上， ， 过作轴交于，交轴于点，如图所示， ， ， ， ， ，当时，． 【变式4-1】（2026·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．此抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点，点与点不重合． (1)抛物线的对称轴为直线_____； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当（为常数）时，的最小值为，求的值； (3)在（2）的条件下，将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式． 【答案】(1)2； (2)①；②或3； (3) 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①把代入得：， ， 抛物线所对应的二次函数表达式为； ②当，即时，，取最小值， ， 解得或（舍去）， ； 当，即时，，取最小值， 此时最小值为，不符合题意； 当时，，取最小值， ， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为或3； （3）解：设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线． 分三种情况讨论： ①当，即时，在对称轴的右侧， 二次函数在取得最小值， ， 解得或，不符合题意； ②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意； ③当，即时，在对称轴的左侧， 二次函数在时取得最小值， ， 解得或（舍去）， 此时二次函数的表达式为， 即． 综上所述，平移后新的二次函数的表达式为． 【变式4-2】（2026·江苏泰州·一模）已知，二次函数（a、b为常数，）的图像过点、． (1)直接填空： ； (2)若二次函数的最大值为，求该函数的表达式； (3)设点、分别在二次函数和的图像上，且．若，且是一个与无关的定值，求a、b的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为直线． ∵点，在该函数的图象上， ∴． ∴． ∴； （2）解：由（1）知， ∴． ∴该函数的表达式为． ∴函数图象的顶点坐标为． ∵函数的最大值为， ∴，且．解得，或（舍去）． ∴该二次函数的表达式为． （3）解：由题意知，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∵是一个与无关的定值， ∴． ∴． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． ∴，． 【变式4-3】（2026·天津南开·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，，）与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），点C为抛物线与y轴的交点． (1)当，，时，直接写出点A，点B，点C的坐标； (2)若点，点，其中，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，点E为中点，点F为抛物线上一点，且轴．点． ①若，且，求a的值和线段的长； ②点M在y轴上，点P在抛物线对称轴上，若以为边的四边形是平行四边形，当取得最大值为时，直接写出此时抛物线的解析式和点P的坐标． 【答案】(1) (2)①，；②， 【详解】（1）解：，，，则， 令，即，解得或， 令，则， ； （2）过作轴，交轴于， 又旋转可知，又， ，又， ， ， ，则， ①，，则， ，，解得， ， 时，，则， ； ②四边形是平行四边形， 且， ，即，， ，又过， ，解得， ， ，点P的横坐标为 又， ，则， 又在对称轴上， ，， 则当共线时，取得最大值为， ，解得， ∴，， 令，则，， ∵， ∴直线的解析式为， ∵点P在直线上，且横坐标为， 当时，， ∴． 1.（2026·安徽滁州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过，两点． (1)____________，____________； (2)求直线的解析式； (3)先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①求出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于，两点，，两点的纵坐标分别为，，设，直接用含的式子表示． 【答案】(1)， (2) (3)①p=4，；② 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ，； （2）当时，， ， 设直线解析式为，则，解得， ； （3）①∵抛物线的顶点与点恰好关于原点对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵作关于x轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到， ∴抛物线解析式的二次项系数为，， ∴抛物线解析式为；             ②∵直线l沿y轴向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， 联立方程组，化简得， ， 又，， 2．（2026·河南安阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)若该抛物线经过点，且与轴交于点，两点，为整数，求抛物线的解析式及点的坐标． (3)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， ∴顶点坐标为． （2）解：把点代入抛物线得，， 解得，， ∵为整数， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴点的坐标为． （3）解：由抛物线得，对称轴， 当时，抛物线开口向上，和都在对称轴右侧，此时y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小， 当时，， （Ⅰ）当对称轴，即时，此时当时，取最小值， ∵对于，，都有， ∴， ∴， 令，当时，， 解得，， ∴或， ∴； （Ⅱ）当对称轴，即时，此时当时，取最小值， ∵对于，，都有， ∴， ∴， 令，当时，， 解得，， ∴或， ∴； ∴； 综上所述，的取值范围为或． 3．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图1所示，掷沙包是一种传统游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，沙包抛出后，在空中的运动轨迹可近似看作一条抛物线，为了精准分析沙包的运动情况，小丽用所学的数学知识设沙包飞行的水平距离为x（单位：米），相对应的飞行高度为y（单位：米），建立平面直角坐标系，并作出平面示意图（如图2），长方形为篮筐截面图，x轴经过篮筐底面中心，并与其一组对边平行．已知篮筐距离原点水平距离米，篮筐截面底边米，高米，现小明站在原点O，将沙包从距离水平地面米高的P处抛出，小丽记录此次沙包运动的抛物线为，观测发现，当沙包飞到离出手点P水平距离2米处时，离地面高度到达最大高度米．（小明及篮筐所在地面在同一平面内，且沙包的形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)求抛物线的表达式； (2)请你判断小明抛出的沙包能否投入篮筐； (3)若篮筐沿x轴正方向水平移动m米，为了让沙包刚好能投入篮筐的中心位置，小明调整出手轨迹为抛物线，且的形状与完全相同、最大高度不变，请直接写出抛物线的表达式．（用含m的式子表示） 【答案】(1) (2)能 (3) 【详解】（1）解：由题意，得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为． ∵抛物线经过点， ． ． ∴抛物线的表达式为，即； （2）解：能， 理由：米，米，米， 当时，； 当时，； 当时，． ∴沙包在飞行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的沙包能投入篮筐； （3）解：根据题意得，篮筐原中心位置坐标为，沿x轴正方向水平移动m米后篮筐新的中心位置坐标为， 的形状与完全相同、最大高度不变， ∴设的表达式为， 将代入得， 解得或． ∵顶点需在出手点与篮筐之间， 不合题意，舍去，则． ∴所求的表达式为． 4．（2026·湖北随州·一模）如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为，点是轴上方抛物线上一点，其横坐标为． (1)求的值； (2)作直线，若，且点是抛物线上另一点，横坐标为，轴交于点，轴交于点，求的值； (3)过点作轴的平行线和垂线，垂线交直线于一点，过这一点再作轴的平行线，直线、、与轴围成一个矩形，这个矩形的周长记为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴交抛物线于另一点，过分别作轴的垂线，轴的平行线交直线于一点，过这一点作轴的垂线，，，与轴围成一个伴随矩形，这个伴随矩形的周长记为，若，求的值 【答案】(1) (2)4 (3)①；② 【详解】（1）解：当时，， ， 点B在上， ， 解得：； （2）解：由题意知：，，，， ，， ； （3）解：由题意知：， ①当时，矩形相邻两边长分别为，，如图2， ， 当且时，矩形相邻两边长分别为m，，如图3，4， ， 综上：； ②． 当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图2， ， ， ，无解， 当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图3， ， ， ，（舍去）， 当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图4， ， ， （舍去）， 综上：m的值为． 5．（2026·河北·二模）在某次无人机表演中，开场表演的两飞机的飞行图象如图所示，指挥机P从点处以的速度匀速向右飞行，表演机Q起飞后始终在指挥机P的正下方．表演机Q从点处起飞，以角沿直线飞行，段共用时，之后沿直线水平飞行，到点C后，在段做抛物线运动，其中C为抛物线顶点，其横坐标，D为表演机最终着陆点，段共用时． (1)求点B的坐标； (2)求段h关于s的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (3)直接写出表演机最终着陆点D的坐标，并求段h关于s的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (4)当P，Q两飞机的距离不大于m时，两飞机会发出避障警报，求本次表演发出避障警报的总时长． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【详解】（1）解：过点B作轴于点E，延长交指挥机的飞行路线于点F，过点A作于点G，如图所示： 则，， 根据题意得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，把，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：∵段共用时， ∴段的水平距离为：， ∴点D的横坐标为，即点D的坐标为； 根据题意得：， 段h关于s的函数表达式为，把代入得： ， 解得：， ∴段h关于s的函数表达式为； （4）解：把代入得： ， 解得：， 把代入得： ， 解得：，（舍去）， ∴本次表演发出避障警报的总时长为： ． 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． （2）解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． （3）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． （4）解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 7．（2026·湖北襄阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，抛物线的顶点为，点为轴下方抛物线上一动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图1，当点在直线下方且在点的右侧时，连接交于点，当时，求的值； (3)将此抛物线平移得到的新抛物线记为，设的顶点为，过点作轴的垂线交直线于点，交于点，设两点间的距离为． ①求关于的函数解析式； ②若点与点关于原抛物线的对称轴对称，连接，当随的增大而减小时，是否存在？若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)①；②存在， 【详解】（1）解：将代入抛物线， 得，， 解得，， 抛物线的解析式为：， ， ； （2）解：令得，， ， 设直线的表达式为：， 将，代入得，， 解得：， 直线的表达式为：， 由题意得，， 点在直线下方且在点的右侧， ， ， ，， 点在直线上， ， 整理得，， 解得，（舍）， ； （3）解：①新抛物线是由抛物线平移得到的，的顶点为， 抛物线的解析式为：， 过点作轴的垂线方程为：， 过点作轴的垂线交直线于点，交于点， ，， ， 点在轴下方， ， ； ②存在， 理由：点与点关于原抛物线的对称轴对称，原抛物线的对称轴为：直线， , ， 当时，，该抛物线开口向上，对称轴为：，此时随的增大而减小， 当时，，该抛物线开口向下，对称轴为：，在范围内随的增大而减小， 当时，，该抛物线开口向上，对称轴为：，此时随的增大而增大， 随的增大而减小， 或， 即， 情况1：当时，方程变为，，解得（舍）； 情况2：当时，方程变为，，解得（舍）； 综上所述，存在满足条件的值，的值为． 8．（2026·湖北荆门·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，当时，求的值； (3)设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 【答案】(1)； (2) (3)①S关于t的函数解析式为②当时，存在个符合条件的点； 当时，存在个符合条件的点； 当时，存在个符合条件的点． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得或， ∴， ∴； （3）解：①令，则， ∴或， ∴， ∴， 当点在的上方时，即，， 过点作于点，如图， 则，， ∴， ∴ ； 当点在的下方时，即，， 过点作于点，如图， 则， ∴ ； 综上，关于的函数解析式为； ②当时，， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴， 当时，， ∴， 画出函数的大致图象如图： 由图象可知：当时，存在个符合条件的点； 当时，存在个符合条件的点； 当时，存在个符合条件的点． 9．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于点和点，其中．抛物线，与轴分别交于点，． (1)点和点的坐标分别为_____； (2)如图1，当点与重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标； (3)如图2，连接，若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），求的取值范围． 【答案】(1)， (2)，顶点坐标 (3) 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，， 解得：， ∴； （2）解：∵当时，， ∴， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴， 当点与重合时，， 解得：， ∴抛物线， 即：顶点为：； （3）解：∵抛物线的表达式为， ∴其顶点坐标是， 当点在抛物线上时，，解得， 令，则， ∴， 设直线的表达式为， 将代入函数解析式可得， 解得：， ∴直线的表达式为， 当点在线段上时， ， 解得， ∵抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界）， ∴的取值范围是． 10．（2026·湖南·一模）我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线 的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（ ） 当时，；（ ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（ ） (2)若，是“同频”拋物线上的点，其中，且，求该抛物线的解析式； (3)“同频”抛物线（且）顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 【答案】(1)①√；②√；③× (2) (3)或 【详解】（1）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， 根据“同频”拋物线可得：，整理得：， ①当时，； ②∵，， ∴； ③由 ， ∴抛物线与轴没有交点， （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为，， ∴， ∵，是“同频”拋物线上的点， ∴， 得： ， ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴ ， ∴该抛物线的解析式为 ； （3）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， ∵抛物线是“同频”拋物线， ∴，整理得：， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， ， 解得：，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴顶点到的距离等于， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； 当时，， ∴ ； 综上可得：代数式的值为或． 11．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴的左右两个交点分别为点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上取点D，使，求点D的坐标； (3)若抛物线：的对称轴与抛物线的对称轴相同，过点C的直线l：交抛物线于点P，问是否存在某种情况，使抛物线与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段的中点？若存在这种情况，请求出a和k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得， ∴； （2）解：令， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 以为直角顶点，为直角边，构造等腰直角三角形，作轴， 则，，， ∴，点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， ∵的对称轴与的对称轴相同， ∴， ∴， ∴； 把代入，得， ∴， 令，整理，得， ∴ ∴中点的横坐标为， 令，整理，得， ∵抛物线与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段的中点， ∴方程有两个相等的实数根为， ∴， 解得或或或， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点05 求二次函数解析式 考点一：二次函数解析式的三种核心形式 一般式：（，为常数） 适用场景：已知抛物线图像上任意三点坐标（无顶点、无交点等特殊条件），是最通用的形式，可转化为其他两种形式。 例1：已知二次函数图像过点、、，求其解析式。 顶点式：（，为抛物线顶点坐标） 适用场景：已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最值，再补充1个普通点坐标，可快速求解，也是图形变换的首选形式。通过配方法可将一般式转化为顶点式，配方法核心是通过配方将二次项和一次项整理为完全平方式，再整理常数项，这是新教材重点要求掌握的技能。 例2：已知抛物线顶点为，且过点，求其解析式，并转化为一般式。 交点式（两根式）：（，为抛物线与x轴交点的横坐标） 适用场景：已知抛物线与x轴的两个交点坐标，再补充1个普通点坐标，简化计算，避免解三元一次方程组。 例3：已知抛物线与x轴交于、，且过点，求其解析式。 考点二：待定系数法 本质：通过设出对应形式的解析式，代入已知点坐标（或隐含条件），列出方程（组），求解系数（或），最终还原解析式。 关键核心：无论哪种形式，必须保证（否则不是二次函数，沦为一次函数），这是新教材中判断二次函数的核心前提，也是解题中易忽略的验证点。 例4：（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 考点三：图形变换求解析式 核心原则：图形变换仅改变抛物线的位置（或开口方向），不改变开口大小，因此的绝对值不变（对称、旋转时的符号可能改变） 例5：把抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位，求平移后的解析式。 例6：求抛物线关于x轴对称的解析式。 题型一：由函数的基本形式求解析式 核心技巧：见顶点设顶点式，见交点设交点式，无特殊点设一般式；代入点时，优先代入（求）、（求交点），简化计算。 1.“三式”优选法：快速确定解析式形式，节省解题时间——三点→一般式；顶点/对称轴/最值→顶点式；x轴两交点→交点式；图形变换→优先顶点式。 2.系数快速求解法：一般式优先代求，再代另外两点解二元一次方程组；顶点式直接代入顶点，再代一点求；交点式直接代入两交点，再代一点求，避免复杂计算。 易错点1：顶点式符号错误（最高频易错） 错例：顶点，设（符号错误）；或顶点，设（符号错误）。 正解：顶点式中，括号内为，即顶点横坐标为、纵坐标为，正确写法为、。 易错点2：交点式符号错误 错例：与x轴交于、，设（符号错误）。 正解：交点式为，则为，则为，正确写法为。 易错点3：忽略（二次函数定义） 错例：解得，仍认为解析式是二次函数（实际为一次函数）。 正解：无论哪种形式，必须保证，若解得，需重新检查点坐标或设式是否正确，这是新教材中判断二次函数的核心前提，也是解题中易忽略的验证点。 【例1】（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）已知二次函数的图象经过点，顶点坐标是，求这个二次函数的表达式． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为，拱桥的最高点B到水面的距离为．求抛物线的表达式． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【变式1-3】（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【变式1-4】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【变式1-5】（25-26九年级上·广西崇左·月考）求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过，，，求函数解析式； (2)抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式 题型二：利用图形变换求二次函数的解析式 核心技巧：平移用“左加右减自变量，上加下减常数项”，优先用顶点式计算；对称、旋转重点关注的符号和顶点坐标的变化，绕顶点旋转180°仅变的符号，顶点不变。 拓展：绕原点旋转180°，顶点和均变号，中考考查较少，可作为补充掌握。 图形变换“口诀+原则”法：平移记“左加右减（x），上加下减（常数）”；对称、旋转记“顶点变，a变号（视情况），开口大小不变”；绕顶点旋转180°仅变a的符号，顶点不变。 易错点1：平移方向混淆 错例：向左平移2个单位，写成（左减右加，混淆口诀）；向上平移3个单位，写成（上加下减混淆）。 正解：“左加右减”仅针对自变量，向左加、向右减；“上加下减”针对常数项，向上加、向下减，与无关。 易错点2：对称变换忘记变的符号 错例：求关于x轴对称的解析式，写成（未变的符号）。 正解：关于x轴、原点对称时，抛物线开口方向反向，因此必须变号；只有关于y轴对称时，开口方向不变，不变，正确解析式为。 易错点3：旋转变换混淆旋转中心 错例：题目要求“绕顶点旋转180°”，却按“绕原点旋转180°”求解，导致顶点坐标错误。 正解：中考绝大多数旋转变换考查“绕顶点旋转180°”，此时顶点坐标不变，仅变号；绕原点旋转需同时改变顶点坐标和的符号，需看清题目要求。 【例2】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知抛物线（m为常数）经过点．将该抛物线向右平移5个单位长度得到新抛物线，求平移后的抛物线的函数表达式． 【变式2-1】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，以点为顶点的抛物线交y轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【变式2-2】（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数，其顶点为，且图象经过． (1)求a，b，c的值： (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 【变式2-4】（2026·山东淄博·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)D为抛物线的顶点，将抛物线沿射线平移一定距离，得到抛物线与直线有且仅有一个交点． ①求抛物线对应的函数表达式； ②若过点的直线交抛物线于、两点，过点、垂直于直线的垂线交直线于两点．证明． 【变式2-5】（2026·辽宁铁岭·二模）我们将任意二次函数的图象关于直线作轴对称翻折，翻折前后的函数图象整体称为“翻折函数”，直线以上部分称为“上翻折函数”，直线以下部分称为“下翻折函数”（“上翻折函数”， “下翻折函数”均包括与直线的交点）．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在x轴负半轴，B在x轴正半轴），与y轴交于C点，且． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2，当时，取其“下翻折函数”， ①求出“下翻折函数”的表达式； ②若点P，Q在“下翻折函数”上，，点Q的横坐标为，且，求的最大值； (3) 在图2的基础上，当时，已知，直线与“上翻折函数”有2个不同交点时，请直接写出k的取值范围． 题型三：几何图形综合型 核心技巧：先根据几何性质求关键点坐标（如等腰三角形两腰相等、直角三角形勾股定理、平行四边形对边平行且相等），再代入设出的解析式求解。 拓展考法：结合面积条件求点坐标，再求解析式，需注意点的坐标符号（x轴上/下、y轴左/右的符号差异），这是中考几何与代数融合的常见考法，也是压轴题的核心考查方向之一。 【例3】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6． (1)直接写出两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式． 【变式3-1】（25-26九年级下·内蒙古赤峰·月考）如图1是正在施工中的校门门洞的截面，该截面为轴对称图形，它是由矩形和抛物线L构成，其中，，过抛物线上的最高点E向作垂线，垂足为F，交于点G，． 施工中需要有关数据，设计师给出以下三种建立平面直角坐标系的方案： ①如图2，以G为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴； ②如图3，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴； ③如图4，以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴． 如果你是建筑的决策者，你会选择哪一个建立平面直角坐标系的方案，并根据你所选的方案完成以下问题： (1)直接写出点D，E的坐标； (2)求该抛物线对应的函数表达式； (3)根据施工需要，在两侧各增加一根立柱，，K，N分别为，的中点，求这3根立柱的总长度． 【变式3-2】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）综合与实践课上，某数学兴趣小组学习了新定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，围绕该定义进行了相关探究． 【探究1】 若抛物线与抛物线能围成“月牙线”． (1)求出抛物线与轴的交点和，的值； (2)请直接写出此时“月牙线”上点的横坐标的取值范围． 【探究2】 图1是某地文旅景区水幕电影景观实物图．为实现美观的笑脸形月牙水幕效果，以水面的喷水口为原点，原点与水柱落点处所在直线为轴，垂直于水面的直线为轴、建立如图2的平面直角坐标系．两条抛物线形喷泉同时从原点喷出、一条抛物线形水柱经过点，另一条抛物线形水柱经过点，同时落在水面一点处．在两条抛物线围成的“月牙线”区域内设计一个面积最大的长方形水幕电影影像（长方形各边分别平行于坐标轴）．为了达到最佳观影效果，要求该水幕电影影像完整呈现在“月牙线”区域内，且竖直高度与水平宽度的比是． (3)求出这两条抛物线的解析式； (4)求该长方形水幕电影影像的长和宽． 【变式3-3】（2026·湖北黄冈·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果点P是抛物线的顶点，求的面积； (3)点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． ①当时，如果该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； ②记矩形的周长为l，当时，直接写出l关于m的函数解析式． 【变式3-4】（2026·吉林四平·模拟预测）抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作y轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为f．求f关于t的函数解析式． 题型四：最值型求解析式 核心技巧：最值即为顶点纵坐标，结合对称轴（或顶点横坐标），设顶点式，再代入1个普通点求；注意的符号：有最小值，有最大值。 拓展：结合直线、定线段求最值相关的解析式，可借助平行线相切、导数几何意义等方法辅助求解（供拓展，贴合新教材延伸要求）。 【例4】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线在第一象限内的一点，连接．设点的横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值． 【变式4-1】（2026·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．此抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点，点与点不重合． (1)抛物线的对称轴为直线_____； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当（为常数）时，的最小值为，求的值； (3)在（2）的条件下，将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式． 【变式4-2】（2026·江苏泰州·一模）已知，二次函数（a、b为常数，）的图像过点、． (1)直接填空： ； (2)若二次函数的最大值为，求该函数的表达式； (3)设点、分别在二次函数和的图像上，且．若，且是一个与无关的定值，求a、b的值． 【变式4-3】（2026·天津南开·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，，）与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），点C为抛物线与y轴的交点． (1)当，，时，直接写出点A，点B，点C的坐标； (2)若点，点，其中，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，点E为中点，点F为抛物线上一点，且轴．点． ①若，且，求a的值和线段的长； ②点M在y轴上，点P在抛物线对称轴上，若以为边的四边形是平行四边形，当取得最大值为时，直接写出此时抛物线的解析式和点P的坐标． 1.（2026·安徽滁州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过，两点． (1)____________，____________； (2)求直线的解析式； (3)先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①求出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于，两点，，两点的纵坐标分别为，，设，直接用含的式子表示． 2．（2026·河南安阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)若该抛物线经过点，且与轴交于点，两点，为整数，求抛物线的解析式及点的坐标． (3)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，直接写出的取值范围． 3．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图1所示，掷沙包是一种传统游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，沙包抛出后，在空中的运动轨迹可近似看作一条抛物线，为了精准分析沙包的运动情况，小丽用所学的数学知识设沙包飞行的水平距离为x（单位：米），相对应的飞行高度为y（单位：米），建立平面直角坐标系，并作出平面示意图（如图2），长方形为篮筐截面图，x轴经过篮筐底面中心，并与其一组对边平行．已知篮筐距离原点水平距离米，篮筐截面底边米，高米，现小明站在原点O，将沙包从距离水平地面米高的P处抛出，小丽记录此次沙包运动的抛物线为，观测发现，当沙包飞到离出手点P水平距离2米处时，离地面高度到达最大高度米．（小明及篮筐所在地面在同一平面内，且沙包的形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)求抛物线的表达式； (2)请你判断小明抛出的沙包能否投入篮筐； (3)若篮筐沿x轴正方向水平移动m米，为了让沙包刚好能投入篮筐的中心位置，小明调整出手轨迹为抛物线，且的形状与完全相同、最大高度不变，请直接写出抛物线的表达式．（用含m的式子表示） 4．（2026·湖北随州·一模）如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为，点是轴上方抛物线上一点，其横坐标为． (1)求的值； (2)作直线，若，且点是抛物线上另一点，横坐标为，轴交于点，轴交于点，求的值； (3)过点作轴的平行线和垂线，垂线交直线于一点，过这一点再作轴的平行线，直线、、与轴围成一个矩形，这个矩形的周长记为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴交抛物线于另一点，过分别作轴的垂线，轴的平行线交直线于一点，过这一点作轴的垂线，，，与轴围成一个伴随矩形，这个伴随矩形的周长记为，若，求的值 5．（2026·河北·二模）在某次无人机表演中，开场表演的两飞机的飞行图象如图所示，指挥机P从点处以的速度匀速向右飞行，表演机Q起飞后始终在指挥机P的正下方．表演机Q从点处起飞，以角沿直线飞行，段共用时，之后沿直线水平飞行，到点C后，在段做抛物线运动，其中C为抛物线顶点，其横坐标，D为表演机最终着陆点，段共用时． (1)求点B的坐标； (2)求段h关于s的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (3)直接写出表演机最终着陆点D的坐标，并求段h关于s的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (4)当P，Q两飞机的距离不大于m时，两飞机会发出避障警报，求本次表演发出避障警报的总时长． 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 7．（2026·湖北襄阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，抛物线的顶点为，点为轴下方抛物线上一动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图1，当点在直线下方且在点的右侧时，连接交于点，当时，求的值； (3)将此抛物线平移得到的新抛物线记为，设的顶点为，过点作轴的垂线交直线于点，交于点，设两点间的距离为． ①求关于的函数解析式； ②若点与点关于原抛物线的对称轴对称，连接，当随的增大而减小时，是否存在？若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由． 8．（2026·湖北荆门·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，当时，求的值； (3)设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 9．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于点和点，其中．抛物线，与轴分别交于点，． (1)点和点的坐标分别为_____； (2)如图1，当点与重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标； (3)如图2，连接，若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），求的取值范围． 10．（2026·湖南·一模）我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线 的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（ ） 当时，；（ ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（ ） (2)若，是“同频”拋物线上的点，其中，且，求该抛物线的解析式； (3)“同频”抛物线（且）顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 11．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴的左右两个交点分别为点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上取点D，使，求点D的坐标； (3)若抛物线：的对称轴与抛物线的对称轴相同，过点C的直线l：交抛物线于点P，问是否存在某种情况，使抛物线与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段的中点？若存在这种情况，请求出a和k的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $