专题02 绝对值综合题（8题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以8大题型为框架，融合“三步解题法”“零点分段法”等12种解题模型，构建从概念到压轴题的递进式训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |绝对值非负性求值|3典例+3变式|非负数和为0→各项为0|从绝对值定义到代数式求值| |数轴位置型化简|1典例+3变式|定符号→去绝对值→化最简|结合数轴直观发展几何直观| |零点分段法化简|1典例+3变式|求零点→排区间→判正负→分化简|多绝对值问题分类讨论推理| |绝对值方程求解|2典例+3变式|基础模型+分类讨论|从代数定义到几何意义应用| |几何意义求最值|3典例+4变式|三大距离模型直接套用|距离公式与最值问题建模| |代数式范围综合|3典例+4变式|分类讨论+验根|绝对值性质与代数运算融合| |新定义创新题|2典例+5变式|抽象新定义转化为距离问题|发展数学抽象与应用意识| |数轴动点压轴|3典例+5变式|设参→列式→求解→验根|综合绝对值与动态问题推理|

专题02 绝对值综合题（8题型突破·举一反三） 题型01 绝对值非负性求值（月考选择填空必考） 题型02 数轴位置型绝对值化简（期中高频解答题） 题型03 零点分段法化简多绝对值（中档核心难点） 题型04 绝对值方程求解（期中必考分类讨论） 题型05 绝对值几何意义求最值（期末培优重点） 题型06 绝对值与代数式范围综合（高频易错题） 题型07 绝对值新定义阅读创新题（期中特色题型） 题型08 压轴专题——绝对值+数轴动点（期末大题压轴） ▌题型01 绝对值非负性求值（月考选择填空必考） 任意有理数的绝对值恒大于等于0，即。 核心结论：若若干个非负数的和为0，则每一个非负数必须单独为0。 常见组合：、，均满足。 非负数和为0 → 各项均为0 → 联立方程求字母 → 代入代数式计算。 【典例1-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，，且，则（   ） A．3 B．7 C． D．3或7 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，； 当时，； 故选：D． 【典例1-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）若，则的值为 ___ 【答案】16 【详解】解：∵， 、， ∴ 且 ， ∴，． ∴． 故答案为：16． 【典例1-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）若与互为相反数，则______． 【答案】 【详解】解：由题意得：． ∵，， 所以且， 解得：，， 则， 所以． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·期中）若 与 互为相反数，则的值为（   ） A．23 B．27 C．8 D．24 【答案】B 【详解】解：∵ 与 互为相反数， ∴， ∵且， ∴ 且 解得 ，， 故， 故选：B． 【变式1-2】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）若x，y满足，则的值是（   ） A．1 B． C．2025 D． 【答案】B 【详解】解： x，y满足， ，， ，， ，， ， 故选：B． 【变式1-3】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． ▌题型02 数轴位置型绝对值化简（期中高频解答题） 速记口诀：正数是本身，负数是相反数，0的绝对值是0 关键提醒：此处不代表负数，仅表示的相反数，正负由的取值决定。 三步解题法 1. 定符号：根据数轴大小关系，判断每个绝对值内式子的正负； 2. 去绝对值：依据代数定义去掉绝对值符号； 3. 化最简：去括号、合并同类项，得出最终结果。 【典例2】（25-26七年级下·上海宝山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【答案】 【详解】解：根据在数轴上的位置得：且， ∴，，， ∴ 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）有理数在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空： ______，_______， ______； (2)计算：． 【详解】（1）解：∵表示数的点、数的点在原点两侧，且与原点的距离相等， ∴数与数互为相反数， ∴， 又由数轴可得，，， ∴，， 故答案为：，，； （2）解：由数轴可知，， ∴， 又∵， ∴． 【变式2-2】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“＜”，“＝”，“＞”填空：_____，_____，_____，_____0； (2)化简：． 【详解】（1）解：观察数轴，得，， ∴，，， ∵ ∴， ∴， （2）解： ． 【变式2-3】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，互为相反数，，互为倒数，有理数在数轴上对应的点到原点的距离等于，求的值． 【详解】（1）解：由数轴得，，，， ∴； （2）解：∵ ，互为相反数，，互为倒数，有理数在数轴上对应的点到原点的距离等于， ∴，，， ∴当，，时，， 当，，时，， ∴的值为或． ▌题型03 零点分段法化简多绝对值（中档核心难点） 四步标准流程 1. 求零点：令每个绝对值内代数式=0，求出未知数的零点； 2. 排区间：将零点从小到大排序，分割出互不重叠的数轴区间； 3. 判正负：在每个区间内，判断绝对值内式子的正负； 4. 分化简：逐段去绝对值化简，汇总所有区间结果。 【典例3】（25-26七年级上·云南昆明·期中）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③． 从而化简代数式可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简时，先确定零点值分别为___________和___________． (2)仿照上面的做法，化简． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：； （2）解：由题意， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 综上，． 【变式3-1】（23-24七年级上·广西梧州·期中）综合与实践： 【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程． 【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下： 解：令和，分别求得，． ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式． 【问题解决】通过以上探究，解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式． 【详解】（1）解：令， 解得：，， ∴和的零点值为，4； （2）解：令， 解得：，， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，原式． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时，； 当时，；     当时，； 综上，． 【变式3-3】（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是 ； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 【详解】（1）解：令，解得， 因此的零点值是． （2）解：令和， 解得和． 这两个值将实数轴分为三个区间：． 当时，， 原式． 当时，， 原式． 当时，， 原式． （3）解：令，解得．因此分成四个区间：． 当时，， 原式． 当时，，但， 原式． 当时，， 原式． 当时，此时所有表达式非负， 原式． ▌题型04 绝对值方程求解（期中必考分类讨论） 基础模型解题规则 针对一元一次绝对值方程 ： 1. ：方程有两个不相等的解， 或 ； 2. ：方程有唯一解，； 3. ：方程无解（绝对值恒非负，无法等于负数）。 进阶典例（多绝对值方程） 解方程： 解：零点为，分三段讨论： ① 当时，原式，解得（符合区间范围，有效） ② 当时，原式，方程无解 ③ 当时，原式，解得（符合区间范围，有效） 综上，方程的解为或。 【典例4-1】（25-26七年级上·全国·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______． 【答案】0或 【详解】解：方程为， 绝对值零点为和，将数轴分为三个区间讨论： 当时，，，方程化为， 整理得，解得，不符合题意，舍去； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 故方程为或． 从形的角度，设数轴上点P对应x，点A对应，点B对应，，即点到点距离的2倍， ∴方程的几何意义为：， 当时，方程为，解得(舍去)； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 故答案为：0或． 【典例4-2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴或， 即或， ∴或； （3）解：∵表示到和的距离和，且与在数轴上的距离为， ∴在到之间（含和）． ∴符合条件的整数为：，，，，，． 【变式4-1】（24-25七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的序号是_______． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 【答案】②③④ 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴a、b、c两个为正一个为负， 当a、b、c两个为正一个为负时，不防设， ∴； 综上，则的值为，即①错误； ②∵， ∴都加2023得：，即， ∴最小的数是w，最大的数是z，即②正确； ③适合的整数x，为范围内的整数，即，共7个，即③正确； ④当时， ∴a、b异号， 又∵，     ∴负数的绝对值大于正数得绝对值， 又∵， ∴， ∴， 根据， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 【变式4-2】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； 故答案为：，； （2）解：表示数轴上有理数x所对应的点到3所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； 故答案为：，． （3）解：表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 【变式4-3】（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7； 一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为； 运用： (1)若，则a的值为________； (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则________． (3)若代数式，求a的值． 【详解】（1）解：表示数轴上a与2的距离为3， ∴这样的a值为或5， 故答案为：或5； （2）解：∵数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴ ， 故答案为：； （3）解：， 当时， ， 解得：； 当时， ，不符合题意； 当时， ， 解得：； 综上：a的值为或7． ▌题型05 绝对值几何意义求最值（期末培优重点） 的几何意义：数轴上表示数的点与数的点之间的线段距离。 通用距离公式：数轴上任意两点、，两点距离 （距离恒为非负数）。 三大万能固定模型（直接套用，无需推导） 模型1：两绝对值和 最小值：，取等条件：，无最大值。 模型2：三绝对值和 最小值：，取等条件：（取中间零点）。 模型3：两绝对值差 最大值：，最小值：。 【典例5-1】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知有理数满足，则的最大值是_____． 【答案】4 【详解】解：， 表示求到的距离的和， 的最小值为， ，， 表示求到的距离之和， 的最小值为， ， 的最小值为10， ， 当时，的最大值为， 故答案为：4． 【典例5-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：，或． （2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， 当点在点和点之间时取得最小值， 的最小值是， ∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和， 当点在中间点处时取得最小值， ∴当时,的最小值是． 故答案为：，，． （3）解：，共个数，中间两个数为和， 根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 当时， ， ∴的最小值为． 【典例5-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 【详解】（1）解：， 或， 或1． 故答案为：5或1． （2）解：表示数轴上到与到8的距离之和， 当在与8之间时，取最小值，最小值为； 表示数轴上到、到2与到的距离之和， 当时，，此时和最小． 故答案为：11；5． （3）解：以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，如图， 设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元， ， 当时，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（元），取得最小值， 物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元． 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________． 【答案】5或9 【详解】解：由，， ∴b是a和c的中点，，， 由，得 ，即， 设x表示点E的数， 当时，点D在点A的右侧时(思路相同)， 有， ①当点E在点A的左侧时，如图 ， ②当点E在点C的右侧时，如图 ， ③当点E在点C上时，如图 ， ④当点E在点A上时，如图 ， ⑤当点E在之间时，如图 ， ⑥当点E在之间时，如图 ⑦当点E在之间（包括点C，D）时，如图 ， ∴的最小值为5． 当点D在点A的左侧时，同理可得， 当点E在之间时，取得最小值，如图 ∴． 综上所述，的最小值为5或9． 【变式5-2】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， 在数轴上标记x所在的位置如图所示： （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 【变式5-3】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是_____； ②的最小值为______； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【详解】（1）解：表示与3的差的绝对值，可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：，3； （2）解：①可理解为在数轴上对应的点分别到3和所对应的点的距离之和，3和之间的距离为， 当时，的最小， 则的最小值是5； 故答案为：5； ②表示在数轴上x对应的点分别与、、在数轴上所对应的点之间的距离之和， 当时，最小，在这个范围内，当时，最小，此时最小， ∴的最小值是8； 故答案为：8； （3）解：以市民广场O为原点，A、B、C分别为、1、3建立数轴，设实验室P对应的数字为x， ∴总运输和包装成本为， 由（2）知当时，总成本能取到最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时，最小，即当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是20元/千份． 【变式5-4】（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． ▌题型06 绝对值与代数式范围综合（高频易错题） 已知两个数的绝对值，结合两数大小、正负、相反数等限制条件，求解代数式的值，核心易错点为未分类讨论、漏解、未验根。 【典例6-1】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）已知且． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：且， ，， ， ，， 当时，； 当时，； （2）解：， ，或，， 当，时， ； 当，时， ， 的值为6或． 【典例6-2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知、互为相反数，、互为倒数，的倒数是它本身， (1)直接写出、、的值． (2)求的值． 【详解】（1）解：∵、互为相反数，、互为倒数，的倒数是它本身， ∴，，或． （2）解：把，，代入可得： ； 把，，代入可得： ． 综上，的值为或． 【典例6-3】（25-26七年级上·北京通州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数，满足，同号，求的值． 【解决问题】 解：由、同号且都不为可知、有两种可能：①、都是正数：②、都是负数． ①若、都是正数，即，，有及，则； ②若、都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，则_____． (2)两个不为0的有理数，满足，求的值． (3)若，则_____． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，， 故答案为或； （2）解：∵， ∴异号， ∵当时，， 当时，， ∴； （3）解：∵， ∴三个数皆为正或一正两负， 当三个数皆为正时， 当三个数一正两负时， ∴或. 【变式6-1】（25-26七年级上·贵州安顺·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． （2）由|可知，即，找出满足条件的和组合，再计算的值。 【详解】（1），， 或，或； ， 当，时，； 当，时，； （2）， ，即， 当，时，，成立，； 当，，，成立，． 的值为或． 【变式6-2】（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）（1）已知两个有理数满足且，求的值． （2）若a ，b互为相反数，且， c，d互为倒数，，求的值． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （2）∵a ，b互为相反数，且， c，d互为倒数，， ∴，，， ∴，， ． 【变式6-3】（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． 【变式6-4】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)__________，__________； (2)__________（），__________（其中，）． (3)若，试求的所有可能的值． 【详解】（1）解：，， 故答案为：． （2）解：当时，， 当时，， 当，时，， 当，时，， 故，的值为或． （3）解：①当，，时，， ②当中有一个字母小于时，， ③当中有两个字母小于时，， ④当三个字母都小于时，， 综上所述，的所有可能的值． ▌题型07 绝对值新定义阅读创新题（期中特色题型） 题干自定义“相伴点”“折线数轴”“绝对距离”等陌生概念，题型新颖、文字量大，但核心考点仍为绝对值几何意义与距离公式。 【典例7-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）规定，，例如，，下列结论正确的是（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9 A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】C 【详解】解：结论（1）：由得，因绝对值非负，故，，代入，故结论成立； 结论（2）：当时，，而，二者不等，故结论不成立； 结论（3）：由得，解得时（另一解矛盾），存在，满足，故结论不成立； 结论（4）：，分三段讨论：当时为；当时为；当时为，则最小值为，故结论成立； 故选：C． 【典例7-2】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是_____________ ①若，则；②；③若a，b异号，则或； ④对于任意有理数，总有； 【答案】①③ 【详解】解：对于结论①：若，则． 由于绝对值非负性，故且， 即且， 解得， 因此结论①正确． 对于结论②：． 当时，，因此结论②错误． 对于结论③：若 a，b 异号． 当时，； 当时，； 当时，． 因此或， 综上，结论③正确． 对于结论④：取， 则， 而，两者不相等，因此结论④错误． 故答案为：①③． 【变式7-1】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）规定：，例如：，，下列结论：（1）能使成立的的值为1和；（2）若，则； （3）若，则；（4）式子的最小值是2． 其中正确的是（    ） A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】B 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或，故（1）正确； ∵，，， ∴，， ∴ ，故（2）正确； ∵， ∴， ∴且， 解得：，， ∴，故（3）正确； ∵， ∴表示数轴上表示x的点到表示和表示3的点的距离的和， ∵时，数轴上表示x的点到表示和表示3的点的距离的和最小， ∴的最小值为，故（4）错误， 综上所述：正确的结论有（1）（2）（3）， 故选：B． 【变式7-2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义：表示有理数到离它最近的整数的距离，如，，． ①__________，②若，则有_________种可能的值． 【答案】 【详解】解：①或， 故答案为：； ②设，相当于，则 设的小数部分为， 当时，，此时， ∴或或或 解得：或或或或或或 当时，， ∴或或或 解得：或（舍去）或或或或或（舍去） 则或或或 综上所述，可能为，共种可能的值． 故答案为：． 【变式7-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为____________；的最小值为______________．（用含的式子表示） 【答案】 1 【详解】解：和关于1的“单位数”， ， 当都小于等于1时，可得， 可得， 当都大于1时，可得， 可得， 当时，由于， 可得，此时和都取最小值时，相加最小，值为， 同理当时，相加最小值为1， 故有最小值1； 由题意可知：， 同理可得的最小值为3； 同理可得的最小值为7， 同理可得的最小值； 同理可得的最小值； ； 同理可得的最小值； 的最小值：． 故答案为：1；． 【变式7-4】（24-25七年级上·北京丰台·期末）给出一种数的表示方法：设数，其中的值只能取0或1，则称数a为n位本原数．例如，当时，2位本原数a可以表示为四个数．现定义两个n位本原数的加法运算：设，那么有． （1）若，则_______； （2）若d，e均是3位本原数，设，且，则3位本原数_______． 【答案】 或 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：． （2）设，其中、、为或，即、、均不大于， ∵， ∴ ， ∴， 则，，或， ∴或． 故答案为：或 ． 【变式7-5】（2025七年级上·全国·专题练习）定义一种新运算“”，对任意两数x，y，当时，；当时，． (1)当时， 求的值； (2)当 时，求的值； (3)当时， 求y的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：∵， 当， 即时，， ∴或， ∴或，   当， 即时，， ∴或， ∴ (舍去) 或，   ∴y的值为或或3． ▌题型08 压轴专题——绝对值+数轴动点（期末大题压轴） 通用建模解题四步法（满分标准） 1. 设参：设运动时间为秒，用含的式子表示所有动点对应的数； 2. 列式：用绝对值公式表示两点运动后的距离； 3. 求解：根据题干等量关系列绝对值方程，分类讨论求解； 4. 验根：舍去不符合实际意义的解（时间、位置不合理的解）。 【典例8-1】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，两点在数轴上分别表示有理数，且，点O为原点，点C在数轴上两点之间，且． (1)直接写出__________，__________，点C所对应的数是__________； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点O为原点，点C在数轴上O、B两点之间，且， ∴点C所对应的数是2， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 经过秒，点P与点Q表示的数分别是和， ∴， 解得或． 【典例8-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足． (1)______；______； (2)动点，分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度． ①运动几秒时，点与点距离个单位长度； ②动点，分别从点，点出发的同时，动点也从原点出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，设运动时间为秒，请问，是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：①当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得：或， 答：运动秒或秒时，点与点距离个单位长度； ②存在，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，，， ， 时，， 当时，为定值． 答：存在，的值为，这个定值为． 【典例8-3】（25-26七年级上·江西赣州·期中）已知：b是最小的正整数；且a、b满足，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值： ； ； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A，B，C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，回答下列问题： ①经过1秒后，求出点A与点C之间的距离． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【详解】（1）解：由b是最小的正整数，可得， ∵，且， ∴， ∴； 故答案为；1；4； （2）解：①由题意得：经过1秒后，点A表示的数为；点C表示的数为； ∴点A与点C之间的距离； ②的值不会随着时间t的变化而改变，理由如下： 由题意得：t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为； ∴，， ∴． 【变式8-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．点P和点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向右运动；设运动时间为t秒． (1)，两点对应的数分别为______，______，，两点的距离为______； (2)点运动2秒后，与原点O的距离为______个单位长度； (3)①用含t的式子分别表示P、Q两点表示的数：P是__________；Q是____________； ②求出P、Q同时向右运动几秒时，点与点表示的数互为相反数； (4)请直接写出运动几秒后，点与点两点相距3个单位长度． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 则，两点的距离为， 故答案为：，3，9； （2）解：由题意知，点运动2秒后， 则与原点O的距离为0个单位长度， 故答案为：0； （3）解：①因为点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动， 所以点P表示的数是； 因为点Q从点B同时出发，以1个单位/秒的速度向右运动， 所以点Q表示的数， 故答案为：，； ②点与点表示的数互为相反数，则， 解得； （4）解：当点在点前面，则，解得； 当点在点后面，则，解得； 则运动3秒或6秒后，点与点两点相距3个单位长度． 【变式8-2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)写出数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点P表示的数为 （用含t的式子表示）； (2)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？ (3)在（2）的前提下，式子的值不随时间t的变化而变化，求m的值． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点A表示的数为，点B表示的数为12，点P表示的数为， 故答案为：，12，． （2）解：， 由点P、Q两点到点A的距离相等，得， ， 解得：或8； （3）点Q表示的数为，点M表示的数为． 则，， ， ∵式子的值不随时间t的变化而变化， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上点表示数，点表示数，且、满足． (1)______，______； (2)线段在直线上运动，且点在点的右边，长为个单位长度，、分别是、的中点，判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果有变化，请说明理由； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，点运动多少秒时，、两点相距个单位长度？ 【详解】（1）解：， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：的长度不发生变化，理由如下： 设表示的数为，则表示的数为， 表示的数为，表示的数为，、分别是、的中点， 表示的数为，表示的数为， ； 的长度不发生变化，其值为11； （3）解：设点运动秒时，、两点相距个单位长度， 根据题意得，表示的数为，表示的数为， ， 即或， 解得或， 点运动秒或秒时，、两点相距个单位长度． 【变式8-4】（25-26七年级上·全国·期末）已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：，且， ，且， 解得， 故答案为：； （2）解：①如图所示： 是线段的中点，是线段的中点， ，， ， ； ②是定值；理由如下： 点与点重合时，如图所示： 由①知，， 点是线段的中点， ， ，， 将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示： 令点表示的数为， 点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，线段以个单位长度/秒的速度向左运动， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点与点相遇秒后与点相遇， 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； ， 解得， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， 在整个运动过程中，，， 则， 即在整个运动过程中，为定值． 【变式8-5】（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则 ， ． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值． 【详解】（1）解：已知， ， ， ． 故答案为：10，18； （2）解：由（1）可知，， 设运动时间为t秒， 则， ， ∴的值不会随着时间t的变化而改变，为； （3）解：由（1）可知，，，， ， 设点P运动的路程为y， 当时，，此时点P表示的数为， 当时，，此时点P表示的数为， 设点Q运动的路程为， 当时，，此时点Q表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位， 即， 情况1：，，， 则，即， ∴或， 解得，（舍去）； 情况2：，，， 则，即， 解得或， 即（符合），（舍去）； 情况3：，，， 则，即， 解得或， 即（舍去），（舍去）； 情况4：，，， 则，即， ∴或，即（舍去），（符合）， 综上，当，15时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 绝对值综合题（8题型突破·举一反三） 题型01 绝对值非负性求值（月考选择填空必考） 题型02 数轴位置型绝对值化简（期中高频解答题） 题型03 零点分段法化简多绝对值（中档核心难点） 题型04 绝对值方程求解（期中必考分类讨论） 题型05 绝对值几何意义求最值（期末培优重点） 题型06 绝对值与代数式范围综合（高频易错题） 题型07 绝对值新定义阅读创新题（期中特色题型） 题型08 压轴专题——绝对值+数轴动点（期末大题压轴） ▌题型01 绝对值非负性求值（月考选择填空必考） 任意有理数的绝对值恒大于等于0，即。 核心结论：若若干个非负数的和为0，则每一个非负数必须单独为0。 常见组合：、，均满足。 非负数和为0 → 各项均为0 → 联立方程求字母 → 代入代数式计算。 【典例1-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，，且，则（   ） A．3 B．7 C． D．3或7 【典例1-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）若，则的值为 ___ 【典例1-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）若与互为相反数，则______． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·期中）若 与 互为相反数，则的值为（   ） A．23 B．27 C．8 D．24 【变式1-2】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）若x，y满足，则的值是（   ） A．1 B． C．2025 D． 【变式1-3】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． ▌题型02 数轴位置型绝对值化简（期中高频解答题） 速记口诀：正数是本身，负数是相反数，0的绝对值是0 关键提醒：此处不代表负数，仅表示的相反数，正负由的取值决定。 三步解题法 1. 定符号：根据数轴大小关系，判断每个绝对值内式子的正负； 2. 去绝对值：依据代数定义去掉绝对值符号； 3. 化最简：去括号、合并同类项，得出最终结果。 【典例2】（25-26七年级下·上海宝山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）有理数在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空： ______，_______， ______； (2)计算：． 【变式2-2】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“＜”，“＝”，“＞”填空：_____，_____，_____，_____0； (2)化简：． 【变式2-3】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，互为相反数，，互为倒数，有理数在数轴上对应的点到原点的距离等于，求的值． ▌题型03 零点分段法化简多绝对值（中档核心难点） 四步标准流程 1. 求零点：令每个绝对值内代数式=0，求出未知数的零点； 2. 排区间：将零点从小到大排序，分割出互不重叠的数轴区间； 3. 判正负：在每个区间内，判断绝对值内式子的正负； 4. 分化简：逐段去绝对值化简，汇总所有区间结果。 【典例3】（25-26七年级上·云南昆明·期中）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③． 从而化简代数式可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简时，先确定零点值分别为___________和___________． (2)仿照上面的做法，化简． 【变式3-1】（23-24七年级上·广西梧州·期中）综合与实践： 【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程． 【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下： 解：令和，分别求得，． ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式． 【问题解决】通过以上探究，解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【变式3-3】（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是 ； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 ▌题型04 绝对值方程求解（期中必考分类讨论） 基础模型解题规则 针对一元一次绝对值方程 ： 1. ：方程有两个不相等的解， 或 ； 2. ：方程有唯一解，； 3. ：方程无解（绝对值恒非负，无法等于负数）。 进阶典例（多绝对值方程） 解方程： 解：零点为，分三段讨论： ① 当时，原式，解得（符合区间范围，有效） ② 当时，原式，方程无解 ③ 当时，原式，解得（符合区间范围，有效） 综上，方程的解为或。 【典例4-1】（25-26七年级上·全国·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______． 【典例4-2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【变式4-1】（24-25七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的序号是_______． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 【变式4-2】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 【变式4-3】（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7； 一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为； 运用： (1)若，则a的值为________； (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则________． (3)若代数式，求a的值． ▌题型05 绝对值几何意义求最值（期末培优重点） 的几何意义：数轴上表示数的点与数的点之间的线段距离。 通用距离公式：数轴上任意两点、，两点距离 （距离恒为非负数）。 三大万能固定模型（直接套用，无需推导） 模型1：两绝对值和 最小值：，取等条件：，无最大值。 模型2：三绝对值和 最小值：，取等条件：（取中间零点）。 模型3：两绝对值差 最大值：，最小值：。 【典例5-1】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知有理数满足，则的最大值是_____． 【典例5-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【典例5-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________． 【变式5-2】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是_____； ②的最小值为______； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【变式5-4】（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3） 某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ ▌题型06 绝对值与代数式范围综合（高频易错题） 已知两个数的绝对值，结合两数大小、正负、相反数等限制条件，求解代数式的值，核心易错点为未分类讨论、漏解、未验根。 【典例6-1】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）已知且． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【典例6-2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知、互为相反数，、互为倒数，的倒数是它本身， (1)直接写出、、的值． (2)求的值． 【典例6-3】（25-26七年级上·北京通州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数，满足，同号，求的值． 【解决问题】 解：由、同号且都不为可知、有两种可能：①、都是正数：②、都是负数． ①若、都是正数，即，，有及，则； ②若、都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，则_____． (2)两个不为0的有理数，满足，求的值． (3)若，则_____． 【变式6-1】（25-26七年级上·贵州安顺·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式6-2】（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）（1）已知两个有理数满足且，求的值． （2）若a ，b互为相反数，且， c，d互为倒数，，求的值． 【变式6-3】（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【变式6-4】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)__________，__________； (2)__________（），__________（其中，）． (3)若，试求的所有可能的值． ▌题型07 绝对值新定义阅读创新题（期中特色题型） 题干自定义“相伴点”“折线数轴”“绝对距离”等陌生概念，题型新颖、文字量大，但核心考点仍为绝对值几何意义与距离公式。 【典例7-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）规定，，例如，，下列结论正确的是（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9 A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（4） D．（1）（3）（4） 【典例7-2】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是_____________ ①若，则；②；③若a，b异号，则或； ④对于任意有理数，总有； 【变式7-1】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）规定：，例如：，，下列结论：（1）能使成立的的值为1和；（2）若，则； （3）若，则；（4）式子的最小值是2． 其中正确的是（    ） A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 【变式7-2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义：表示有理数到离它最近的整数的距离，如，，． ①__________，②若，则有_________种可能的值． 【变式7-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为____________；的最小值为______________．（用含的式子表示） 【变式7-4】（24-25七年级上·北京丰台·期末）给出一种数的表示方法：设数，其中的值只能取0或1，则称数a为n位本原数．例如，当时，2位本原数a可以表示为四个数．现定义两个n位本原数的加法运算：设，那么有． （1）若，则_______； （2）若d，e均是3位本原数，设，且，则3位本原数_______． 【变式7-5】（2025七年级上·全国·专题练习）定义一种新运算“”，对任意两数x，y，当时，；当时，． (1)当时， 求的值； (2)当 时，求的值； (3)当时， 求y的值． ▌题型08 压轴专题——绝对值+数轴动点（期末大题压轴） 通用建模解题四步法（满分标准） 1. 设参：设运动时间为秒，用含的式子表示所有动点对应的数； 2. 列式：用绝对值公式表示两点运动后的距离； 3. 求解：根据题干等量关系列绝对值方程，分类讨论求解； 4. 验根：舍去不符合实际意义的解（时间、位置不合理的解）。 【典例8-1】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，两点在数轴上分别表示有理数，且，点O为原点，点C在数轴上两点之间，且． (1)直接写出__________，__________，点C所对应的数是__________； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值； 【典例8-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足． (1)______；______； (2)动点，分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度． ①运动几秒时，点与点距离个单位长度； ②动点，分别从点，点出发的同时，动点也从原点出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，设运动时间为秒，请问，是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值． 【典例8-3】（25-26七年级上·江西赣州·期中）已知：b是最小的正整数；且a、b满足，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值： ； ； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A，B，C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，回答下列问题： ①经过1秒后，求出点A与点C之间的距离． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【变式8-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．点P和点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向右运动；设运动时间为t秒． (1)，两点对应的数分别为______，______，，两点的距离为______； (2)点运动2秒后，与原点O的距离为______个单位长度； (3)①用含t的式子分别表示P、Q两点表示的数：P是__________；Q是____________； ②求出P、Q同时向右运动几秒时，点与点表示的数互为相反数； (4)请直接写出运动几秒后，点与点两点相距3个单位长度． 【变式8-2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)写出数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点P表示的数为 （用含t的式子表示）； (2)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？ (3)在（2）的前提下，式子的值不随时间t的变化而变化，求m的值． 【变式8-3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上点表示数，点表示数，且、满足． (1)______，______； (2)线段在直线上运动，且点在点的右边，长为个单位长度，、分别是、的中点，判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果有变化，请说明理由； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，点运动多少秒时，、两点相距个单位长度？ 【变式8-4】（25-26七年级上·全国·期末）已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式8-5】（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则 ， ． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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