第1章 集合（复习讲义）数学苏教版必修第一册

该高中数学集合单元复习讲义通过表格系统梳理复习要点与重难点，将集合的含义与表示、基本关系、运算及常用二级结论分点呈现，结合要点速测题强化基础认知，构建“概念-关系-运算-应用”的递进知识脉络，清晰呈现元素性质、子集关系等核心内容的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与核心素养培养，如“由子集关系求参数”题型通过典例与变式训练数学运算素养，“韦恩图应用”题结合容斥原理培养直观想象能力。基础达标与能力进阶练习满足不同学生需求，难点解析提供含参问题、创新题型的解题策略，助力教师实施精准教学，学生提升自主复习效率。

第1章 集合 复习要点 1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能用Venn图表达集合间的基本关系，从而提升学生的数学抽象与直观想象素养. 2.能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法与描述法）刻画不同的数学对象，初步感受集合语言的准确与简洁. 3.理解两个集合的并集与交集的含义，理解在给定集合中的一个子集的补集含义，能求两个集合的并集、交集与求给定子集的补集，从而提升学生的数学运算素养. 复习重难点 重点：元素的性质、子集关系、交并补运算 难点：空集分类、含参集合、描述法辨析、新定义题型 知识点 集合的含义与表示 1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性． 2、元素与集合的关系：，； 3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. 4、常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 要点速测 1．（多选题）下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 知识点 集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 要点速测 2．（2026·高二·江西抚州·期末）设集合，，若，则______． 知识点 集合的基本运算 1、①并集：； ②交集：； ③补集：． ④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 2、运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 要点速测 3．（2026·高一·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点 常用二级结论 （1）若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为，所有非空子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是． （2）包含关系的各种等价表示：①；②；③；④；⑤． （3）容斥原理 ． 要点速测 4．（2026·高一·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 题型一：集合的概念与表示 【典例1】下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【变式1-1】（2026·高一·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【变式1-2】（2026·高一·青海海东·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（第一章集合与常用逻辑用语（单元自测，全国通用人教A版）数学初升高衔接）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二：集合间的基本关系 【典例2】已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【变式2-1】（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三：集合的交并补运算 【典例3】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知全集，，求： (1)； (2). 【变式3-1】（2026·高一·河北唐山·期中）设是小于9的正整数，．求： (1) (2) (3) (4) (5) 【变式3-2】（2026·高一·广西河池·期中）已知集合，集合，求. 【变式3-3】（2026·高一·山东济南·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 题型四：由子集关系求参数 【典例4】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【变式4-1】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【变式4-2】（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2026·高一必修第一册）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【变式4-3】已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 题型五：子集与真子集个数 【典例5】已知集合满足，求集合及其个数． 【变式5-1】（第一章集合（压轴题专练）-速记�巧练（苏教版2019必修第一册））已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【变式5-2】（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【变式5-3】（2026·高一·北京延庆·阶段检测）已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 题型六：韦恩图应用 【典例6】（2026·高一·四川成都·期中）在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： (1)（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； (2)用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 【变式6-1】（2026·高一·新疆阿克苏·阶段检测）已知全集 (1)求集合； (2)若集合，求. 【变式6-2】学校举办了排球赛，高一（1）班45名同学中有12名同学参赛.后来又举办了田径赛，班上有20名同学参赛.已知两项都参赛的有6名同学.两项比赛中，高一（1）班共有多少名同学没有参加过比赛？ 【变式6-3】（2026·高三·广西钦州·开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 题型七：由集合运算求参数 【典例7】（2026·高二·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【变式7-1】（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）设集合. (1)若，求； (2)是否存在实数，使得，若存在，求实数的取值范围，否则说明理由. 【变式7-2】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【变式7-3】（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 难点一 与集合有关的参数问题 解决与集合有关的参数问题的对策 （1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． （2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． （3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． （4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值． （5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答． 难点精练 1．（2026·高一·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 2．（2026·高一·上海·期中）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 3．（2026·高一·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 4．（2026·高二·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 难点二 集合中的创新问题 1、集合中的创新问题主要体现在（1）集合中的新定义问题；（2）集合中的新运算问题；（3）集合中的新性质问题．对于这类以集合为背景的创新问题是近几年考查的一个热点．此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托．解决集合中的创新问题的着手点：（1）正确理解新定义、新运算、新性质的定义，剥去它们的外表，转化为我们熟悉的集合知识；（2）合理利用集合性质是破解创新性集合问题的关键；（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法进行求解，当不满足要求时，只需通过举反例来说明． 2、解决与集合有关的创新题的对策： （1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键． （2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质． （3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的． 难点精练 5．定义两种新运算“⊕”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有．已知全集，集合，． (1)求全集U和集合A． (2)集合A，B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由． 6．（2026·高一·北京朝阳·期中）对任意正整数，定义集合．设，定义：，． (1)（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； (2)设，证明：； (3)设，，，，求； 7．（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； 8．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）已知有限集，定义两个集合的差集为且，对称差为． (1)若，求集合． (2)若，，，求； (3)证明：对任意，． 基础达标 1．（2026·高一·云南昭通·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·安徽安庆·期末）设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·高一·甘肃金昌·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·湖北荆州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026·高一·甘肃定西·期末）若集合，，则_______． 10．（2026·高一·云南文山·阶段检测）某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 11．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 12．全集 或，求 a. 13．（2026·高一·江苏徐州·期末）设集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 能力进阶 1．（2026·高一·天津河北·阶段检测）下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A．B． C．D． 2．已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·云南玉溪·期中）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 6．（2026·高一·福建福州·期中）设集合，．若，记，则集合的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2026·高一·安徽·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·江苏徐州·期中）对于集合A，B，我们把集合且记作；把集合记作.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·山东济南·阶段检测）已知全集，集合，，则（    ） A．集合的真子集有7个 B． C． D．中的元素个数为3 10．（2026·高二·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 11．（2026·高一·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是_______. 12．（2026·高一·山西阳泉·期末）已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 13．（2026·高一·河南新乡·期末）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 14．（2026·高一·广西北海·期末）已知全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求的取值集合． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合 复习要点 1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能用Venn图表达集合间的基本关系，从而提升学生的数学抽象与直观想象素养. 2.能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法与描述法）刻画不同的数学对象，初步感受集合语言的准确与简洁. 3.理解两个集合的并集与交集的含义，理解在给定集合中的一个子集的补集含义，能求两个集合的并集、交集与求给定子集的补集，从而提升学生的数学运算素养. 复习重难点 重点：元素的性质、子集关系、交并补运算 难点：空集分类、含参集合、描述法辨析、新定义题型 知识点 集合的含义与表示 1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性． 2、元素与集合的关系：，； 3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. 4、常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 要点速测 1．（多选题）下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 【答案】BD 【解析】B选项花括号自带“全部”含义，表述冗余错误； D选项前者为数集，后者为点集，不是同一集合； A、C表述正确. 知识点 集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 要点速测 2．（2026·高二·江西抚州·期末）设集合，，若，则______． 【答案】1 【解析】因为 ，且 ，所以 ． 又 ，其中 ，，所以只能有 ，解得 ． 当 时，，，此时 ，符合题意． 知识点 集合的基本运算 1、①并集：； ②交集：； ③补集：． ④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 2、运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 要点速测 3．（2026·高一·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，, 其中组成了所有整数， 则, 知识点 常用二级结论 （1）若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为，所有非空子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是． （2）包含关系的各种等价表示：①；②；③；④；⑤． （3）容斥原理 ． 要点速测 4．（2026·高一·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【答案】 【解析】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 题型一：集合的概念与表示 【典例1】下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【解析】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 【变式1-1】（2026·高一·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【解析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 【变式1-2】（2026·高一·青海海东·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 【变式1-3】（第一章集合与常用逻辑用语（单元自测，全国通用人教A版）数学初升高衔接）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 题型二：集合间的基本关系 【典例2】已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【解析】由 ，则． 【变式2-1】（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知， 所以与的关系为 【变式2-2】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 【变式2-3】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 题型三：集合的交并补运算 【典例3】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知全集，，求： (1)； (2). 【解析】（1）因为， 由交集的定义得，如图：     ， 又由并集的定义得，如图：   ， 因此，，. （2）由全集，，得或. 又，由交集的定义得，如图： .    【变式3-1】（2026·高一·河北唐山·期中）设是小于9的正整数，．求： (1) (2) (3) (4) (5) 【解析】（1）由题设，，则； （2）由，则； （3）由， 所以； （4）由， 所以； （5）由题设， 所以. 【变式3-2】（2026·高一·广西河池·期中）已知集合，集合，求. 【解析】 ； 或. 【变式3-3】（2026·高一·山东济南·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【解析】（1），，. （2），. （3），. 又因为，所以. 题型四：由子集关系求参数 【典例4】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【解析】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式4-1】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【解析】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 【变式4-2】（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2026·高一必修第一册）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【解析】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 【变式4-3】已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 题型五：子集与真子集个数 【典例5】已知集合满足，求集合及其个数． 【解析】当中含有两个元素时，为； 当中含有三个元素时，为； 当中含有四个元素时，为； 当中含有五个元素时，为； 所以满足条件的集合为， 集合的个数为8． 【变式5-1】（第一章集合（压轴题专练）-速记�巧练（苏教版2019必修第一册））已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【解析】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 【变式5-2】（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【解析】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. （2）由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或. 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. 【变式5-3】（2026·高一·北京延庆·阶段检测）已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 【解析】（1）当时，，即，符合题意； 当时，，解得：. 综上所述，实数k的取值范围为. （2）集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素， 当时，，即，符合题意； 当时，，解得：且. 综上所述，实数k的取值范围为. 题型六：韦恩图应用 【典例6】（2026·高一·四川成都·期中）在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： (1)（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； (2)用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 【答案】(1)（i）    （ii）   ，两科都不喜欢的人数为5人 (2)     显然，根据以上和的韦恩图可得到结论成立． 但韦恩图不能用于严格证明这个结论． 先证：， 任取，则，且， 由，得，或， 若，且，则，所以； 若，且，则，所以， 因此． 再证：， 任取，则，或， 若，则，且，所以，且，故； 若，则，且，所以，且，故， 因此． 综上，． 韦恩图用于证明这个的局限性：韦恩图只能展示有限集合位置的情况（比如以上和的韦恩图只是展示了，，两两相交的情况），无法覆盖所有可能的集合关系（比如，，或，，两两不相交的情况等情况），直接观察不能用于严格证明． 【解析】(1)（i）   （ii）    ，两科都不喜欢的人数为5人 (2)      显然，根据以上和的韦恩图可得到结论成立． 但韦恩图不能用于严格证明这个结论． 先证：， 任取，则，且， 由，得，或， 若，且，则，所以； 若，且，则，所以， 因此． 再证：， 任取，则，或， 若，则，且，所以，且，故； 若，则，且，所以，且，故， 因此． 综上，． 【变式6-1】（2026·高一·新疆阿克苏·阶段检测）已知全集 (1)求集合； (2)若集合，求. 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 由， 如图，作出韦恩图， 由图可知； （2）因为， 所以或，. 【变式6-2】学校举办了排球赛，高一（1）班45名同学中有12名同学参赛.后来又举办了田径赛，班上有20名同学参赛.已知两项都参赛的有6名同学.两项比赛中，高一（1）班共有多少名同学没有参加过比赛？ 【解析】设为高一（1）班的同学，为参加排球赛的同学，为参加田径赛的同学，则为排球赛和田径赛都参加的同学. 画出Venn图：    可知没有参加过比赛的同学有（名）. 答这个班共有19名同学没有参加过比赛. 【变式6-3】（2026·高三·广西钦州·开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【解析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 题型七：由集合运算求参数 【典例7】（2026·高二·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 【变式7-1】（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）设集合. (1)若，求； (2)是否存在实数，使得，若存在，求实数的取值范围，否则说明理由. 【解析】（1）当时，，而，因此， 所以或. （2）由，得， 由，解得不存在. 所以不存在实数，使得. 故a不存在. 【变式7-2】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【解析】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 【变式7-3】（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 又，所以. （2），因为， 所以当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上所述实数m的取值范围是． 难点一 与集合有关的参数问题 解决与集合有关的参数问题的对策 （1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． （2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． （3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． （4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值． （5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答． 难点精练 1．（2026·高一·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【解析】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 2．（2026·高一·上海·期中）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【解析】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 3．（2026·高一·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 4．（2026·高二·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 难点二 集合中的创新问题 1、集合中的创新问题主要体现在（1）集合中的新定义问题；（2）集合中的新运算问题；（3）集合中的新性质问题．对于这类以集合为背景的创新问题是近几年考查的一个热点．此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托．解决集合中的创新问题的着手点：（1）正确理解新定义、新运算、新性质的定义，剥去它们的外表，转化为我们熟悉的集合知识；（2）合理利用集合性质是破解创新性集合问题的关键；（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法进行求解，当不满足要求时，只需通过举反例来说明． 2、解决与集合有关的创新题的对策： （1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键． （2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质． （3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的． 难点精练 5．定义两种新运算“⊕”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有．已知全集，集合，． (1)求全集U和集合A． (2)集合A，B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由． 【解析】（1）全集中， 由中条件，得. 只能有下面三种情况： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时． 所以． 集合中， 由中条件，得. 只能，，此时，所以． （2）因为，要使，则集合的元素不能为0或1，即0和1都不是方程的根. 当时，代入方程得；当时，代入方程得，解得. 因此，要满足条件，需且. 6．（2026·高一·北京朝阳·期中）对任意正整数，定义集合．设，定义：，． (1)（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； (2)设，证明：； (3)设，，，，求； 【解析】（1）因为，，，，所以， 因为集合中元素的每个坐标绝对值都不超过，显然不超过，因此； （2）设，则有： ，，，， ，，， 所以． (3) （3）设，则有，． 由，所以必为偶数，因此， 当时，，但，不可能； 当时，，但，不可能； 所以，， 因为，同理得，， 所以，. 7．（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； 【解析】（1）根据差倍集的定义， 当，时，； 当，时，； 当，时，． 由集合中元素的互异性，可得． （2）已知，由集合中元素的互异性可知，且． 当时，的可能取值为2或3． 当时，，， ，， 此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，，， ，， 则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，根据， 可得，，． 由于且，所以且，且． 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时， 满足差倍集中恰好有两个元素，故． 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10． 8．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）已知有限集，定义两个集合的差集为且，对称差为． (1)若，求集合． (2)若，，，求； (3)证明：对任意，． 【解析】（1）根据定义得， 则 （2）因为，，， 则，又因为， 若，则时，，，不合题意，舍去； 所以，则， 可得，， 则，所以； （3）由且，可得 且且， 设， ； 设， ； 所以． 基础达标 1．（2026·高一·云南昭通·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，所以. 2．（2026·高一·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，， 则． 3．（2026·高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为,则, 故选：B. 4．（2026·高一·安徽安庆·期末）设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是小于8的自然数，所以， 因为，所以， 所以． 5．（2026·高二·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由已知， 所以，共3个元素． 6．（2026·高一·甘肃金昌·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，. 7．（2026·高一·湖北荆州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，则 8．（多选题）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【解析】根据元素互异性且，即且， 根据选项知符合条件. 9．（2026·高一·甘肃定西·期末）若集合，，则_______． 【答案】 【解析】因为，，所以，集合是所有大于的实数构成的集合， ，不满足集合的条件，，，，均满足集合的条件，因此． 10．（2026·高一·云南文山·阶段检测）某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 【答案】160 【解析】听讲座的人数为. 11．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，或，则. （2），， 则，解得，所以实数的取值范围为. 12．全集 或，求 a. 【解析】由全集 ，得或， 而 或，因此，所以. 13．（2026·高一·江苏徐州·期末）设集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以. （2）若，则， 所以 解得， 故实数的取值范围为. 能力进阶 1．（2026·高一·天津河北·阶段检测）下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【解析】在韦恩图中，表示长方形内圆A外的所有阴影， 表示圆B内除去外的阴影部分，韦恩图如下图所示， 观察各选项，排除C、D； 表示圆A和圆C相交的阴影部分，韦恩图表示如下： 则表示上述两部分阴影的并集，韦恩图表示为： A选项不符合，选项B中的阴影部分符合． 故选：B． 2．已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】全集U的两个非空真子集A，B满足，， 如图，当时，，故A错误； 由图知，，集合不是集合的子集，故BC错误； ，，，故D正确. 故选：D. 3．（2026·高一·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D 4．在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. 5．（2026·高三·云南玉溪·期中）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A 6．（2026·高一·福建福州·期中）设集合，．若，记，则集合的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为，集合，可知，，， 又因为，且的图象开口向上，对称轴为， 由对称性可知，所以，共4个元素. 故选：C. 7．（2026·高一·安徽·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，，则. 故选C. 8．（多选题）（2026·高一·江苏徐州·期中）对于集合A，B，我们把集合且记作；把集合记作.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为集合且记作， 且集合，， 所以，A正确； 又，则，B错误； 因为， 又，所以，C正确； 因为，， 所以，D正确. 故选：ACD 9．（多选题）（2026·高一·山东济南·阶段检测）已知全集，集合，，则（    ） A．集合的真子集有7个 B． C． D．中的元素个数为3 【答案】AC 【解析】，， 对于A，集合有3个元素，集合的真子集有个，正确， 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，中的元素个数为5， 故选：AC 10．（2026·高二·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【解析】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 11．（2026·高一·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】由可得或，则， 而当时，此时，符合题意； 当时，则，即， 要符合题意，需，或，即或， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为： 12．（2026·高一·山西阳泉·期末）已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 【解析】（1）仅有一个元素， ， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 13．（2026·高一·河南新乡·期末）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由已知得， 所以，又，所以. （2）因为，所以， 当时，，解得. 当时，，解得， 综上，故实数的取值范围为. 14．（2026·高一·广西北海·期末）已知全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求的取值集合． 【解析】（1）时，， 则； 或， 则. （2）由可得， 则，解得， 所以的取值集合是. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $